精品解析：四川省内江市内江市第三中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题

高一（上）期中测试题 数 学 考试时间120分钟，满分150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫天下”是“能扫一屋”一个（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 4. 若集合，，则的子集个数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C D. 8. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列选项中正确的有（ ） A. 已知函数是一次函数，满足，则或 B. 与表示同一函数 C. 函数的图象与直线的交点最多有1个 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（ ） A B. C. 0 D. 1 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若取值范围是，的取值范围是，则的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则的定义域为______. 13. 若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为_________. 14. 对于实数，我们用符号表示两数中较大的数，如．若函数在上有最小值，则的取值范围为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，． （1）求； （2）求出函数在上的解析式； 16. 设全集，集合，． （1）求，，； （2）若集合，，求a的取值范围． 17. 已知函数． （1）求的值； （2）画出函数图象并写出单调区间； （3）依据图象写出函数在区间的最值． 18. 已知函数，且． （1）求； （2）根据定义证明函数在区间上单调递增； （3）在区间上，若函数满足，求实数的取值范围． 19. 已知函数，. （1）若对任意，不等式恒成立，求取值范围； （2）若对任意，存在，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一（上）期中测试题 数 学 考试时间120分钟，满分150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合与元素的关系讨论求解即可. 【详解】解：因为， 所以，，，，，即ABD不正确，C正确. 故选：C 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由有意义列不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由有意义可得， 所以， 所以函数的定义域为， 故选：A. 3. 古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫天下”是“能扫一屋”的一个（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用逆否思想来理解即可. 【详解】“一屋不扫，何以扫天下”，即如果一个人一屋不扫，那么这个人不可能扫天下， 逆否可得：如果一个人能扫天下，那么他一定能扫一屋， 即“能扫天下”一定得到“能扫一屋”，所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件． 故选：A. 4. 若集合，，则的子集个数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】联立两个集合里面的方程求方程组的解的个数，根据集合子集的个数公式即可解答． 【详解】由，得，方程， 故方程有两个不同的解，方程组有两组不同的解， ∴有两个元素， ∴的子集个数为， 故选：C． 5. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，，从里到外进行计算. 【详解】根据题意，. 故选：B 6. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】根据均值不等式可得最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 7. 若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题是假命题得出全称命题为真，分和，再结合判别式计算求解. 【详解】命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题， 当时，符合题意； 当时，由题知，解得； 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 8. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将原不等式转化为，然后对进行分类讨论，再结合不等式解集中恰有3个整数，列出关于的条件，求解即可. 【详解】关于的不等式等价于 当时，即时，关于的不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则； 当时，即时，关于的不等式的解集为，不满足题意； 当时，即时，关于不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则； 综上，. 故选： B． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列选项中正确的有（ ） A. 已知函数是一次函数，满足，则或 B. 与表示同一函数 C. 函数的图象与直线的交点最多有1个 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设，根据求出，利用得到和的方程组，计算求解即可；对于B，与定义域不同，故不是同一函数，得到答案；对于C，根据函数的定义，当定义域中有2时，的图象与直线有一个交点，当定义域中没有2时，的图象与直线没有交点，得到答案；对于D，由的定义域为，得解出的值就是函数的定义域. 【详解】对于A，设， 由题意可知， 所以，解得或， 所以或. 对于B，与定义域不同，故不是同一函数，故错误； 对于C，根据函数的定义，当定义域中有2时，的图象与直线有一个交点，当定义域中没有2时，的图象与直线没有交点，故正确； 对于D，由题意得，所以定义域为，故正确. 故选：ACD. 10. 已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】ABC 【解析】 【分析】先分析每一段函数的单调性，然后再分析分段点处函数值的大小关系，由此求解即可. 【详解】由题意可得，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：ABC. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若的取值范围是，的取值范围是，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式性质推理判断AD；举例说明判断B；利用反证法及作差法判断C. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，，假设，则， 与矛盾，因此，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，求解即可. 【详解】由， 得：， 解得， 所以的定义域为， 故答案为：. 13. 若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为_________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据定义域关于原点对称求出，由求出，然后结合二次函数性质求最值即可. 【详解】因为函数是定义在上偶函数， 所以定义域关于原点对称，即，解得， 又，所以，得， 所以，定义域为， 由二次函数性质可知，当时，有最大值. 故答案为：5 14. 对于实数，我们用符号表示两数中较大的数，如．若函数在上有最小值，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数和绝对值函数画出图象，求出特殊交点的坐标，进而求得结果. 【详解】令， 当时，化简方程为，解得； 当时，化简方程为，解得，作出函数的图象，如图所示， 所以．又函数的图象关于直线对称， 所以，即． 若函数在上有最小值，则的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，． （1）求； （2）求出函数在上的解析式； 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）利用是奇函数的性质，由代入计算即可； （2）利用奇偶性求出，及时的解析式即得上的函数解析式. 【小问1详解】 因函数是定义域为的奇函数， 则； 【小问2详解】 因为函数是定义域为的奇函数，所以； 当时，，， 又是奇函数，所以． 综上，. 16. 设全集，集合，． （1）求，，； （2）若集合，，求a的取值范围． 【答案】（1），， （2）． 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据集合的交集，并集，补集运算方式计算即可. （2）由列出不等式即可解出a的取值范围. 【小问1详解】 由题， ， 因为，所以， 所以， 所以， ． 【小问2详解】 因为，，，所以3a－4＜2， 解得a＜2，即a的取值范围是． 17 已知函数． （1）求的值； （2）画出函数图象并写出单调区间； （3）依据图象写出函数在区间的最值． 【答案】（1）0；（2）图象见解析，单调增区间有，单调减区间有；（3）最小值为，最大值为6． 【解析】 【分析】（1）利用分段函数，直接代入求值即可； （2）描点法分段画出函数图象，根据图象的升降情况即可得出函数的单调区间； （3）根据（2）中的单调性即可求出函数的最值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）利用描点法得函数图象如图， 由图可知，函数的单调增区间为，单调减区间为； （3）由图可知， 函数的最小值为， 函数最大值为． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象和性质，考查数形结合思想，属于基础题． 18. 已知函数，且． （1）求； （2）根据定义证明函数在区间上单调递增； （3）在区间上，若函数满足，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，求解即可； （2）利用函数的单调性的定义证明即可； （3）利用函数的单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴. 【小问2详解】 由于， 证明：，且， 则 ， ∵， ∴， ∴，即， 故在上单调递增. 【小问3详解】 ∵在上单调递增，所以， ∴， ， ∴. 19. 已知函数，. （1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （2）若对任意，存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可； （2）根据任意性和存在性的性质，结合二次函数和一次函数在闭区间上的值域进行求解即可. 【小问1详解】 因为对任意，不等式恒成立， 所以即对任意恒成立， 则，解得， 故的取值范围为； 【小问2详解】 设函数在区间的值域为A，在区间上的值域为B， 因为对任意，存在，使得，所以， 当时，，即函数在区间的值域为， 函数的对称轴为， ，则在上单调递增，故， 而不是的子集，不符合； 当时，则在上单调递减，故， 要使，则，解得， 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $