第3章空间向量及其应用章节复习提升 讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 第3章空间向量及其应用章节复习提升 考点一： 空间向量的有关概念 1．(24-25上海宝山区高二阶段练习）若，则与向量同方向的单位向量的坐标为 ． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）给出下列命题：①若空间向量、满足，则；②空间任意两个单位向量必相等；③若空间向量、、满足，则；④在正方体中，必有.其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点二：空间向量的线性运算 3．(24-25上海静安区高二阶段练习）在空间四边形中，则 ． 4．（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 5．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 6．(24-25上海徐汇区高二阶段练习）在四面体 中，分别为的中点，则 7．(24-25上海黄浦区高二阶段练习）已知三棱锥，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于 ． 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）在平行六面体中，点在上，且，若，则（    ） A． B．1 C． D． 考点三：空间向量的数量积及其应用 9．(24-25上海奉贤区高二阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 10．（24-25高二上·上海宝山·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则 ． 11．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 12．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点四：空间向量共线共面定理 13．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 15．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 16．已知空间四点A、、、共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中不在平面上的任意一点，若，则_________ 17．（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 18．在空间直角坐标系中，已知点，，，，若，，，四点共面，则 ． 考点五：空间向量基本定理 19.设=+，=+，=+，且{，，}是空间的一个基底，给出下列向量组:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（23-24高二上·上海长宁·期中）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，若，则乘积 ．  21.如图，在空间四边形中，点在上，满足，点为的中点，则（ ） A． B． C． D． 22.在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·贵州·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，E是棱的中点，点F在棱上，且.设，，. (1)用向量，，表示向量与； (2)求向量与夹角的余弦值. 考点六：空间向量的坐标表示 24．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．    25．在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标是 ． 26．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 27．已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为 考点七：空间向量的模、夹角、平行与垂直问题 28．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 29．已知向量，且，则 ． 30．已知向量=(1，1，0)，=. (1)若()∥()，求实数k； (2)若向量与所成角为锐角，求实数k的范围. 31．（24-25高二上·河北衡水·期中）已知. (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 32．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知空间三点. (1)求的面积； (2)若向量，且，求点的坐标. 考点八：直线的方向向量与平面的法向量 33．已知一个平面的法向量是，一条直线的方向向量是，则与的位置关系是 . 34．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是 （填序号） 35.已知四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD，试建立空间直角坐标系，求平面SAB，平面SDC的一个法向量． 考点九：判断空间直线、平面的位置关系 36．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则 . 37．（25-26高二·全国）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 考点十：空间向量求距离 38．（24-25高二上·上海·阶段练习）在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 . 39．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 40．已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是 ， 41．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，三角形是正三角形，M是棱的中点.    (1)证明：；(2)若二面角为，求点M到平面的距离. 42．如图（1），四边形ABCD中，，分别为的中点，现以AC为折痕把折起，使点到达点的位置（如图（2）），且． (1)证明：平面平面ACD； (2)若为PD上的一点，平面ACM与平面ACD的夹角为，求点到平面ACM的距离． 考点十一：空间向量求角的大小 43．（23-24高二上·上海浦东新·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 44．（24-25高一上·上海嘉定·期中）若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ． 45．（24-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 46．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，平面平面，，，，，则二面角的余弦值为 47．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小；， 考点十二：空间向量研究存在性问题 48．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）如图.在四棱锥中，四边形是直角梯形.，且为中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.  49．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 50.（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是的中点. (1)证明: 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值; 若不存在， 请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 第3章空间向量及其应用章节复习提升 考点一： 空间向量的有关概念 1．(24-25上海宝山区高二阶段练习）若，则与向量同方向的单位向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据与向量同方向的单位向量为计算即可. 【解析】由题知，， 所以与向量同方向的单位向量为， 所以与向量同方向的单位向量的坐标为 故答案为： 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）给出下列命题：①若空间向量、满足，则；②空间任意两个单位向量必相等；③若空间向量、、满足，则；④在正方体中，必有.其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据向量定义判断A，B，应用特殊值法判断C选项，根据向量相等判断D选项. 【详解】对于A：模长相等方向未知不能确定向量相等，A选项错误； 对于B：模长相等都是1，方向未知不能确定向量相等，B选项错误； 对于C：满足， 但是不满足，C选项错误； 对于D：在正方体中，且方向相同，D选项正确. 假命题个数为3. 故选：C. 考点二：空间向量的线性运算 3．(24-25上海静安区高二阶段练习）在空间四边形中，则 ． 【答案】0 【分析】选取一组基底，利用空间向量的加减法，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】如图： 令，，， 则. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【解析】因为在长方体中，F是DC的中点， 则， 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 【答案】 【分析】由图结合空间向量加法可得答案. 【解析】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC. 如图，可得，又. 则，，则. 故答案为： 6．(24-25上海徐汇区高二阶段练习）在四面体 中，分别为的中点，则 【答案】 【分析】根据空间向量的运算，将用来表示，即可求得答案. 【解析】由题意得 ， 故答案为： 7．(24-25上海黄浦区高二阶段练习）已知三棱锥，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于 ． 【答案】 【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算即可得解. 【解析】三棱锥，点M，N分别为线段AB，OC的中点， 则， 所以等于． 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）在平行六面体中，点在上，且，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求解. 【详解】 如图， , 所以， 所以， 故选:C. 考点三：空间向量的数量积及其应用 9．(24-25上海奉贤区高二阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 【答案】6 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【解析】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 10．（24-25高二上·上海宝山·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，求得，结合空间向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【解析】在空间直角坐标系中，可得点关于平面的对称点为， 则， 所以. 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 12．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加法、相等向量将与分别表示为，，代入数量积运算即可. 【详解】由题意知，， 设正方形的中心为，连接、、，如图所示， 则，，，面，面， ∴， ∴，， 又∵，， ∴ ∵， ∴当时， ， ∴. 故选：C. 考点四：空间向量共线共面定理 13．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 14．已知，，三点共线，则 . 【答案】1 【分析】，，三点共线,即，根据空间向量平行列式即可得出答案. 【解析】,, 由题得，所以，解得1， 故答案为：1. 15．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【解析】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 16．已知空间四点A、、、共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中不在平面上的任意一点，若，则_________ 【答案】 【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决． 【解析】因为，即， 整理得， 由A、、、四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得，解得. 故答案为：． 17．（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据空间共面定理得到若，，，四点共面，则，且，从而得到方程，解得即可. 【解析】因为，，，四点共面，则，且， 又，即， 即， 所以，解得. 故答案为： 18．在空间直角坐标系中，已知点，，，，若，，，四点共面，则 ． 【答案】 【分析】首先求出，，，依题意存在实数、使得，即可得到方程组，解方程组即可. 【解析】因为，，，， 所以，，， 因为，所以与不共线， 因为，，，四点共面，所以存在实数、使得， 所以， 所以，解得. 故答案为： 考点五：空间向量基本定理 19.设=+，=+，=+，且{，，}是空间的一个基底，给出下列向量组:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【标准答案】C 【思路指引】 借助长方体，结合题设向量间的线性关系，将它们转化到长方体中对应线段上，再判断各项向量组中的向量是否共面，即可确定是否可以作为基底. 【详解详析】 结合长方体，如图可知：向量共面，不共面，不共面，，也不共面， 故选：C. 20．（23-24高二上·上海长宁·期中）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，若，则乘积 ．    【答案】 【详解】, 则， 所以 故答案为：    21.如图，在空间四边形中，点在上，满足，点为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【标准答案】D 【思路指引】 由得，结合中点公式可得，由线性运算即可求解. 【详解详析】 由得；由点为线段的中点得， ∴， 故选：D 22.在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的基底，结合几何图形表示出. 【详解】在直三棱柱中，. 故选：A 23．（25-26高二上·贵州·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，E是棱的中点，点F在棱上，且.设，，. (1)用向量，，表示向量与； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，结合图形关系，计算即可得答案. （2）根据（1）及题干条件，分别求出、，根据运算法则，求出，代入夹角公式，即可得答案. 【详解】（1）连接，因为四边形ABCD是正方形，所以， 则. 因为E是棱的中点，所以. 因为，所以， 则 . （2）因为四边形ABCD是正方形，所以，即. 因为，且， 所以. 则， ， ， 因为， 所以， 即向量与夹角的余弦值是. 考点六：空间向量的坐标表示 24．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据空间向量的坐标表示可得. 【解析】由题意，故，，， 故， 故答案为： 25．在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用关于平面对称的点的特征求出答案即可. 【解析】点关于平面对称的点的坐标满足坐标不变，坐标变成相反数， 即点关于平面对称点的坐标是. 故答案为：. 26．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【解析】易知向量在向量上的投影向量为 . 故答案为： 27．已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为 【答案】 【分析】根据投影向量的定义，数量积和模的坐标运算公式即可得解. 【解析】由题意向量， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 考点七：空间向量的模、夹角、平行与垂直问题 28．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【解析】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 29．已知向量，且，则 ． 【答案】3 【分析】利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可. 【解析】因为， 所以， 可得， 因为，解得，故答案为3. 30．已知向量=(1，1，0)，=. (1)若()∥()，求实数k； (2)若向量与所成角为锐角，求实数k的范围. 【答案】(1) (2)，且 【分析】（1）先由向量的坐标运算求出和，再利用两向量共线进行求解； （2）利用数量积为正求出的范围，再去掉两向量共线的情形. 【解析】（1）解：由题意知，=（，1，2k），=（1，2，2）， 那么当（）∥（）时， ， 可得. （2）解：由（1）知，=（，1，2k），=（1，2，2）， 若向量与所成角为锐角时， 则（）·（）， 即， 即得，又当k=时，（）∥（）， 可得实数k的范围为，且. 31．（24-25高二上·河北衡水·期中）已知. (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用坐标运算表示，根据向量平行建立等量关系，解方程得到结果. （2）利用向量模长和垂直公式建立等量关系，解方程得到结果. 【详解】（1）由题意得，， ∵， ∴，解得. （2）由题意得，， ∵且， ∴,解得. 32．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知空间三点. (1)求的面积； (2)若向量，且，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出的夹角为，利用三角形面积公式得到答案； （2）根据平行关系和模长得到，于是或，求出点的坐标. 【详解】（1）设向量的夹角为，由空间三点， 可得， ， 可得， 因为，所以， 所以三角形的面积为. （2）因为，所以，其中， 因为，可得， 所以， 于是或， 即点的坐标为或. 考点八：直线的方向向量与平面的法向量 33．已知一个平面的法向量是，一条直线的方向向量是，则与的位置关系是 . 【答案】垂直 【分析】由向量与向量的位置关系，判断直线与平面的位置关系. 【解析】一个平面的法向量是，一条直线的方向向量是， 则，向量也是平面的法向量， 所以与垂直. 故答案为：垂直 34．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据向量的平行、方向向量、法向量及坐标运算求解即可. 【解析】设正方体的棱长为1. 因为，且，所以①正确； 因为，，所以②正确； 因为平面，，所以③正确； 因为正方体中平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，而与相交，不平行，与平面不垂直， 故不是平面的法向量，所以④错误. 故答案为：①②③. 35.已知四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD，试建立空间直角坐标系，求平面SAB，平面SDC的一个法向量． 【解题思路】以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，能求出平面SAB的一个法向量和平面SDC的一个法向量． 【解答过程】解：∵四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD， ∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系， ∵SA＝AB＝BC＝1，AD， ∴S（0，0，1），A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0）， 平面SAB的法向量（1，0，0）， （，0，﹣1），（1，1，﹣1）， 设平面SDC的一个法向量（x，y，z）， 则，取z＝1， 得平面SDC的一个法向量（2，﹣1，1）． 考点九：判断空间直线、平面的位置关系 36．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则 . 【答案】10 【分析】根据，由求解. 【解析】解：因为平面的法向量为，平面的法向量为，且， 所以，则，解得， 所以， 故答案为：10 37．（25-26高二·全国）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证； （2）设平面BDE的法向量为，证明即得证. 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 考点十：空间向量求距离 38．（24-25高二上·上海·阶段练习）在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 . 【答案】 【分析】由点到平面的距离公式的向量求法求解即可. 【详解】因为底面的一个法向量为 ，且 ， 所以顶点到底面的距离为：， 故答案为：. 39．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 又点为的重心，所以， 则，， 则， 则， 所以点到直线的距离为. 故选：B 40．已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】设该正四棱锥底面边长为，高为， 则由题意可得，解得， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、， 则，， 则可设，，，， 则， 要使线段的长度最小，则为的公垂线， 即有， 解得，符合题意， 此时，则. 即线段长度的最小值. 故答案为：. 41．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，三角形是正三角形，M是棱的中点.    (1)证明：； (2)若二面角为，求点M到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析; (2). 【详解】（1）    证明：取与中点，.连接，，，， 则运用中位线性质知，且，， 则，，则四边形是平行四边形， 又因为是正三角形，为中点， 所以， 底面是菱形，，则是正三角形，则，，平面，平面， 平面，， 由于四边形是菱形，四边形是平行四边形，所以，， . （2）由（1），则过做的垂线，以为坐标原点，为坐标轴，建立空间直角坐标系如图，    由二面角为，可得， 因为，四边形是菱形，可得， 又因为三角形是正三角形，可得，所以可得， 则，，，， 由M是棱的中点，可得， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，故法向量为， 又由， 所以M到平面的距离， 故M到平面的距离为. 42．如图（1），四边形ABCD中，，分别为的中点，现以AC为折痕把折起，使点到达点的位置（如图（2）），且． (1)证明：平面平面ACD； (2)若为PD上的一点，平面ACM与平面ACD的夹角为，求点到平面ACM的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在中，由，得， 在中，，而， 由余弦定理，得，则， 即，由，得，则， 又平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）连接，由分别为的中点，得，由（1）得平面， 由，得，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由点在PD上，令， 设平面的法向量，则，取，得， 而平面的法向量，则，解得， 于是，而，则点到平面的距离， 所以点到平面的距离为. 考点十一：空间向量求角的大小 43．（23-24高二上·上海浦东新·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【分析】建系，向量法求直线夹角. 【详解】不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则 则 故答案为：. 44．（24-25高一上·上海嘉定·期中）若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】应用向量法求线面角的大小即可. 【解析】由题设，且平面OMQ的一个法向量， 令直线OP与平面OMQ所成角为， 则，所以. 故答案为： 45．（24-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出，求出后即可得解. 【解析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，取，则，， 所以， 设与面所成的角为， 则， ∵，∴， 所以与面所成的角的正切值为. 故答案为：. 46．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，平面平面，，，，，则二面角的余弦值为 【答案】 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，进而建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，即可根据向量的夹角即可求解. 【解析】由于平面平面，且交线为,,平面, 故平面， 平面，故, 又，平面,故平面， 又平面，平面， 所以，，过引，则有，， 又因为，即， 以为原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系 设，则，，，，， 所以，，， 由于，所以，所以，即， 从而，则，，， 设平面PDC的一个法向量为，则有，即， 取，解得，即， 设平面的一个法向量为，则有，即， 取，解得，即，所以 设二面角的平面角为，为钝角， 所以二面角的平面角余弦值为. 故答案为： 47．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【详解】（1） 底面是正方形；连接交于点O，连接；因为平面， 平面平面,平面，所以；又O是中点， 故E是中点；因为侧棱底面，底面是正方形， 以点D为坐标原点，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则，, 由题意，是的中点，则， 设平面的法向量为，则, 令，得，记与平面的所成角， 则, 故 （2）由, 则，故，故， 又平面，平面,故平面， 故平面的法向量为，平面的法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角为. 考点十二：空间向量研究存在性问题 48．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）如图.在四棱锥中，四边形是直角梯形.，且为中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）记中点为，连接，，    则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以，又因为，所以， 且，平面，所以平面. （2）由（1）知，平面，且. 以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则，令，得. ，令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 49．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 50.（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是的中点. (1)证明: 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值; 若不存在， 请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； （3）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题. 【详解】（1）如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）存在点，理由如下： 设，其中， 所以， ，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 则点到平面的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $