1.4 两条直线的交点-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

1.4 两条直线的交点 新课导入 如图,小王与小李两位同学早上从家出发去上学，同时到达学校.假设两人的行走路线都是直线，则学校可以看作两条直线的交点，本节课我们将学习两直线的交点. 学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. 新知学习 探究 一 两条直线的交点的判定 思考．关于，的二元一次方程组 的解与直线与有何关系？ 提示 方程组的解 对应的点，为两条直线的公共点. ［知识梳理］ 1．两条直线的交点 设两条直线的方程分别是，.如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的①_ _ _ _ _ _ ；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线和的交点. 【答案】公共解 2．方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线，的公共点 ②_ _ ③_ _ _ _ _ _ ④_ _ 直线，的位置关系 ⑤_ _ ⑥_ _ ⑦_ _ 【答案】一个； 无数个； 零个； 相交； 重合； 平行 ［例1］ （对接教材例1）判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： （1） ，； （2） ，； （3） ，. 【答案】 （1） 【解】因为方程组 的解为 所以直线 与 相交，交点坐标为. （2） 因为方程组 无解， 所以两直线无公共点，. （3） 因为方程组 有无数组解，所以 与 重合 判定两直线的位置关系有以下两种方法 （1）利用方程组解的个数判断. （2）利用直线平行、重合、垂直和相交的条件判断，两直线，不全为0，，不全为0. ①当时，两直线相交；②当，且或时，两直线重合；③当，且或时，两直线平行；④当时，两直线垂直. ［跟踪训练1］． （1） 直线和的交点坐标为（ ） A. B. C. D. （2） 若直线与直线的交点纵坐标为4，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】（1） A （2） A 【解析】 （1） 选.因为方程组 的解为 因此直线 和 的交点坐标为. （2） 选.因为直线 与直线 的交点纵坐标为4，所以将 代入直线方程 中，得.所以交点坐标为.将交点坐标 代入 中，得. 二 直线系过定点问题 ［例2］ 已知直线．求证：直线恒过定点，并求点的坐标． 【证明】 方法一（特值探路法）：取，得到直线， 取，得到直线, 故 与 的交点为． 将点 代入直线 方程左边， 得, 所以点 在直线 上． 所以直线 恒过定点． 方法二（分离参数法）：原方程整理为， 则由 得 所以直线 恒过定点． 解含参数的直线恒过定点问题的策略 （1）任意给直线中的参数赋予两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解. （2）含有一个参数的二元一次方程，若能整理为的形式，其中 是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得，若整理成的形式，则表示所有直线过定点. ［跟踪训练2］．无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.直线方程可化为，则此直线过直线 和直线 的交点.由 解得 因此所求定点为. 三 过两直线交点的直线方程 ［例3］ 已知直线过两条直线和的交点，且与直线平行，求直线的方程. 【解】 方法一：解方程组 得 所以交点坐标为. 又由直线 的斜率为，得直线 的斜率为， 则直线 的方程为， 即. 方法二：由于直线 与直线 平行，故设直线 为.联立 解得 故直线 过点， 故，解得，故直线 的方程为. 方法三：设直线 的方程为， 即. 又因为直线 与直线 平行, 所以 解得，代入整理可得直线 的方程为. （1）求过两直线交点的直线方程的方法 ①方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程. ②直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程. （2）过两条直线交点的直线系方程的设法 设直线，不同时为0，，不同时为0，则过，的交点的直线系方程为其中，为参数，且.当，时，此方程即为直线的方程；当，时，此方程即为直线的方程. ［跟踪训练3］．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由， ，联立方程可得 又直线 的斜率为，所以所求的直线斜率为，故直线方程为，即. 课堂巩固 自测 1．直线和的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.解方程组 得 所以所求交点坐标为. 2．（教材P31T3改编）若三条直线,和交于一点，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】选.联立 得 把 代入 得. 3．若三条直线，，构成三角形，则的取值范围是（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】A 【解析】选.因为三条直线，，构成三角形， 故三条直线中任意两条直线不平行，且三条直线不共点. 而直线 和 交于原点，无论 为何值，直线 总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线 与另两条直线不平行， 所以.故选. 4．设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】方法一：由 得 所以两条直线的交点坐标为, 由题意可得直线 的斜率为1或，所以直线 的方程为 或，即 或. 方法二：设直线 的方程为，整理得，由题意，得，解得 或，所以直线 的方程为 或. 1.已学习：方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系. 2.须贯通：（1）两条直线相交的判定方法. （2）经过两直线交点的直线系方程的设法. 3.应注意：明确两直线相交的条件. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知直线与相交，则它们的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由 得 故交点坐标为. 2．方程组解的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 【答案】A 【解析】选.因为,，所以方程组表示的两条直线平行，则方程组无解.故选. 3．过两直线和的交点和原点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由方程组 解得 所以两直线的交点坐标为， 所以所求直线的斜率为， 所以所求直线的方程为， 即. 4．若直线经过两直线和的交点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】选.联立 可得 即交点坐标为， 将 代入直线，可得. 5．设直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线或可以表示平面直角坐标系内任意一条直线 B. 与至多有无穷多个交点 C. 的充要条件是 D. 记与的交点为，则可表示过点的所有直线 【答案】B 【解析】选.对于，当直线的斜率不存在时，直线方程为 为直线与 轴的交点的横坐标，此时直线 或 的方程无法表示，故 错误；对于，当 且 时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故 正确； 对于，当 且 时，，故 错误；对于，记 与 的交点为，则 的坐标满足 且满足，则 不表示过点 的直线，故 错误.故选. 6．（多选）下列选项中，正确的有（ ） A. 直线和的交点坐标为 B. 直线和的交点坐标为 C. 直线和的交点坐标为 D. 直线，，两两相交 【答案】AD 【解析】选.方程组 的解为 因此直线 和 相交，交点坐标为，正确； 方程组 有无数个解，这表明直线 和 重合，错误； 方程组 无解，这表明直线 和 没有公共点，故，错误； 直线，，两两相交且交于同一点，正确. 7．已知关于,的二元一次方程组 有唯一解，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】且 【解析】当 时，方程组化为 无解， 当 时，,即, 综上，且. 8．已知直线，，若满足，则两直线的交点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】， 【解析】因为直线 与直线 垂直，所以，解得， 所以 即 解得 故两直线的交点坐标为，. 9．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】联立 解得 即交点坐标为,， 因为交点在第一象限，所以 解得. 10．（13分）已知两直线和. （1） 判断两直线是否相交，若相交，求出其交点坐标；（5分） （2） 求过与的交点且斜率为的直线方程.（8分） 【答案】 （1） 解：因为，所以两直线相交， 联立两直线方程得 解得 即两直线的交点坐标为. （2） 方法一:所求直线过 与 的交点 且斜率为， 由点斜式方程可得所求直线的方程为， 整理得所求直线方程为. 方法二：显然 不是所求方程，可设所求直线方程为， 整理得， 所以，所以， 整理得所求直线方程为. B 能力提升 11．（多选）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】AC 【解析】选.由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行. 因为直线 和直线 不平行， 所以直线 和直线 平行或直线 和直线 平行. 因为 的斜率为1，的斜率为，的斜率为， 所以 或. 12．经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】设直线方程为， 即.由题意得，且， 令，得； 令，得. 由， 得 或. 所以直线方程为 或. 13．[（2025·常州期中）]（13分）已知直线的方程为，若直线过点,，且. （1） 求直线和直线的交点坐标；（5分） （2） 已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程.（8分） 【答案】 （1） 解：经过点,且与 垂直的直线为，即. 由 解得 所以直线 和直线 的交点坐标为. （2） 因为直线 与两坐标轴都相交，故斜率一定存在且不为0. 设. 直线 交 轴于点,，交 轴于点. 由，可得 或. 所以直线 的方程为 或. 14．（15分）已知直线． （1） 求证：直线过定点；（6分） （2） 过点作直线使直线与两负半轴围成的的面积等于4，求直线的方程．（9分） 【答案】 （1） 证明：直线 的方程可化为， 由直线系方程的性质有 解得 故直线 过定点. （2） 解：设直线， 则由题意得 解得 所以直线，即， 所以所求直线 方程为. C 素养拓展 15．已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】C 【解析】选.因为三条直线，，将平面分为六个部分，所以三条直线交于一点或两条直线平行且与第三条直线相交. 当三条直线交于一点时， 联立 可得， 此时，即； 当两条直线平行且与第三条直线相交时，可得 或，所以 或. 学科网（北京）股份有限公司 $