1.5.1 平面上两点间的距离-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“平面上的距离”核心知识点，涵盖两点间距离公式、原点距离公式及中点坐标公式。以公交站点选址问题导入，通过思考探究公式本质，再应用于判断图形形状、求参数值及坐标法证明几何问题，辅以例题、跟踪训练、课堂巩固与课后检测构建完整学习支架。 该资料特色在于以现实问题培养数学眼光，通过思考引导数学思维，坐标法证明体现数学语言表达。如例3用坐标法证明菱形对角线垂直，培养逻辑推理能力，课中辅助教师高效授课，课后检测助力学生查漏补缺，提升知识应用意识。

1.5 平面上的距离 1.5.1 平面上两点间的距离 新课导入 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区,现在计划在公路上某处建一个公交站点,以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小? 学习目标 1.掌握两点间的距离公式并会应用. 2.会用坐标法证明简单的平面几何问题. 新知学习 探究 一 两点间的距离公式及应用 思考1．应用两点间距离公式时是否需要考虑两点间的顺序？ 提示 此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成，利用此公式可以将有关的几何问题转化成代数问题进行研究. 思考2．当平行于坐标轴或在坐标轴上时怎样计算? 提示 当 平行于 轴或在 轴上时，有； 当 平行于 轴或在 轴上时，有. ［知识梳理］ 1．平面上,两点间的距离公式①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 2．原点与任一点的距离②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ［例1］ （1） 已知点，，，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 （2） 已知点是直线上一点，点与点间的距离为5，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 或 【解析】 （1） 因为，， ，所以，故 为直角三角形. （2） 因为点 是直线 上一点， 可设， 则， 解得 或， 所以点 的坐标为 或. 关于两点间距离公式的应用 （1）判断三角形的形状，先根据两点间的距离公式分别求出三边的长，再结合三角形的性质判断. （2）已知距离求参数，一般通过两点间的距离公式建立方程求解，但是求出的值需要检验. ［跟踪训练1］． （1） 以，，，为顶点的四边形的形状是（ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正方形 （2） 若直线与在第二象限相交于点，且点到原点的距离为，则的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 选.因为，，，，所以,,， 且， ， 所以四边形 为平行四边形， 又，则四边形 为矩形，又，则四边形 为正方形. （2） 两直线不平行，故， 联立 与， 解得 因为点 在第二象限，故，,解得，由题意得，解得 或（舍去），故. 二 中点坐标公式 思考．怎样求三角形的重心坐标？ 提示 设 的三个顶点坐标为，，，则 的重心 的坐标为. ［知识梳理］ 对于平面上的两点，，线段的中点是，则 【答案】； ［例2］ （对接教材例2） （1） 已知的三个顶点为，，，求边上的中线的长； （2） 已知两点，，求点关于点的对称点的坐标． 【答案】 （1） 【解】设点 的坐标为， 因为点 是线段 的中点，，， 则，． 所以点 的坐标为． 又，由两点间距离公式， 得 ． 因此，边上的中线 的长为． （2） 设，由中点坐标公式可得 解得 即. 中点坐标公式的应用 （1）求任意两点，的中点，应考虑中点坐标公式. （2）若点关于点的对称点为点，则点为线段的中点，通常考虑中点坐标公式. ［跟踪训练2］．已知的三个顶点为，，，则的中线的长是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意可知，线段 的中点为，故. 三 运用坐标法解决平面几何问题 ［例3］ 用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直. 【证明】 如图所示，四边形 是菱形， 以 为 轴，过 作 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系，设各点坐标分别为，,,,连接，，则,, 因为四边形 是菱形，所以，即，因为， 所以，菱形的对角线互相垂直. 用坐标法（解析法）解决几何问题的基本步骤 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系. 注意 建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算. ［跟踪训练3］．如图所示，正方形中，在上任取一点（点不与，重合），过点作的垂线交的外角平分线于点．用坐标法证明：． 证明：以 为原点，射线，分别为 轴、轴的正半轴建立平面直角坐标系.如图所示， 设正方形边长为， 则，，设点 的坐标为. ，，① .② 联立①②可得（或利用三角形全等求得点 坐标）. 因为，，所以. 课堂巩固 自测 1．[（2025·北京期中）]过点，的直线的斜率为，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】选.依题意，，解得，所以，,所以. 2．（多选）在等腰直角三角形中， ，若点，的坐标分别为，，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.设，由题意得 所以 解得 或 故点 的坐标为 或. 3．（教材P36T3改编）已知点的坐标为，线段中点的坐标为，，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ ，. 【答案】； 25 【解析】设 点的坐标为， 因为点 的坐标为，线段 中点的坐标为,， 所以 解得 即 点的坐标为，所以. 4．若动点的坐标为，，则动点到原点的距离的最小值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由两点间的距离公式得 到原点的距离为，当且仅当 时等号成立，所以所求最小值为. 1.已学习：两点间的距离公式. 2.须贯通：（1）由两点间距离求参数. （2）利用“坐标法”解决平面几何问题. 3.应注意：已知距离求参数问题易漏解. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知点，是直线与坐标轴的交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】选.由，令，得，设,；令，得，设.所以.故选. 2．[（2025·扬州期中）]已知的顶点为，，，则边上的中线长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】选.设 的中点为， 因为，，所以, 所以 边上的中线长. 3．以点，，为顶点的三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 以上都不是 【答案】C 【解析】选.因为， ， ， ， 所以 是直角三角形. 4．已知点与点之间的距离为5，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 1或 【答案】C 【解析】选.因为点 与点 之间的距离为5， 可得， 整理得， 解得 或. 5．光线从点射到轴上，经轴反射以后过点，光线从到经过的路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.点 关于 轴的对称点为，则光线从 到 经过的路程为 的长度， 即. 6．（多选）对于，下列说法正确的是（ ） A. 可看作点与点的距离 B. 可看作点与点的距离 C. 可看作点与点的距离 D. 可看作点与点的距离 【答案】BD 【解析】选.由题意，可得 ， 可看作点 与点 的距离，可看作点 与点 的距离，可看作点 与点 的距离. 7．过点和的直线和直线平行，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意知，所以. 8．在平面直角坐标中，已知，，，平面内的点满足，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】设点 的坐标为， 由 可得 解得 因此，点 的坐标为. 9．已知点，，点在轴上，则的最小值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为 关于 轴的对称点，则,所以 的最小值为. 10．（13分）已知的顶点坐标为,,，是边上的中点. （1） 求边所在直线的方程；（6分） （2） 求中线的长.（7分） 【答案】（1） 解：直线 的斜率，所以直线 的方程为，即. （2） 由题意知，点， 所以，中线 的长为 . B 能力提升 11．（多选）已知点，，直线上存在点满足，则的值可能为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】CD 【解析】选.直线 变形为，故直线 过定点，且斜率为， 又， 要想直线 上存在点 满足， 即 与线段 有交点，因为,，故,，解得,，故，满足要求. 12．已知直线经过与的交点，则点到的距离的最大值为_ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】联立 解得 故交点坐标为，直线 经过点，则点 到 的距离的最大值为 的长，且. 13．（15分）已知是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的平面直角坐标系，证明： （1） ；（7分） （2） .（8分） 【答案】 （1） 证明：以 的 点为原点，直角边,所在直线分别为 轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设,两点的坐标分别为,. 由两点间距离公式得, ,， 所以. （2） 因为点 是 的中点， 所以点 的坐标为,， 即,. 由两点间距离公式得 , . 所以. 14．（15分）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. （1） 求点坐标；（3分） （2） 求直线的方程;（5分） （3） 在线段上是否存在一点（异于点），使得?若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由.（7分） 【答案】 （1） 解：因为 边上的高 所在的直线方程为， 所以，所以， 又直线 经过点， 所以直线 的方程为， 即. 联立 解得 即点. （2） 设，由 为边 上的中线，且， 得 的中点坐标为,. 又点 在直线 上， 所以有，① 又点 在直线 上， 所以，② 联立①②解得,，即点， 又，所以， 所以直线 的方程为， 即. （3） 假设在线段 上存在一点，使得， 则有，③ ，④ 又，⑤ 联立③④⑤解得 所以存在点 满足题意，此时点,. C 素养拓展 15．[（2025·青岛期中）]数学家欧拉1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若的顶点，，，则欧拉线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为 的顶点，，， 则其重心为，, 即，. 显然 的外心 在线段 的中垂线 上，故可设， 由， 可得， 解得,则外心坐标为， 于是,故欧拉线方程为，即. 学科网（北京）股份有限公司 $