第六章 反比例函数 单元测试卷 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第6章 反比例函数 单元测试卷 _姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，休闲广场上有两个小朋友在玩跷跷板．已知妙妙小朋友的体重为，坐在距离跷跷板支点的处，明明小朋友的体重为，距离跷跷板支点的距离为．根据杠杆平衡原理（动力×动力臂=阻力×阻力臂），若要使跷跷板保持水平，则与应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 3．细胞的相对表面积是一个关键概念，指细胞的表面积与其体积的比率．它与细胞的大小和生理功能紧密相关．生物学中，细胞的相对表面积与细胞的半径成反比例函数关系，如图所示．下列说法错误的是（   ） A．细胞的相对表面积与细胞的半径之间的函数关系式为 B．若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为 C．细胞的半径每增大，相对表面积的减少量相同 D．细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D．或 5．已知反比例函数的图象经过点，则它的图象不可能经过点（        ） A． B． C． D． 6．公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离和其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，动力臂为，则撬动这块大石头至少需要的动力是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴上，反比例函数（）的图象与的边、分别交于点C，点D．若，，，则k的值为（　　） A． B． C． D． 8．函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数的图象交于点C，连结交x轴于点D．若点A的横坐标为1，，则点B的横坐标为（   ） A． B．2 C． D．3 10．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．已知点在反比例函数的图象上，则 ． 12．已知点都在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系 （用“<”连接）． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是 ． 14．图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流与电阻成反比例函数，其图象如图2所示，该图象经过点．根据图象可知，当时，的取值范围是 ．    15．如图，正方形的顶点，分别在轴，轴两轴的正半轴上，反比例函数的图象经过该正方形的中心．若，，则的值为 ．    16．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BDx轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为 ． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数（，）的图象分别交、于点C、D．已知点C的坐标为，． (1)求k的值． (2)已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），求出点P的横坐标x的取值范围． 18．已知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象有一个交点的纵坐标是2． （Ⅰ）当x＝4时，求反比例函数y＝的值； （Ⅱ）当﹣2＜x＜﹣1时，求反比例函数y＝的取值范围． 19．如图，在平面直角坐标系中，中，，，，顶点在轴的正半轴上，轴，若双曲线交边于中点，交边于点． (1)若，求值； (2)若，求值以及点的坐标． 20．一次函数和反比例函数的图像相交于，，与轴交于点，连接，． (1)______，______； (2)观察图像，直接写出的解集______； (3)求的面积． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，交轴于点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和的坐标； (2)求一次函数的表达式和的坐标； (3)连接、，求的面积． 22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与y轴相交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积； (3)若、是反比例函数上的两点，当时，比较与的大小关系． 23．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象与矩形的边分别交于点，且M为的中点，点． (1)求反比例函数的解析式． (2)求的面积． 24．宜阳县某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度与时间）之间的函数关系图象，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． (1)分别求出当（即段）和（即段）时，y与x之间的函数关系式； (2)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为到（含及）的条件下最适合生长，直接写出这种蔬菜在一天内最适合生长的时间有多长? 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 《反比例函数 单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C C B C C B C 1．D 【分析】解答本题的关键是要理解两函数交点和方程组的解的对应关系．同时同学们要掌握解方程组的方法．把代入中，得：，得，把代入中，得：，然后联立这两函数求出交点坐标． 【详解】解：把代入中， 得：， ， 把代入中， 得：， 反比例函数关系式为， 联立方程组得， 得或， 所以点坐标是． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键要学会利用反比例函数解决实际问题． 根据妙妙的体重与妙妙到跷跷板支点的距离之积等于明明的体重与明明到跷跷板支点的距离之积求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据反比例函数的性质逐一排除即可，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 【详解】解：、设细胞的相对表面积与细胞的半径之间的函数关系式为， 当，， ∴， ∴函数关系式为，原选项正确，不符合题意； 、若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为，原选项正确，不符合题意； 、细胞的半径每增大，相对表面积的减少量不相同，原选项错误，符合题意； 、细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小，原选项正确，不符合题意； 故选：． 4．C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，找到一次函数的图象在双曲线上方时的的范围即可． 【详解】解：由图象可知：不等式的解为：或； 故选C． 5．C 【分析】由已知点坐标求得待定参数k值，确定函数解析式，将选项的点坐标代入解析式，根据是否满足解析式确定图象是否经过该点． 【详解】解；反比例函数的图象经过点， ∴． A. ；，故图象经过本点，本选项不合题意； B. ；，故图象经过本点，本选项不合题意； C. ；，故图象不经过本点，本选项符合题意；     D. ；，故图象经过本点，本选项不合题意； 故选：C 【点睛】本题考查函数图象和点坐标；理解点坐标满足解析式，则点在图象上是解题的关键． 6．B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型． 根据“阻力阻力臂动力动力臂”，代入数据即可解答． 【详解】解：“阻力阻力臂动力动力臂”， 阻力和阻力臂分别为和，动力臂为， ， 动力为， 因此，撬动这块大石头至少需要的动力是， 故选：B． 7．C 【分析】设，根据线段比例关系可得，点D的纵坐标为，继而求得，直线的解析式为，令，可得点，进而构建方程求出的值即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴点D的纵坐标为， ∵C，D在的图象上， ∴， 设直线的解析式为，将点、代入可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是学会利用参数构造方程解决问题． 8．C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，分和两种情况确定正确的选项即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交轴于负半轴，随着的增大而增大，A选项错误，C选项符合； 当时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交轴于正半轴，随着的增大而减小，B、D均错误； 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．作轴于E，则，即可得到，由题意得出2，即可得出，，设，则，代入即可求得，从而求得B的坐标为2． 【详解】解：如图，作轴于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴2， ∴，， 设， ∴， ∵函数的图象交于点C， ∴， ∴， ∴B的横坐标为2， 故选：B． 10．C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，图象法判断③即可． 【详解】解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点， ∴； ∴；故①正确； 联立，解得：或（舍去）； ∴点的坐标为，故②正确； 由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误； 故选C． 11． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征； 直接把点代入反比例函数解析式计算即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小． ， 、两点在第一象限，点在第三象限， 则． 故答案为． 13．或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是利用数形结合；根据函数图象和性质，观察图象求解即可； 【详解】观察图象可得，当或，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， 不等式的解集是或， 故答案为：或； 14． 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．先由待定系数法求出反比例函数的解析式，然后分别求出和时对应的I，最后观察图象即可求解． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴， 当时，； 当时，， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 15． 【分析】作轴于E，利用证明，得，，可得点D的坐标，进一步求得正方形中心点的坐标，再将此点代入反比例函数解析式可得答案． 【详解】解：作轴于E，      ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴正方形的中心点， ∵反比例函数的图象经过该正方形的中心， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，求得正方形顶点的坐标是解题的关键． 16． 【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程求出x，得到E点坐标，即可求得反比例函数的解析式． 【详解】解：∵BD∥x轴，D（0，4）， ∴B、D两点纵坐标相同，都为4， ∴可设B（x，4）． ∵矩形ABCD的对角线的交点为E， ∴E为BD中点，∠DAB＝90°． ∴E（x，4）． ∵∠DAB＝90°， ∴AD2+AB2＝BD2， ∵A（2，0），D（0，4），B（x，4）， ∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2， 解得：x＝10， ∴E（5，4）． ∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E， ∴k＝5×4＝20， ∴反比例函数的解析式为：y＝ 故答案为：y＝． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键． 17．(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的值． （1）根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值； （2）再把代入函数解析式，即可得到点的坐标，再求出点的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 解得； （2）解：． 点的纵坐标为1， 点在反比例函数的图象上， ， 解得， 即点的坐标为， 点，点，点在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界）， 点的横坐标的取值范围是． 18．（Ⅰ）1；（Ⅱ）﹣4＜y＜﹣2． 【分析】（Ⅰ）首先把y＝2代入直线的解析式，求得交点坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，最后把x＝4代入求解； （Ⅱ）首先求得当x＝﹣2和x＝﹣1时y的值，然后根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：（Ⅰ）在y＝x中，当y＝2时，x＝2，则交点坐标是（2，2）， 把（2，2）代入y＝，得：k＝4， 所以反比例函数的解析式为y＝， 当x＝4，y＝＝1； （Ⅱ）当x＝﹣2时，y＝＝﹣2； 当x＝﹣1时，y＝＝﹣4， 则当﹣2＜x＜﹣1时，反比例函数y＝的范围是：﹣4＜y＜﹣2． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及反比例函数的增减性，两函数的交点即为同时满足两函数解析式的点，其中用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法． 19．(1) (2)； 【分析】（1）根据含30度的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据，得出，，根据中点坐标公式求出，最后求出k的值即可； （2）先求出，设点，则，，根据中点坐标公式求出，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴轴， ∵， ∴，， ∵D为的中点， ∴， 即， 把代入得：； （2）解：∵， ∴， 设点，则，， ∵D为的中点， ∴， 则， ∵D、E在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， 即， 把代入得：． 【点睛】本题考查了根据坐标求反比例函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征． 20．(1)，6； (2)或； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、图像法解不等式、求三角形面积等等，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入即可求出k的值， 得出反比例函数解析式为，把代入即可求出m的值； （2）根据点A和点B的坐标，结合函数图象，找出一次函数高于反比例函数图象时自变量的取值范围即可； （3）先用待定系数法求出一次函数的解析式为，进而得出，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：， 故答案为：，6； （2）解：由（1）可得， ∴， 由图可知，当或时，， ∴当或时，； （3）解：把，，代入，得 ， 解得． 一次函数的解析式为． 当时，， 解得． ， ． 21．(1)， (2)； (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得点坐标； （2）利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （3）利用与的面积之和得出的面积；． 【详解】（1）反比例函数的图象经过点， ． ． 反比例函数的解析式为：． 在反比例函数图象上， ， ． ． （2）根据题意得：， 解得：． 一次函数的表达式为：， 令，得，解得：， ． （3）过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 令，则， ． ． 、， ，． ； 22．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)3 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和反比例函数的性质． （1）把B点坐标代入得，则反比例函数解析式为，再利用反比例函数解析式确定A点坐标；然后利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）利用一次函数解析式确定，求出,根据三角形面积公式进行计算即可； （3）根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：把代入得； ∴反比例函数解析式为， 把代入得，解得； ∴， 把，分别代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：当时，，则， ∵点D与点C关于x轴对称， ∴, ∴； （3）解：根据图象知，当时，． 23．(1)y=6x (2) 【分析】（1）利用矩形性质和坐标与图形性质求得点M的坐标，再将M代入反比例函数的表达式中求解即可； （2）先求得点N坐标，再根据坐标与图形性质和矩形性质，借助割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴轴，，， ∵M为的中点， ∴M的坐标是， 把M点的坐标代入，得， 所以反比例函数的解析式是； （2）解：将代入中，得， 即点N的坐标是， ∵四边形是矩形，，， ∴， ，，，， ∴的面积 ． 【点睛】本题考查坐标与图形性质、矩形的性质、待定系数法求函数表达式，熟练掌握矩形的性质，利用割补法求解图形面积是解答的关键． 24．(1)当时，y与x之间的函数关系式为；当时， y与x之间的函数关系式为 (2)这种蔬菜在一天内最适合生长的时间有 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法分别求出一次函数和反比例函数解析式即可． （2）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的x值，相减即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，设线段所在的直线解析式为， ，在线段上， ， 解得， 当时，y与x的函数表达式为； 当时，设所在的双曲线解析式为， 在双曲线段上， ，解得， 当时，y与x的函数表达式为． （2）解：蔬菜在温度为到的条件下最适合生长， 在中，当时，，解得， 在中个，当时，，解得， ， 即这种蔬菜在这一天内最适合生长的时间有． 25． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故，再由，进而计算可以得解； （３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ∴． ∴． 设一次函数表达式为， ∴， ∴，． ∴一次函数的表达式为． （2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， 又直线l为， ∴，． ∴，， ∴； （3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长． ∵与关于y轴对称， ∴为． 又，设的解析式为， 则，解得， ∴直线为． 令，则． ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $