1.3 两条直线的平行与垂直-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

1.3 两条直线的平行与垂直 新课导入 过山车是一种富有刺激性的游乐设施.实际上，过山车的运动包含了许多数学、物理学原理.过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着.你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？ 学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题. 第1课时 两条直线的平行 新知学习 探究 一 两条直线平行的判定 思考1．在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 提示 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补. 思考2．平面中的两条平行直线被轴所截，它们的倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示 两直线平行，倾斜角相等. ［知识梳理］ 对应关系 不重合的直线，的斜率都存在，分别为，，则 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 如果不重合的直线，的斜率都不存在，那么它们都与轴②_ _ ，所以 图示 【答案】； 垂直 ［例1］ 根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． （1） 经过点，，经过点，； （2） 平行于轴，经过点，； （3） 经过点，，经过点，. 【答案】（1） 【解】因为，，即，所以 与 不平行． （2） 由题意可知 恰好与 轴重合， 所以． （3） 由题意可知，，即， 又因为， 可知，，，四点共线， 所以 与 重合． 判断两条直线是否平行的步骤 注意 若已知直线上点的坐标，判断两条直线是否平行时，要考虑直线重合的情况. ［跟踪训练1］． （1） 已知,,,，则直线与的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 （2） [（2025·福州期中）]已知过点和的直线与斜率为2的直线平行，则的值为_ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 1 【解析】 （1） 选.，，由图可知，，，不共线，所以. （2） 由过点 和 的直线与斜率为2的直线平行，得，解得，所以 的值为1. 二 求与已知直线平行的直线方程 ［例2］ （对接教材例3）求与直线平行，且过点的直线的方程. 【解】 方法一：设直线 的斜率为，因为直线 与直线 平行， 所以，又因为直线 经过点，所以所求直线 的方程为，即. 方法二：设与直线 平行的直线 的方程为. 因为直线 经过点， 所以，解得， 所以所求直线 的方程为. 求与已知直线平行的直线方程的策略 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程. （2）可利用如下待定系数法：与直线，不同时为0平行的直线方程可设为，再由直线所过的点确定. ［跟踪训练2］． （1） 已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. （2） 已知，，三点，直线过点且与直线平行，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 选.过点 且与直线 平行的直线方程为，即直线 的方程为. （2） 由题意可知， 则， 又直线 过点， 所以直线 的方程为， 即. 三 两直线的平行关系的应用 角度1 判断图形形状 ［例3］ （对接教材例1）已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状. 【解】 在平面直角坐标系中作出点，，，，顺次连接四点得到四边形（图略）.则 所在直线的斜率,所在直线的斜率, CD所在直线的斜率 , AC所在直线的斜率 , 所以，,所以直线 直线，直线 直线， 因此，四边形 是平行四边形. 利用两条直线平行判定图形形状的步骤 ［跟踪训练3］．已知矩形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设点 的坐标为，由题易知,. 所以 解得 所以点 的坐标为. 角度2 求参数的值 ［例4］ 已知两直线；，当为何值时，直线与 （1） 平行； （2） 重合. 【答案】 ［例4］ 【解】 因为直线， 直线， 所以，，，，，. （1） 若，则有 即 即 解得 所以.故当 时，直线 与 平行. （2） 若 与 重合，则有 即 解得 所以.故当 时，直线 与 重合. 利用一般式方程解决直线平行问题的策略 直线，直线若且或. ［跟踪训练4］． （1） “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充分且不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 （2） 设为实数，若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 【答案】（1） A （2） B 【解析】 （1） 选.若直线 与直线 平行， 则有， 解得 或， 而当 时，直线 与直线 重合，舍去， 所以直线 与直线 平行， 所以“”是“直线 和直线 平行”的充要条件.故选. （2） 选.由于两直线平行，所以，解得. 课堂巩固 自测 1．已知直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 2或 【答案】C 【解析】选.当直线 与直线 平行时，，解得.当 时，直线 与直线 重合，不符合题意，舍去；当 时，直线，即直线 与直线 平行，所以实数 的值为. 2．[（2025·宿迁期中）]设为实数，若矩形的边，所在的直线方程分别为,,则的值为（ ） A. B. 0 C. 0或 D. 【答案】C 【解析】选.由题意可知，直线 与 平行, 则,解得 或. 当 时,两直线方程分别为，,两直线平行，符合题意； 当 时,两直线方程分别为,,两直线平行，符合题意. 综上，的值为0或. 3．过点，且与直线平行的直线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为直线 的斜率为2，因此过点，且与直线 平行的直线的方程为，即. 4．已知直线的倾斜角为 ,直线,若直线过点,,则_ _ _ _ . 【答案】6 【解析】设直线,的斜率分别为,,因为直线 的倾斜角为 ,所以.又直线,则,解得. 1.已学习：两条直线平行的判定条件. 2.须贯通：（1）判断两条直线平行的步骤. （2）已知平行求直线方程或参数. （3）在两条直线平行关系的判断中体会分类讨论的思想. 3.应注意：利用斜率判断含字母参数的两条直线平行时，要对字母分类讨论. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知，，直线，则直线的斜率（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】选.因为直线，所以. 2．若直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】选.因为直线 与直线 互相平行， 所以 解得. 3．设不同直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】选.当 时，易知两直线平行，即充分性成立.当 时，显然，从而有，解得 或，但当 时，两直线重合，不符合要求，所以，故必要性成立.故选. 4．已知直线，若轴，但不重合，则下列结论正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】选.因为直线，轴，但不重合，所以 解得，，. 5．已知点，，，，且直线与直线平行，则的值为（ ） A. 或0 B. 0或1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】选.当 时，直线 与直线 的斜率均不存在且不重合，此时. 当 时，， ， 则，即，解得， 此时,,,所以. 综上，或. 6．（多选）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则斜率 B. 若斜率，则 C. 若倾斜角，则 D. 若，则倾斜角 【答案】BCD 【解析】选.因为直线 与 为两条不重合的直线，对于，若，直线斜率可能不存在，错误；对于，若斜率，则，正确；对于，若倾斜角，则，正确；对于，若，则倾斜角，正确，故选. 7．若直线与直线互相平行，则的值为_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】因为直线 与直线,可分别化为，，所以，解得. 8．在平面直角坐标系中，四边形的边，.已知点，，，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设点，则由，，可得，，即，且，解得，.所以点 的坐标为. 9．已知直线的倾斜角为，直线经过点和点，且直线直线，则实数的值为_ _ _ _ . 【答案】6 【解析】由直线 的倾斜角为，得直线 的斜率为， 因为直线 直线，所以 的斜率为， 又直线 经过点 和点， 所以 的斜率为，故，解得. 10．（13分）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行. （1） 经过点，，经过点，；（6分） （2） 的倾斜角为 ，经过点，.（7分） 【答案】 （1） 解：由题意知，直线 的斜率， 直线 的斜率， ， 则，所以. （2） 由题意知，直线 的斜率， 直线 的斜率. 所以，所以 或 与 重合. B 能力提升 11．与直线平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】方法一:由题意，设直线 的方程为， 令，得；令，得， 所以，解得. 所以直线 的方程为. 方法二：由题意，直线 不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0. 可设 的方程为， 则有 解得 所以直线 的方程为. 12．已知直线平行于直线，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】因为直线 与直线 平行，所以设直线 的方程为， 则其与 轴交于点，与 轴交于点. 依题意可得，， 解得， 所以直线 的方程为 或. 13．（13分）已知直线和直线.若，求的值. 解：方法一:当 时，， ，不平行于； 当 时，， ，不平行于； 当 且 时， 两直线可化为，， 所以，即 解得， 综上可知，当 时，. 方法二：由，得 即 解得， 故当 时，. 14．（15分）已知四边形是平行四边形，边所在直线的方程是，边所在直线的方程是，顶点的坐标是，求这个平行四边形其他两条边所在直线的方程. 解：因为四边形 是平行四边形， 所以，设 所在直线的方程为， 代入点 的坐标，得， 所以 所在直线的方程为， 同理，设 所在直线的方程为， 代入点 的坐标，得， 所以 所在直线的方程为. C 素养拓展 15．设，为直线上的两个不同的点，则，我们把向量及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量.当直线与轴不垂直时，其中叫作直线的斜率也是直线的一个方向向量.如果直线经过点，且它的一个方向向量是，则直线上任意一点的坐标，满足的关系式为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意知，，因为直线 的一个方向向量是，所以，即. 第2课时 两条直线的垂直 新知学习 探究 一 两条直线垂直的判定 思考．平面中，两条直线，的斜率分别为，，则两条直线的方向向量分别为，，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示 . ［知识梳理］ 对应关系 直线，的斜率都存在，分别为，，则 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 如果直线，中的一条的斜率不存在，另一条的斜率为0，则与的位置关系是②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 图示 【答案】； ［例1］ （对接教材例4）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否垂直. （1） 直线经过点，，直线经过点，； （2） 直线的斜率为，直线与直线平行． 【答案】（1） 【解】由题知直线 的斜率不存在，直线 的斜率为0，所以. （2） 因为直线 的斜率，直线 的斜率，所以，所以直线 与 不垂直． 判断两直线垂直的方法 （1） （2）若两条直线的方程均为一般式方程：,,则. ［跟踪训练1］． （1） 已知平面内两直线,的斜率分别为,，且,是方程的两根，则与的位置关系为（ ） A. 平行 B. 相交且垂直 C. 重合 D. 相交且不垂直 （2） 已知直线经过点,，直线经过点，,若，则的值为_ _ . 【答案】（1） B （2） 0或5 【解析】 （1） 选.由题意，因此两直线垂直.平面内的两直线垂直时当然相交. （2） 方法一：因为直线 经过点,，且，所以 的斜率存在，而 经过点，,则其斜率可能不存在，当 的斜率不存在时，，即，此时 的斜率为0，则，满足题意； 当 的斜率存在时，，即，此时直线,的斜率均存在，由 得，即，解得.综上，的值为0或5. 方法二：由题知，的方向向量为,的方向向量为,由 得,即,解得 或. 二 求与已知直线垂直的直线方程 ［例2］ （对接教材例5）求经过点，且与直线垂直的直线的方程． 【解】 方法一：设直线 的斜率为， 因为直线 与直线 垂直， 所以， 所以， 又因为直线 经过点， 所以直线 的方程为，即. 方法二：设与直线 垂直的直线方程为. 因为直线 经过点， 所以， 所以. 所以直线 的方程为. 求与已知直线垂直的直线方程的策略 （1）由已知直线求出斜率，再利用垂直直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程. （2）可利用如下待定系数法：与直线，不同时为0垂直的直线方程可设为，再由直线所过的点确定. ［跟踪训练2］． （1） 与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的方程是（ ） A. B. C. D. （2） 已知的三个顶点分别是，，，则边上的高所在直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 选.直线 的斜率为2，则与直线 垂直的直线的斜率为，又因为所求直线在 轴上的截距为4，所以直线方程为. （2） 设 边上的高为，则，所以， 因为， 所以，解得， 所以 边上的高所在直线的方程为，即. 三 两直线的垂直关系的应用 角度1 求参数的值 ［例3］ （1） 若直线与直线垂直，则直线在轴上的截距是（ ） A. B. 2 C. D. 4 （2） 已知直线的斜率为2，直线上有三点，，，若，则，_ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） -1；7 【解析】 （1） 因为直线 与直线 垂直， 所以，所以， 所以直线 的方程为， 所以直线 在 轴上的截距是. （2） 因为，且 的斜率为2， 则 的斜率为， 所以，解得，. 角度2 判断几何图形的形状 ［例4］ 已知点，，，.试判定四边形的形状. 【解】 如图所示，, , ， ， 所以，又，显然不重合，所以, 又，所以,不平行, 又, 所以, 故四边形 为直角梯形. 母题探究．已知点，，，求点的坐标，使四边形为直角梯形. 解：设所求点 的坐标为，如图所示，由于，， 所以，即 与 不垂直， 故，都不可作为直角梯形的直角腰. （1）若 是直角梯形的直角腰， 则，， 因为，所以 的斜率不存在，从而有.又，所以，即， 此时 与 不平行，故所求点 的坐标为. （2）若 是直角梯形的直角腰， 则，， 因为，， 所以 解得 所以 点的坐标为. 综上，点的坐标为 或. （1）利用垂直关系求参数策略 ①根据两直线的斜率寻求系数间的关系; ②将直线方程化成一般式方程，根据两直线方程系数的关系求参. （2）判断几何图形的形状的思路 ①画草图猜测形状; ②根据直线平行或垂直的关系验证猜测. ［跟踪训练3］． （1） 已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为和，则实数的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 以,,为顶点的三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 以为直角顶点的直角三角形 D. 以为直角顶点的直角三角形 【答案】（1） 或 （2） D 【解析】 （1） 由题意，可知两直线平行或垂直， 则 或， 解得 或. （2） 选.直线 的斜率，直线 的斜率，直线 的斜率，由，所以，故 是以 为直角顶点的直角三角形. 课堂巩固 自测 1．若直线与直线互相垂直，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】选.两直线的斜率分别为，，依题意得，解得. 2．（多选）已知直线的斜率为，，则直线的斜率可以为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】BD 【解析】选.设直线,的斜率分别为,,当 时，由 知，，当 时，的斜率不存在. 3．已知，，三点，点在轴上，则当点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ 时，. 【答案】 【解析】设点，因为， 所以直线 的斜率存在. 则由 知，， 所以，解得， 所以点 的坐标为. 4．已知点，，点在轴上，且 ，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】设点 的坐标为. 因为 ， 所以， 又，，， 所以， 解得 或. 所以点 的坐标为 或. 1.已学习：两条直线垂直的判定条件. 2.须贯通：（1）判断两条直线垂直的步骤. （2）已知两直线垂直求直线方程或参数. （3）在两条直线垂直关系的判断中体会分类讨论的思想. 3.应注意：研究两直线垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知直线过,，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设直线，的斜率分别为，， 因为直线 过，，所以直线 的斜率为， 因为，所以， 所以，即直线 的斜率为. 2．已知直线,，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 【答案】C 【解析】选.，即，解得 或.故选. 3．已知点，,,,且直线与直线垂直，则的值为（ ） A. 或0 B. 0或7 C. 0 D. 7 【答案】B 【解析】选.当 时，直线 的斜率不存在，直线 的斜率为0,故; 当 时，,,因为，所以,解得. 综上，或. 4．已知,,三点，且有一点满足，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.设点,则,,,,又,， 所以 即 解得 即点. 5．已知两点，，直线过点，且交轴于点，是坐标原点，且，，，四点共圆，则的值是（ ） A. 19 B. C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】选.由，，，四点共圆可以得出四边形 的对角互补，又由题意得 ，所以 ，所以，所以，即，解得.故选. 6．（多选）下列说法正确的是（ ） A. 若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行 B. 若两直线平行，则它们的斜率相等 C. 若两直线的斜率之积为，则它们垂直 D. 若两直线垂直，则它们的斜率之积为 【答案】AC 【解析】选.当两直线，的斜率，都存在且不重合时，，，故,正确；当两不重合的直线都与 轴垂直时，它们平行，但其斜率不存在，故 错误；当两直线中一条直线与 轴平行（或重合），另一条直线与 轴垂直时，它们垂直，但一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，故 错误.故选. 7．已知直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】当 时，， 所以， 所以. 8．[（2025·武汉期末）]已知，不重合，过点和点的直线与直线平行，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则实数的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意可得，直线 的斜率，直线 的斜率，直线 的斜率，因为，所以，即，解得，又，所以，即，解得，所以. 9．已知，，.若为直角三角形，则_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或2 【解析】当 时，，解得；当 时，，无解；当 时，，解得. 10．（13分）已知菱形的顶点，的坐标分别为，，边所在直线过点．求： （1） 边所在直线的方程；（5分） （2） 对角线所在直线的方程．（8分） 【答案】 （1） 解：，因为，所以． 所以 边所在直线的方程为，即． （2） 因为． 又因为菱形的对角线互相垂直，所以，所以． 又因为 的中点坐标为，也是 的中点，所以对角线 所在直线的方程为，即． B 能力提升 11．设为实数，若直线垂直于直线，则（ ） A. 0或 B. 0 C. D. 3 【答案】C 【解析】选.因为直线 垂直于直线， 所以，解得 或. 当 时，直线 为，不成立，舍去； 当 时，直线 为， 直线 为，符合题意. 所以. 12．（多选）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】选.由斜率公式知，，，，，,所以，,,而,所以 与 不垂直.故选． 13．（13分）已知四边形的顶点坐标为,,,，求证：四边形为矩形. 证明：因为，，，， 所以，，，， 所以，，所以，， 所以四边形 为平行四边形， 因为，所以， 所以四边形 为矩形. 14．（15分）已知，，. （1） 求点的坐标，满足，；（6分） （2） 在轴上是否存在点，使，如果存在，求直线的倾斜角，如果不存在，请说明理由.（9分） 【答案】 （1） 解：设，由已知得， 由，可得， 即.① 由已知得， 由，可得， 即.② 联立①②求解得 即. （2） 在 轴上存在点，使. 设存在，满足， 所以. 又因为，， 所以，即， 所以. 又因为，所以 轴， 故直线 的倾斜角为 . C 素养拓展 15．[（2025·郑州期中）]将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点,重合，则_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】设点 为点， 点 为点，所以线段 的中点为,. 设点 为点，点,为点， 所以线段 的中点为,， 由题意可知，， 则 解得 故. 学科网（北京）股份有限公司 $