精品解析：江苏省无锡市新吴区江苏省梅村高级中学空港分校2025-2026学年高一上学期 期中检测数学试题

**基本信息** 高一数学期中检测聚焦集合、函数、不等式等核心内容，通过基础辨析（如命题否定、集合运算）与综合应用（如智能设备利润建模），考查抽象能力、推理意识及模型观念，适配高一上学期学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、命题否定、充分条件|结合函数最值辨析（如选项A“若x>0，则x+1/x最小值为2”）考查推理能力| |多选题|3/18|函数定义、幂函数性质|通过幂函数图象过点判断单调性与奇偶性，体现数学眼光| |填空题|3/15|定义域、最值、分段函数|抽象函数定义域求解（如f(2x-1)定义域）考查符号意识| |解答题|5/77|集合运算、函数单调性证明、实际应用|以智能设备生产为情境（题17）构建利润函数模型，强化数学语言表达现实问题的能力|

江苏省梅村高级中学（空港分校）2025-2026学年度第一学期期中检测 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 2025.11 一、单选题（本题共8题，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “，”的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则最小值为2 B. 的最小值为6 C. 若，则的最小值为4 D. 的最大值为 5. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中正确的个数是（ ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，；则. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分） 9. 下列对应为集合B到C的函数是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知幂函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 若，则 D. 若，则. 三、填空题（本题共3题，共15分） 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 13. 若，则的最小值为______. 14. 定义在上的函数，满足，若当时，，则当时，______. 四、解答题（本题共5题，共77分） 15. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数a的取值的集合． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于的不等式. 17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 18. 设． （1）当时，，使得，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 19. 若二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的最大值； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省梅村高级中学（空港分校）2025-2026学年度第一学期期中检测 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 2025.11 一、单选题（本题共8题，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题“，”的否定是“，”直接得出结果. 【详解】命题“，”的否定是“，”． 故选：C． 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式化简集合，解一元二次不等式化简集合，最后根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由，即，等价于，解得， 所以， 由，即，解得， 所以， 所以或，则. 故选：B 3. “，”的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得“，”的充要条件，进而逐项判断即可. 【详解】若，为真命题，则， 解得，所以“，”的充要条件是，故A不正确； 所以是“，”的既不充分也不必要条件，故B不正确； 所以是“，”的必要不充分条件，故C正确； 所以是“，”的充分不必要条件，故D不正确. 故选：C. 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则最小值为2 B. 的最小值为6 C. 若，则的最小值为4 D. 的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】应用基本不等式求最值，注意取值条件判断A、B、D，由对勾函数的性质确定的最值判断C. 【详解】A，由，则，此时，当且仅当时取等号，为真命题； B，由，则， 当且仅当，即时取等号，为真命题； C：由，则，故在上单调递增， 所以，为假命题； D：由，则， 当且仅当，即时取等号，故的最大值为，为真命题. 故选：C 5. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 6. 已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得函数在上单调递减，进而得，解出即可求解. 【详解】由有函数在上单调递减， 所以， 所以， 故选：C. 7. 下列命题中正确的个数是（ ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，；则. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式的性质和特殊值逐项判断即可. 【详解】对于①，取，满足，显然不成立，错误； 对于②，取，满足，显然不成立，错误； 对于③，由可得，所以正确， 对于④，若，；则，错误， 故选：A 8. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，时化简解析式即可得到答案. 【详解】因为，所以为偶函数，排除， 当时，，排除C， 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，共18分） 9. 下列对应为集合B到C的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合函数定义，逐项判断是否满足集合中每个元素，集合中都有唯一确定的元素与之对应即可得. 【详解】对A：令，则，集合中有两个元素与对应，不符，故A错误； 对B：任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故B正确； 对C：时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 故任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故C正确； 对D：任意元素，则，又因为，有， 即集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故D正确； 故选：BCD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项：不含任何元素，可以判断正误；B选项：实数包括有理数和无理数，可以判断正误；C选项：空集是任何集合的子集，可以判断无正误；D选项：注意区分数集和点集,可判断正误； 【详解】没有任何元素，且空集是任何集合的子集，故A错误，C正确； 是无理数，整数的补集包含无理数，故B正确； 是数集，是点集，两个集合不相等，故D错误. 故选:BC. 11. 已知幂函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 若，则 D. 若，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的解析式，根据幂函数的图像性质即可逐项求解. 【详解】设幂函数（为实数），其图像经过点，，解得， ，其定义域为，且在上为增函数，A正确； 的定义域为，不具有奇偶性，所以B错误； 时，，选项C正确； 函数是上凸函数， 对定义域内任意的，都有成立，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3题，共15分） 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域和分母不为0得到不等式组，解出即可. 【详解】由，解得，故的定义域为． 故答案为：. 13. 若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，结合一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】， 当时，则有，所以的最小值为， 当时，则有，此时没有最小值， 综上所述：的最小值为， 故答案为： 14. 定义在上的函数，满足，若当时，，则当时，______. 【答案】 【解析】 【分析】当时，则，根据条件及时的解析式，代入计算，即可得答案. 【详解】当时，则， 因为，所以， 又当时，， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5题，共77分） 15. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数a的取值的集合． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）当 时，求出，即可根据交集和并集的定义求解． （2）根据，可得不等式组进而即得． 【小问1详解】 当时，，所以， ,； 【小问2详解】 ，， 则，解得：． 故实数取值的集合为. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）， （2） 由（1）可得，此时为奇函数，满足题意. 函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 因为，所以， 所以，即， 因此函数在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合，列方程求解即可； （2）先得函数的解析式，再根据单调性的定义证明即可； （3）根据函数的奇偶性化简不等式，再利用单调性求解即可. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数， 可知，即，则. 由，解得， 则满足题意，故，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，函数是定义在上的奇函数， 则由，得， 即， 又函数是定义在区间上的单调递增函数， 所以，解得. 则关于的不等式的解集为. 17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 18. 设． （1）当时，，使得，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）先求出时，函数的最小值，再利用已知命题得出大于等于函数的最小值，进而求出的取值范围； （2）先对原不等式化简，再对进行分类讨论解不等式求出不等式的解集． 【小问1详解】 当时，，函数图象开口向上，对称轴为， 函数最小值， ，使得，则， 的取值范围为． 【小问2详解】 ， ， 当时，不等式化为，解得，解集为； 当时，解不等式得 ，解集为； 当时，，不等式化为，解得或，故解集为； 当时，不等式化为，解得，解集为； 当时，，不等式化为，解得或， 故解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 19. 若二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的最大值； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设二次函数解析式，根据已知，应用待定系数法求解析式即可； （2）由（1）得，结合其图象，讨论、、求对应最大值表达式； （3）讨论、、，对于、分别转化为、恒成立，求参数范围即可. 【小问1详解】 设，因为，所以. 因为，所以，即. 因为，所以， 得对任意恒成立，所以. 由，得，所以. 【小问2详解】 由题知， 由的图象知，当时，由可得. ①当时，； ②当时，； ③当时，. 综上， 【小问3详解】 由题意得对任意恒成立， ①当时，成立，此时； ②当时，恒成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，即； ③当时，恒成立，， 又，当且仅当，即时等号成立， ，即. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $