1.2.2 直线的两点式方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦直线的两点式方程及截距式方程核心知识点，以前续学习的点斜式方程为基础，通过探究两点确定直线的几何要素推导两点式方程，进而延伸至截距式方程，构建“点斜式—两点式—截距式”的知识递进支架。 资料以斜拉桥实例导入，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过思考问题链培养推理能力（数学思维），结合分类讨论截距是否为零等例题强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后通过巩固自测与达标检测帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

1.2.2 直线的两点式方程 新课导入 斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为轴，桥塔所在直线为轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线，如何建立这条直线的方程？这两个点有什么特别之处吗？ 学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围. 新知学习 探究 一 直线的两点式方程 上节课我们已经学习了直线的点斜式方程，请思考下列两个问题： 思考1．如图，给定直线上两点，且，如何用点斜式写出的方程？ 思考2．给定直线上两点，，，任选直线上一点，其中不与，重合，那么与有什么关系？ 【答案】思考1 提示 或. 思考2 提示 ，即. ［知识梳理］ 经过两点，其中，的直线方程_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 叫作直线的两点式方程. 【答案】 ［例1］ （对接教材例3） （1） 已知直线经过,两点，求这条直线的方程； （2） 已知直线经过点,，求这条直线的方程． 【答案】（1） 【解】由直线的两点式方程，得，即. （2） 当直线斜率不存在，即 时，直线方程为； 当直线斜率存在，即 时，利用两点式，可得直线方程为， 即． 综上所述，当 时，直线方程为； 当 时，直线方程为． 利用两点式求直线方程的步骤 首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程，在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式求方程. ［跟踪训练1］． （1） [（2025·邢台期中）]已知直线的两点式方程为，则（ ） A. 直线经过点 B. 直线的斜截式为 C. 直线的倾斜角为锐角 D. 直线的点斜式为 （2） 已知点，.若的中点坐标为，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.由题意，直线 不经过点，故，错误；将两点式化为斜截式：，故 错误；直线 的斜率为，所以直线 的倾斜角为锐角，故 正确. （2） 由题可得 解得 即，. 由两点式方程可得，即. 二 直线的截距式方程 思考．若给定直线上两点，，你能否得出直线的方程呢？ 【答案】思考 提示 由两点式方程可得，即. ［知识梳理］ 名称 截距式 已知条件 直线与轴的交点为，与轴的交点为，且, 图示 方程 适用范围 斜率存在且不为零，不过原点的直线 ［例2］ [（2025·郑州期中）]过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】当直线 过原点时，其方程是，符合题意;当直线 不过原点时，设直线 的方程为，将 代入，可得，解得，所以直线 的方程是. 求直线的截距式方程的注意点 （1）如果已知直线在两坐标轴上的截距，且两截距均不为0，可以直接代入截距式求直线的方程. （2）将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在轴和轴上的截距，这一点常用于作图. （3）解决问题的过程中要对直线在两坐标轴上的截距进行分类讨论. ［跟踪训练2］． （1） 经过点，的直线在轴上的截距为（ ） A. 2 B. C. D. 27 （2） 过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 无数多条 【答案】（1） D （2） B 【解析】 （1） 选.由两点式得直线方程为，令，得.故经过点，的直线在 轴上的截距为27. （2） 选.当截距都为零时满足题意，直线方程为; 当截距不为零时，设直线方程为，所以 所以 或 即直线方程为 或， 所以满足条件的直线共有3条.故选. 三 截距式方程的应用 ［例3］ 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程. （1） 的周长为12； （2） 的面积为6. 【答案】 （1） 【解】设直线方程为， 由题意可知，.① 又因为直线过点，，所以，② 由①②可得，解得 或 所以所求直线的方程为 或，即 或. （2） 设直线方程为， 由题意可知 解得 或 所以所求直线的方程为 或，即 或. 母题探究．本例条件不变，当的面积最小时，求直线的方程. 解：由本例（1）知，. 所以. 即，当且仅当，即，时取等号，面积的最小值为，此时直线方程为,即. 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直线的截距式方程，若设直线在轴、轴上的截距分别为，，则直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，周长为. ［跟踪训练3］． （1） 已知直线的斜率为2,则的值为_ _ _ _ _ _ . （2） 若直线的斜率为2，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 解：设直线 的方程为. 易知直线 与 轴、轴的交点坐标分别为,，，则直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得.所以直线 的方程为 或. 【解析】 （1） 易知直线 过点,，则直线 的斜率为，解得. 课堂巩固 自测 1．经过点,的直线的两点式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为直线经过点,， 所以由直线的两点式方程可得直线方程为 ， 即.故选. 2．（多选）下列说法中错误的是（ ） A. 直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B. 与是直线的截距式方程 C. 直线方程的斜截式都可以化为截距式 D. 在轴、轴上的截距分别是2，3的直线方程为 【答案】ABC 【解析】选.对于，直线方程的截距式为，其中， 故不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，错误； 对于，，都不是直线的截距式方程，错误； 对于，直线方程的斜截式为 的情况下，不能化为截距式方程，错误； 对于，在 轴、轴上的截距分别是2，3的直线方程为，正确. 3．已知直线在轴上的截距比在轴上的截距小1，且过定点，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】设直线 的方程为. 则，解得 或， 则直线 的方程是 或， 即 或. 4．已知直线经过点和点. （1） 求直线的两点式方程，并化为截距式方程； （2） 求直线与两坐标轴围成的图形面积. 【答案】（1） 解：由已知得直线 的两点式方程为，整理得.所以直线 的截距式方程为. （2） 由（1）知直线 在 轴、轴上的截距分别为4和8，所以直线 与两坐标轴围成的图形的面积为. 1.已学习：（1）直线的两点式方程. （2）直线的截距式方程. 2.须贯通：（1）求直线的两点式方程的策略. （2）直线的截距式方程应用的注意点. 3.应注意：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解. 课后达标 检测 A 基础达标 1．过点，的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为直线过点，，所以直线方程为. 2．直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】选.根据题意直线，令，得，所以直线 在 轴上的截距为1. 3．两方程与对应的直线可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.直线 的斜率，直线 的斜率，所以直线 与直线 斜率的符号相同，故只有 选项符合题意. 4．一条光线从射出与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.关于 轴的对称点，光线从 射出与 轴相交于点，则反射光线经过点，,由两点式方程可知， 所求直线方程为，化简得. 5．已知直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且,满足，则直线的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】选.由题意设直线 的方程为，则，① 又，所以，② 由①②解得 或 又由 知，,, 则，， 则直线 的斜率为. 6．（多选）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】选.当直线 过原点时，它在两坐标轴上的截距都为0，互为相反数，直线 的方程为，即； 当直线 不过原点时，设其方程为，则，解得， 直线 的方程为，即. 所以直线 的方程为 或. 7．直线与两坐标轴围成的图形面积为 _ _ _ _ . 【答案】5 【解析】直线 在 轴上的截距为2，在 轴上的截距为，所以所求面积为. 8．若直线与轴、轴的交点分别为，，且线段的中点为，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】依题知，直线 与 轴、轴的截距都存在且都不为0，设直线 的方程为，又线段 的中点为，则，,即,，则直线 的方程为，即. 9．已知点，，直线上一动点，则的最大值是_ _ _ _ . 【答案】5 【解析】直线 的方程为，显然 取得最大值时，,，又因为，即，解得，当且仅当，时取等号，此时 的最大值为5. 10．（13分）已知在中，点，的坐标分别为,，的中点在轴上，的中点在轴上.求： （1） 点的坐标；（6分） （2） 直线的方程.（7分） 【答案】 （1） 解：设点，因为 的中点 在 轴上，的中点 在 轴上， 由中点坐标公式得 解得 所以点 的坐标为. （2） 由（1）知，点，的坐标分别为,，,，由直线的截距式方程得直线 的方程为，即. B 能力提升 11．已知直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围可以是（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】C 【解析】选. 设直线 的斜率为， 如图，过定点 的直线经过点 时，直线 在 轴上的截距为3，此时； 过定点 的直线经过点 时，直线 在 轴的截距为，此时， 故满足条件的直线 的斜率的取值范围是,. 12．（多选）已知直线过点，，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线的两点式方程为 C. 直线经过第三象限 D. 直线的截距式方程为 【答案】ABD 【解析】选.因为直线 过点，，所以直线 的斜率为，倾斜角为 ，故 正确； 直线 的两点式方程为，整理易得截距式方程为，故，正确. 作出直线 的图象（略），易知直线 不经过第三象限，故 不正确. 13．某汽车客运公司托运行李的费用（单位：元）与行李质量（单位：）之间的关系如图所示，根据图象可知，乘客最多可免费携带行李的质量为. 【答案】20 【解析】由题图可得，直线过点，，由直线的两点式方程可得，化简可得，令，解得，即乘客最多可免费携带行李的质量为. 14．（13分）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12.求： （1） 直线的方程；（6分） （2） 直线与两坐标轴所围成三角形的面积.（7分） 【答案】 （1） 解：由题意得，直线 在两坐标轴上的截距都存在且不为0， 故可设直线方程为，且，① 又因为直线 过点， 所以，② 由①②解得 或 所以直线 的方程为 或， 即 或. （2） 由（1）可知，当直线 的方程为 时， ； 当直线 的方程为 时， . 所以直线 与两坐标轴所围成三角形的面积为 或32. C 素养拓展 15．[（2025·深圳期末）]（15分）已知直线过点，且分别与轴的正半轴交于点、轴的正半轴交于点，为坐标原点 . （1） 若为的中点，求直线的方程；（5分） （2） 求的最小值.（10分） 【答案】 （1） 解：由题意可设 的方程为， 由 为 的中点可知，， 故直线 的方程为， 即. （2） 设直线 的方程为，将 代入得，故， 当且仅当，即,时等号成立，故 的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $