3.10 二次函数的实际应用-【一战成名新中考】2026陕西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

一战成名新中考 为直线x=-4=2,与y轴交于点(0,3），抛物线过点 解法2：设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 2a (a+b+c=0. (4,3),画草图如解图，当a>0时，抛物线开口向上，则抛 将A(1,0)、B(0,3)代入，得 (c=3. 物线在x=2时取得最小值，在x=4时取得最大值，y=3, 当x=2时，y=ax2-4ax+3=4a-8a+3=-4a+3,则3-(-4a+ 又：抛物线对称轴是直线x=2, b =2,∴.b=-4a 2a 3)=8,解得a=2,同理，当a<0时，抛物线开口向下，则 a=1 抛物线在x=2时取得最大值，在x=4时取得最小值， 联立解得b=-4 -4a+3-3=8,解得a=-2. c=3 a<0时，x=2处 .抛物线的表达式为y=x-4x+3. 取最大值 3.解：根据题意，令x=0,易得c=1,c'=2 令x=3,得y=-3x+xtc a>0时，x=4处取最大值 3×32+3动+1=0. a<0时，x=4处取最小值 解得6子： ∴.A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(m)与水平距 2 4 a>0时，x=2处取最小值 离（四）之间的表达式分别是y=子产 3x+1和y= 第8题解图 子学2 9.B【解析】①当n≥4时，则x=4,y=-10,代入抛物线y= 4.y1=x2-2x+1【解析】：抛物线y1=x2+(n-2m)x+m -(x-n)2-1,得-10=-(4-n)2-1,整理得n2-8n+7=0,解 n与抛物线y2=-x2+(4m-6)x+2m-3关于原点对称， 得n=7或1（舍去）：②当n≤1时，则x=1,y=-10,代入 （n-2m=4m-6, 解得m1, 抛物线y=-(x-n)2-1,得-10=-(1-n)2-1,整理，得n2 (m-n+2m-3=0 n=0,方的表达式为为=- 2n-8=0,解得n=-2或4（舍去）.③当1<n<4时，当x= 2x+1. n时，取最大值为y=-1,不符合题意.故n的值为7或-2 5.解：C,关于y轴对称的表达式为y=ax2+2x+3 命题点9二次函数表达式的确定 .a=-1,m=2,n=3. .C1y=-x2-2x+3,C2y=-x2+2x+3. 1.解：解法1：二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0,5)， 6.解：由题意，把，点(1，-3)代入，得a(1+2)2=-3,解得a= .c=5,.y=aa2+bx+5. 将(-1,4)，(1,8)代入y=ax2+bx+5中. 3 加得公 1 (8=a+b+5, 抛物线C的表达式为)=3(x+2), .此二次函数的表达式为y=x2+2x+5. 将抛物线C向左平移5个单位长度，向下平移3个单 解法2：二次函数)y=a+hx+c的图象过点(-2,5， 位长度得到抛物线C, 1 (0,5), 抛物线C,的表达式为y=3(+7)-3, 二对称轴为直线x=, =-1 .抛物线C,的顶，点坐标为(-7，-3) 命题点10二次函数的实际应用 .顶点坐标为(-1,4)， A 设二次函数表达式为y=a(x+1)2+4, 2.B【解析】DE:EF-3:2,.设DE=3a,EF=2a,由题意 将(0,5)代入，得a+4=5,解得a=1, 此二次函数的表达式为y=(x+1)2+4=x2+2x+5. 得D(-a,3a),把点D的坐标代人y=- 2+8,得3a 解法3：任取三组x和y的对应值代入y=ax2+bx+c(a≠ 0)中，解三元一次方程组即可. 2×(-a)2+8,解得a=2(负值已舍去)D=3a 2.解：解法1：.·抛物线对称轴是直线x=2且经过点A(1 6(米) 3.2.75 0) 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(3,0) 4.解：(1)依题意，顶点P的坐标为(5,9)， :设抛物线的表达式为y=a(x-,)(x-,)(a≠0)， 设抛物线的函数表达式为y=a(x-5)2+9, 即y=a(x-1)(x-3), 将0.0代人得0=a0-549.解得a=云 把B(0,3)代入，得3=3a,.a=1, 9 .抛物线的表达式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3 “抛物线的函数表达式为y=25（x-5)°+9； 参考答案与重难题解析·陕西数学 21 2令y=6,得君5户49=6 :抛物线Ⅲ依然过点E,顶点高度不变，沿x轴正方向移 动了40个单位长度， 解得，555，=555 .抛物线Ⅲ的顶点为(160,180)， 3 3 设抛物线Ⅲ的表达式为y=m(x-160)2+180, 4s6.5596 将点E(80,120)代入， 得m(80-160)2+180=120,解得m=320 3 5.解：(1)由题意，得点A(0,90)为图中抛物线的顶点， B(20,70). 之抛物线Ⅲ的表达式为y三30x-160)2+180, ∴设抛物线的函数表达式为y=ax2+90, 把B(20,70)代人y=ax2+90,得70=400a+90, 3 当y=0时，320x-160)+180=0, 解得a-1 20 解得x1=160+805,x2=160-805(舍去)， 抛物线的西数表达式为y分490： .新降落点的坐标为(160+805,0). 8.解：：四边形BFED为矩形，设EF=x,.EF=x=BD,EF∥ (2)把y=20代入y=20+90得20=分40， BC, AF EF 解得x=10√4≈37.4（负值已舍去）， △AEF∽△ACB,.ABCB'1 .:0C=30cm, AF=x8= 4 .0D=0C+CD=30+20=50cm, 6 3, .30<37.4<50. “.小球最终能落到纸箱内。 F=8 6.解：(1).B0=4m, .SE形DEr=EF·BF=x·(8- 4 .抛物线L,的顶点B的坐标为(0,4)，设抛物线L,的函 数表达式为y=a(x-0)2+4=a2+4, 3(x-3)2+12. AC=16m,结合抛物线的对称性得A(-8,0),C(8,0), 将C(8,0)代入y=ax2+4, 、4 <0SE形r有最大值， 得0=64a+4,解得a=i6 当=3时，Smr= 号3-3412=12. y=6+4 ∴.该矩形木料BDEF的面积为12. 9.解：如解图，过点C作CF⊥AB,交AB (2)由(1)得抛物线乙的函数表达式为y=16+4, 的延长线于点F AB⊥AD,.∠BAD=∠D=∠F .MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC,NQ= 之m,且抛物线L,的 =90°， 3 .四边形ADCF为矩形 函数表达式为y归6x4), 又：AD=CD,四边形ADCF为正 第9题解图 0=%%=石+4总-4门= 1 方形， ∴.AF=AD=CD=CF=100m. 整理得x2-12x+36=(x-6)2=0, AB=DE,..AE=BF. 解得x1=2=6, 设AB=xm,则AE=BF=(100-x)m,DE=xm, .MN=2×6=12(m) 7.解：(1)0D=40,抛物线I的顶点C到04的距离 5Sag7CF.BF-7x10x(10-)=500-50, 为60， .C(40,60), 设抛物线I的表达式为y=a(x-40)2+60, 0B=120,对称轴为直线x=40, Sw=了4BA=7(10-)=7+50. .B(0,120),E(80,120), 将B(0,120)代入y=a(x-40)产+60，得a=80 55%a=100-(500-30e）-30r-(7+50)- 3 y=80(x40)+60(0≤x≤80)： 2(-100)+5000=7（-50)2+3750 当x=50时，△BCE的面积最小，最小为3750m2. (2)抛物线I与抛物线Ⅱ关于点E中心对称， 10.解：(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪 抛物线Ⅱ的顶点坐标为(120,180)， 吒”纪念品每个进价为y元， 22 参考答案与重难题解析·陕西数学 一战成名新中考 由题意得 200x+300y=14000 100x+200y=8000 解得40， (y=20 解法2：①将y=- 9 4(x-3)+向右平移K(K>0)个 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪 单位 念品每个进价为20元： 得y=(3-+当过(0,4)时y=0-3 1 (2)设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念 品(400-m)个， 24 由题意得，40(400-m)+20m≤12000，解得m≥200. 解得K=-8(舍去)或K=2. m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个 44(-5)+9」 =x3-2+=4 4 (3)由题意得，W=(a-40)[200-5(a-60)] =(a-40)(200-5a+300) 2将y=子3)，号白左平移K0个单位， =(a-40)(500-5a) =-5a2+700a-20000 =-5(a-70)2+4500. 当过(0，-4)时，y=4(0-3+K)°+ =-4,解得K=-2 -5<0,60≤a≤100， 舍去)或K=8. ∴.当a=70时，W最大，最大值为4500元. 91 ..y=- 命题点11二次函数与几何图形综合题 4(x-3+8)2+ 1.解：如解图，设对称轴交x轴于点H,过点E作EG⊥DH 综上，L2的表达式为y=- 4(x-5)2 9或y1 于点G,易得△DGE∽△AHD ÷0品镜01 5)9 4 3.解：存在点P:画图如解图 由-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3, ∴.A(-1.0),∴.AH=2. 由已知得，该抛物线的对称轴为直线x=2x(-）1 则BG=DI=nG==1, 点C与点C关于直线x=1对称，C(0,8), OH .C(2,8),CC'=2. .GH=t-1, .CC'//0B. 第1题解图 t 点P在y轴上， 点E的坐标为(1+21)， ∴∠PCC'=∠POB=90°， 六1=-1+宁户+21+宁*3. :PC与P0是对应边， 当△PCC'∽△P0B时，P0OB PC CC' 解得t=26-2或t=-26-2(舍去)， 设P(0,y),由B(4,0)得0B=4, ∴.点E的坐标为(6,2w6-3). ①当n8时，则)名y=16n0.16 4 4 ②当0<y<8时，则8y= 16 4…y= 16 、.抛物线L的顶点为(1，年)， 9 y 3P.(0,3). ÷顶点关于(2,0)的对称点为(3, ③当×0时则c0p,与%不香， 4）, 点P不存在 山的表达式为y=子-3)子 1 综上所述，点P的坐标为(0,16)或(0,3)， 16 易得抛物线Ly=子(-1)户-？与y轴的交点为c(0. 4 -2), 由题可知AB=A'B',要使S△rc=2Sac,则L,与y轴的 交点为(0，-4)， 解法1：令y=(-3)产+ 1 =-4,解得x=8或x=-2, C8 只需将抛物线L,向右平移2个单位或向左平移8个 P 单位， 的表达式为y=子(-3-2)+？ 1 1 B 4 4(-5)+9 20 91 9 或y=4(x3+8)+=-4(x+5)+ 第3题解图 参考答案与重难题解析·陕西数学 23命题点10 小 二次函数的实际应用(8年6考) 类型1抛物线型问题(2025~2022.25) 4.[2022陕西25题8分]现要修建一条隧道，其截 1.多解法[北师九下P48第4题改编]如图为 面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的 座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶 路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x 部离水面的距离为4m.已知桥洞的拱形可看 轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立 作抛物线，若以顶点0为坐标原点，水平方向 平面直角坐标系.根据设计要求：0E=10m,该 为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴建 抛物线的顶，点P到OE的距离为9m. 立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为 (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图 所示，即在该抛物线上的点A,B处分别安 12 A.y=- 9t1 B.y=- 6 装照明灯.已知点A、B到OE的距离均为 6m,求点A、B的坐标 1 C.y=- D.y=- y/m 0 E x/m 第4题图 12m B A EO FB衣 第1题图 第2题图 2.如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物 线)=子+8（单位：米），施工队计划在大棚 正中搭建一个矩形脚手架DEFG,已知DE:EF= 3:2,则脚手架的高DE为 A.7米B.6米 C.5米 D.4米 3.[2025甘肃省卷改编]如图，一个圆形喷水池的中 央竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M 向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛 物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水 流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的 7 关系式是y=-+2+4（x>0),则水流喷出的 最大高度是 m. y/m Ax/m 第3题图 36 分层作业本·陕西数学 一战成名新中考 5.学科融合[2025榆林榆阳区一模]如图，在物理实6.[2025陕西25题8分]某景区大门上半部分的截 验课上某一次实验中，一小球沿斜坡下滑，经 面示意图如图所示，顶部L1,左、右门洞L2,L 过水平桌面，然后从点A处离开桌面（不考虑 均呈抛物线型，水平横梁AC=16m,L1的最高 空气阻力).小球从A点离开桌面到落到水平 点B到AC的距离B0=4m,L2,L,关于B0所 地面的路径是抛物线的一部分.点O在点A的 在直线对称.MN,MP,NQ为框架，点M,N在 正下方且点0在水平地面上，以点0为坐标原 L1上，点P,Q分别在L2,L3上，MN∥AC,MP⊥ 点，水平地面（垂直于OA的直线）为x轴，OA AC,NQ⊥AC.以O为原点，以AC所在直线为x 所在直线为y轴建立平面直角坐标系.水平桌 轴，以B0所在直线为y轴，建立平面直角坐 面与水平地面平行，桌面与地面之间的距离 标系 OA为90cm,利用频闪照相机观测到小球运动 到点B处时，到y轴的距离与到水平桌面的距 (1)求抛物线L,的函数表达式； 离均为20cm,点A为图中抛物线的顶点 3 (2)已知抛物线L,的函数表达式为y= (1)求抛物线的函数表达式； 16(x (2)在小球抛出的正前方有一高为20cm的无 4)2,Q=3m,求MN的长. 盖正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），纸箱 左侧C到原点0的水平距离为30cm,小 球最终能否落到纸箱内？请通过计算说明 (参考数据：√14≈3.74) Q y/cm 斜坡 第6题图 水平桌面201 20 20 C x/cm 20 第5题图 分层作业本·陕西数学 37 7.一成名原创“嫦娥六号”返回地球的半弹道跳类型2面积问题(2021.26：2020.25) 跃式再入方式震撼世界.某校数学社团和计算8.[2025铁一中八模节选·人教九上P52第6题改编] 机社团利用计算机建立数学模型，绘制了呈抛 如图是一块三角形的木头材料，经测量∠B= 物线型的理想运行图.如图所示，线段OA表示 90°，AB=8,BC=6.木匠师父在这块材料中裁 水平地面，D为水平地面上一点，以0为坐标 出了顶点E,F在边AC、AB上且面积最大的矩 原点，OA所在直线为x轴，过点O垂直于x轴 形木料BDEF,则该矩形木料BDEF的面积为 的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知，OB 多少？ =120,0D=40,点B和点E关于抛物线I的对 称轴对称，抛物线I的顶点C到OA的距离CD 为60. 6 (1)求抛物线I的表达式： 第8题图 (2)“嫦娥六号”采取半弹道跳跃式再入方式 的原因之一是为给返回器减速，因此在实 际实验时抛物线Ⅱ很难按照理想运行图运 行（抛物线I与抛物线Ⅱ关于点E中心对 称).若经过减速，抛物线Ⅲ依然过点E,顶 点高度不变，沿x轴正方向移动了40个单 位长度.求新降落点的坐标 抛物线I 抛物线Ⅱ D 第7题图 38 分层作业本·陕西数学 一战成名新中考 9.[2025榆林榆阳区五模节选]如图，在一块空地上 类型3利润问题 有两堵墙AD与CD,在AD一侧用围栏围出一 10.[2025内江]2025年春节期间，我国国产动画 块薰衣草种植地△BCE,围栏的一个顶点E在 电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房 边AD上.已知AD=CD=100m,∠D=90°，AB= 的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪 DE,且AB⊥AD,求△BCE的面积的最小值， 念品.已知购进A款200个，B款300个，需花 费14000元：购进A款100个，B款200个，需 花费8000元. (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别 为多少元？ C 第9题图 (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用 不超过12000元的资金购进A、B两款 “哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购 进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售 价60元时，可售出200个，售价每增加 1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念 品售价a(60≤a≤100)元，W表示该商家 销售A款纪念品的利润（单位：元），求W 关于a的函数表达式，并求出W的最 大值. 分层作业本·陕西数学 39