专题01 锐角三角函数（5大题型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

专题01 锐角三角函数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求角的正弦、余弦、正切值 1 题型二、由正弦、余弦、正切值求边长 4 题型三、含特殊角的三角函数值的混合运算 6 题型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 9 题型五、锐角的三角函数中的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求角的正弦、余弦、正切值 1.（24-25九年级上·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义．先求出，再根据三角函数的定义分别求出的四个三角函数值，进而即可得出答案． 【详解】解：在中，，，，如图所示： 由勾股定理得：， ∴，，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2.（25-26九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和求三角函数值．过点A作于点D，根据，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 根据题意得：，，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 3.（25-26九年级上·重庆·开学考试）在中，，是斜边上的高，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的应用，同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后在中，求得，然后． 【详解】解：在中，，是斜边上的高， ， ， 在中，，，， ， ． 故选：D． 4.（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数等，连接交于点，设，则，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，垂直平分，，，，再利用勾股定理求出即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：连接交于点， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，点分别落在点处， ∴点与点关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型二、由正弦、余弦、正切值求边长 5.（25-26九年级上·山东东营·开学考试）在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 6.（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，直接利用正切的定义解答即可，正确理解正切的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故选：． 7.（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 8.（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，先由正方形的性质得到，，再导角证明，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型三、含特殊角的三角函数值的混合运算 9.（2025九年级·山东济南·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、立方根、特殊角三角函数值的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 根据负整数指数幂、立方根、特殊角三角函数值的混合运算法则即可求解． 【详解】解： ． 10.（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：， ， ， ． 11.（2024·广东·模拟预测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，实数的运算顺序和法则，是解题的关键． （1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入，再计算得出答案； （2）直接利用零指数幂、二次根式性质、特殊角的三角函数值分别求出每一部分的值，再计算得出答案. 【详解】（1）解： ； （2） 12.（25-26九年级上·全国·期中）（1）计算：． （2）已知是锐角，且，求的值． 【答案】（1）2（2） 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算出，再代入原式，接着计算特殊角的三角函数值，最后根据实数的混合运算计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）且是锐角， ， ． 题型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 13.（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 14.（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 15.（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 16.（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 题型五、锐角的三角函数中的新定义问题 17.（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 18.（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点、、都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)　　；　　； (2)请仅用无刻度的直尺在线段上求作一点，使（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】(1)4， (2)作图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，设计三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理． （1）由正方形面积减去三个直角三角形面积可求，过A作于D，用面积法可求的长，在中可得； （2）取格点E，F，连接交于P，由可知，从而，即可得，故P是满足条件的点． 【详解】（1）解：由图可得：， 过作于，如图： ， ， ， 故答案为：4，； （2）解：如图： 点即为所求点． 19.（24-25九年级上·全国·随堂练习）阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： ，，则________；① ，，则________；② ，，则________；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想． （2）已知为锐角，且，求的值． 【答案】1，1，1，1；（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． ①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； ④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角，都有； （1）过点作于，则．利用锐角三角函数的定义得出，，则，再根据勾股定理得到，从而证明； （2）利用关系式，结合已知条件且，进行求解． 【详解】解：，， ；① ，， ；② ，， ．③ 观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有．④ （1）如图，过点作于，则． ，， ， ， ， ． （2），，为锐角， ． 20.（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 【答案】和均为黄多三角形，理由见解析； ； ． 【分析】设，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质可以求出，又因为，，所以可知和均为黄多三角形； 因为，可证，根据相似三角形的性质可得：，解方程即可求出的长度； 过点作交于点，使，由可知，根据三角形内角和定理可得，可得：，根据余弦的定义即可求出的值． 【详解】和均为黄多三角形； 理由如下： ， ， 设， ， ， 是的外角， ， ， ， 在中，， ， 解得：， 且，， 和均为黄多三角形； ， ， ， ， ，， ， ， 解得：或(不符合题意，舍去)， 的长度是； 解：如下图所示，过点作交于点，使， 由可知，， 是的外角， ， ，， ， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，即可解答，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．（25-26九年级上·湖南常德·期中）在中，，，，则下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义逐一判断各选项． 【详解】在中，，，， ， ，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意， 故选：B． 3．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，都在这些小正方形的格点上，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，首先利用勾股定理求出三角形三边的长度，并利用勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，最后根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：由图可知，，， ， ， ， 故选：C． 4．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知锐角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，为其终边上的一点，若，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角余弦函数是解题关键． 根据余弦函数的定义，结合点P的坐标，建立方程求解m的值． 【详解】解：由题意，，又为锐角， ，， 两边平方可得：，， ， 交叉相乘可得：， ， ， ． 故选：D． 5．（23-24九年级下·福建龙岩·月考）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，分别与的外接圆相切，为切点，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数等，设点为的外接圆圆心，连接，过点作于点，可得，即得到，由切线的性质和切线长定理得，，进而可得，即得到，即可得，得到，再根据三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设点为的外接圆圆心，连接，过点作于点， 则    ， ∵， ∴， ∵分别与的外接圆相切，为切点， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 7．（25-26九年级上·山东泰安·期中）若，则锐角的度数是 ． 【答案】/42度 【分析】此题考查特殊角的余弦值求角的度数，根据余弦函数的性质，已知 ，且 为锐角，确定 的角度范围，并利用特殊角的余弦值求解． 【详解】因为 ，且 是锐角，即 ，所以 ， ∵ 时 ， ∴ ， 解得 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 9．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）在中，若（其中，为锐角），则的形状是 ． 【答案】 钝角三角形 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．由非负数的性质求出 和 的值，再根据三角函数值确定角 和 的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ，为锐角， ∴，， ∴的度数是， 所以 是钝角三角形， 故答案为：钝角三角形． 10．（25-26九年级上·上海·期中）如图，菱形的对角线、相交于点，为的中点，，，那么 . 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，求一个角的正弦值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由四边形是菱形，得，，再结合为的中点，得，，故，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵为的中点，， ∴， ∴，， 在中，， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解直角三角形，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标．首先根据直线求得点C的坐标，然后根据的面积求得的长，即可求得点C的坐标，进而求得一次函数解析式为，设，然后利用正切函数的定义求得的值，从而求得点B的坐标，求得结论． 【详解】解：如图，作轴交于点D， ∵直线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， 解得， ∴直线， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数在第一象限内的图象交于点B， ∴． 故答案为：12． 12．（25-26九年级上·山东聊城·期中）有一种运算：，．例如：当，时，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数值的混合运算，根据公，将表示为进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据特殊角的三角函数值、负指数幂的运算法则计算，再合并即可； （2）先代入特殊角的三角函数值及化简绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 14．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知中，，求边的长． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键；过点A作于点D，由题意易得，然后根据勾股定理可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点A作于点D，如图所示： ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，， (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了锐角三角函的应用，等腰直角三角的性质，勾股定理的应用，特殊角的三角函数值一定要熟记． （1）延长，过点B作，E为垂足，求出，根据三角形内角和得到，根据三角函数求出，根据计算即可； （2）根据勾股定理求出，则，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，延长，过点B作，E为垂足， 在中，已知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：在中根据勾股定理得，， ， 的面积是 16．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 17．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，分别是边与网格线的交点，连接．点均为格点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，余弦的定义，勾股定理．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）如图，根据网格的特征证明，得到，求出，再证明，得到，求出，由即可求解； （2）由（1）知，即可求出，利用勾股定理求出，再利用余弦的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图， 由题意得，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，为上一点，与相切于点，连接，经过点、的分别交、于点、，连接交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径及的长度． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查切线的性质和角平分线的性质，三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题的关键． （1）先连接，再利用切线的性质进一步得出，最后倒角即可； （2）先连接，再根据可求出的半径为，再利用三角函数进一步得出，最后利用平行判定相似三角形即可． 【详解】（1）证明： 如图， 连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：如图， 连接， 在中， 设半径为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为． ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即， ∴． 答：的半径为，的长度为． 19．（2025·江西吉安·二模）若一个三角形中存在一个内角的两倍与另一个内角的和等于，我们称该三角形为倍余三角形： (1)a．倍余三角形一定是______________三角形（填“钝角”、“锐角”或“直角”）； b．顶角为的等腰三角形______________倍余三角形（填“是”或“不是”）； (2)如图1，为倍余三角形，，过点C作边的垂线交其延长线于点D，若，求的度数； (3)如图2，中，，，，在的延长线上是否存在一点D，使得是倍余三角形，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)a．钝角；b．是 (2) (3)的长为或6 【分析】++此题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形，勾股定理及三角函数， （1）根据倍余三角形定义解答即可； （2）在线段上截取，连接，证明，得，，根据推出，求出，进而求出； （3）由题意知，，是倍余三角形，分两种情况讨论：①是倍余三角形且，②是倍余三角形且，根据定义求解． 【详解】（1）解：a.由倍余三角形定义得：若，则故，则倍余三角形一定是钝角三角形， 故答案为：钝角； b.顶角为的等腰三角形的底角为， ∵， 故顶角为的等腰三角形是倍余三角形， 故答案为：是； （2）如图，在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴； （3）存在， 由题意知，，是倍余三角形， ∴分两种情况讨论： ①如图，是倍余三角形且， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴平分， 过点A作于点P， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 设，则， 在中，， 即 解得（负值已舍去）， ∴； ②如图，是倍余三角形且， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵在中， 在中， ∴，即 ∴ 综上，的长为或6 20．（25-26九年级上·吉林长春·期中）综合与实践：如图①，这个图案是三世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，“受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图②，直线上从左至右依次有、、三点，，，，． 【观察感知】通过观察图②，可以得出与的数量关系为_____． 【类比迁移】如图③．在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点，连结，交于点． （）求证：； （）的值为_____． 【拓展延伸】在【类比迁移】的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长． 【答案】【观察感知】；【类比迁移】（）见解析，（）；【拓展延伸】或 【分析】观察感知：证明即可求解； 类比迁移：（）由得，由旋转得，进而根据判定定理“”即可求证；（）过作于点，由得，，，即得，即得到，设，则，由得，得到，即得到，解得，即得，再根据即可求解； 拓展延伸：分当点在左侧和点在右侧两种情况，分别画出图形，利用锐角三角函数的定义解答即可求解． 【详解】解：观察感知：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 类比迁移（）证明：由题可知，， ∴， 由旋转可知，， 在和中， ， ∴； （）解：如图，过作于点， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展延伸：当点在左侧时，过作于点，如图， ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在右侧时，过作的延长线于点，如图， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 21．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知四边形为的内接四边形，对角线相交于点． (1)如图1，若为的中点，，，则 ①的度数为________； ②求证：． (2)如图2，若为的直径，，，求的值； (3)如图3，对角线为的直径，过点作于点，延长交于点，若，则________． 【答案】(1)①；②见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）①根据题意可得，由等弧所对的圆周角相等和三角形内角和定理得到，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案；根据等边对等角和同弧所对的圆周角相等可证明，则可证明； （2）可求出，由勾股定理可得；证明，得到，则，即可得到； （3）可证明，得到，设，可求出，则． 【详解】（1）解：①∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴； （3）解：∵为的直径， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴可设， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图1，在矩形中，． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在图1中，先在边上确定点E，连接使得．再在边上确定点F，使得以F为圆心的圆经过点E和点C； (2)在（1）的条件下，连接．若，且，则的半径为________； (3)在（1）的条件下，连接． ①延长，相交于点G．若点G恰好在上，求的值； ②取的中点M，连接，与相交于点N．当时，求的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，作线段的垂直平分线，交于点F，以F为圆心，为半径作圆即可； （2）根据题意，的半径为，则，结合，结合，解答即可； （3）①根据三角形全等性质，等腰三角形的性质，证明，设，则，，，根据解答即可； ②设，，根据题意，得，，根据勾股定理，得，确定，建立等式，解答即可． 本题考查了矩形的性质，圆的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，作线段的垂直平分线，交于点F，以F为圆心，为半径作圆， 则点E，即为所求． （2）解：由矩形，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． （3）①解：设，的交点为H， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵矩形， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：设，， 根据题意，得，， 根据勾股定理，得， ∵的中点M， ∴， 设，的交点为H， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 根据勾股定理，得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01锐角三角函数 月录 A题型建模·专项突破 题型一、求角的正弦、余弦、正切值.1 题型二、由正弦、余弦、正切值求边长…。 题型三、含特殊角的三角函数值的混合运算6 题型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 .9 题型五、锐角的三角函数中的新定义问题… B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、求角的正弦、余弦、正切值 1.(24-25九年级上广东中山期末)已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=6,那么下列各式中， 正确的是（). 2 A.sin B= 3 B.cosB= 2-3 C.tan B= D.不确定 2.(25-26九年级上山东泰安阶段练习)如图，A,B,C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为1，则 sin ZACB的值为() A. V10 B. c30 5 3-5 5 3.(25-26九年级上·重庆·开学考试)在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，CD=6,BD=9, 则cosA的值为() B A A.3 D.23 13 c 13 4.(25-26九年级上山东淄博·阶段练习)如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB,点M,N分别在边 BC,AD上.连接MN,将四边形CMND沿MN翻折，点C,D分别落在点A,E处.则tan∠AMN的值是() 1/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E N ---D M A.2 B.√2 C.5 D.5 题型二、由正弦、余弦、正切值求边长 九年级上山东东营开学考试)在ABC中，若∠C=90,BC=2,sinA,则4B的长 4.月 B.2 C.8 D.10 6.(24-25九年级上陕西西安阶段练习)己知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=2,AC=6,则BC等于 () A.3 B.6 C.12 D.16 九年级上甘肃兰州期末)如图，在R△ABC中，∠C=90,AB=6,cosB=,则BC的 A.4.5 B.5 C.4 D.3√5 8.(24-25九年级下·重庆大足·期末)如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE,过A作 4G上BE于点G,延长4G交BC的延长线于点F,若AB=6an∠ABE=},则CF等于() B A.2 B. c 2/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三、含特殊角的三角函数值的混合运算 9.(2025九年级山东济南·专题练习)计算：（π-2025）°+2cos30°+ 2 -tan60°-3到+38。 10.(25-26九年级上·山东淄博·阶段练习)计算： (1)cos30°.tan60°-4sin30°+tan45°； (2)3tan30°+tan245°-2sin60°. 11.(2024广东模拟预测)计算 1 (0)2sin60°-tan45°+2cos30°+iam30° (2)1-2024π)°+V12+2sin60°-(-3) 12.(25-26九年级上全国期中)(1)计算：(3tan30°+tan45）(2sin60°-1). (2)已知a是锐角，且sima= 2 ,求3cos2au+sin(a-15)tan(a+15)-V5cos(a-15)的值。 题型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 13.(2025九年级下全国专题练习)在ABC中，∠A、LB满足：(2sinA-5+2cosB-1=0,则 ABC的形状为」 14（2024江苏准安一模)在ABC中，若osA- +(1-tanB)=0,∠A,∠B都是锐角，则ABC是 2 三角形， 152公24九年级上山东威海阶段练习》左A8C中，若血4习9s8=0,∠4，∠B都是 22 锐角，则ABC的形状是 16(25-26九年级上全国课后作业)已知4BC中的∠4与∠B满足0-tan4+5inB-5-0. 2 (I)试判断ABC的形状， (2)求2cos2A-(1+tanB)2+(3-tanC)°的值. 题型五、锐角的三角函数中的新定义问题 17.(2025四川攀枝花中考真题)如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c. 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b (1)根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A=1; 1 ②若s血4=3， 求cosA的值， 18.(24-25九年级上·上海闵行阶段练习)新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方 形的顶点称为格点.如图，己知在5×5的网格图形中，ABC的顶点A、B、C都在格点上.请按要求完 成下列问题： ()①S。Bc=;sin ZABC= (②请仅用无刻度的直尺在线段B上求作一点P,使S,(不要求写作法，但保留作图痕迹，写出 结论). 19.(24-25九年级上全国·随堂练习)阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： 2’c0s30=3 1 sin30° ,则sin230°+c0s230°= ；① 2 sin45 ’cos45= ,则sin245°+cos245°= ； ② 2 2 sin600=3 2 c0s60°=1 '则sin260°+c0s260°=：③ 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A,都有sin2A+cos2A= ·④ B (1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想. (2)已知∠A为晚角，且sm4=号，求c0s4的位， 20.(2025广西南宁.三模)【定义】有一个内角是36°的等腰三角形是黄金三角形，图1和图2是黄金三角形 4/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的两种分类 【判定】(1)如图3，在△ABC中，AB=AC,点D在BC边上，且AB=BD,AD=CD,请写出图中存在 的黄金三角形并说明理由； 【性质】(2)在(1)的条件下，若BC=1,求AB的长度； 【应用】(3)如图4，在RtAABC中，∠C=90°，∠B=36°，求cos36°， A 36 B36 B B 36° AB=AC,∠A=36°AB=AC,∠B=36 图1 图2 图3 图4 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25九年级上陕西咸阳期末)计算cos60°的值为() A号 B. 2 D.3 2 2.(25-26九年级上·湖南常德期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,则下列三角函数表示正 确的是() A.Cos4=3 B.sin4=3 cmA-号 D.tanB=3 4 3.(25-26九年级上广西贵港期中)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A,B,C都在这些小正方 形的格点上，则tan∠BAC的值为() B A.1 B.2 C. D. 4.（25-26九年级上北京·课后作业)已知锐角a的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，P(m,1)为其 2V5 终边上的一点，若cosa= ,则m的值为() 5/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A. B.1 5 c.25 D.2 5 5.(23-24九年级下福建龙岩月考)在ABC中，若(2cosA-2+|1-tanB=0,则么ABC一定是() A.锐角三角形B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 6.(2024湖北武汉模拟预测)如图，PA,PB分别与ABC的外接圆相切，A,B为切点，若AB=6, snC=号则Su的值是《） A.4 B.6 C.8 D.12 二、填空题 7.(25-26九年级上山东泰安期中)若c0sa+18)=号，则锐角a的度数是 8.(25-26九年级上·江苏无锡阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4,cosB 2 3,点M是 AB的中点，则CM的长为 M Q25.26九年级上肃天水期中)在aABC中，若simA+cosB =0(其中∠A,∠B为锐角)， 2 则△ABC的形状是」 10.(25-26九年级上·上海·期中)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E为AD的中点， AC=4,OE=3,那么sin∠E0D= 11.(25-26九年级上山东泰安期中)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与y轴交于点C,与反比 例函数y=在第一象限内的图象交于点B,连接08，若Sac=8,au∠B0C背剥m的能是 6/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA B 12.(25-26九年级上山东聊城期中)有一种运算：sina+β)=sina cos B+cosa sin阝， sin(a-B）=sina cosB-cosa sin B.例知：当a=60°，B=45°时， s如60+459=5x5+×5.6+5,则sin15的僧为 22224 三、解答题 13.(25-26九年级上山东聊城期中)计算： 04sn0-2s0+m60+(: a外V5-2+5sin45+31an30. 4 14.(2526九年级上上海杨裙期)如图，已知4BC中，4B=E,8C-2m∠4BC-子，求边4C的 长 15.(25-26九年级上陕西西安期中)如图，在ABC中，已知∠ACB=135°，sinA=5,BC=9V2. 3 O (I)求AB的长； (2)求ABC的面积. 16.(25-26九年级上·全国·课后作业)已知ABC中的∠A与∠B满足(1-tanA)2+ sinB- 3 =0 (I)试判断ABC的形状. (2)求2cos2A-(1+tanB)2+(3-tanC)°的值. 17.(25-26九年级上·山东潍坊·期中)如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，ABC的顶点A,B,C均 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在格点上，点D,E分别是边AB,AC与网格线的交点，连接DE,点M,N,P,Q,G均为格点. MG AO E N (I)求DE的长； (2)求cos/AED. 18.(25-26九年级上山东聊城期中)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，O为AC上一点，BC与00相切 于点E,连接AE,经过点A、E的OO分别交AB、AC于点D、F,连接OD交AE于点M. B (I)求证：AE平分∠BAC; 3 (2)若CF=4,sinC=亏，求00的半径及DM的长度. 19.（2025江西吉安·二模)若一个三角形中存在一个内角的两倍与另一个内角的和等于90°，我们称该三角 形为倍余三角形： D 图1 图2 (I)a.倍余三角形一定是 三角形（填“钝角”、“锐角”或“直角”）： b.顶角为120°的等腰三角形 倍余三角形（填“是”或“不是”)； (2)如图1，ABC为倍余三角形，∠B+2LBCA=90°，过点C作边BA的垂线交其延长线于点D,若 BC=AD+CD,求∠BCA的度数； (3)如图2，ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=4,在CA的延长线上是否存在一点D,使得△ABD是倍 余三角形，若存在，求出AD的长，若不存在，请说明理由 20.(25-26九年级上·吉林长春·期中)综合与实践：如图①，这个图案是三世纪我国汉代的赵爽在注解《周 髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，“受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如 图②，直线1上从左至右依次有B、D、E三点，AB⊥BC,AB=BC,AD⊥I,CE⊥1. 【观察感知】通过观察图②，可以得出BD与CE的数量关系为 8/10 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【类比迁移】如图③.在△ABD中，∠D=90°，AD=12,BD=4,将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线 段BC,作CE⊥DB交DB的延长线于点E,连结AE,交BC于点N. A a朱实h. 朱实黄实朱实 朱实 d D B 图① 图② 图③ (1)求证：△ABD≌aBCE; (2) BN的值为一 A 【托展延仰】在【类比迁移】的条件下，在直线DE上找点P,使an∠B4P-},请直接写出线段DP的长。 21.(25-26九年级上河北石家庄·期中)己知四边形ABCD为O0的内接四边形，对角线AC,BD相交于点 E. A B 图1 图2 图3 (I)如图1，若D为AC的中点，AE=DE,∠ADC=128°，则 ①∠ABD的度数为 ； ②求证：AD∥BC. (2)如图2，若AC为⊙0的直径，AB=BC, AE2 BE=3,求cos2CAD的值： 图3，对角线AC为OO的直径，过点D作DM上AC于点M,延长DM交BC于点F,若8F= DF DB 22.(25-26九年级上·江苏泰州期中)如图1，在矩形ABCD中，AD>AB. D D B B B 图1 备用图1 备用图2 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)用无刻度的直尺和圆规作图：在图1中，先在AD边上确定点E,连接BE使得BE=BC.再在CD边上 确定点F,使得以F为圆心的圆经过点E和点C; ②在1D的条件下，连接EF.若4B=10,且co∠DPE=}则oF的半径为 (3)在(1)的条件下，连接BF. ①延长AD,F相交于点G.若点G恰好在OF上，求匹的值： ②取AB的中点M,连接CM,与BF相交于点N.当CF=CN时，求∠DEF的正弦值. 10/10