第六章 反比例函数（举一反三单元测试·培优卷）数学北师大版九年级上册

第六章 反比例函数·培优卷 【北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（2025·新疆伊犁·模拟预测）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25九年级下·吉林·期中）反比例函数的图像在第一、三象限，则点在第（　　）象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（3分）（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，函数的图像经过平行四边形的顶点在轴上，点的坐标为，平行四边形的面积为6，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（3分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 6．（3分）（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）反比例函数的图象上有三点，（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 9．（3分）（2025·河南·模拟预测）某公园有一种叫“喊泉”的娱乐项目，其原理是通过声音的响度刺激声敏电阻，声敏电阻的变化影响电路中电流的变化，当电流达到一定数值时，小马达开始转动从而喷出水柱，当时水柱立马消失，当最大时喷出的水柱最高．图1为某人声音的响度随时间变化的关系图，图2为声敏电阻的阻值随声音的响度变化的关系图（反比例函数图象的一部分），已知小马达两端的电压为，下列说法错误的是（   ） A．第时，声敏电阻的阻值为 B．第时开始产生水柱 C．在第至时喷出的水柱最高 D．喷出水柱的时长超过 10．（3分）（2025·河北邢台·三模）如图，平面直角坐标系内有正六边形，，，若的图象使得正六边形的六个顶点分布在它的两侧，每侧各三个点，则的整数值的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25九年级上·广东江门·期中）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 12．（3分）反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是 ． 13．（3分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，的面积为8，对角线，顶点A，C，D在坐标轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点P，则k的值是 ． 14．（3分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．若C、D两点为线段的三等分点，连接、，则面积为 ． 15．（3分）（2025·江苏盐城·三模）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，其中点在第二象限．设为双曲线上一点，直线分别交轴于两点，则 的值为 16．（3分）（24-25八年级下·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级下·全国·期中）已知反比例函数(k为常数，k≠2)． (1)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若，试写出当时，x的取值范围． 18．（6分）（2025·四川达州·中考真题）如图，直线与双曲线交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在x轴上，，求点P的坐标． 19．（8分）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：    x … 0 1 2 … y … 3 2 m … (1)绘制函数图象． ①列表：上表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (2)探究函数性质． 判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）． ①函数图象关于原点对称；（    ） 函数图象与直线没有交点；（      ） ②请写出该函数图象的变化趋势 ． 20．（8分）（2025·云南玉溪·一模）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 21．（10分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）在直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象与一次函数（，为常数，）的图象交于点，． (1)求m的值和一次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若点和点在函数的图象上，且，设，当时，求P的取值范围． 22．（10分）（24-25八年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分． 问题解决： (1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围． (2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中． (3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完） 23．（12分）（24-25八年级下·四川乐山·期末）如图1，矩形在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，点坐标为．反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点的坐标． 24．（12分）（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过矩形一条对角线的两个端点，则定义函数是这个矩形的“对角函数”． (1)如图1，矩形在第一象限，轴，轴，且，． ①若点的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则这个函数解析式为　　　； ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，求点的坐标； (2)如图2， 矩形在第一象限，轴，轴，且点的坐标为，正比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”，反比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”．当时，将矩形沿折叠，点的对应点为，若点落在轴上，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 反比例函数·培优卷 【北师大版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义判断．反比例函数的一般形式为（为常数且）． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数的形式． 选项B：符合反比例函数的定义，其中． 选项C：是一次函数，含常数项，不属于反比例函数． 选项D：是二次函数，与反比例函数无关， 故选：B 2．（3分）（2025·新疆伊犁·模拟预测）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、正比例函数的图象和性质．先求得点的坐标为，再根据两函数的图象分别关于坐标原点对称，即可求解点A的对称． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点A与点B的坐标关于原点对称， ∵点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：A． 3．（3分）（24-25九年级下·吉林·期中）反比例函数的图像在第一、三象限，则点在第（　　）象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图像的位置确定系数符号，进而求出k的取值范围，再判断点的坐标符号确定所在象限． 【详解】解： ∵反比例函数的图像在第一、三象限， ∴， 解得； ∴点的横坐标（正数），纵坐标为负数； 即横坐标正、纵坐标负的点位于第四象限； 故选D． 4．（3分）（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，函数的图像经过平行四边形的顶点在轴上，点的坐标为，平行四边形的面积为6，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质．延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D， ∵点的坐标为， ∴，， ∵平行四边形的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将代入得， ∴． 故选：D． 5．（3分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为 将代入得， 解得 ∴ ∴当时，，故B错误； 当时， ∴ ∵当时，h随的增大而减小 ∴当时，，故C正确； 由图象得，当时，，故D错误． 故选：C． 6．（3分）（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象，根据一次函数与反比例函数的图象特点进行判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限．故选项D的图象符合． 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限．故各选项的图象均不符合； 故选：D 7．（3分）（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）反比例函数的图象上有三点，（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．熟练掌握反比例函数的图象特征是关键． 【详解】解：分别将点，，代入解析式得： ，，， ，， 若，则， ， ， A，D均错误； 若，则， ， ， B正确，C错误． 故选：B． 8．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 9．（3分）（2025·河南·模拟预测）某公园有一种叫“喊泉”的娱乐项目，其原理是通过声音的响度刺激声敏电阻，声敏电阻的变化影响电路中电流的变化，当电流达到一定数值时，小马达开始转动从而喷出水柱，当时水柱立马消失，当最大时喷出的水柱最高．图1为某人声音的响度随时间变化的关系图，图2为声敏电阻的阻值随声音的响度变化的关系图（反比例函数图象的一部分），已知小马达两端的电压为，下列说法错误的是（   ） A．第时，声敏电阻的阻值为 B．第时开始产生水柱 C．在第至时喷出的水柱最高 D．喷出水柱的时长超过 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，函数图象上点的坐标特征等知识点，正确理解题意并确定函数解析式是解题的关键．由图1可得，在时，函数的解析式为；在时，设函数的解析式为；在时，设函数的解析式为；由图2可得，其图象为函数的一部分．据此依次对各选项进行分析即可作出判断． 【详解】解：如图1， 在时，设函数的解析式为，过点， ∴，解得：， 在时，函数的解析式为； 在时，设函数的解析式为； 在时，设函数的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴在时，设函数的解析式为； 如图2，设该图象的函数解析式为，过点， ∴，解得：， ∴设该图象的函数解析式为， A．∵第时，， ∴将代入， 解得： ，故此选项正确； B．将代入，解得， ∴， ∴，开始产生水柱，故此选项正确； C．由图1可知，在时，最大， ∴由函数关系可知，此时最小， 由函数关系可知，此时最大， ∴喷出的水柱最高．故此选项正确； D．当时，， 此时， 将代入， 得：，解得：， 将代入， 得：，解得：， ∴喷出水柱的时长为，故此选项错误． 故选：D． 10．（3分）（2025·河北邢台·三模）如图，平面直角坐标系内有正六边形，，，若的图象使得正六边形的六个顶点分布在它的两侧，每侧各三个点，则的整数值的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先求得正六边形的边长，再通过正六边形的内角和求得，连接，作于，通过等腰三角形三线合一和勾股定理，求得，表示出点的坐标，当过点时，；当过点时，，从而推出，然后得到的整数值的个数． 【详解】解： ， ， 多边形是正六边形， ，其内角和为， ， 连接，作于，如图所示： ，，， ，， ， ， ， ， ． 当过点时，； 当过点时，； ， 则可取5，6，7，8，共4个整数值， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质、点的坐标与线段长度的关系、反比例函数系数的性质、勾股定理、等腰三角形三线合一，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25九年级上·广东江门·期中）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵，，， ∴在每一个象限内，随着的增大而减小，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，；当时，最大，， ∴； 故答案为：． 12．（3分）反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过、两点，当时，， ∴此反比例函数的图象在二、四象限， ∴． 故答案为：． 13．（3分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，的面积为8，对角线，顶点A，C，D在坐标轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点P，则k的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数 k值的几何意义、平行四边形的性质．根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：连接，由P是的中点可知点P也在上， ∵的面积为8， ∴， ∵轴，在x轴上，对角线的中点P， ∴， ∴． 故答案为：4． 14．（3分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．若C、D两点为线段的三等分点，连接、，则面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，由题意可得为的中点，，设，，由中点坐标公式可得，，代入反比例函数的解析式可得，作轴于，则，，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵C、D两点为线段的三等分点， ∴，即为的中点， ∴， 设，， 由中点坐标公式可得，， 代入反比例函数解析式可得：， ∴， 如图，作轴于， 则，， ∴， ∴面积为， 故答案为：． 15．（3分）（2025·江苏盐城·三模）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，其中点在第二象限．设为双曲线上一点，直线分别交轴于两点，则 的值为 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合题，掌握二者的基本性质是解决本题的关键．设则，分别表示出，的解析式，令可计算出和的长，相减即可得到结论． 【详解】解：设则， 设直线的解析式为：，代入， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴， 设直线的解析式为：，代入， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：    ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16．（3分）（24-25八年级下·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察出每 3 次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、，从而得到每 3 次变化为一个循环组依次循环，用 2025除以 3 ，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 由上可知，个为一组依次循环， ， ， 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级下·全国·期中）已知反比例函数(k为常数，k≠2)． (1)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若，试写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数（为常数）中，当时，在每一象限内随的增大而减小；当时，在每一象限内随的增大而增大是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质，当反比例函数（为常数）中时，在每一支上随的增大而增大，所以通过这个性质列关于的不等式求解． （2）先把代入函数解析式得到具体的反比例函数，再分别求出和时对应的的值，最后根据反比例函数的单调性确定的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大 ； （2）解：当时，反比例函数为 当时，，解得 当时，，解得 反比例函数在时，随的增大而减小 当时，． 18．（6分）（2025·四川达州·中考真题）如图，直线与双曲线交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在x轴上，，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵双曲线经过点，， ∴， ∴， ∴，反比例函数解析式为：， ∵直线经过点，点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵点P在x轴上，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 19．（8分）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：    x … 0 1 2 … y … 3 2 m … (1)绘制函数图象． ①列表：上表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (2)探究函数性质． 判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）． ①函数图象关于原点对称；（    ） 函数图象与直线没有交点；（      ） ②请写出该函数图象的变化趋势 ． 【答案】(1)①1，②③见详解 (2)①；，②每一个分支上，函数值y随x的增大而减小 【分析】本题考查函数的图形及性质． （1）①将代入即得m的值；②描出即可；③把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可； （2）①②根据图象，数形结合即可判断． 【详解】（1）解：①时，， 故答案为：1； ②如图：     ， ∴A即为的点； ③补充图象如图：    （2）解：根据函数图象可得： ①图象关于对称，故“函数图象关于原点对称”的说法错误，应为：， 时，无意义，函数图象与直线没有交点，应为． 故答案为： ；． ②该函数图象的变化趋势：每一个分支上，函数值y随x的增大而减小． 20．（8分）（2025·云南玉溪·一模）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 【答案】(1)， (2)7.5 (3)见解析 【分析】此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，以及三角形的面积求法，灵活运用待定系数法是解本题的关键． （1）由的面积求出m的值，由m的值确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值； （2）先求出，再根据待定系数法求出直线的解析式为，进而确定，即可求解； （3）推出，，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得反比例函数解析式为, 点代入得 解得， ∴, 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴， 令得， ∴， ∴, ∴． （3）证明：∵轴， ∴， ∵, ∴ ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 21．（10分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）在直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象与一次函数（，为常数，）的图象交于点，． (1)求m的值和一次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若点和点在函数的图象上，且，设，当时，求P的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由函数图象即可得解； （3）由题意可得，，由得，表示出，结合，计算即可得解． 【详解】（1）解：将点A坐标代入反比例函数表达式得：， 所以反比例函数的表达式为． 将点B坐标代入反比例函数表达式得：， 所以点B的坐标为． 将A，B两点坐标代入一次函数表达式得：， 解得， 所以一次函数的表达式为； （2）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围是：或； （3）解：∵点和点在函数的图象上， ∴，， 由得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴P的取值范围为． 22．（10分）（24-25八年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分． 问题解决： (1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围． (2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中． (3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完） 【答案】(1)； (2)学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设出对应的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）分别求出和时的函数值即可得到答案； （3）分别求出两个函数的函数值等于40时x的值结合图象即可得到答案． 【详解】（1）解：设线段的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴线段的函数表达式为． 设曲线的函数表达式为，将代入，得， ∴曲线的函数表达式为． （2）把代入，得， 把代入，得． ∵， ∴学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中． （3）解：当，解得， 当，解得， 结合图象，要求学生的注意力指标数不得低于40，则x的取值范围是， ∴安排在第5分钟至第25分钟． 23．（12分）（24-25八年级下·四川乐山·期末）如图1，矩形在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，点坐标为．反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)反比例函数解析式为； (3)点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，则根据点B坐标可得，则可证明四边形为正方形，得到，可求出．则．证明，即可证明． （2）根据列式求解即可； （3）由（1）（2）得，可求出直线解析式为直线解析式为；直线解析式为；设，由平移的性质可得，则平移方式为向右平移m个单位长度，则，可得直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为；再分当与交于与交于，当与交于，与交于，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴ 四边形为正方形， ， 在中，当时，，当时，， ∴． ． 在和中． ， ． （2）解：∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴反比例函数解析式为； （3）解：由（1）（2）得， 设直线解析式为， ∴， ∴ ∴直线解析式为 同理可得直线解析式为；直线解析式为； 设，由平移的性质可得，则平移方式为向右平移m个单位长度，则， ∴直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为； ①当与交于与交于， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴ ， 解得， ∴． ②当与交于，与交于， 同理可得 ， 解得， ∴． 综上，若线段在内部的长度为3，则点的坐标为或． 24．（12分）（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过矩形一条对角线的两个端点，则定义函数是这个矩形的“对角函数”． (1)如图1，矩形在第一象限，轴，轴，且，． ①若点的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则这个函数解析式为　　　； ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，求点的坐标； (2)如图2， 矩形在第一象限，轴，轴，且点的坐标为，正比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”，反比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”．当时，将矩形沿折叠，点的对应点为，若点落在轴上，求的值． 【答案】(1)①或；②； (2) 【分析】（1）①根据题意先求出，然后分两种情况，并结合待定系数法解答，即可求解；②设，则点，点，从而得到点，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出s的值，即可求解； （2）先求出正比例函数解析式为，可设点，则，，从而得到，再由折叠的性质可得，延长交y轴于点F，结合矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出m的值，即可求解． 【详解】（1）解：①∵点的坐标为，轴，轴，且，， ∴点， 当直线过点B，D时， 把，代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为； 当直线过点A，C时， 把点，代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为； 综上所述，该函数解析式为或 故答案为：或 ②∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵反比例函数是矩形的“对角函数”， ∴点B，D在反比例函数的图象上， 设点，则点， ∵轴，且， ∴点， ∵轴， ， ∴点， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点； （2）解：点的坐标为，正比例函数经过点， ∴， ∴正比例函数解析式为， ∵正比例函数是矩形的“对角函数”， 可设点，则，， ∴， ∵将矩形沿折叠，点的对应点为， ∴， 如图，延长交y轴于点F， ∵轴， ∴点，， ∴， ∵四边形是矩形，轴， ∴轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：或2， ∵， ∴，即， ∴， ∴点， 把点代入得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“对角函数”，利用数形结合思想求解是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $