第7章 锐角三角函数（复习课件）数学苏科版九年级下册

单元复习课件 第七章 锐角三角函数 苏科版·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数； 3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题； 2. 能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数； 4. 通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。 单元学习目标 单元知识图谱 考点1、锐角三角函数的定义 正弦、余弦 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. 我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫 作∠A的正弦，记作sin A，即 斜边 c 邻边 b 对边 a 我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫作 ∠A 的余弦，记作cosA. 考点串讲 考点1、锐角三角函数的定义 正切的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. 我们把锐角∠A的对边a与邻边b的比叫 做∠A的正切，记作 tanA，即 斜边 c 邻边 b 对边 a 考点串讲 锐角三角函数 考点1、锐角三角函数的定义 斜边 c 邻边 b 对边 a 我们把∠ A 的正弦、余弦和正切都叫作∠ A 的三角函数. 考点串讲 锐角三角函数速记口诀： 正弦等于对比斜， 余弦等于邻比斜， 正切等于对比邻， 函数特点要牢记. 斜边 c 邻边 b 对边 a 考点1、锐角三角函数的定义 锐角三角函数 考点串讲 例1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝3，cosA的值是（　　） A． B． C． D． B 题型一、锐角三角函数的定义 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝3， ∴， ∴． 故选：B． 题型剖析 例2、在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是（　　） A． B． C． D． 题型一、锐角三角函数的定义 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4， ∴sinA， 故选：D． D 题型剖析 例3、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5， 设AC＝3x，AB＝5x， ∴BC4x， ∴tanA． 故选：B． 题型一、锐角三角函数的定义 题型剖析 1、Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，AC＝6cm，那么BC等于（ 　　） A．8cm B．cm C．cm D．cm A 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， cosA，AC＝6cm， ∴AB＝10cm， ∴BC8cm． 故选：A． 针对训练 2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． A 【解答】解：∵CD⊥AB于D， ∴△BCD是直角三角形，∠B+∠BCD＝90°， ∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠A＝∠BCD， A、∵∠A＝∠BCD，∴sinA＝sinA∠BCD，故本选项正确； B、∵∠A＝∠BCD，∴cosA＝cos∠BCD，故本选项错误； C、∵∠A＝∠BCD，∴cotA＝cot∠BCD，故本选项错误； D、∵∠A＝∠BCD，∴tanA＝tan∠BCD，故本选项错误． 故选：A． 针对训练 3、如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（　　） A． B． C． D． 【解答过程】解：A、∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E， ∴sinA，故A不合题意； B、∵∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠COD＝90°， ∴∠A＝∠COD，∴sinA＝sin∠COD，故B不合题意； C、无法得出sinA，符合题意； D、∵∠BOE＝∠COD，∴∠A＝∠BOE，∴sinA＝sin∠BOE，故D不合题意； 故选：C． C 针对训练 题型二、网格中的三角函数 例4、如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinC为（　　） A． B． C． D． 【解答过程】解：如图，连接格点AD、BD， 由勾股定理得，AC2＝22+42＝20， AD2＝12+12＝2， CD2＝32+32＝18， ∵AD2+CD2＝AC2， ∴△ACD是直角三角形， ∴sinC． 故选：A． A 题型剖析 题型二、网格中的三角函数 例5、如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin∠BAC＝（　　） A． B． C． D． 【解题思路】如图，取格点T，连接BT交AC于H，则BH⊥AC，设BH＝a，则AH＝5a，利用勾股定理求出AB，可得结论． 【解答过程】解：如图，取格点T，连接BT交AC于H，则BH⊥AC，设BH＝a，则AH＝5a， 在Rt△AHB中，ABa， ∴sin∠BAC， 故选：C． C 题型剖析 题型二、网格中的三角函数 例6、在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 【解题思路】如图，取格点K，连接AK，BK．观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，推出∠AED＝∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可． 【解答过程】解：如图，取格点K，连接AK，BK． 观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD， ∴∠AED＝∠ABK， ∴tan∠AED＝tan∠ABK， 故选：B． B 题型剖析 1、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【解答】解：如图 在Rt△ACD中，tanC， 故选：B． B 针对训练 2、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么sinα的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，作AH⊥x轴于H． ∵A（4，3）， ∴OH＝4，AH＝3， ∴OA5， ∴sinα， 故选：D． D 针对训练 3、如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin　　． 【解答过程】解：如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH． ∵BC5，CT5， ∴CB＝CT， ∵BH＝HT，∴∠HCA＝∠HCB，CH⊥BT， ∵HT，∴sin， 故答案为：． 针对训练 如图，蚂蚁从点O沿水平方向向右前进1个单位长度到点A，再沿垂直方向上升了约2.14个单位长度交65°线于点P，你能求出tan65°的近似值吗？ 考点2、锐角三角函数的增减性 考点串讲 考点2、锐角三角函数的增减性 请用同样的方法，写出右表中各角正切的近似值. 0.18 0.36 0.58 1 1.43 正切值随着角度的增大而增大 考点串讲 提 示： 1.角的正切值随着度数的增大而增大. 2.锐角 α 与 β 正切值的变化规律： (1) tan α ＞ 0， tan β ＞ 0. (2) 若 α ＞ β，则 tan α ＞ tan β；若 α ＜ β，则 tan α ＜ tan β. 考点2、锐角三角函数的增减性 考点串讲 sin75°≈0.97，cos75°≈0.26. sinθ随锐角θ的增大而增大； cosθ随锐角θ的增大而减少． 如图，当一个点从原点O出发，沿着15°线移动了1个单位长度到点P时，这个点在垂直方向上上升了约0.26个单位长度，在水平方向向前进了约0.97个单位长度，于是，可知 sin15°≈0.26 ， cos15°≈0.97 ． 你能写出sin75°、cos75°的近似值吗？ 随着锐角θ的增大，sinθ与cosθ的值怎样变化？ 考点2、锐角三角函数的增减性 考点串讲 考点2、锐角三角函数的增减性 （1）在 0°– 90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大 ； （2）在0°– 90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小 ； （3）在0°– 90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大 . 归纳总结 考点串讲 例7、比较：sin40°与sin80°的大小 ; 题型三、锐角三角函数的增减性 cos40°与cos80°的大小 ? 解题通法： 比较锐角的三角函数值大小的一般策略： ①正弦(或正切)之间比较大小，角度增大，正弦值(或正切值)也增大，反之也成立； ②余弦之间比较大小，角度增大，余弦值反而减小，反之也成立． 解： ∵ 40°< 80° ∴sin40°< sin80° ∵ 40°< 80° ∴cos40°> cos80° 题型剖析 例8、用“<”号连接下列各式： tan 15°、tan 30°、tan 60°、tan 75° . 方法点拨 ： 先比较角度的大小，再利用锐角的正切值随着角度的增大而增大比较各式的值的大小. 解：因为15° < 30° < 60° < 75° , 所以tan 15° < tan 30° < tan 60° < tan 75° . 题型三、锐角三角函数的增减性 题型剖析 1、如果0°＜∠A＜60°，那么sinA与cosA的差（　　） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【解答】解：当 0°＜∠A＜45°时，45°＜90°﹣∠A＜90°， ∴sinA＜sin（90°﹣A），∴sinA＜cosA，∴sinA﹣cosA＜0， 当∠A＝45°时，90°﹣∠A＝45°， ∴sinA＝sin（90°﹣A），∴sinA＝cosA，∴sinA﹣cosA＝0， 当 45°＜∠A＜60°时，30°＜90°﹣∠A＜45°， ∴sinA＞sin（90°﹣A），∴sinA＞cosA，∴sinA﹣cosA＞0， ∴当0°＜∠A＜60°时，那么sinA与cosA的差不能确定． 故选：D． D 针对训练 2、∠α和∠β如图所示，tanα与tanβ的大小关系是___________. tanα＜tanβ 【解答】解：由图形可得：∠β＞∠α， 则tan∠α＜tan∠β． 故答案为：tan∠α＜tan∠β． 针对训练 考点3、特殊角的三角函数值 根据所学知识，将下表内容补充完整. 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 角α 三角函数 考点串讲 一图记住所有三角函数值 考点串讲 题型四、特殊角的三角函数值 例9、已知角，求值． （1）2sin30°– cos45°；（2）sin60°× cos60°；（3）tan30°+ cos30°． 题型剖析 题型四、特殊角的三角函数值 例10、∠A为锐角，若cosA，则∠A的度数为（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 【分析】根据特殊角的三角函数值求解． 【解答】解：∵∠A为锐角，cosA， ∴∠A＝60°． 故选：B． B 题型剖析 1、计算 的值（　　） A．0 B． C．1 D． C 【解答】解：，故C正确． 针对训练 2、在△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，则∠C的度数是（　　） A．45° B．75° C．105° D．120° 【解答】解：由题意得，sinA0，cosB＝0， 即sinA，cosB， 解得，∠A＝30°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°， 故选：C． C 针对训练 考点4、三角函数的重要结论 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5． 1．AB＝______； 2．sinA＝____，cosA＝____； 3．sinB＝____，cosB＝____； 4．tanA＝____，tanB＝____． 13 12 5 13 仔细观察这些数据的正弦和余弦值，你发现了什么? 在Rt△ABC 中，若∠A+∠B＝90° 则有sinA＝cosB，cosA＝sinB 正弦值等于它的余角的余弦值 余弦值等于它的余角的正弦值 考点串讲 考点4、三角函数的重要结论 sinA= cosB = cos (90º–A) ∠B=90º–∠A sinA=cos(90º–A), cosA=sin(90º–A) 考点串讲 考点4、三角函数的重要结论 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5． 1．AB＝______； 2．sinA＝____，cosA＝____； 3．sinB＝____，cosB＝____； sinA与cosA有什么关系？ sinB与cosB呢？ 13 12 5 13 sin 2A+cos 2A=1 sin 2B+cos 2B=1 考点串讲 D 考点4、三角函数的重要结论 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5． 1．AB＝______； 2．sinA＝____，cosA＝____； 3．sinB＝____，cosB＝____； 4．tanA＝____，tanB＝____． tanA与tanB有什么关系？ 13 12 5 13 考点串讲 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5． 1．AB＝______； 2．sinA＝____，cosA＝____； 3．sinB＝____，cosB＝____； 4．tanA＝____，tanB＝____． sinA、cosA与tanA有什么关系？ 13 考点串讲 题型五、三角函数的重要结论 例11、计算： ( 1 ) 已知 0°< α < 90°, sinα = ,求cosα 题型剖析 例12、 (1) 已知sinA=0.6且∠B=90º–∠A , 求cosB;　 (2) 已知sin35º = 0.5736 , 求cos55º; 解：(1) ∵∠B = 90º – ∠A ∴∠A +∠B＝90° ∴ cosB＝sinA＝0.6 解：(2) ∵35º + 55º = 90º ∴cos55º = sin35º = 0.5736 题型五、三角函数的重要结论 题型剖析 1、已知α 为锐角且 sinα = ，求 cos α ，tanα 的值. 针对训练 2、在三角形ABC中，∠C为直角，sinA，则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，则∠A+∠B＝90°， cosB＝sinA． sinB， tanB， 故选：A． A 针对训练 考点5、解直角三角形 如图，在Rt△ABC中， ∠C 为直角，其余2个锐角（∠A、∠B）和3条边（a、b、c），共5个元素，他们之间有怎样的数量关系呢？ （1）三边之间关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： (勾股定理) ∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余)． 考点串讲 考点5、解直角三角形 由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫作 解直角三角形． 要点诠释： 解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)； (2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)． 这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是： 至少已知一条边． 考点串讲 题型六、解直角三角形 例13、如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA，则下列结论正确的个数有（　　） ①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD＝2cm． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20cm ∴AD＝5cm ∵sinA∴DE＝3cm（①正确） ∴AE＝4cm ∵AB＝5cm∴BE＝5﹣4＝1cm（②正确） ∴菱形的面积＝AB×DE＝5×3＝15cm2（③正确） ∵DE＝3cm，BE＝1cm∴BDcm（④不正确） 所以正确的有三个，故选C． C 题型剖析 例14、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5．解这个直角三角形. 题型六、解直角三角形 题型剖析 解题通法： 解直角三角形的基本方法可概括为 “有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)， 无斜用切( 正切)， 宁乘勿除， 取原避中”， 意思是 : 当已知或求解中有斜边时，就优先考虑用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可以用乘法又可以用除法求解时，则选用乘法；既可以用原始数据又可以用中间数据的则用原始数据. 考点串讲 常见类型 考点串讲 1、如图，在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB． 【分析】解直角三角形问题的前提条件是在直角三角形中，因为本题中△ABC不是直角三角形，因此要设法构造直角三角形. D 45° C A B 30° 针对训练 2、如图，在△ ABC 中，AB=1，AC= ，sin B = ，求BC 的长. 针对训练 考点6、解直角三角形的应用–坡度坡角 1.什么叫坡角？ 坡角是斜坡与水平线的夹角，一般用字母 α，β，γ 表示 ． 2.什么叫坡度？ 3.坡角和坡度的关系？ 坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫作坡面的坡度 (或坡比)，通常用 i 表示， 即 i = h : l . 显然，坡度是坡角的正切值， 坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡． α l h i= h : l 坡面 水平面 考点串讲 【总结】 ① 坡度是两条线段的比值，不是角的度数，它是坡角的正切值，即 i =tanα ②物体的倾斜程度通常可用物体的坡度表示，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓. 考点6、解直角三角形的应用–坡度坡角 考点串讲 例15、河堤横断面如图，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB长为（　　） A．12米 B．米 C．米 D．米 【分析】根据迎水坡AB的坡比为1：，可得1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度． 【解答】解：Rt△ABC中，BC＝6米，1：， ∴AC＝BC6（米）， ∴AB12（米）． 故选：A． A 题型剖析 例16、郑州市农业路高架桥二层的开通，较大程度缓解了市内交通的压力，最初设计南阳路口上桥匝道时，其坡角为15°，后来从安全角度考虑将匝道坡角改为5°（见示意图），如果高架桥高CD＝6米，匝道BD和AD每米造价均为4000元，那么设计优化后修建匝道AD的投资将增加多少元？（参考数据：sin5°≈0.08，sin15°≈0.25，tan5°≈0.09．tan15°≈0.27，结果保留整数） 【解答】解：由题意可得， ∵∠DCA＝90°，CD＝6米，∴在Rt△ACD中，∠CAD＝5°， ∴AD，在Rt△BCD中，∠CBD＝15°，∴BD， ∴设计优化后修建匝道AD的投资将增加： （）×4000≈204000（元）． 题型剖析 1、如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求： （1）坝底宽AB的长（结果保留根号）； （2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（结果保留根号）． 【解答】解：（1）作DF⊥AB，垂足为F， ∵DC∥EF，DF∥CE，DF⊥AB，∴四边形DFEC为矩形， ∴FE＝DC＝2.5，DF＝CE＝5， 在Rt△AFD中，坡AD的坡度i为1：1.2，∴AF＝1.2DF＝1.2×5＝6， 在Rt△CEB中，tanα，∴BE5，∴AB＝AF+FE+EB5； 针对训练 1、如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求： （1）坝底宽AB的长（结果保留根号）； （2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（结果保留根号）． （2）如图，作D′G⊥A′B于G， 在Rt△A'GD′中，A′G＝1.4×D′G＝7， ∴A′A＝A′G+GF﹣AF＝1.5， ∴梯形D′A′AD的面积（0.5+1.5）×5＝5， ∴完成该项工程所需的土方＝5×5000＝25000， 针对训练 2、某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB＝400米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．（结果精确到1米，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268） 解：过点B作BD⊥PC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E， 由题意得：CD＝BE， 在Rt△ABE中，∠A＝15°，AB＝400米， ∴BE＝AB•sin15°≈400×0.259＝103.6（米）， ∴CD＝BE＝103.6米， 在Rt△BDP中，∠PBD＝30°，BP＝200米， ∴DPBP＝100（米），∴PC＝PD+DC≈204（米），∴垂直高度PC约为204米． 针对训练 3、如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米． （1）求新传送带AC的长度； （2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（参考数据：1.4，1.7．） 【解答】解：（1）如图， 在Rt△ABD中，∠ABD＝45°， ∴AD＝BD，∴2AD2＝AB2＝（4）2， 解得：AD＝4（米）． 在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°， ∴AC＝2AD＝8（米）． 即新传送带AC的长度约为8米； 针对训练 3、如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米． （1）求新传送带AC的长度； （2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（参考数据：1.4，1.7．） 【解答】（ 2）货物MNQP不需要挪走． 理由：在Rt△ABD中，BD＝AD＝4（米）． 在Rt△ACD中，CD4（m）． ∴CB＝CD﹣BD＝44≈2.8（m）． ∵PC＝PB﹣CB≈5﹣2.8＝2.2＞2， ∴货物MNQP不需要挪走． 针对训练 考点7、解直角三角形的应用–仰角俯角问题 平时观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？ 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． 考点串讲 例17、无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量教学楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点30米，点A处的俯角为55°，距楼顶C点10米，点C处的俯角为30°，其中点A，B，C，P在同一平面内，若每层教学楼的高度为3.5米，楼顶加盖2米，求该教学楼的层数．（结果保留整数，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4） 【解答】解：过点P作PD⊥AB于点D，过点C作CE⊥PD于点E， 则∠PAB＝55°，PA＝30米，PC＝10米，∠PCE＝30°，BC＝DE， 在Rt△PAD中，sin55°0.82，可得PD≈24.6米， 在Rt△PCE中，sin30°，可得PE＝5米， ∴DE＝PD﹣PE＝19.6（米），∴BC＝19.6米， 设该教学楼的层数为m层，由题意得，3.5m+2＝19.6， 解得m≈5层，∴该教学楼的层数为5层． 题型剖析 例18、第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度． （参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 【解答】解：作DF⊥AB于F，设AB＝xm， ∵FB⊥EB，DE⊥EB，DF⊥AB， ∴四边形FBED为矩形，∴FB＝DE＝10，DF＝BE，∴AF＝10﹣x， 在Rt△AFD中，∠ADF＝45°， ∴DF＝AF＝x﹣10， 在Rt△ABC中，∠ACB＝53°，tan∠ACB，∴BCx， 由题意得，BE﹣BC＝CE，即x﹣10x＝4， 解得，x＝56， 题型剖析 1、大雁塔是西安的标志性建筑，也是世界文化遗产，在大雁塔南广场有一座玄奘法师铜像．五一期间，酷爱数学的小明和小亮来西安游玩，他俩站在玄奘法师的铜像前，想利用数学知识测量这座铜像的高度．于是，他们找来测量工具如图所示进行测量．小明站在点A处，用侧倾器测得大雁塔PQ的塔顶Q的仰角为21.3°，接着小明向前走了4米至点C处，此时视线正好被铜像EF挡住了大雁塔（即点D、F、Q三点共线），小亮测得此时小明距铜像21米．通过手机查阅大雁塔的高度约为64米，小明的眼睛距地面高度约1.6米，请根据以上数据求出玄奘法师铜像EF的高度．（参考数据：sin21.3°≈0.36，cos21.3°≈0.93，tan21.3°≈0.39） 【解答】解：连接BD交EF于点G，交PQ于点H，由题意得： AB＝CD＝EG＝HP＝1.6米，EF⊥BG，QP⊥BH，AC＝BD＝4米， CE＝DG＝21米， PQ＝64米， ∴QH＝QP﹣PH＝64﹣1.6＝62.4（米）， 针对训练 1、大雁塔是西安的标志性建筑，也是世界文化遗产，在大雁塔南广场有一座玄奘法师铜像．五一期间，酷爱数学的小明和小亮来西安游玩，他俩站在玄奘法师的铜像前，想利用数学知识测量这座铜像的高度．于是，他们找来测量工具如图所示进行测量．小明站在点A处，用侧倾器测得大雁塔PQ的塔顶Q的仰角为21.3°，接着小明向前走了4米至点C处，此时视线正好被铜像EF挡住了大雁塔（即点D、F、Q三点共线），小亮测得此时小明距铜像21米．通过手机查阅大雁塔的高度约为64米，小明的眼睛距地面高度约1.6米，请根据以上数据求出玄奘法师铜像EF的高度．（参考数据：sin21.3°≈0.36，cos21.3°≈0.93，tan21.3°≈0.39） 在Rt△BQH中，∠QBH＝21.3°，∴BH160（米）， ∴DH＝BH﹣BD＝160﹣4＝156（米）， ∵EF⊥BG，QP⊥BH，∴∠FGD＝∠QHD＝90°，∵∠FDG＝∠QDH， ∴△FGD∽△QHD，∴， ∴，解得：FG＝8.4，∴EF＝FG+EG＝8.4+1.6＝10（米）， ∴玄奘法师铜像EF的高度约为10米． 针对训练 2、如图，一艘潜艇在海面下500米深处的A点，测得正前方俯角为31.0°方向上的海底有黑匣子发出的信号，潜艇在同一深度保持直线航行500米，在B点处测得海底黑匣子位于正前方俯角为36.9°的方向上，求海底黑匣子C所在点距离海面的深度．（精确到1米）（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，sin31.0°≈0.51，cos31.0°≈0.87，tan31.0°≈0.60） 【解答】解：作CD⊥AB于D，依题意，AB＝500米，∠DAC＝31.0°，∠CBD＝36.9°， 设CD＝x，在Rt△ACD中，tan31.0°，∴ADx． 在Rt△BCD中，tan36.9°，∴BDx．∵AD﹣BD＝AB，∴xx＝500， 解得x＝1500，x+500＝2000． 答：海底黑匣子C所在点距离海面的深度为2000米． 针对训练 考点8、解直角三角形的应用–方向角问题 如图,在平面上,过观察点O作 一条水平线(向右为东)和一条铅垂线(向上为北),则从O点出发的视线与铅垂线所成的锐角,叫作观测的方位角(方向角）. 如图 所示，目标方向线OA，OB，OC 的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30° 其中南偏东45°习惯上又叫作东南方向，北偏东45°习惯上又叫作东北方向，北偏西45°习惯上又叫作西北方向，南偏西45°习惯上又叫作西南方向. 考点串讲 例19、如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离（结果保留根号）． 【解答】解：作PC⊥AB于C点，过点P的铅垂线l垂直于PC， ∴∠APC＝30°，∠BPC＝45° AP＝80（海里）． 在Rt△APC中，cos∠APC， ∴PC＝PA•cos∠APC（海里）． 在Rt△PCB中，cos∠BPC， ∴（海里）． 答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是40海里． 考点8、解直角三角形的应用–方向角问题 题型剖析 例20、如图，一海轮位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）． 【解答】解：过P作PC⊥AB于点C， 在Rt△ACP中，PA＝40海里，∠APC＝45°，sin∠APC，cos∠APC， ∴AC＝AP•sin45°＝4040（海里），PC＝AP•cos45°＝4040（海里）， 在Rt△BCP中，∠BPC＝60°，tan∠BPC， ∴BC＝PC•tan60°＝40（海里）， 则AB＝AC+BC＝（40+40）海里． 题型剖析 1、如图，点A、B是两个相距4000米的海岸观察点，点B位于点A的北偏东30°方向上，某日两观察点同时收到海面上的船C发出的信号，此时测得船C位于点A的北偏东60°方向上，位于点B的南偏东15°方向上，求此时船C到海岸AB的距离．（参考数据1.414，1.732，结果精确到0.1米） 【解答】解：过C作CD⊥AB于D， 根据题意得：∠BAC＝30°，∠ABC＝45°， 在Rt△ACD中，ADCD， 在Rt△BCD中，BD＝CD， ∵AB＝AD+BDCD+CD＝4000， ∴CD＝2000（1）≈14642.0米． 答：船C到海岸AB的距离大约为1464.0米． 针对训练 2、如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上． （1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？（精确到0.01） （2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由． （参考数据：） 【解答】解：（1）在Rt△ABC中， BC＝AC＝AB•sin45°（m）， 在Rt△ADC中AD5（m）， CD（m）， ∴AD﹣AB≈2.07（m）． 改善后的斜坡会加长2.07m；   （2）这样改造能行． ∵CD﹣BC≈2.59（m），而6﹣3＞2.59， ∴这样改造能行． 针对训练 3、为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，A、B、C、D是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知C位于A的正东方向且位于B的西北方向上，D位于C的北偏东75°方向上且位于B的北偏东30°方向上，B位于A的南偏东60°方向上．经测量C，B两点相距600米．（参考数据：，，）． （1）求AC的长度（结果保留整数）； （2）小明和小亮同时从A出发去往D处，小明沿A→C→D方向步行且速度为1m/s，小亮沿A→B→D方向步行且速度为1.5m/s，请问小明和小亮谁先到达D处，并说明理由． 针对训练 3、为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，A、B、C、D是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知C位于A的正东方向且位于B的西北方向上，D位于C的北偏东75°方向上且位于B的北偏东30°方向上，B位于A的南偏东60°方向上．经测量C，B两点相距600米．（参考数据：，，）． （1）求AC的长度（结果保留整数）； 【解答】解：（1）延长AC交BH于H， 由题意AH⊥BH，∠BCH＝45°，∠1＝60°，∠2＝30°，∠3＝75°， 在Rt△BHC中，∵∠BCH＝45°，BC＝600米，∠BHC＝90°， ∴（米）， ∴米，在Rt△BHA中，∵∠1＝60°， ∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°， ∴（米），（米）， ∴AC＝AH﹣CH≈300×（2.449﹣1.414）≈311（米）， 答：AC的长度为311米； 针对训练 （2）小明和小亮同时从A出发去往D处，小明沿A→C→D方向步行且速度为1m/s，小亮沿A→B→D方向步行且速度为1.5m/s，请问小明和小亮谁先到达D处，并说明理由． （2）∵∠2＝30°，∠3＝75°，∠BCH＝45°， ∴∠CBH＝90°﹣45°＝45°，∠DCH＝90°﹣75°＝15°， ∴∠CBD＝45°+30°＝75°，∠DCB＝15°+45°＝60°， ∴∠D＝180﹣75°﹣60°＝45°，作BP⊥CD，在Rt△BPC中，∴（米）， （米），在Rt△BPD中，（米）， 米， ∴米， 小明沿A→C→D方向步行且速度为1m/s，小亮沿A→B→D方向步行且速度为1.5m/s， ∴（米）， 小明用时：1131÷1＝1131s，（米）， 小亮用时1583÷1.5≈1055（s），∵1055＜1131，∴小亮早到． 针对训练 三角函数 定义 正弦、余弦、正切 特殊角的三角函数值 三角函数的应用 方位角 坡度坡角 正弦等于对比斜， 余弦等于邻比斜， 正切等于对比邻 仰角俯角 课堂总结 感谢聆听! $