第四章 图形的相似（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第四章 图形的相似（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 2．下面各组图形中，不是相似图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（    ） A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 4．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点分别在边上，与不平行，那么下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．在下列命题中，正确的是（　　） A．邻边之比相等的两个平行四边形一定相似 B．有一个角是70°两个等腰三角形一定相似 C．两个直角三角形一定相似 D．有一个角是60°的两个菱形一定相似 7．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长比为（  ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9 8．如图，已知，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过G作交AC于点E，如果AD=1，BC=3，GE：BC等于（      ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．若，则 ． 10．如图，，且，，则 ． 11．如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是 12．如图，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），已知AC=4，则AB= ． 13．小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线，并且两条对角线长分别为和．现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，在正三角形中，，分别在，上，且，． 求证： (1)； (2)若，试求的长度． 15．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺按要求画出图形． (1)的面积为______； (2)图1中，绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)图2中，在上找一点，使得平分的面积； (4)图3中，点是格点，点非格点，在的延长线上找一点，使． 16．法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有1700多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物．某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 17．【问题提出】： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：正方形的两条对角绕相交于点O，正方形与正方形的边长相等，当正方形的顶点H在线段（不与A，C重合）上绕点H旋转的过程中，边交边于点M，边交边于点N；探究线段，之间的数量关系． 【操作发现】： （1）如图①，当点H与点O重合时，线段，之间的数量关系为 ； 【类比探究】： （2）如图②，当点H位于的中点时，在旋转过程中， ①试判断线段，之间的数量关系，并证明； ②若，，求的长． 18．【证明体验】 （1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分． 【思考探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连接交于点G．若，，，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，在边长为1的网格中，四点均在格点上，且与相交于点，则线段的长是 ． 20．如图在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），点C是线段AB的中点．点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，则P点坐标为 ． 21．已知是等腰直角三角形，，点D为边上一点，以为底边作等腰直角，连接交于点O，当时，线段的长度为= ．    22．如图，在中，，，是边上一点，且．是延长线上一点，连接交于，若，则的长度为 ． 23．如图，以正方形的两边和为斜边向外作两个全等的直角三角形和，过点C作于点G，交于点H，过点B作于点I，过点D作，交延长线于点K，交于点L．若，，则的长为 ．    二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，菱形中，，连接，点是线段上一点（不与点重合），与对角线交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．如图1，在中，，是的中线．点E在线段的延长线上，连接交于点F． (1)当，时，求的值； (2)如图2，当，时，求的值； (3)如图3，G是边上一点，，当时，求的值（用含的代数式表示）． 26．把一把三角尺放在长为，宽为1的长方形上，并且它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与的延长线相交于Q． (1)当点Q在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论． (2)当点Q在边的延长线上时，（1）的结论还成立吗? 简述理由． (3)当点P在线段上滑动时，能否成为等腰三角形？如果可能，指出所有能在成为等腰三角形的Q的位置．如果不可能，试说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质， ，据此可得答案． 【详解】解：由比例的性质可得， ，则四个选项中，只有A选项符合题意， 故选：A． 2．下面各组图形中，不是相似图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形的识别，根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决． 【详解】解：A、两个图形相似，故不符合题意； B、两个图形相似，故不符合题意; C、五角星和六角星不相似，故符合题意； D、所有的圆都相似，故不符合题意， 故选：C． 3．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（    ） A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 【答案】C 【分析】根据相似三角形三边对应成比例进行求解即可得. 【详解】设另一个三角形的最长边为xcm，由题意得 5：2.5=9：x， 解得：x=4.5， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 4．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由位似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：位似属于相似， A对 由位似可知： B对 C对 的相似比为 D错 故选D 【点睛】本题考查了位似的性质，熟记位似的所有性质是解题的关键． 5．如图，在中，点分别在边上，与不平行，那么下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠A=∠A， A、，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意； B、，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意； C、，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意； D、，可利用两边对应成比例，及其夹角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 6．在下列命题中，正确的是（　　） A．邻边之比相等的两个平行四边形一定相似 B．有一个角是70°两个等腰三角形一定相似 C．两个直角三角形一定相似 D．有一个角是60°的两个菱形一定相似 【答案】D 【详解】试题分析：A答案中相邻两边的夹角不一样，则不相似，故不正确； B答案70°是顶角和底角是不一样的，故不正确； C答案中直角三角形的角不对应相等则不相似，故不正确； D答案有一个角是60°，则另一个是120°，不会改变，则菱形相似，故正确．故选D 考点：相似的性质 7．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长比为（  ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9 【答案】B 【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比即可得出． 【详解】解∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：3， ∴△ABC与△DEF的周长比为1：3． 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比，熟练掌握是解题的关键． 8．如图，已知，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过G作交AC于点E，如果AD=1，BC=3，GE：BC等于（      ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 【答案】B 【分析】根据题意得△AOD∽△COB，AD=1，BC=3，即可得OD：OB=AD：BC=1：3，，根据点G是BD的中点得OD=OG，根据， 得△OGE∽△OBC，即可得． 【详解】解：∵， ∴， AD=1，BC=3， ∴OD：OB=AD：BC=1：3， ∵点G是BD的中点， ， ∴OD=OG， ∵， ∴， ∴GE：BC=OG：OB=OD：OB=1：3， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据得，代入化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵， ∴，∴， ∵，，∴ 解得， 故答案为：． 11．如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是 【答案】/6厘米 【分析】过点A作于点，交于点，先根据矩形的性质可得，，再证，利用相似三角形对应高线之比等于相似比列出等式，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点，交于点， 矩形中，， ，， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得， 即， 则边上的高的长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证明是解题的关键． 12．如图，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），已知AC=4，则AB= ． 【答案】2+2． 【详解】试题分析：根据黄金比值是列出算式，计算即可． 解：∵点C为线段AB的黄金分割点， ∴AC=AB，又AC=4， ∴AB=2+2， 故答案为2+2． 考点：黄金分割． 13．小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线，并且两条对角线长分别为和．现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是 ． 【答案】540 【分析】先求出风筝模型ABCD的面积，假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，可得四边形ABCD∽四边形A'B'C' D'，可得到它们的面积比为1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，再由从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积，即可求解． 【详解】解：∵， ∴风筝模型ABCD的面积为， 假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，且分别为点A、B、C、D的对应点， ∵按照1：3的比例放大制作一个大风筝， ∴四边形ABCD∽四边形A'B'C' D'， ∴它们的对应边之比为1：3， ∴它们的面积比为1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm， ∴大风筝的面积为60×9=540cm2，矩形彩色纸的面积为36×30=1080 cm2， ∴从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积=1080-540=540cm2． 故答案为：540 【点睛】本题主要考查了相似多边形的应用，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，在正三角形中，，分别在，上，且，． 求证： (1)； (2)若，试求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度为 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解， （2）根据相似三角形的性质，得到，即可求解， 本题考查了，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）证明：， ， 是正三角形， ， ， ， ， ， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：的长度为． 15．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺按要求画出图形． (1)的面积为______； (2)图1中，绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)图2中，在上找一点，使得平分的面积； (4)图3中，点是格点，点非格点，在的延长线上找一点，使． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换及三角形的面积计算，熟知图形旋转的性质以及三角形面积的计算公式是解题的关键． （1）根据所给图形可知是直角三角形，分别求出和的长即可； （2）根据题意，画出旋转后的图形即可； （3）找出的中点即可解决问题； （4）将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，即，再根据平行线分线段成比例计算即可求解； 【详解】（1）由勾股定理可得： ， ， ， ， 是直角三角形， ． 故答案为：． （2） 即为所求作的三角形． （3） 点即为所求作的点． （4）， ， 由勾股定理可得， ， ， ． 点即为所求作的点． 16．法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有1700多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物．某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 【答案】47米 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题．先证明，利用相似比得到，再证明，利用相似比得到，利用等量代换得到，进而得到，解得的长，据此求解即可求出的长． 【详解】解：由题知，，， ， ． 由题知，，， ， ． ， ． 米，米，米， ， 米． ， ， 米， 答：真身宝塔的高度为47米． 17．【问题提出】： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：正方形的两条对角绕相交于点O，正方形与正方形的边长相等，当正方形的顶点H在线段（不与A，C重合）上绕点H旋转的过程中，边交边于点M，边交边于点N；探究线段，之间的数量关系． 【操作发现】： （1）如图①，当点H与点O重合时，线段，之间的数量关系为 ； 【类比探究】： （2）如图②，当点H位于的中点时，在旋转过程中， ①试判断线段，之间的数量关系，并证明； ②若，，求的长． 【答案】（1）； （2）①，证明见解析；② 【分析】（1）根据正方形的性质可得四边形、是正方形，，，，从而可得，可证，即可得求解； （2）①根据正方形的性质和平行线的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定可得，从而可得，，利用等量代换可得，从而可证，可得，即可得出结论； ②根据相似三角形的性质可得，求得，利用勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求得，再根据求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①， 证明：过点H作，交于点P， ∵四边形是正方形，则， 为等腰直角三角形， ， 为的中点， ，， ，， ， 又∵， ， ， ， 即； ②， ， ， 又∵， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 18．【证明体验】 （1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分． 【思考探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连接交于点G．若，，，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据得到，求出，即可证明结论； （2）先证明，根据相似三角形的性质进行求解即可； （3）根据角平分线的特点，在上截取，连接，构造全等三角形以及相似三角形，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：（1）平分， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）在上截取，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ，，， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，在边长为1的网格中，四点均在格点上，且与相交于点，则线段的长是 ． 【答案】/ 【分析】取格点，连接，先由勾股定理求得，再证明，得，则． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由勾股定理得， ∵，∴，∴， ∴， ∴线段的长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 20．如图在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），点C是线段AB的中点．点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，则P点坐标为 ． 【答案】（4，0）或（，0） 【详解】试题分析：∵A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），点C是线段AB的中点， ∴OA=8，OB=6，AC=AB， ∴AB=10， ∴AC=5， 若△PAC∽△OAB， ∵∠OAB=∠PAC， 则需， ∴PA=4，PC=3， ∴OP=4， ∴P点坐标为（4，0）； 若△PAC∽△BAO， ∵∠OAB=∠PAC， 则需， ∴，解得：PA=， ∴OP=8﹣=． ∴P点坐标为（，0）． 故答案为（4，0）或（，0）． 考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质． 点评：此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是数形结合思想与分类讨论思想的应用． 21．已知是等腰直角三角形，，点D为边上一点，以为底边作等腰直角，连接交于点O，当时，线段的长度为= ．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等腰直角三角形的性质，得出，，，证明，则，得出，所以，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示：    ∵是等腰直角三角形，， ∴ ∴ ∵以为底边作等腰直角 ∴ ∴ ∵， 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 22．如图，在中，，，是边上一点，且．是延长线上一点，连接交于，若，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】作于，根据等腰三角形的性质以及等腰三角形三线合一的性质得出，，利用勾股定理求得，证得，求得，证得，求得，根据即可求解． 【详解】解：作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，正确应用性质定理是解题的关键． 23．如图，以正方形的两边和为斜边向外作两个全等的直角三角形和，过点C作于点G，交于点H，过点B作于点I，过点D作，交延长线于点K，交于点L．若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 过点A作于点M，连接，，设，先证明四边形是矩形，四边形和均是矩形，可得，，再根据，可得四边形是正方形，四边形是正方形，从而得到，，，，再由可得，再根据，可得，从而得到，，进而完成解答． 【详解】解：如图，过点A作于点M，连接，，    根据题意得：， ∴，， 设， ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，    ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 同理：四边形和均是矩形， ∴， ∴，    ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， 同理四边形是正方形， ∴， ∴，，，    ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即，    ∴，即，解得：或0（舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，菱形中，，连接，点是线段上一点（不与点重合），与对角线交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）由菱形性质，可证即可； （2）连接交于点由是菱形的对角线， 可得，，由直角三角形性质可求，由勾股定理，可求，， 由，可证可求即可． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， 又， ， ； （2）解：连接交于点， 是菱形的对角线，， ，， 在中， ，， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 25．如图1，在中，，是的中线．点E在线段的延长线上，连接交于点F． (1)当，时，求的值； (2)如图2，当，时，求的值； (3)如图3，G是边上一点，，当时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据题意得是等边三角形，则，．由中线求得．进一步得到，且．设，则即可； （2）过点D作，交于H，则．由中线得到，可证明，则．有．根据平行线的性质得和，俩式相除即可； （3）解：过点D作，交于H，设，则，，．进一步得．同（2）可证，，有，．根据平行线的性质得∴，结合即可求得答案． 【详解】（1）解：在中，，， ∴是等边三角形． ∴，． 又∵是的中线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴，则， ∴． 设，则． ∴． ∴； （2）解：过点D作，交于H，如图， 则． 又∵是的中线， ∴， ∴． ∴． ∴． 则． ∵， ∴， 在与中， ∵，， ∴， ∴． 又， ∴． 又∵， ∴，， ∴， 即； （3）解：过点D作，交于H，如图， 设， ∵ ∴， ∴，． 则． 同（2）可证，， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中线性质、平行线的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉等腰三角形的性质和平行线的性质，结合常见得求比例方式． 26．把一把三角尺放在长为，宽为1的长方形上，并且它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与的延长线相交于Q． (1)当点Q在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论． (2)当点Q在边的延长线上时，（1）的结论还成立吗? 简述理由． (3)当点P在线段上滑动时，能否成为等腰三角形？如果可能，指出所有能在成为等腰三角形的Q的位置．如果不可能，试说明理由． 【答案】(1) (2)（1）的结论还成立，见解析 (3)能成为等腰三角形；当时点Q在的延长线上，；当时，点Q在边上， 【分析】（1）过点P作，分别交于点M，N，证明得到，设，则，再证明推出； （2）过点P作，分别交于点M，N，证明得到，设，则，再证明推出； （3）分两种情况解答：当时点Q在的延长线上；当时，点Q在边上． 【详解】（1）解：， 证明：过点P作，分别交于点M，N， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴ ∴，即； （2）解：， 证明：过点P作，分别交于点M，N， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：能成为等腰三角形； 当时，点Q在的延长线上，过点P作，分别交于点M，N， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，点Q在边上，则， ∵，， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴，即， ∴， 综上，能成为等腰三角形；当时点Q在的延长线上，；当时，点Q在边上，． 【点睛】此题是图形类综合题，考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，综合掌握各图形的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$