精品解析：辽宁省盘锦市盘山县沙岭学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 作为古蜀文明的艺术瑰宝，三星堆纹饰彰显着非凡创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 点均在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（ ） A. 分米 B. 分米 C. 2分米 D. 3分米 6. 下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③直径所对的圆周角是直角；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点．其中是真命题的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正五边形内接于，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 10. 如图．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知方程的两个根是，则_____． 12. 某人工智能大模型七月份用户数量为亿，九月份用户数量增长至亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，设八、九月份用户数量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为______． 13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC＝3，DE＝1，则线段BD的长为 ___． 14. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm. 则直尺的宽为______cm. 15. 如图，在正方形中，，点E在边上运动，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，，当的长最小时的长是_______． 三、计算与解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标 ； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标 ； （3）点P为x轴上一点，当最小时，则点P的坐标为 ． 18. 如图，A，B，C，D是上的四个点，，与交于点M．求证：． 19. 如图，已知抛物线的图象经过点和点． （1）求该抛物线的解析式． （2）当时，求该抛物线中y的取值范围． （3）将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为______． （4）当直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点时，直接写出m的取值范围． 20. 某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若此类产品的日销售利润为150元，求销售价应定为多少元； （3）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，平分交于点D，过点D作交的延长线于点E． （1）写出与的位置关系 ； （2）求证：是切线； （3）若，，求的半径． 22. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 23. 抛物线与x轴交于，与y轴交于点，P为抛物线上的动点．设点P的横坐标为m． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，若P为抛物线上的动点，且在第一象限内，连接，过P作轴，交直线于点Q． ①请求出直线的解析式； ②请用含m的式子表示的长，写出自变量m的取值范围，并求出的最大值； （3）如图2，若P为x轴上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点H．设线段的长为l． ①求l与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； ②记上问的函数图象为T，若直线与图象T有三个交点，直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 作为古蜀文明的艺术瑰宝，三星堆纹饰彰显着非凡创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是中心对称图形，符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，点关于原点对称的点的坐标是， 故选：A． 3. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程判别式．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零； （2）在有不相等的实数根时，必须满足． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， ∴m的取值范围是且， 故选：D． 4. 点均在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．先直接计算各点的纵坐标，再比较大小，即可作答． 【详解】解：∵点均在抛物线上， ∴把代入，得； ∴把代入，得； ∴把代入，得； ∴，，， ∵， ∴， 故选：B． 5. 如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（ ） A. 分米 B. 分米 C. 2分米 D. 3分米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接， 由题意知，交于点C， ∵分米， ∴（分米）， 在中，根据勾股定理得： （分米）， ∴（分米）． 故选：C． 6. 下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③直径所对的圆周角是直角；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点．其中是真命题的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弦的定义，等弧定义，圆周角定理推论，三角形外心定义等知识，根据相关知识逐项判定即可求解． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，正确，符合题意； ②长度相等的两条弧是等弧，错误，少了前提条件“在同圆或等圆”，不合题意； ③直径所对的圆周角是直角，正确，符合题意； ④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点，错误，三角形外心是三边垂直平分线的交点，不合题意． 故选：B 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 8. 如图，正五边形内接于，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和是解题的关键． 根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出、，根据等腰三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解： 五边形为正五边形， ， ， ， ， 故选：C． 9. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 10. 如图．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，点和圆的位置关系以及切线的性质等知识，连接，过点P作轴于H，可得，则∠，设交于C，过点C作圆的切线，可知此时的面积最小，即可求解． 【详解】解：连接，过点P作轴于H， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 设交于C，过点C作圆的切线，则切线， ∴此时的面积最小， ∵半径为1， ∴， ∴的面积最小值为， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知方程的两个根是，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．利用二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， 则， 故答案为：8． 12. 某人工智能大模型七月份用户数量为亿，九月份用户数量增长至亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，设八、九月份用户数量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设八、九月份用户数量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设八、九月份用户数量的月平均增长率为， 根据题意得，， 故答案为：． 13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC＝3，DE＝1，则线段BD的长为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得、D，再根据全等三角形的性质、勾股定理可求得，再次利用勾股定理解即可得解． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转，得到 ∴，D ∴，，， ∵， ∴ ∴在中， ∴ ∴在中，． 故答案是： 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 14. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm. 则直尺的宽为______cm. 【答案】3 【解析】 【分析】过点O作OF⊥DE，垂足为F，连结OE，由垂径定理可得出EF的长，再由勾股定理即可得出OF的长. 【详解】解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，连结OE， ∵DE＝8cm， ∴EF＝DE＝4cm， ∵OC＝5cm， ∴OE＝5cm， ∴OF＝cm． 故答案为3. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，解答此类题目先构造出直角三角形，再根据垂径定理及勾股定理进行解答． 15. 如图，在正方形中，，点E在边上运动，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，，当的长最小时的长是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】过点E作交于点M，过点F作交的延长线于点N，延长交的延长线于点G，根据题意证明出，得到，，然后设，表示出，，然后利用勾股定理表示出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作交于点M，过点F作交的延长线于点N，延长交的延长线于点G， ∴， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； ∵， ∴四边形，是矩形， ∴设，则，， ∴，， ∴， ∴当时，有最小值， ∴当的长最小时的长是3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线求解． 三、计算与解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， 【小问2详解】 解： ， ， 或， 解得：． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标 ； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标 ； （3）点P为x轴上一点，当最小时，则点P的坐标为 ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2） 如图所示，即为所求： （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的平移、旋转以及最短路径问题，涉及平移规律（右加左减、上加下减）、旋转坐标变换规则和轴对称，最短路径思想．解题关键是熟练掌握平移、旋转对坐标的影响，以及利用轴对称转化最短路径问题；易错点是平移或旋转时坐标计算错误，以及最短路径问题中对称点的选取失误． （1）根据“右加左减、上加下减”的平移规律，对的三个顶点分别进行横坐标加1、纵坐标加5的操作，得到的顶点坐标，进而确定的坐标并画图． （2）依据点绕原点逆时针旋转后变为的规则，对的顶点进行旋转操作，得到的顶点坐标，从而确定的坐标并画图． （3）利用轴对称的性质，作点A关于x轴的对称点，连接，其与x轴的交点即为P．通过待定系数法求出直线的解析式，再令求出P的坐标． 【小问1详解】 由题意得，点的横坐标变为，纵坐标变为，所以的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 点旋转后，横坐标为，纵坐标为4，所以的坐标为． 故答案为：． 【小问3详解】 作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为P（两点之间线段最短）． 设直线的解析式为，将、代入得： ， 解得，，即直线的解析式为． 令，则，解得，所以点P的坐标为． 故答案为：． 18. 如图，A，B，C，D是上的四个点，，与交于点M．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系，由，得，所以，所以，根据等边对等角即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴ 19. 如图，已知抛物线的图象经过点和点． （1）求该抛物线的解析式． （2）当时，求该抛物线中y的取值范围． （3）将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为______． （4）当直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4）且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移规律，理解二次函数的性质，二次函数解析式在平移中的变化规律： “左加右减，上加下减；”是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，当时，，当时，，即可求解； （3）由二次函数平移规律即可求解； （4）根据函数图象结合二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， 当时，y的最大值为4． 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． 【小问3详解】 解：根据题意得； 【小问4详解】 解：如图，设平移前和平移后的二次函数图象交点为， 联立，则， 解得， 当时，， ∵二次函数的最大值为，二次函数的最大值为， 由图象可得且时，直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点． 20. 某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若此类产品的日销售利润为150元，求销售价应定为多少元； （3）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售价应定为15元 （3），当销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题． （1）设函数关系式，把，代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于20元/千克，得出自变量x的取值范围； （2）根据日销售利润为150元，列出一元二次方程，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值； （3）根据销售利润销售量每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式，把，代入得 ， 解得， ∴y与x之间的函数关系式； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 对称轴为直线，在对称轴的左侧随着x的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，最大为200． 即当销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，平分交于点D，过点D作交的延长线于点E． （1）写出与的位置关系 ； （2）求证：是切线； （3）若，，求的半径． 【答案】（1）平行 （2） 连接， ∵平分交⊙O于点D， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （3） 【解析】 【分析】（1）由，是的直径，得，则，于是得到问题的答案； （2）连接，由，得，则垂直平分，所以，即可证明是的切线； （3）由，证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，则的半径长为． 【小问1详解】 解：∵交AC的延长线于点E，是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、切线的判定定理、勾股定理、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）， 理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【小问1详解】 解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 抛物线与x轴交于，与y轴交于点，P为抛物线上的动点．设点P的横坐标为m． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，若P为抛物线上的动点，且在第一象限内，连接，过P作轴，交直线于点Q． ①请求出直线的解析式； ②请用含m的式子表示的长，写出自变量m的取值范围，并求出的最大值； （3）如图2，若P为x轴上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点H．设线段的长为l． ①求l与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； ②记上问的函数图象为T，若直线与图象T有三个交点，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②，的最大值为 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①设直线的解析式为，再将和代入求解即可；②根据题意表示出点P的坐标为，进而根据和点Q在直线上，求得点Q的坐标为，最后列式表达出的值即可； （3）①由直线解析式为，抛物线解析式为，设，因为，所以、纵坐标相同，故有，解得，从而有；②当直线与只有一个交点时，即直线与图象有两个交点，当直线经过点时，即直线与图象有两个交点，分别求出的值，从而可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：与轴交于，与轴交于点， ， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：①设直线的解析式为， 将和代入得， 解得， 直线的解析式为； ②点P的横坐标为m，且P为抛物线上的动点 点P的坐标为， ，且点Q在直线上， 点Q的坐标为， ， 在第一象限内，且， 的取值范围为， 在，， 解析式的抛物线开口向下， 当，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：①由上得，直线解析式为，抛物线解析式为，点坐标为， ， 、纵坐标相同， 解得， ， ， 当时，； 当时，； ； ②如图，当直线与只有一个交点时，即直线与T图象有两个交点， ， ∴ ， 解得， 如图，当直线经过点时，即直线与图象T有两个交点， ∴， ∴直线与图象T有三个交点，n的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最大值问题，二次函数与一次函数交点问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $