第四章图形的相似单元检测题2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似 单元检测题 一、单选题 1．如果，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若和满足下列条件，其中能使的是（   ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，，， 3．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点为的黄金分割点，即．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，一张锐角三角形纸片，点分别在边上，，，沿将剪开，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点，在边上，点在边上，连接，，交于点．若，，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与位似，位似中心是原点．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，点在边上，，连接与交于点，则的长是（   ） A． B． C． D．4 9．如图，小明利用投影仪将一张长为、宽为的矩形图片放大，放大后的矩形图片的长为，则放大后的矩形图片的面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在和中，，与交于，连接、，当、、三点共线时，下列选项中不一定相似的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 二、填空题 11．已知，则 ． 12．如图，直线，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则 ． 13．如图，已知中，点D在上，点E在上，．，，，则 ； 14．如图，与位似，其位似中心为点O，且，若的面积为4，则的面积为 ． 15．如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，与分别交于点P、M．对于下列结论：①；②③；④；其中正确的结论是 （填序号）． 三、解答题 16．如图，，依次交直线，于点，，和点，，，且，，求的长． 17．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，已知和是位似图形，位似中心是点，且，． (1)在网格中补全平面直角坐标系； (2)画出位似中心点的位置，并直接写出点的坐标； (3)在网格中将补充完整． 18．如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，求的长． 19．如图，在平行四边形中，，是上一点，，，连接交于点． (1)求的长； (2)过点作的平行线分别交射线和射线于点，． ①求证：； ②求的长． 20．如图，将两张完全相同的菱形纸片和叠放在一起，把菱形固定，让菱形的顶点F沿对角线以每秒1个单位的速度由B向D运动，在运动过程中边始终经过点A，对角线与边相交于点M．已知，，设运动时间为t秒． (1)求证：； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)请直接写出的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章 图形的相似 单元检测题2025-2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A A B A D B A D 1．A 【分析】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积； 根据比例的性质，将已知等式转化为比例形式，并验证各选项是否与已知等式一致即可． 【详解】解：∵ ，且 ， A、由可得，故此选项正确； B、由可得，故此选项错误； C、由可得，故此选项错误； D、由可得，故此选项错误； 故选： A． 2．A 【分析】本题考查相似三角形的判定——三组对应边成比例，则两个三角形相似． 分别计算对应边的比例，判断是否相等，即可得出两个三角形是否相似． 【详解】解：A、∵，，，∴，∴．故此选项符合题意； B、∵，，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查黄金分割；由黄金分割的定义可得，设，则，建立方程即可得出的长． 【详解】解：∵点为的黄金分割点， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得或（舍去）， ∴． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：. 5．B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点B作，交的延长线于点P，根据平行线的性质得，证明，，推理得到，再证明，得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点P， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了位似图形坐标变化规律，先根据对应点的坐标确定位似坐标变化的规律，再据此求解即可，找出位似坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：与位似，点与点对应，点的横坐标是，点的横坐标是，点的横坐标是点的横坐标的倍；点的纵坐标是，点的纵坐标是，点的纵坐标是点的纵坐标的倍， ∵点与点对应，点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 故选：． 7．D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】解：点、、、分别是边、的三等分点， ，， ， ， 的面积是， 四边形与的面积是和， 四边形与的面积差是， 故选：D． 8．B 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质，利用对应边成比例，求出放大后的宽即可求解． 【详解】解：设放大后的宽为， 放大前后的两个矩形相似， ， 解得：， 放大后的宽是， 放大后的矩形图片的面积为， 故选：A． 10．D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 条件不足，无法得到与相似， 综上，只有选项D符合题意； 故选D． 11． 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值． 将所求分式拆分为两个分式之和，利用已知条件代入计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12．9 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据得到，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：． 13．6 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到，于是得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 14．25 【分析】本题考查位似图形，根据两个位似图形一定相似，且相似比等于位似比，再根据两个相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵与位似，且， ∴，， ∴与的相似比为：， ∴与的面积比为：， ∵的面积为4， ∴的面积为25； 故答案为：25． 15．①③④ 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形相似；通过等腰直角三角形的性质找出边与角的关系，进而证明三角形相似，再根据相似三角形的性质来判断各个结论是否正确即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 由③，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意； 设与相交于F，则， ∵， ∴， ∴，故②错误，不符合题意． ∴对于所给结论：①；②③；④，正确的是：①③④． 故答案为：①③④． 16． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知该定理是解题的关键； 根据平行线分线段成比例定理可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．(1)见解析 (2)作图见解析，点P的坐标为 (3)见解析 【分析】本题考查确定平面直角坐标系，作位似中心，作位似图形． （1）根据点A，B的坐标确定原点，进而补全平面直角坐标系； （2）连接并延长，连接并延长，两延长线交点即为位似中心点P的位置，根据坐标系直接写出坐标； （3）由（2）可得与的相似比为，因此连接并延长至点，使得，连接，，则为所求． 【详解】（1）解：补全的平面直角坐标系如图所示． （2）解：位似中心点的位置如图所示，点P的坐标为． （3）解：如图，为所求． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再结合，可得，即可求证； （2）根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴∽． （2）解：∵，，， ∴． ∵∽， ∴，即， ∴． 19．(1)6 (2)①见解析；②10 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是证明三角形相似． （1）根据和得出，结合，即可证明，进而可得答案． （2）①根据．得出，，根据，得出，即，根据，证明，得出，即可得． ②作，根据，得出，证明平分，根据角平分线的性质定理得出，证明，得出，设，则，则在中，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）证明：①∵， ∴， ∵． ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②作于点M， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 则在中，由得：， 解得：，（舍去）， ∴． 20．(1)见解析 (2)或2； (3) 【分析】（）由菱形的性质可得，进而由三角形外角性质可得，再根据相似三角形的判定即可求证； （）分三种情况，根据等腰三角形的性质及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质解答即可求解； （）由得，即得，可知当时，最小，利用等腰三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）证明：∵菱形和菱形完全相同， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：为等腰三角形，分三种情况： ①∵与不可能相等，否则，但， 由（）知，，矛盾； ②若，此时， ∴， ∴， ∴； ， ∴， ∴， ∴； ∴ ③若， ∵ ∴， ∴， ∴； ∴ 综上，当为等腰三角形时，的值为或2； （3）解：由（）知， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴若使最小，只要让最小即可， 显然，当时，最小， ∵， ∴，， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂线段最短，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $