全国初中数学竞赛模拟卷（一）全国通用

全国初中数学竞赛模拟卷（一） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．使代数式有意义的整数有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解一元一次不等式组， 根据二次根式和分式有意义的条件可得，求出不等式组的解集，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴整数x有，一共4个． 故选：B． 2．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A． B．﹣1 C． D． 【答案】B 【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选：B. 3．如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交于D，已知，若与交于E，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的知识，对顶角相等，以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是数形结合思想的应用． 首先由旋转的性质，求得，然后由对顶角相等与周角的知识，即可求得答案． 【详解】把绕点C顺时针旋转，得到， ， （对顶角相等）， ， ， 故选：B． 4．已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则的可能取值的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了含二次根式的一元方程整数根的求解及非负整数参数的确定，解题的关键是先根据二次根式有意义的条件确定未知数的取值范围，再结合整数根的特征列举可能的整数解，代入方程求解参数并验证其非负整数属性． 由二次根式有意义得，即，列举的整数；将每个整数代入方程解出；判断是否为非负整数，统计符合条件的的个数，进而确定选项． 【详解】解：∵有意义， ∴，即；又方程至少有一个整数根，故为的整数，代入方程求： 当时，，即，解得，是非负整数，符合条件； 当时，，即，解得，是非负整数，符合条件； 当时，，即，解得，非整数，不符合； 当时，，即，解得，是非负整数，符合条件； 当时，代入方程得为负数或非整数，均不符合． 综上，符合条件的的值有、、，共个． 故选：D． 5．如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．如下图，边长为4的正三角形沿直线向右平移，穿过边长为4的正方形(三点共线)，则两个图形重叠部分的面积与正三角形平移的距离的函数关系用图象表示大致是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，二次函数的图象与性质．分别求出当时，当时，当时，当时的函数解析式，求出最大值，结合选项，即可判断出答案． 【详解】解：设原来的三角形为，与正方形边交于点， 当时，如图， ， ， ； 当时，如图， ， ， ， ； 当时，如图， ， ， ， ； 当时，如图， ， ， ， ， ； 由第二段函数判断出该函数最大值为， 由四段函数判断B符合题意． 故选：B． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．的值为 ． 【答案】243 【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方运算法则，结合乘法运算律求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：243． 8．已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组变形为，把看做一个整体，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， 解得， 故答案为：． 9．已知一组数据的方差计算公式为，则这组数据的中位数是 ，标准差是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查方差，中位数,标准差．由方差的计算公式得出这组数据为0，2，2，4，据此可得中位数．再求出平均数，求出方差，最后求出标准差即可． 【详解】解：由方差的计算公式知，这组数据为0，2，2，4， 所以中位数为．平均数． ∴， ∴标准差是， 故答案为：2，． 10．如图，在边长为3的正方形中，点E为延长线上一点，，过E作交的延长线于点F，作的垂线交于点G，交于点P，垂足为H，连结，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质．过点G作于点M，证明，可得，从而得到，再由阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于点M， ∵四边形是正方形，且边长为3， ∴，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故答案为：5． 11．如图，在长方形中，在上取点E，连接，点D关于的对称点F落在边上，在，上分别取点G、H，连接，，．若，，且，，则的长是 ． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质可得，，由勾股定理可求出，进而求出和，由轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质看得出是等腰直角三角形，由直角三角形的边角关系可求出答案． 【详解】解：连接， 在长方形中，， 由轴对称的性质可得，， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又 ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 12．如图，，，…，是抛物线上的20个点，它们的横坐标分别为1，2，…，20，分别作这些点到x轴的垂线，垂足分别为，，…，，分别在这些点的左侧作一个以1为一边长、以，，…，为另一边的矩形，这些矩形的面积分别为，，…，，则的值为 ．（参考公式：） 【答案】2780 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，根据解析式求得各个点的纵坐标，进一步求得，…，，然后即可求得的值． 【详解】解：依题意得，，，，…，， ， 故答案为：2780． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题10分）解方程或方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是绝对值方程与分式方程组的解法． （1）设，，则方程组可化为，求解，，可得，再进一步求解即可． （2）分当时，当时，当时，再化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：， 设，， 则方程组可化为， 得：， 把代入①得：， ∴，， ∴， 解得． 经检验是原方程组的解． （2）解：， 当时， ∴， ∴， 解得， 当时， ∴， ∴， 解得， 当时， ∴， ∴（舍去）， 综上，方程的解为：或． 14．（本题10分）阅读下面的材料，并解答后面的问题，材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b． 因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b， 所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b． 所以，解得． 所以＝＝﹣＝3x+1﹣． 这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．根据你的理解解决下列问题： （1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值． 【答案】（1）2x+5+；（2）m2+n2+ mn的最小值为27 【分析】（1）根据材料中提供的方法，将转化为+（a﹣2）x﹣a+b，进而利用方程组求出a、b，最后再将 转化为，从而得出答案； （2）根据（1）的方法可得 ＝5x﹣1﹣，进而得到5m﹣11+＝5x﹣1﹣ ，然后用含有x的代数式表示m、n，代入+mn后，写成 +mn＝ +27，进而求出最小值． 【详解】解：（1）由分母为x﹣1，可设2x2+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b． 因为（x﹣1）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣2x﹣a+b＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b， 所以2x2+3x+6＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b， 因此有， 解得， 所以 ＝2x+5+； （2）由分母为x+2，可设5x2+9x﹣3＝（x+2）（5x+a）+b， 因为（x+2）（5x+a）+b＝5x2+ax+10x+2a+b＝5x2+（a+10）x+2a+b， 所以5x2+9x﹣3＝5x2+（a+10）x+2a+b， 因此有， 解得， 所以， 所以5m﹣11+＝5x﹣1﹣， 因此5m﹣11＝5x﹣1，n﹣6＝﹣x﹣2， 所以m＝x+2，n＝﹣x+4， 所以m2+n2+mn＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27， 因为（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+27≥27， 所以m2+n2+mn的最小值为27． 15．（本题10分）如图，直角梯形中，，，，，点从点出发，以单位/秒的速度向点运动，点从点同时出发，以单位/秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．若运动时间为， (1)若，当四边形成为平行四边形时，求的值； (2)当四边形成为菱形，求与的关系； (3)在的某一时刻，四边形会成为菱形，速度应满足什么条件？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练利用方程思想是解题的关键． （1）根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求解即可； （2）求得的长度，根据菱形的性质，列等式，用表示即可； （3）根据（2）中结论即可解答． 【详解】（1）解：与平行， 当时，四边形为平行四边形， ，， 由得， 解得， 故当时，四边形就为平行四边形； （2）解：如图，过点作 ， 由题意可得四边形为矩形， ，， ， ， 与平行， 当时，四边形为平行四边形， ，， 由得， 再根据菱形的性质可得， ，， ； （3）解：根据（2）中可得， 即， ， ， ． 16．（本题10分）如图，抛物线与轴交于点，点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上两点，，点的横坐标为，点的横坐标为．点是抛物线上，之间的动点，过点作轴的平行线交于点． ①求的最大值； ②点关于点的对称点为，当为何值时，四边形为矩形． 【答案】(1) (2)①4，②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出点坐标，待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）①求出直线的解析式，设，求出点坐标，将的长转化为二次函数，求最值即可； ②根据矩形的性质，推出，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点 设交点式 ，点在轴负半轴， ， 把点代入抛物线解析式得：， ， 抛物线解析式为； （2）①如图1， ， ， 设直线解析式为 ， 解得： 直线 设， 轴， ， 当时，的最大值为4． ②如图2，、关于点对称， 四边形是矩形 ，且与互相平分 ，为中点 由①得当时， 解得：， 的值为或时，四边形为矩形． 17．（本题10分）阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)不变，理由见解析 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）根据题意求出点，，向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式表示，的值，最后再进行计算即可； （）分三种情况讨论，点在点处，点在点的右边，点在点的右边，根据数轴上两点间距离公式分别列出代数式即可； 本题考查了列代数式，数轴上两点间距离，整式的加减的应用，掌握数轴上两点间距离公式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：不变，理由如下： ∵经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）解：经过秒后，，两点所对应的数分别是，， 当点追上点时，， 解得， 当时，点在点处， ； 当时，点在点的右边， ； 当时，点在点的右边， ； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 18．（本题10分）定义：与三角形的一个内角相邻的外角平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角，我们称之为该三角形第三个内角的对望角． (1)如图1，是中的对望角，若，请用含α的代数式表示； (2)如图2，在四边形中，，垂直平分，延长交的外角平分线于点F，求证：是中的对望角； (3)如图3，在中，，，交的外角平分线于点E，连接，的外接圆交于F、交于D，连接、、，，当时，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据是中的对望角，得出，，求出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）连接，延长，根据垂直平分线性质得出，根据等腰三角形的性质得出，证明A、B、C、D四点共圆，得出，，证明，得出平分，即可证明结论； （3）设交的外接圆于点G，连接、、、，则与交于点H，证明，是圆的直径，设，则，求出，得出，，解直角三角形得出，求出，根据垂径定理逆定理得出，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， ∵是中的对望角， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：连接，延长，如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵是的外角平分线， ∴是的对望角． （3）解：设交的外接圆于点G，连接、、、，则与交于点H，如图所示： ∵，， ∴平分， ∴为的垂直平分线， ∴，是圆的直径， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵是外角的平分线，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 全国初中数学竞赛模拟卷（一） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．使代数式有意义的整数有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A． B．﹣1 C． D． 3．如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交于D，已知，若与交于E，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 4．已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则的可能取值的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（ ） A． B． C． D． 6．如下图，边长为4的正三角形沿直线向右平移，穿过边长为4的正方形(三点共线)，则两个图形重叠部分的面积与正三角形平移的距离的函数关系用图象表示大致是(    ) A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．的值为 ． 8．已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 9．已知一组数据的方差计算公式为，则这组数据的中位数是 ，标准差是 ． 10．如图，在边长为3的正方形中，点E为延长线上一点，，过E作交的延长线于点F，作的垂线交于点G，交于点P，垂足为H，连结，则图中阴影部分的面积为 ． 11．如图，在长方形中，在上取点E，连接，点D关于的对称点F落在边上，在，上分别取点G、H，连接，，．若，，且，，则的长是 ． 12．如图，，，…，是抛物线上的20个点，它们的横坐标分别为1，2，…，20，分别作这些点到x轴的垂线，垂足分别为，，…，，分别在这些点的左侧作一个以1为一边长、以，，…，为另一边的矩形，这些矩形的面积分别为，，…，，则的值为 ．（参考公式：） 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题10分）解方程或方程组： (1)； (2) 14．（本题10分）阅读下面的材料，并解答后面的问题，材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b． 因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b， 所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b． 所以，解得． 所以＝＝﹣＝3x+1﹣． 这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．根据你的理解解决下列问题： （1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值． 15．（本题10分）如图，直角梯形中，，，，，点从点出发，以单位/秒的速度向点运动，点从点同时出发，以单位/秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．若运动时间为， (1)若，当四边形成为平行四边形时，求的值； (2)当四边形成为菱形，求与的关系； (3)在的某一时刻，四边形会成为菱形，速度应满足什么条件？ 16．（本题10分）如图，抛物线与轴交于点，点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上两点，，点的横坐标为，点的横坐标为．点是抛物线上，之间的动点，过点作轴的平行线交于点． ①求的最大值； ②点关于点的对称点为，当为何值时，四边形为矩形． 17．（本题10分）阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 18．（本题10分）定义：与三角形的一个内角相邻的外角平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角，我们称之为该三角形第三个内角的对望角． (1)如图1，是中的对望角，若，请用含α的代数式表示； (2)如图2，在四边形中，，垂直平分，延长交的外角平分线于点F，求证：是中的对望角； (3)如图3，在中，，，交的外角平分线于点E，连接，的外接圆交于F、交于D，连接、、，，当时，求的面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $