精品解析：广西壮族自治区贵港市平南县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季期九年级期中教学质量检测 数学试题 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将班级、姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3.不能使用计算器． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合要求的，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A B. C. D. 3. 下列各组线段中，能成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 从甲、乙两队中各随机挑选8人对同一目标射击，甲队8人射中靶数的方差为，乙队8人射中靶数的方差为，则可作出估计（ ） A. 乙队的射击水平高于甲队 B. 甲队的射击水平高于乙队 C. 乙队的射击水平比甲队稳定 D. 甲队的射击水平比乙队稳定 6. 如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，都在这些小正方形的格点上，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 已知是一元二次方程两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 14 D. 6 11. 如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交、于点D、E．点B、C、D、E处的读数分别为15、12、0、1，则直尺宽的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 12. 如图，小林身高，在路灯的照射下，影子不全落在地面上．小林离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若关于方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 14. 已知两个相似三角形的相似比是，较小三角形的面积为3，则较大三角形的面积为______． 15. 如图，函数与图象相交于点，两点，则不等式的解集为______． 16. 如图，在正方形ABCD中，AB＝9，点E在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为2：1． （2）写出的坐标． 19. 如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 20. 某商场销售饮水杯，成本为每个30元，销售数据分析表明，当每个饮水杯售价为40元时，平均每月售出500个，若售价每上涨1元，其月销量就减少10个，若售价每下降1元，其月销量就增加100个． （1）若售价上涨元，每月能售出______个饮水杯； （2）为迎接“双十一”，让利给消费者，该商场决定降价销售该饮水杯．若预计月获利恰好为5000元，求每个饮水杯的售价． 21. “历史是最好的教科书”．为帮助同学们了解民族奋斗历程，读懂新中国的非凡成就，学校举办了党史知识竞赛，以期提升大家的历史素养．学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 任务1：本次调查的样本容量是______，圆心角______度． 任务2：补全条形统计图（标上数字）． 任务3：已知该中学共有2000名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数． 22. 某品牌热水器中，原有水温度为20℃，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到80℃时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至30℃时，热水器又自动以相同的功率加热至80℃……重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由80℃降至30℃． （1）求当时，水温与开机时间分钟的函数表达式； （2）求的值； （3）求开机45分钟时热水器中水的温度． 23. ［综合与实践］ 同学们综合利用数学和物理知识可以解决生活中很多实际问题．例如：已知树，和灯柱，如图1所示，在灯柱上有一盏路灯（与重合），树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定物体在地面上影子；②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： （1）如图1，若树的高度为4米，其离路灯的距离为6米，两棵树的影长，均为3米，两棵树之间的距离为6米，求树的高度； （2）如图2，建筑物高为50米，建筑物上有一个LED广告牌，合计总高度为60米，两座建筑物之间的直线距离为30米．一个观测者（身高不计）先站在处观测，发现能看见广告牌的底端处，观测者沿着直线向前走了10米到处观测，发现刚好看到广告牌的顶端处．则广告牌的高度为多少米？ （3）以上两个案例是用数学中哪些知识来解决问题的？从以上两个案例中，谈谈你的收获．（写出一条即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期九年级期中教学质量检测 数学试题 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将班级、姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3.不能使用计算器． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合要求的，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程）判断各选项． 【详解】解：由一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为；③为整式方程，可进行判断： 选项A：含两个未知数和，不符合①； 选项B：只含未知数，最高次项为，是整式方程，符合定义； 选项C：方程中含分式，不是整式方程，不符合③； 选项D：含两个未知数和，不符合①； 故选：B 2. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，通过计算各点的横纵坐标乘积是否等于6，判断点是否在反比例函数图象上． 【详解】解：反比例函数的图象上的点满足， 对于A点，，不在图象上； 对于B点，，不在图象上； 对于C点，，在图象上； 对于D点，，不在图象上． 故选：C． 3. 下列各组线段中，能成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，熟记成比例线段定义是解决问题的关键． 判断四条线段是否成比例，需检查是否有两条线段的比值等于另外两条线段的比值，对于选项A，按给定顺序计算前两条线段和后两条线段的比值相等，故线段成比例，即可得到答案． 【详解】解：A、由可知，四条线段成比例，符合题意； B、由可知，四条线段不能成比例，不符合题意； C、由可知，四条线段不能成比例，不符合题意； D、由可知，四条线段不能成比例，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出的值，再根据锐角三角函数的定义得出，代入即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 故选：B． 5. 从甲、乙两队中各随机挑选8人对同一目标射击，甲队8人射中靶数的方差为，乙队8人射中靶数的方差为，则可作出估计（ ） A. 乙队的射击水平高于甲队 B. 甲队的射击水平高于乙队 C. 乙队的射击水平比甲队稳定 D. 甲队的射击水平比乙队稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定. 根据方差的意义即可得正确选项． 【详解】解：根据方差的定义，方差越小数据越稳定， ∵， ∴方差小的为甲， 所以成绩比较稳定的是甲． 故选：D． 6. 如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的交点问题，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线与反比例函数图象的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：由题意可知，点与点B关于原点对称， 点的坐标为， 故选：A． 7. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先移项，再“加上一次项系数一半的平方”配方即可． 【详解】解：， 移项，得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方，得． 故选：D． 8. 如图，在中，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【详解】解：， ， 设，则， ， 故选：D． 9. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，都在这些小正方形的格点上，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，首先利用勾股定理求出三角形三边的长度，并利用勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，最后根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：由图可知，，， ， ， ， 故选：C． 10. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 14 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，求代数式的值等知识；通过求根公式求出方程的两个根，然后直接计算表达式的值． 【详解】解：∵ 方程 的根为 ， 设 , ， ∴ , ， ∴ ． 故答案为：B． 11. 如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交、于点D、E．点B、C、D、E处的读数分别为15、12、0、1，则直尺宽的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键；由题意易得，然后根据可分别得出的长，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 12. 如图，小林身高，在路灯的照射下，影子不全落在地面上．小林离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，过作于，过作交于，交于，则四边形和为矩形，因此可求出，然后证明，得，，求的值，最后根据计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，过作交于，交于， ∴四边形和为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 14. 已知两个相似三角形的相似比是，较小三角形的面积为3，则较大三角形的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的面积比为． 设较大三角形的面积为S，则， ∴， ∴较大三角形的面积是12． 故答案为：12． 15. 如图，函数与图象相交于点，两点，则不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数比较大小，解题关键是树立数形结合思想，准确利用图象求解． 利用两个函数交点求解即可． 【详解】解： ∵函数与的图象相交于点，两点， ∴由图象得，当或时，函数的图象在上面， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 16. 如图，在正方形ABCD中，AB＝9，点E在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】连接BP，BE，则BP＝DP，PE+PD＝PE+PB≥BE，即PE+PD的最小值是BE长度，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】连接BP，BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAP=∠DAP. ∵AP=AP， ∴△ABP≌△ADP， ∴BP＝DP， ∴PE+PD＝PE+PB≥BE， 即PE+PD最小值是BE长度， ∵AB＝9，DE＝2CE， ∴CE＝＝＝3， ∴BE＝＝＝3， ∴PE+PD的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查轴对称最短问题以及正方形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 本题利用因式分解法，解方程即可． 【详解】解： 或， ，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为2：1． （2）写出的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，分别为的中点，据此可确定的坐标，即可完成作图； （2）由（1）中结论即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由图可知： 【点睛】本题考查位似图形作图．抓住位似比是解题关键． 19. 如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 【答案】（答案不唯一），见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：（答案不唯一） 证明：在和中， ∴．（有两角对应相等的两个三角形相似） 20. 某商场销售饮水杯，成本为每个30元，销售数据分析表明，当每个饮水杯售价为40元时，平均每月售出500个，若售价每上涨1元，其月销量就减少10个，若售价每下降1元，其月销量就增加100个． （1）若售价上涨元，每月能售出______个饮水杯； （2）为迎接“双十一”，让利给消费者，该商场决定降价销售该饮水杯．若预计月获利恰好为5000元，求每个饮水杯的售价． 【答案】（1） （2）每个饮水杯的售价为35元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据“售价每上涨1元，其月销量就减少10个”列出代数式即可； （2）设每个饮水杯的售价为元，根据“每个水杯的利润销售数量总利润”列出方程并解答． 【小问1详解】 解：由售价每上涨1元，其月销量就减少10个，可知：销量为， 故答案为：； 【小问2详解】 设每个饮水杯的售价为元，根据题意，得： ， 整理，得， 解得：， ∵要让利给消费者 ∴ ∴不合题意，应当舍去， 答：每个饮水杯的售价为35元． 21. “历史是最好的教科书”．为帮助同学们了解民族奋斗历程，读懂新中国的非凡成就，学校举办了党史知识竞赛，以期提升大家的历史素养．学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 任务1：本次调查的样本容量是______，圆心角______度． 任务2：补全条形统计图（标上数字）． 任务3：已知该中学共有2000名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数． 【答案】任务1：50，；任务2：见解析；任务3：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为800人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确算出样本容量是解题关键． （1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量后得出优异学生人数百分比，进而求出对应的圆心角度数． （2）求出成绩优秀人数，补全统计图即可． （3）由总人数乘以优异等级学生的所占百分比即可得出结论． 【详解】解：任务1：本次调查的样本容量是， 圆心角； 故答案为：50，； 任务2：优秀的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 任务3：（人）， 答：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为800人． 22. 某品牌热水器中，原有水的温度为20℃，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到80℃时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至30℃时，热水器又自动以相同的功率加热至80℃……重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由80℃降至30℃． （1）求当时，水温与开机时间分钟的函数表达式； （2）求值； （3）求开机45分钟时热水器中水的温度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间． （1）设函数表达式，结合图象点，代入即可得到答案； （2）反比例函数表达式为，将点代入求出m，将代入即可得到答案； （3）先求出直线关系式，再求出时函数值即可． 【小问1详解】 解：设水温与开机时间分钟的函数表达式，当时，将点，代入，得 ， 解得， ∴水温与开机时间分钟的函数表达式为； 【小问2详解】 设水温与开机时间分钟成反比例函数关系表达式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴反比例函数的表达式为， 当时，， ∴； 小问3详解】 当时，设直线的关系式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， 解得， 当时，， 所以开机45分钟时热水器中水的温度是． 23. ［综合与实践］ 同学们综合利用数学和物理知识可以解决生活中很多实际问题．例如：已知树，和灯柱，如图1所示，在灯柱上有一盏路灯（与重合），树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定物体在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： （1）如图1，若树高度为4米，其离路灯的距离为6米，两棵树的影长，均为3米，两棵树之间的距离为6米，求树的高度； （2）如图2，建筑物高为50米，建筑物上有一个LED广告牌，合计总高度为60米，两座建筑物之间的直线距离为30米．一个观测者（身高不计）先站在处观测，发现能看见广告牌的底端处，观测者沿着直线向前走了10米到处观测，发现刚好看到广告牌的顶端处．则广告牌的高度为多少米？ （3）以上两个案例是用数学中哪些知识来解决问题的？从以上两个案例中，谈谈你的收获．（写出一条即可） 【答案】（1）树的高度为米 （2）广告牌的高度为米 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质列出比例式求出，再根据求出即可； （2）根据求出，再根据求出，进而求出； （3）开放型题目，言之有理即可． 【小问1详解】 解：由题意画出图形，如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 答：树的高度为米； 【小问2详解】 如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：米， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴（米）， 答：广告牌的高度为米． 【小问3详解】 问题①目的：引导学生从解题上升到讲理，提炼共性原理（相似三角形判定与性质），核心是建立模型观念——通过构造“A型”或“X型”相似模型，将不可测的实际问题转化为可计算的比例问题，从而深化应用意识，理解数学是解决现实问题的有力工具． 用数学中相似三角形的判定和性质的知识来解决问题 问题②目的：建立数学与生活的桥梁．引导学生反思学习过程，审视数学与现实的联系；同时为教师提供教学反馈，优化实践环节设计．（以下答案仅供参考，写一条即可） 1.知识层面:理解了相似三角形“由平行判定相似”和“对应边成比例”的核心性质，掌握了将实际测量问题转化为几何模型的方法，体会到数学知识与现实生活的紧密联系． 2.能力层面:提升了动手操作能力(如测量高度、调整观测位置)、逻辑推理能力(通过已知条件推导相似关系)和问题解决能力，学会了用数学思维分析和解决实际测量难题． 3.思维层面:感悟到“建模思想”(将树高、影子等实际量抽象为三角形边长)和“转化思想”(将未知量转化为可测量的已知量)，培养了从实际情境中提取数学信息的意识． 4.实践层面:认识到测量过程中“同一时刻”“同一直线”等细节对结果准确性的影响，养成了严谨、细致的科学探究态度，理解了团队协作(如分工测量、核对数据)的重要性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $