重难点1-2 利用基本不等式求最值（6重难点题型+4秒杀技巧与性质+题型特训）-2026年高考数学二轮复习精练（新高考通用）

重难点1-2利用基本不等式求最值 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 近三年高考中，不等式是一个重点考查的知识点，主要涉及大小判断、求最值和求最值范围等问题。而基本不等式求最值是高考中的常考点，通常出现在选择题和填空题中，难度不大 2022年新Ⅱ卷，12题，5分 2021年乙卷，8题，5分 2020年天津卷，14题，5分 不等式是常考点，预计在2026年的高考中仍将保持其重要地位，考查形式和难度可能会与近几年的趋势保持一致．主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题． 一、基本不等式： 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 二、基本不等式的变形与拓展： 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)、函数图象如右图所示： (2)、函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 秒杀技巧与性质一：，当且仅当时等号成立； 秒杀技巧与性质二：，当且仅当时等号成立； 秒杀技巧与性质三：，当且仅当时等号成立； 秒杀技巧与性质四：，当且仅当时等号成立． 重难点题型【一】、基本不等式的证明及其应用 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 4．（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 重难点题型【二】、“直接法”求最值 1．（2025·山西吕梁·模拟预测）若且，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．16 2．（2025·四川南充·一模）设，若直线平分圆的周长，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 3．（2025·海南·一模）已知，且，则xy的最大值为 . 4．（2025·四川·模拟预测）已知，则的最小值为 ． 重难点题型【三】、“配凑法”求最值 1．（2025·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数正数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 4．（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 重难点题型【四】、“常数1的代换”求最值 1．（25-26高三上·陕西商洛·月考）若，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B．18 C． D．9 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若，且，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．4 D．5 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 4．已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为 . 5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数为上的单调递增函数，且当时，，则的最小值为 . 6．（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为 ． 重难点题型【五】、基本不等式的综合应用（恒成立问题） 1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，若直线过点，且不等式恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西咸阳·一模）已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 5．（2025·河南郑州·模拟预测）若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重难点题型【六】、利用基本不等式解决实际应用问题 1．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 2．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是 万元． 3．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 5．（25-26高三上·湖北·期中）为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时） (1)若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ (2)若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（2025·重庆·一模）已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江温州·一模）若a，，且，则ab的最小值为（   ） A．5 B．17 C．25 D．36 3．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 4．设，，若，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C． D．18 5．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 6．（2024·山东·模拟预测）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知点为的重心，分别是边上一点，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C． D． 8．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 9．要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 二、填空题 10．（2025·河南·模拟预测）在中，内角的对边分别为，若，则该三角形内切圆面积的最大值为 . 11．（2025高一上·湖南岳阳·专题练习）如图，已知点是反比例函数图象上一动点，点，则的面积的最小值为 ． 12．（2025·湖北·模拟预测）已知随机变量，a、b是正实数，满足，则的最小值为 . 13．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 14．已知，，且，则的最小值是 . 15．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 16．（25-26高三上·江苏常州·期中）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某直线折叠，现有一张长方形纸（）．若将长方形纸对折，使得重合，得到新的长方形，发现长边与短边的长度比保持不变．若将长方形纸的顶点折到边上，设折痕所在直线与的夹角为，当折痕最短时， ． 三、解答题 17．（25-26高三上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式； (2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？ 18．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）生态环境保护和经济发展是辩证统一､相辅相成的，建设生态文明､推动绿色低碳循环发展，不仅可以满足人民日益增长的优美生态环境需要，而且可以推动实现更高质量､更有效率､更加公平､更可持续､更为安全的发展，走出一条生产发展､生活富裕､生态良好的文明发展道路.某果树培育公司响应国家的号召，决定采用一种新型绿色肥料进行果树栽培，经多次试验发现：一棵果树果实的产量（单位：百千克）与新型绿色肥料的费用（单位：百元）满足关系，且投入的新型绿色肥料的费用不超过5百元，此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种果树果实的市场售价为25元/千克（即25百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记栽培一棵该果树一年获得的利淘为（单位：百元） (1)求利润函数的函数关系式，并写出定义域. (2)当投入的新型绿色肥料的费用为多少时，栽培一棵该果树一年获得的利润最大？最大利润是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点1-2利用基本不等式求最值 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 近三年高考中，不等式是一个重点考查的知识点，主要涉及大小判断、求最值和求最值范围等问题。而基本不等式求最值是高考中的常考点，通常出现在选择题和填空题中，难度不大 2022年新Ⅱ卷，12题，5分 2021年乙卷，8题，5分 2020年天津卷，14题，5分 不等式是常考点，预计在2026年的高考中仍将保持其重要地位，考查形式和难度可能会与近几年的趋势保持一致．主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题． 一、基本不等式： 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 二、基本不等式的变形与拓展： 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)、函数图象如右图所示： (2)、函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 秒杀技巧与性质一：，当且仅当时等号成立； 秒杀技巧与性质二：，当且仅当时等号成立； 秒杀技巧与性质三：，当且仅当时等号成立； 秒杀技巧与性质四：，当且仅当时等号成立． 重难点题型【一】、基本不等式的证明及其应用 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式比较大小 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由基本不等式证明不等关系 【分析】利用充分，必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，满足，此时； 由，且，，得，当且仅当时等号成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 3．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论． 【详解】设，可得圆的半径为， 又由， 在中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 4．（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断. 【详解】解：由图知：， 在中，， 所以，即， 故选：C 重难点题型【二】、“直接法”求最值 1．（2025·山西吕梁·模拟预测）若且，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式可得：， 所以，当且仅当时等号成立； 所以的最大值为； 故选：B 2．（2025·四川南充·一模）设，若直线平分圆的周长，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】易知直线过圆心，得，进而，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由题意知，直线过圆心. 由，得， 则圆心坐标为，半径为， 有，即. 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：D 3．（2025·海南·一模）已知，且，则xy的最大值为 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】直接利用基本不等式即可. 【详解】因，则，所以， 当且仅当时等号成立， 则xy的最大值为. 故答案为： 4．（2025·四川·模拟预测）已知，则的最小值为 ． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 重难点题型【三】、“配凑法”求最值 1．（2025·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】可利用配凑法与“1的妙用”，结合基本不等式进行求解. 【详解】由题可知，，又因为, 则 , 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此的最小值为4， 故的最小值为3. 故选：D. 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用1的代换，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数正数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、分段函数的单调性 【分析】根据函数的导数判断函数单调性，再利用函数单调性解不等式得出的取值范围，最后通过对式子变形，利用基本不等式求最值. 【详解】当时，恒成立，当时，恒成立，则在上单调递增，在上单调递增． 又因为，当时，，对时，0也成立，所以在上单调递增． 已知正数满足，则，解得或（负值舍去），所以，， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8． 故选：C. 4．（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将已知等式变形为，然后使用常数代换法，结合基本不等式可得. 【详解】由得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 重难点题型【四】、“常数1的代换”求最值 1．（25-26高三上·陕西商洛·月考）若，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B．18 C． D．9 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题设条件可得，利用“乘1法”与基本不等式求最小值. 【详解】由， 则 . 当且仅当时取等号，即，再结合， 可得，时取等号. 故选：C 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若，且，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用常数代换，结合基本不等式可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是5. 故选：D 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】设公差为，由求出，则，由及乘“1”法计算可得. 【详解】正项等差数列中，设公差为， 因为，所以，因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：B 4．已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】随机变量服从二项分布，故，，所以，结合基本不等式即可得到的最小值. 【详解】离散型随机变量服从二项分布， 所以有，， 所以， 所以， 当且仅当时取得等号，此时， 故答案为：. 5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数为上的单调递增函数，且当时，，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】先根据奇函数的性质得到与的关系，再将所求式子进行变形，最后利用基本不等式求解最小值. 【详解】已知是奇函数，则. 因为，所以. 又因为在上单调递增，所以，即. 由可得. 则. 将展开可得： . 因为，所以，. 根据基本不等式，则，当且仅当时等号成立. 所以. 故答案为： . 6．（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据等差中项性质可得，再利用基本不等式中“1”的应用计算可得结果. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 重难点题型【五】、基本不等式的综合应用（恒成立问题） 1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 2．已知，，若直线过点，且不等式恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据直线过点，求出的值，得到的取值范围，由不等式恒成立，解出实数m的取值范围，即可得到实数m的最大值. 【详解】解：由题意，， 在直线中，过点， ∴， ∴， ∵不等式恒成立， ∴，解得：， ∴实数m的最大值为9， 故选：D. 3．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】正实数x,y满足， 则， 当且仅当取得最小值2. 由有解,可得， 解得m>2或m<−1. 本题选择C选项. 4．（2024·陕西咸阳·一模）已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由根据函数的单调性求，再由基本不等式求的最小值，由此可求实数m的最大值. 【详解】设，则， 当时，， 所以函数在上为增函数， ∵   ∴   ，即，又， ∴ ， ∴ 当且仅当时等号成立， ∵不等式对任意的正实数恒成立， ∴ ， 故选：D. 5．（2025·河南郑州·模拟预测）若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】原不等式即，再利用基本不等式求得的最大值，可得的范围． 【详解】依题意得，当时， 恒成立， 又因为，当且仅当时取等号， 所以，的最大值为， 所以，解得的取值范围为． 故选：B 重难点题型【六】、利用基本不等式解决实际应用问题 1．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 2．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是 万元． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因为不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元， 则，又由题可得. 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 3．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【答案】(1) (2)当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】（1）根据矩形面积公式即可求解， （2）根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）由则，， 所以. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 5．（25-26高三上·湖北·期中）为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时） (1)若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ (2)若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围. 【答案】(1)时，最大值 (2) 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式的实际应用 【分析】（1）求得，进而得小白鼠血液中药物的浓度，根据二次函数的性质与基本不等式求出最大值； （2）由题意，分段讨论，根据函数的单调性及二次函数的性质求解. 【详解】（1）时，， 则小白鼠血液中药物的浓度， 当时，， 当即时，； 当时，， 当即时，， 由于，故小白鼠在时，浓度最高，达到. （2）. 当时，可得， 在时单调递减， 则； 当时，可得， ， 则当，即时，， 又，. 一、单选题 1．（2025·重庆·一模）已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、基本（均值）不等式的应用、由基本不等式证明不等关系、基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义逐项分析判断即得. 【详解】对于A，令，显然有，但，A不是； 对于B，当，时，，B不是； 对于C，，显然有，但，C不是； 对于D，当，则，即， 反过来，令，不等式成立，而， D是. 故选：D 2．（2025·浙江温州·一模）若a，，且，则ab的最小值为（   ） A．5 B．17 C．25 D．36 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】由，，得， 则，解得，因此， 当且仅当时取等号，所以当时，ab取得最小值25. 故选：C 3．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得，即， 所以， 则 ， 当且仅当时，即，即时， 也就是时，等号成立. 故选：C 4．设，，若，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C． D．18 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由乘“1”法利用基本不等式即可求解. 【详解】，，且， 且， ， 当且仅当，即且时取等号，故的最小值为9. 故选：B. 5．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】应用基本不等式求出，不等式有解，只需即可. 【详解】因为正实数，满足， 所以， 所以 ， 当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解， 所以只需，即即可， 所以或. 故选：D 6．（2024·山东·模拟预测）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、由基本不等式比较大小、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】A选项，根据的妙用进行求解；B选项，对原条件直接使用基本不等式，即可求解；C选项，将待证明表达式消去一个字母，构造函数，利用导数知识解决；D选项，结合B选项的分析可解决. 【详解】因为，所以， 对于A项：， 当且仅当时取得等号，从而在，时，故A错误； 对于B项：因为，所以， ，当时取得等号，此时，故B错误； 对于C项：因为，所以，所以， 于是等价于，等价于， 构造函数，， 所以在上单调递增； 所以恒成立，所以不等式成立，故C正确； 对于D项：根据B选项的分析，， 则，即， 当时取得等号，此时，故D错误. 故选：C 7．已知点为的重心，分别是边上一点，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据重心性质可得，再由三点共线得出，根据“1”的变形技巧利用均值不等式求最值. 【详解】由点为的重心，为的中点知， , 所以， 因为三点共线，分别是边上一点， 所以，即， ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A 8．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可. 【详解】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需， 故选：B 9．要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 二、填空题 10．（2025·河南·模拟预测）在中，内角的对边分别为，若，则该三角形内切圆面积的最大值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求得，进而求得三角形内切圆半径的关系式，利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 则 ， 整理得，而，即， 因此，，设该三角形内切圆半径为， 则，又，于是 ，由，得， 当且仅当时取等号，因此， 所以该三角形的内切圆面积的最大值为. 故答案为： 11．（2025高一上·湖南岳阳·专题练习）如图，已知点是反比例函数图象上一动点，点，则的面积的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数 【分析】设，结合反比例函数的几何性质，用表示出的面积，再用基本不等式求最小值即可. 【详解】如图： 过点作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为. 结合题意可设点， 则，. 所以，，. 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为： 12．（2025·湖北·模拟预测）已知随机变量，a、b是正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性可得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由随机变量，且，得，而， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 13．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 14．已知，，且，则的最小值是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用“1”的代换化简式子中的3和1，进而利用基本不等式即可. 【详解】由题意可得，， 等号成立时，即. 故的最小值是. 故答案为： 15．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】/0.25 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 16．（25-26高三上·江苏常州·期中）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某直线折叠，现有一张长方形纸（）．若将长方形纸对折，使得重合，得到新的长方形，发现长边与短边的长度比保持不变．若将长方形纸的顶点折到边上，设折痕所在直线与的夹角为，当折痕最短时， ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、基本不等式的实际应用 【分析】画图，研究各种不同情形，借助于直观的判断和平均值不等式求得各种情况下的最小值，进而比较得出折痕最小的条件，进一步求得对应的角的正弦值. 【详解】设中点为,中点依次记为,中点记为,连接. 设,因为在上，所以的中点在线段上. 折痕为过,且,情况分三种，如图1，2，3. 由题意，,得. 情形1： 如图1，折痕. 情形2： 如图2，， , , 所以. 情形3： 如图3.当与重合时，取得最小值. 如图4，此时. 由,得,所以. 故当折痕最短时，. 故答案为： 三、解答题 17．（25-26高三上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式； (2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？ 【答案】(1)，其中 (2)100件 【难度】0.65 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、利润最大问题、基本不等式的实际应用 【分析】（1）根据题意分别写出当与时的函数解析式即可； （2）利用二次函数求最值与基本不等式求最值分析即可得出. 【详解】（1）当时， ； 当时， ， 所以，其中. （2）当时， 当时，取得最大值900万元； 当时， ， 当且仅当，即时， 取得最大值950万元， 所以当产量为100件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为950万元 18．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）生态环境保护和经济发展是辩证统一､相辅相成的，建设生态文明､推动绿色低碳循环发展，不仅可以满足人民日益增长的优美生态环境需要，而且可以推动实现更高质量､更有效率､更加公平､更可持续､更为安全的发展，走出一条生产发展､生活富裕､生态良好的文明发展道路.某果树培育公司响应国家的号召，决定采用一种新型绿色肥料进行果树栽培，经多次试验发现：一棵果树果实的产量（单位：百千克）与新型绿色肥料的费用（单位：百元）满足关系，且投入的新型绿色肥料的费用不超过5百元，此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种果树果实的市场售价为25元/千克（即25百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记栽培一棵该果树一年获得的利淘为（单位：百元） (1)求利润函数的函数关系式，并写出定义域. (2)当投入的新型绿色肥料的费用为多少时，栽培一棵该果树一年获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)当投入的新型绿色肥料的费用为400元时，栽培一棵该果树获得的利润最大，最大利润是11400元. 【难度】0.65 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值、基本不等式的实际应用 【分析】（1）由题意求出利润的函数解析式，即可得解； （2）由（1），利用基本不等式求解. 【详解】（1），定义域为. （2）由（1）知，. 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 答：当投入的新型绿色肥料的费用为400元时，栽培一棵该果树获得的利润最大，最大利润是11400元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $