第五单元 线和角（知识梳理+7个考点讲练+真题演练+难度分层练 共46题）-2025-2026学年人教版数学三年级上学期单元复习举一反三培优精讲练（新教材）

第五单元 线和角 （知识梳理+7个考点讲练+真题演练+难度分层练 共46题） 【原卷版】 资料简介 内容梳理 1 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：线段、直线、射线 2 知识点梳理02：角的认识 2 重点难点 考点讲练 3 高频考点讲练1：线段、直线、射线的认识及特征 3 高频考点讲练2：两点间线段最短与两点间的距离 3 高频考点讲练3：用圆规比较线段的长短 4 高频考点讲练4：数图形（线段、直线、射线) 6 高频考点讲练5：角的概念及表示方法 6 高频考点讲练6：直角、钝角、锐角的认识及特征 7 高频考点讲练7：数图形（数角） 8 期末真题 压轴演练 9 优选题型 培优强化 9 基础夯实 能力提升 9 创新拓展 拔尖冲刺 11 同学你好，该份讲义用于2024人教版新教材三年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 期末真题，压轴演练：精选5道期末考试名校真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：线段、直线、射线 1、线段 （1）定义：直线上两个端点之间的有限部分，有明确的长度。 （2）特征：有两个端点、可以测量长度、形状是直的。 （3）性质：两点之间，线段最短。 2、直线 （1）定义：把线段的两端无限延伸，得到的没有端点、无限长的线。 （2）特征：没有端点、不能测量长度、无限延伸、形状是直的。 3、射线 （1）定义：把线段的一端无限延伸，得到的只有一个端点、无限长的线。 （2）特征：有一个端点、不能测量长度、向一端无限延伸、形状是直的。 【易错点拨】 （1）区分端点数量：线段2个端点、直线0个端点、射线1个端点。 （2）长度测量误区：只有线段能测量长度，直线和射线无限长，不能用尺子测量。 （3）实际场景识别：生活中没有真正的直线和射线，需结合特征抽象（如手电筒发出的光抽象为射线，笔直的公路抽象为线段，而非直线）。 （4）避免“直线比射线长”的错误认知：二者都是无限长，无法比较长度，只能通过端点和延伸方向区分。 知识点梳理02：角的认识 1、角的定义：由一点引出的两条射线所组成的图形，这个点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边。 2、角的特征：有1个顶点、2条边（边是射线，可无限延伸）、角的大小与边的长短无关，与两条边张开的程度有关。 3、角的表示方法： （1）用角的符号“∠”加三个大写字母表示（顶点字母在中间，如∠ABC）。 （2）用角的符号“∠”加顶点字母表示（如∠B，需保证顶点处只有一个角）。 （3）用角的符号“∠”加数字表示（如∠1、∠2，需在图中标注数字）。 4、角的分类（按张开程度）： （1）角分为锐角、直角、钝角三类。 （2）锐角、钝角的特点：锐角比直角小，钝角比直角大。 （3）每个三角尺上都有一个直角。所有直角的大小相等。 5、用三角尺上的直角判断一个角是不是直角的方法： （1）将三角尺的顶点与要判断的角的顶点重合、三角尺上一条直角边与角的一条边重合； （2）看三角尺上直角的另一条边与角的另一条边是否重合，如果重合，这个角就是直角，如果没有重合，这个角就不是直角。 【易错点拨】 （1）角的边的本质：角的两条边是射线（可无限延伸），不是线段，不能说“角的边长2厘米”。 （2）角的大小判断：与边的张开程度有关，张开越大角越大，张开越小角越小，与边的长短无关。 高频考点讲练1：线段、直线、射线的认识及特征 【典例精讲】（25-26三年级上·全国·单元测试）如图，已知点B、C在线段AD上。 (1)图中共有( )条线段。 (2)若AB＞CD，则比较线段的长短：AC BD（填“＞”“＜”或“＝”）。 【变式训练1】（25-26三年级上·全国·单元测试）以下关于比较线段长短的说法，错误的是（    ）。 A．可以用尺子测量长度来比较 B．圆规只能用来画圆，不能比较线段长短 C．把两条线段的一个端点重合，看另一个端点的位置能比较长短 【变式训练2】（25-26三年级上·全国·周测）如图，一共有( )条直线，( )条线段。 高频考点讲练2：两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】（24-25四年级上·河南周口·期中）如下图，小猴子从树上摘下了桃子，现在它要回家，走路线( )最近，用数学知识解释是( )。 【变式训练1】（23-24四年级下·江苏·课后作业）小红从家去超市有几条路线？走哪一条路最近？你是怎样想的？ 【变式训练2】（24-25四年级上·河北·课后作业）看图回答问题。 （1）北京到南京的空中航程是（    ）千米，铁路里程是（    ）千米，公路里程是（    ）千米。 （2）（    ）线路最长，（    ）线路最短。 （3）自己提出问题并解答。 高频考点讲练3：用圆规比较线段的长短 【典例精讲】（25-26三年级上·全国·单元测试）用圆规比一比下面每组中两条线段的长短。（在“_____”上填“＞”“＜”或“＝”） (1)     AB CD (2) AB CD 【变式训练1】（25-26三年级上·全国·课后作业）用圆规比较哪只蜗牛爬行的路线比较长，在里画“√”。 【变式训练2】（25-26三年级上·海南海口·单元测试）下面是用圆规比较线段AB和线段CD长短的过程。把给出的步骤按操作顺序排一排（写序号）。 ①如果点B和点D重合 ②那么AB＝CD ③如果点B在点D右侧 ④再将圆规有铅笔的脚对准线段AB的端点B ⑤先将圆规有针尖的脚固定在线段AB的端点A上 ⑥转动圆规手柄画出记号 ⑦如果点B在点D左侧 ⑧那么AB＞CD ⑨那么AB＜CD ⑩将圆规有针尖的脚固定在线段CD的端点C上 排序： 。 高频考点讲练4：数图形（线段、直线、射线) 【典例精讲】（2025三年级上·全国·专题练习）数一数，图中一共有多少条线段？ 【变式训练1】（25-26三年级上·全国·课后作业）下图中有( )条直线，( )条线段，( )条射线。 【变式训练2】（25-26三年级上·全国·课后作业）下图中的2个点、3个点、4个点、5个点，分别最多可以连出几条线段？ 你发现了什么规律？你能直接说出6个点最多可以连出几条线段吗？ 高频考点讲练5：角的概念及表示方法 【典例精讲】（25-26三年级上·全国·单元测试）画一画，填一填。 （1）过点O画直线l。经过点O可以画（    ）条直线。 （2）在直线l上取一点A，使线段OA长5厘米。经过O、A两点可以画（    ）条直线。 （3）以射线AO为一条边画，标出角的各部分名称。 【变式训练1】（2025三年级上·全国·专题练习） （1）从一点引出两条射线所组成的图形（如图）叫作（    ），它通常用符号“（    ）”表示，图中的角可以记作“（    ）”。 （2）标出图中角的各部分的名称。 【变式训练2】（22-23四年级上·贵州遵义·期中）图1中有( )个角；图2中有( )条线段，( )条射线。 高频考点讲练6：直角、钝角、锐角的认识及特征 【典例精讲】（25-26三年级上·全国·单元测试） (1)上面的图形中，最大的角是( )，最小的角是( )。（填序号） (2)比直角大的角有( )，它们都是( )角；比直角小的角有( )，它们都是( )角。 【变式训练1】（25-26三年级上·全国·课后作业）找出下面三角形中的直角、钝角和锐角。你有什么发现？ 我发现：一个三角形中至少有（    ）个锐角，最多有（    ）个直角或钝角。 【变式训练2】（25-26三年级上·全国·单元测试）数学老师在黑板上画了三个角，被淘气的壮壮擦掉了一部分，老师画的分别是什么角呢？请你判断一下。 ①号角是( )角；②号角是( )角；③号角是( )角。 高频考点讲练7：数图形（数角） 【典例精讲】（25-26三年级上·全国·周测）数一数，下图中有( )个角。 【变式训练1】（24-25二年级上·山东聊城·期末）画一画，填一填。 （1）在图中锐角上加一条线让它变成直角。 （2）在图中锐角上加一条线让它变成钝角。 （3）看一看，数一数，图中现在一共有（    ）个角。 【变式训练2】（22-23四年级上·河南南阳·期中）数一数，填一填。 图形 射线条数/条 2 3 （    ） （    ） （    ） 角的个数/个 1 3 （    ） （    ） （    ） 【演练1】（2025三年级上·全国·专题练习）三角尺上最大的那个角是( )角，一个三角尺上有( )个锐角；红领巾上最大的那个角是( )角。 【演练2】（23-24三年级下·山东淄博·期末）A点为蔬菜种植区，B点为小明家。 （1）小明家要接自来水，怎样铺设最省料？请在图中画出来。 （2）从小明家修一条小路到蔬菜种植区，请设计一条最近的路。 【演练3】（24-25二年级上·山东潍坊·期中）数一数，填一填。 ( )个锐角，( )个直角，( )个钝角。 【演练4】（21-22三年级下·山东泰安·期末）图中一共有（    ）条线段。    A．3 B．6 C．7 【演练5】（22-23三年级上·北京昌平·期末）数一数，下图有( )个角。 基础夯实 能力提升 1．（2025三年级上·全国·专题练习）山西七河五湖水生态治理，是我国的重大水利工程建设项目，其中有些地方要把弯曲的河道改直，这样就能缩短河道长度，可以解释这一做法的数学原理是（    ）。 A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．线段可以量出长度 2．（2025三年级上·全国·专题练习）下图中，从点A到点B的最短路线是（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 3．（2025三年级上·全国·专题练习）下面图形中，表示射线MN的图形是（    ）。 A． B． C． 4．（25-26三年级上·全国·单元测试）将一张圆形纸片对折两次后（如下图），得到的角是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 5．（24-25四年级上·广东江门·期中）下图中有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 6．（25-26三年级上·全国·周测）下面钟面上时针和分针所成的角，哪个是锐角，哪个是直角，哪个是钝角？填在括号里。 ( )角 ( )角 ( )角 7．（2025三年级上·全国·专题练习）数一数。 图中有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 8．（2025三年级上·全国·专题练习）长度从小到大排列：射线＜线段＜直线。( )（判断对错） 9．（2025三年级上·全国·专题练习）有一条射线长900千米。( )（判断对错） 10．（2025三年级上·全国·专题练习）操作。 （1）量一量，并在图中标出线段的长度。 （2）图中有（    ）条线段，直角有（    ）个，钝角有（    ）个。 （3）在图形里画一条线段，使它增加2个直角。 创新拓展 拔尖冲刺 11．（2025三年级上·全国·专题练习）下图中一共有（    ）个角。 A．6 B．8 C．10 12．（25-26三年级上·全国·单元测试）跳水是一项优美的水上运动。研究表明，当运动员垂直入水时，水花最小；入水角度与直角相差越大，水花越大。请你据此分析判断，下面三名运动员（    ）的水花最小，（    ）的水花最大。 ①    ②    ③ A．①③ B．②③ C．①② 13．（2021三年级下·全国·竞赛）一个长方形，剪去一个角，所剩下的角的个数是（    ）个。 A．4 B．5 C．4或5 D．3、4或5 14．（2025三年级上·全国·专题练习）下图中有( )条线段，( )条射线，( )条直线；形成了( )个角，其中有( )个锐角，( )个钝角。 15．（25-26三年级上·全国·单元测试）下图的七巧板中，( )号有4个直角；( )号是平行四边形，它有两个( )角和两个( )角；三角形有( )块，每块都有一个( )角和两个( )角。 16．（25-26三年级上·全国·单元测试）如果1路公交车有10个站点，单程需要准备几种不同的车票？（可以先画图，再解答） 17．（25-26三年级上·全国·单元测试） 射线的条数 2 3 4 5 6 角的个数 1 1＋2＝3 1＋2＋3＝6 （1）根据规律填表。 （2）我发现一个小秘密，用这个小秘密可以根据射线的条数直接求出角的个数。如果从一点出发有8条射线，角的个数是（    ）。 18．（25-26三年级上·全国·单元测试）周末上午，聪聪和妈妈去参观博物馆。出门时，他看到家里的钟表上的时针和分针成直角。当天下午返回家时，他看了看钟表，这时的时针和分针也正好成直角。你知道聪聪出发和返回家时的时间吗？请在钟表上画出出发时和返回到家的时间。（整时出发，整时返回，到家时天还没黑） 19．（25-26三年级上·全国·周测）按要求在下面的图形中画一画。 （1）画一条线段，使图形中没有钝角。 （2）画一条线段，使图形中有3个直角。 （3）画一条线段，使图形中有4个直角。 20．（25-26三年级上·山东济南·期中）（1）量出每条边的长度（用毫米作单位）。 （2）画一条比1分米短5厘米3毫米的线段。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 线和角 （知识梳理+7个考点讲练+真题演练+难度分层练 共46题） 【解析版】 资料简介 内容梳理 1 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：线段、直线、射线 2 知识点梳理02：角的认识 2 重点难点 考点讲练 3 高频考点讲练1：线段、直线、射线的认识及特征 3 高频考点讲练2：两点间线段最短与两点间的距离 4 高频考点讲练3：用圆规比较线段的长短 6 高频考点讲练4：数图形（线段、直线、射线) 9 高频考点讲练5：角的概念及表示方法 11 高频考点讲练6：直角、钝角、锐角的认识及特征 13 高频考点讲练7：数图形（数角） 14 期末真题 压轴演练 17 优选题型 培优强化 19 基础夯实 能力提升 19 创新拓展 拔尖冲刺 23 同学你好，该份讲义用于2024人教版新教材三年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 期末真题，压轴演练：精选5道期末考试名校真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：线段、直线、射线 1、线段 （1）定义：直线上两个端点之间的有限部分，有明确的长度。 （2）特征：有两个端点、可以测量长度、形状是直的。 （3）性质：两点之间，线段最短。 2、直线 （1）定义：把线段的两端无限延伸，得到的没有端点、无限长的线。 （2）特征：没有端点、不能测量长度、无限延伸、形状是直的。 3、射线 （1）定义：把线段的一端无限延伸，得到的只有一个端点、无限长的线。 （2）特征：有一个端点、不能测量长度、向一端无限延伸、形状是直的。 【易错点拨】 （1）区分端点数量：线段2个端点、直线0个端点、射线1个端点。 （2）长度测量误区：只有线段能测量长度，直线和射线无限长，不能用尺子测量。 （3）实际场景识别：生活中没有真正的直线和射线，需结合特征抽象（如手电筒发出的光抽象为射线，笔直的公路抽象为线段，而非直线）。 （4）避免“直线比射线长”的错误认知：二者都是无限长，无法比较长度，只能通过端点和延伸方向区分。 知识点梳理02：角的认识 1、角的定义：由一点引出的两条射线所组成的图形，这个点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边。 2、角的特征：有1个顶点、2条边（边是射线，可无限延伸）、角的大小与边的长短无关，与两条边张开的程度有关。 3、角的表示方法： （1）用角的符号“∠”加三个大写字母表示（顶点字母在中间，如∠ABC）。 （2）用角的符号“∠”加顶点字母表示（如∠B，需保证顶点处只有一个角）。 （3）用角的符号“∠”加数字表示（如∠1、∠2，需在图中标注数字）。 4、角的分类（按张开程度）： （1）角分为锐角、直角、钝角三类。 （2）锐角、钝角的特点：锐角比直角小，钝角比直角大。 （3）每个三角尺上都有一个直角。所有直角的大小相等。 5、用三角尺上的直角判断一个角是不是直角的方法： （1）将三角尺的顶点与要判断的角的顶点重合、三角尺上一条直角边与角的一条边重合； （2）看三角尺上直角的另一条边与角的另一条边是否重合，如果重合，这个角就是直角，如果没有重合，这个角就不是直角。 【易错点拨】 （1）角的边的本质：角的两条边是射线（可无限延伸），不是线段，不能说“角的边长2厘米”。 （2）角的大小判断：与边的张开程度有关，张开越大角越大，张开越小角越小，与边的长短无关。 高频考点讲练1：线段、直线、射线的认识及特征 【典例精讲】（25-26三年级上·全国·单元测试）如图，已知点B、C在线段AD上。 (1)图中共有( )条线段。 (2)若AB＞CD，则比较线段的长短：AC BD（填“＞”“＜”或“＝”）。 【答案】(1)6 (2)＞ 【思路引导】（1）线段有两个端点，图中一共有4个点，每两个点都能组成一条线段。 （2）由图中可知AC＝BC＋AB，BD＝BC＋CD，又因为AB＞CD，所以AC＞BD。 【规范解答】（1）根据分析，4个点每两个点都能组成一条线段，有AB、AC、AD、BC、BD、CD一共有6条线段。 （2）AC＝BC＋AB BD＝BC＋CD 因为AB＞CD，所以AC＞BD。 【变式训练1】（25-26三年级上·全国·单元测试）以下关于比较线段长短的说法，错误的是（    ）。 A．可以用尺子测量长度来比较 B．圆规只能用来画圆，不能比较线段长短 C．把两条线段的一个端点重合，看另一个端点的位置能比较长短 【答案】B 【思路引导】线段有两个端点，可以用尺子量出两条线段的长度，再比较，也可以用圆规比较长度，还可以将两个线段的一个端点重合，看另一个端点的位置能比较长短。 【规范解答】A．可以用尺子量出两条线段的长度，再比较，此说法正确。 B．可以用圆规的两只脚与一条线段的两个端点重合，这时圆规张开的大小就与线段的长度相同，再保持张角不变，对比第二条线段，让一脚与第二条线段的一个端点重合，看另一个端点的位置可比较线段长短，故此选项错误； C．比较两条线段的长短，可以把它们的其中一个端点先重合，看另一个端点的位置来比较，这是是用叠合法比较线段的长短，此选项正确。 故答案为：B 【变式训练2】（25-26三年级上·全国·周测）如图，一共有( )条直线，( )条线段。 【答案】 1 6 【思路引导】线段有两个端点，有长短；单独的线段有3条，两条线段组成的有2条，三条线段组成的有1条，一共有（3＋2＋1）条线段，直线：把线段向两端无限延伸，就得到一条直线。直线没有端点，是无限长的。据此填空即可。 【规范解答】3＋2＋1＝6（条） 根据分析可知，如图，一共有1条直线，6条线段。 高频考点讲练2：两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】（24-25四年级上·河南周口·期中）如下图，小猴子从树上摘下了桃子，现在它要回家，走路线( )最近，用数学知识解释是( )。 【答案】 ② 两点之间线段最短 【思路引导】根据线段的性质：两点之间线段最短可得，从树下到家最近的路线是②号路线，其道理用几何知识解释应是两点之间线段最短。 【规范解答】如下图，小猴子从树上摘下了桃子，现在它要回家，走路线（②）最近，用数学知识解释是（两点之间线段最短）。 【变式训练1】（23-24四年级下·江苏·课后作业）小红从家去超市有几条路线？走哪一条路最近？你是怎样想的？ 【答案】3条；小红家直线到超市最近；原因见详解 【思路引导】从图中观察小红从家到超市有3条：一条从家经过少年宫，再经过图书馆到超市；另一条从家经过图书馆到超市；最后一条直线到超市。根据两点间线段最短判断走哪一条路最近。 【规范解答】由分析可知，小红从家去超市有3条路线：一条从家经过少年宫，再经过图书馆到超市；另一条从家经过图书馆到超市；最后一条直线到超市。从家直线到超市最近，因为两点之间线段最短。 【变式训练2】（24-25四年级上·河北·课后作业）看图回答问题。 （1）北京到南京的空中航程是（    ）千米，铁路里程是（    ）千米，公路里程是（    ）千米。 （2）（    ）线路最长，（    ）线路最短。 （3）自己提出问题并解答。 【答案】（1）925；1160；1071 （2）铁路；航空 （3）铁路里程比航空里程长多少千米； 235千米（答案不唯一） 【思路引导】 （1）观察图可以发现，表示航空，北京到南京的空中航程是925千米，表示铁路，铁路里程是1160千米，表示公路，公路里程是1071千米。 （2）比较航空、铁路和公路的里程即可。 （3）根据题干所给信息，提出铁路里程比航空里程长多少千米？用铁路里程减去航空里程，即可求出用铁路里程减去航空里程。 【规范解答】（1）由分析可知，北京到南京的空中航程是925千米，铁路里程是1160千米，公路里程是1071千米。 （2）1160＞1071＞925 所以铁路线路最长，航空线路最短。 （3）铁路里程比航空里程长多少千米？ 1160－925＝235（千米） 答：铁路里程比航空里程长235千米。（答案不唯一） 高频考点讲练3：用圆规比较线段的长短 【典例精讲】（25-26三年级上·全国·单元测试）用圆规比一比下面每组中两条线段的长短。（在“_____”上填“＞”“＜”或“＝”） (1)     AB CD (2) AB CD 【答案】(1)＜ (2)＞ 【思路引导】直线上两点间的部分叫线段。用圆规比较两条线段长短，先用圆规一只脚放在A点上，另一只脚调节与B点重合，这时圆规两脚间的长度就是AB的长度，这时移动圆规，将一只脚与C点重合，看另一只脚，如果与D点重合，则AB＝CD，如果在D点外面，则AB＞CD，如果在D点里面，则AB＜CD。 【规范解答】（1） AB＜CD （2） AB＞CD 【变式训练1】（25-26三年级上·全国·课后作业）用圆规比较哪只蜗牛爬行的路线比较长，在里画“√”。 【答案】见详解 【思路引导】 如图：、第一步：先将圆规有针尖的脚固定在第一只小蜗牛爬行的线段AB的端点A上，另一只脚固定在线段AB的端点B上。再将圆规有针尖的脚固定在第二只小蜗牛爬行的线段FG的端点F上，转动手柄，另一只带铅笔的脚在线段FG上作第一个记号。 第二步：先将圆规有针尖的脚固定在第一只小蜗牛爬行的线段BC的端点B上，另一只脚固定在线段BC的端点C上。再将圆规有针尖的脚固定在第二只小蜗牛爬行的线段FG的第一个记号处，转动手柄，另一只带铅笔的脚在线段FG上作第二个记号。 第三步：先将圆规有针尖的脚固定在第一只小蜗牛爬行的线段CD的端点C上，另一只脚固定在线段CD的端点D上。再将圆规有针尖的脚固定在第二只小蜗牛爬行的线段FG的第二个记号处，转动手柄，另一只带铅笔的脚在线段FG上作第三个记号。 第四步：先将圆规有针尖的脚固定在第一只小蜗牛爬行的线段DE的端点D上，另一只脚固定在线段DE的端点E上。再将圆规有针尖的脚固定在第二只小蜗牛爬行的线段FG的第三个记号处，转动手柄，如果圆规的另一个脚的位置没有到达点G，则第一只小蜗牛爬行的路线长，如果圆规的另一个脚的位置超过点G，则第二只小蜗牛爬行的路线长。 【规范解答】 【变式训练2】（25-26三年级上·海南海口·单元测试）下面是用圆规比较线段AB和线段CD长短的过程。把给出的步骤按操作顺序排一排（写序号）。 ①如果点B和点D重合 ②那么AB＝CD ③如果点B在点D右侧 ④再将圆规有铅笔的脚对准线段AB的端点B ⑤先将圆规有针尖的脚固定在线段AB的端点A上 ⑥转动圆规手柄画出记号 ⑦如果点B在点D左侧 ⑧那么AB＞CD ⑨那么AB＜CD ⑩将圆规有针尖的脚固定在线段CD的端点C上 排序： 。 【答案】⑤④⑩⑥①②③⑧⑦⑨ 【思路引导】由题意得，要用圆规比较线段AB和线段CD的长短，需要先用圆规测量出线段AB的长度，即先将圆规有针尖的脚固定在线段AB的端点A上，再将圆规有铅笔的脚对准线段AB的端点B。然后再把AB的长度与CD的长度作比较，即将圆规有针尖的脚固定在线段CD的端点C上，再转动圆规手柄画出记号。然后根据记号和D点的位置来推算线段AB和CD的长短即可，即如果点B和点D重合，那么AB＝CD；如果点B在点D右侧，那么AB＞CD；如果点B在点D左侧，那么AB＜CD。据此解答。 【规范解答】 ①如果点B和点D重合 ②那么AB＝CD ③如果点B在点D右侧 ④再将圆规有铅笔的脚对准线段AB的端点B ⑤先将圆规有针尖的脚固定在线段AB的端点A上 ⑥转动圆规手柄画出记号 ⑦如果点B在点D左侧 ⑧那么AB＞CD ⑨那么AB＜CD ⑩将圆规有针尖的脚固定在线段CD的端点C上 排序：⑤④⑩⑥①②③⑧⑦⑨。（答案不唯一） 高频考点讲练4：数图形（线段、直线、射线) 【典例精讲】（2025三年级上·全国·专题练习）数一数，图中一共有多少条线段？ 【答案】10条 【思路引导】根据题意，先数A开头的线段有4条，然后数C开头的线段有3条，再数P开头的线段有2条，最后数D开头的线段有1条，将所有的线段相加即可。 【规范解答】根据分析可知： 4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（条） 答：图中一共有10条线段。 【变式训练1】（25-26三年级上·全国·课后作业）下图中有( )条直线，( )条线段，( )条射线。 【答案】 2 10 12 【思路引导】直线是把线段的两端无限延长，得到一条直线，线段是直线上任意两点之间的一段叫做线段，射线是线段的一端无限延长得到的；看图可知，直线有2条；单独的线段有8条，由两条单独的线段组成的线段有2条，则一共有（8＋2）条线段；单独的射线有4条，由两条单独的射线组成的射线有4条，由三条单独的射线组成的射线有4条，则一共有（4＋4＋4）条射线。 【规范解答】8＋2＝10（条） 4＋4＋4＝12（条） 下图中有2条直线，10条线段，12条射线。 【变式训练2】（25-26三年级上·全国·课后作业）下图中的2个点、3个点、4个点、5个点，分别最多可以连出几条线段？ 你发现了什么规律？你能直接说出6个点最多可以连出几条线段吗？ 【答案】1条；3条；6条；10条 规律见详解；15条 【思路引导】根据题意，先在各个图中画出所有线段；可以发现第一个点可以和剩下的所有点画出线段，第二个点可以和除了第一个点剩下所有的点画出线段，第三个点可以和除了第一、二个点剩下所有的点画出线段……，据此找出规律即可。 【规范解答】如图所示： 2个点：1条 3个点：1＋2＝3（条） 4个点：1＋2＋3＝6（条） 5个点：1＋2＋3＋4＝10（条） 因此，图中的2个点、3个点、4个点、5个点，分别最多可以连出1条、3条、6条、10条线段。 可以发现平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系是：线段的条数＝1＋2＋3＋…＋（点的数量－1） 1＋2＋3＋4＋5＝15（条） 所以6个点最多可以连出15条线段。 高频考点讲练5：角的概念及表示方法 【典例精讲】（25-26三年级上·全国·单元测试）画一画，填一填。 （1）过点O画直线l。经过点O可以画（    ）条直线。 （2）在直线l上取一点A，使线段OA长5厘米。经过O、A两点可以画（    ）条直线。 （3）以射线AO为一条边画，标出角的各部分名称。 【答案】（1）无数；（2）1 （1）（2）（3）作图见详解； 【思路引导】（1）过一点可以画无数条直线，让点O经过尺子的任意一边，沿该边画一条直线即可； （2）以点O为端点，在直线l上截取5厘米长的线段，另一端点标上A；经过两点的直线只有1条； （3）以点A为端点，在直线l外画一条射线AB，射线AB和射线AO组成的图形是∠OAB，点A是角的顶点，射线AB和射线AO是角的两条边。 【规范解答】（1）（2）（3）题作图如下： （1）经过点O可以画无数条直线； （2）在直线l上取一点A，使线段OA长5厘米。经过O、A两点可以画1条直线。 【变式训练1】（2025三年级上·全国·专题练习） （1）从一点引出两条射线所组成的图形（如图）叫作（    ），它通常用符号“（    ）”表示，图中的角可以记作“（    ）”。 （2）标出图中角的各部分的名称。 【答案】（1）角；∠；∠1 （2）标注见详解 【思路引导】（1）根据角的概念和表示方法，从一点引出两条射线所组成的图形叫作角，它通常用符号“∠”表示，图中的角可以记作“∠1”。 （2）两条射线共同的端点就是角的顶点，从一点引出的两条射线分别叫做角的边；据此标出角各部分的名称。 【规范解答】（1）根据分析可知： 从一点引出两条射线所组成的图形（如图）叫作角，它通常用符号“∠”表示，图中的角以记作“∠1”。 （2）角的各部分名称如下： 【变式训练2】（22-23四年级上·贵州遵义·期中）图1中有( )个角；图2中有( )条线段，( )条射线。 【答案】 10 4 16 【思路引导】图1中，单个角有4个，由两个角组成的角有3个，由三个角组成的角有2个，由四个角组成的角有1个，共有4＋3＋2＋1＝10（个）角； 图2中，四个点的连线围成了一个四边形，所以图中有4条线段。以每个点为端点的射线有4条，所以共有4×4＝16（条）射线，据此即可解答。 【规范解答】根据分析可知，图1中有10个角；图2中有4条线段，16条射线。 【考点剖析】有次序地来数图中的角和线段，既不能重复，又不能遗漏，关键在于寻找计数的规律。 高频考点讲练6：直角、钝角、锐角的认识及特征 【典例精讲】（25-26三年级上·全国·单元测试） (1)上面的图形中，最大的角是( )，最小的角是( )。（填序号） (2)比直角大的角有( )，它们都是( )角；比直角小的角有( )，它们都是( )角。 【答案】(1) ⑤ ② (2) ⑤ 钝 ①② 锐 【思路引导】（1）首先明确角的大小比较方法：角的大小与两条边张开的程度有关，张开得越大，角就越大；张开得越小，角就越小。 （2）直角是指等于90°的角；锐角是指大于0°而小于90°的角；钝角是指大于90°小于180°的角，据此解答即可。 【规范解答】（1）观察图形可知，③不是角（因为有一条边是曲线），①②是锐角（比直角小），④是直角，⑤是钝角（比直角大）。根据角的大小比较方法：角的大小与两条边张开的程度有关，张开得越大，角就越大，比较①和②，观察可知，①角两边张开得更大，所以①＞②。所以最大的角是⑤，最小的角是②。 （2）比直角大的角是⑤，它是钝角；比直角小的角是①②，它们是锐角。 【变式训练1】（25-26三年级上·全国·课后作业）找出下面三角形中的直角、钝角和锐角。你有什么发现？ 我发现：一个三角形中至少有（    ）个锐角，最多有（    ）个直角或钝角。 【答案】见详解 【思路引导】根据直角、钝角和锐角的认识，判断三角形中的角，第一个三角形的3个角都小于直角，所以这3个角都是锐角，第二个三角形中有1个角是直角，另外2个角小于直角，是锐角；第三个三角形中，有1个角大于直角，是钝角，另外2个角小于直角，是锐角，据此总结三角形中锐角、直角和钝角的数量关系，即可解答。 【规范解答】 我发现：一个三角形中至少有2个锐角，最多有1个直角或钝角。 【变式训练2】（25-26三年级上·全国·单元测试）数学老师在黑板上画了三个角，被淘气的壮壮擦掉了一部分，老师画的分别是什么角呢？请你判断一下。 ①号角是( )角；②号角是( )角；③号角是( )角。 【答案】 锐 直 钝 【思路引导】可以把每个角的两边向方框内延长至相交于一点，再用三角尺上的直角去比一比，与三角尺上的直角完全重合的角是直角，锐角比直角小，钝角比直角大； 【规范解答】根据分析，结果如下： ①号角是锐角；②号角是直角；③号角是钝角。 高频考点讲练7：数图形（数角） 【典例精讲】（25-26三年级上·全国·周测）数一数，下图中有( )个角。 【答案】10 【思路引导】由题意得，图中有4个小角。由2个小角组成的角有3个，由3个小角组成的角有2个，由4个小角组成的角有1个。求图中一共有多少个角，用加法计算。 【规范解答】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 故图中一共有10个角。 【变式训练1】（24-25二年级上·山东聊城·期末）画一画，填一填。 （1）在图中锐角上加一条线让它变成直角。 （2）在图中锐角上加一条线让它变成钝角。 （3）看一看，数一数，图中现在一共有（    ）个角。 【答案】（1）（2）见详解 （3）6 【思路引导】角是由1个顶点引出两条直直的线所组成的图形。 （1）（2）根据“在三角板上，最大的那个角就是直角，而锐角比直角小，钝角比直角大”来解决即可。 （3）基本角有3个，由2个基本角组成的角有2个，由3个基本角组成的角有1个，一共有6个角。 【规范解答】由题意分析得： （1）（2）见下图 （3）3＋2＋1＝6（个） 即，数一数，图中现在一共有6个角。 【变式训练2】（22-23四年级上·河南南阳·期中）数一数，填一填。 图形 射线条数/条 2 3 （    ） （    ） （    ） 角的个数/个 1 3 （    ） （    ） （    ） 【答案】4；5；6 6；10；15 【思路引导】观察规律解答，2条射线组成一个角，射线的条数加1，角的数量等于＝射线的数量×（射线的数量－1）÷2，据此计算解答。 【规范解答】4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（个） 5×（5－1）÷2 ＝5×4÷2 ＝20÷2 ＝10（个） 6×（6－1）÷2 ＝6×5÷2 ＝30÷2 ＝15（个） 填表如下： 图形 射线条数/条 2 3 4 5 6 角的个数/个 1 3 6 10 15 【考点剖析】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力。 【演练1】（2025三年级上·全国·专题练习）三角尺上最大的那个角是( )角，一个三角尺上有( )个锐角；红领巾上最大的那个角是( )角。 【答案】 直 2 钝 【思路引导】根据对三角尺的认识，三角尺上最大的角为直角，一个三角尺上有2个锐角，用三角板的直角进行比较测量，比直角小的就是锐角，比直角大的就是钝角，据此解答即可。 【规范解答】三角尺上最大的那个角是直角，一个三角尺上有2个锐角；红领巾上最大的那个角是钝角。 【演练2】（23-24三年级下·山东淄博·期末）A点为蔬菜种植区，B点为小明家。 （1）小明家要接自来水，怎样铺设最省料？请在图中画出来。 （2）从小明家修一条小路到蔬菜种植区，请设计一条最近的路。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离；因此过小明家作自来水管道的垂线段即可。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 （2）两点之间线段最短，所以小明家到蔬菜种植区的最近的路即为连接小明家到蔬菜种植区之间的线段。 【规范解答】（1）（2）如图： 【演练3】（24-25二年级上·山东潍坊·期中）数一数，填一填。 ( )个锐角，( )个直角，( )个钝角。 【答案】 5 2 2 【思路引导】三角尺上最大的角为直角，用三角板的直角进行比较测量，比直角小的就是锐角，比直角大的就是钝角。据此数一数。 【规范解答】 5个锐角，2个直角，2个钝角。 【演练4】（21-22三年级下·山东泰安·期末）图中一共有（    ）条线段。    A．3 B．6 C．7 【答案】B 【思路引导】线段有两个端点，任意两点间的一段都可以看作一条线段，据此数出线段数量即可。 【规范解答】图中的线段有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6条。 故答案为：B 【考点剖析】数线段要按一定的顺序数，做到不重不漏。 【演练5】（22-23三年级上·北京昌平·期末）数一数，下图有( )个角。 【答案】10 【思路引导】由2条射线组成的角有4个，由3条射线组成的角有3个，由4条射线组成的角有2个，由5条射线组成的角有1个，依此计算出角的总个数即可。 【规范解答】4＋3＋2＋1＝10（个），即图中有10个角。 【考点剖析】熟练掌握角的特点是解答此题的关键。 基础夯实 能力提升 1．（2025三年级上·全国·专题练习）山西七河五湖水生态治理，是我国的重大水利工程建设项目，其中有些地方要把弯曲的河道改直，这样就能缩短河道长度，可以解释这一做法的数学原理是（    ）。 A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．线段可以量出长度 【答案】A 【思路引导】直线：一条直直的线，没有具体长度，两点可以确定一条直线；线段：由两个端点，可以测量出具体长度；把一条弯曲的河道改直，这样相当于两个点之间是一条线段连接，利用了两点之间线段最短的原理，据此即可选择。 【规范解答】山西七河五湖水生态治理，是我国的重大水利工程建设项目，其中有些地方要把弯曲的河道改直，这样就能缩短河道长度，可以解释这一做法的数学原理是两点之间，线段最短。 故答案为：A 2．（2025三年级上·全国·专题练习）下图中，从点A到点B的最短路线是（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【思路引导】要解决这个问题，需依据“两点之间，线段最短”分析解答。 【规范解答】A．①是曲线，长度大于线段。 B．②是折线，长度大于线段。 C．③是线段，直接连接点A和点B。 D．④是曲线，长度大于线段。 所以从点A到点B的最短路线是③。 故答案为：C 3．（2025三年级上·全国·专题练习）下面图形中，表示射线MN的图形是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】射线有一个端点，向一端无限延伸，表示为“射线＋端点字母＋射线上另一个字母”（端点字母在前）。 【规范解答】A．是线段（有两个端点M和N），不是射线，排除。 B．射线的端点是M，向N方向无限延伸，符合“射线MN”（端点M在前，经过N）的定义。 C．射线的端点是N，向M方向延伸，应表示为“射线NM”，不符合“射线MN”的要求，排除。 表示射线MN的图形是。 故答案为：B 4．（25-26三年级上·全国·单元测试）将一张圆形纸片对折两次后（如下图），得到的角是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】B 【思路引导】能和三角尺上的直角重合的角是直角；锐角比直角小；钝角比直角大；根据题意，将一张圆形纸片对折两次后，得到的角能与三角尺上的直角重合，所以得到的角是直角。据此解答。 【规范解答】根据分析可知： 将一张圆形纸片对折两次后（如下图），得到的角是直角。 故答案为：B 5．（24-25四年级上·广东江门·期中）下图中有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 【答案】 1 6 3 【思路引导】直线没有端点，可向两端无限延伸；射线有一个端点，可向一端无限延伸；线段有两个端点，不可延伸。据此解答。 【规范解答】直线是可以向两端无限延伸的，图中这样的直线只有1条； 图中有3个点，每个点可以向左右两个方向各形成1条射线，所以射线的数量为2×3＝6（条）； 线段是由两个端点确定的，以第一个点为左端点，有2条这样的线段；以第二个点为左端点，有1条这样的线段；一共有2＋1＝3（条）线段。 所以图中有1条直线，6条射线，3条线段。 6．（25-26三年级上·全国·周测）下面钟面上时针和分针所成的角，哪个是锐角，哪个是直角，哪个是钝角？填在括号里。 ( )角 ( )角 ( )角 【答案】 锐 直 钝 【思路引导】根据小于90°的角为锐角，等于90°的角为直角，大于90°且小于180°的角为钝角的分类法进行判断。 【规范解答】第一个钟面时针指向10，分针指向12，所形成的角是锐角； 第二个钟面时针指向3，分针指向12，所形成的角是直角； 第三个钟面时针指向8，分针指向12，所形成的角是钝角。 7．（2025三年级上·全国·专题练习）数一数。 图中有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 【答案】 1 8 6 【思路引导】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；图中有1条直线；以每个点为端点的射线有2条，4个点就有2×4＝8（条）射线；单个的线段有3条，由两条线段组成的线有2条，由三条线段组成的线段有1条，共有3＋2＋1＝6（条）；据此解答。 【规范解答】2×4＝8（条） 3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（条） 图中有1条直线，8条射线，6条线段。 8．（2025三年级上·全国·专题练习）长度从小到大排列：射线＜线段＜直线。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据线段、射线、直线的特点，线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，长度是无限的；直线没有端点，可以向两端无限延伸，长度是无限的；由于射线和直线的长度都是无限长的，无法比较长度大小；据此判断。 【规范解答】根据分析可知： 射线和直线的长度是无限长的，无法比较长度大小。原题说法错误。 故答案为：× 9．（2025三年级上·全国·专题练习）有一条射线长900千米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据射线的特点，射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，长度是无限的，无法测量长度。据此判断。 【规范解答】射线的长度是无限的，无法测量长度。原题说法错误。 故答案为：× 10．（2025三年级上·全国·专题练习）操作。 （1）量一量，并在图中标出线段的长度。 （2）图中有（    ）条线段，直角有（    ）个，钝角有（    ）个。 （3）在图形里画一条线段，使它增加2个直角。 【答案】（1）见详解 （2）5；2；3 （3）见详解 【思路引导】（1）将直尺的0刻度线与线段的一端对齐，使直尺与线段保持平行，然后读取线段另一端对应的刻度值，这个刻度值就是线段的长度。 （2）观察图形可知，该图形是由5条线段组成。直角是等于90°的角，该图形的左侧上下两个角是90°，即有2个直角。钝角是大于90°小于180°的角，该图形的右侧上中下的3个角都大于90°，且小于180°，所以有3个钝角。 （3）在图形右侧的斜边上，作一条垂直于上下边的线段，即与左侧竖直线段平行，这样会新增2个直角。 【规范解答】（1）经测量标出的线段长度是3厘米。 （2）该图形是由5条线段组成；该图形的左侧上下两个角是90°；该图形的右侧上中下的3个角都大于90°，且小于180°。 图中有5条线段，直角有2个，钝角有3个。 （3）在图形右侧的斜边上，作一条垂直于上下边的线段。 创新拓展 拔尖冲刺 11．（2025三年级上·全国·专题练习）下图中一共有（    ）个角。 A．6 B．8 C．10 【答案】B 【思路引导】角有两条直直的边和一个公共端点，这两条直直的边叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点，从图中可知，由1个角组成的角有6个，由2个角组成的角有2个，共有6＋2＝8（个）。 【规范解答】由1个角组成的角有6个，由2个角组成的角有2个，共有6＋2＝8（个）。 故答案为：B 12．（25-26三年级上·全国·单元测试）跳水是一项优美的水上运动。研究表明，当运动员垂直入水时，水花最小；入水角度与直角相差越大，水花越大。请你据此分析判断，下面三名运动员（    ）的水花最小，（    ）的水花最大。 ①    ②    ③ A．①③ B．②③ C．①② 【答案】A 【思路引导】根据题目中“垂直入水时水花最小，入水角度与直角相差越大水花越大”的规则，判断三名运动员的入水角度与直角的差异程度，从而确定水花最小和最大的运动员。 【规范解答】根据分析，运动员①的入水角度接近垂直（与直角相差最小），所以水花最小；运动员③的入水角度与直角相差最大，所以水花最大。 故答案为：A 13．（2021三年级下·全国·竞赛）一个长方形，剪去一个角，所剩下的角的个数是（    ）个。 A．4 B．5 C．4或5 D．3、4或5 【答案】D 【思路引导】一个长方形，剪去一个角，剩下的图形可能是三角形，直角梯形或五边形，所以剩下角的个数可能是3个，4个或5个。 【规范解答】如图所示： 剩下角的个数可能是3个，4个或5个，故答案选D。 【考点剖析】本题考查的是图形的分割与剪拼，可以采用实践的方法加以求证 14．（2025三年级上·全国·专题练习）下图中有( )条线段，( )条射线，( )条直线；形成了( )个角，其中有( )个锐角，( )个钝角。 【答案】 9 14 2 4 2 2 【思路引导】线段是直的，有两个端点，可测量。射线有1个端点，不可测量。直线没有端点，不可测量。从一点引出两条射线所形成的图形叫做角。和三角尺最大的角相等大小的是直角，比直角大的是钝角，比直角小的是锐角，由此解答。 【规范解答】从图中观察，每两个相邻的端点组成的线段是基础线段，有5条，由两条基础线段组成的线段有3条，由三条基础线段组成的线段有1条，共有5＋3＋1＝9（条）。有2条直线。由两条直线相交的点引出4条射线，剩下的5个点向两个方向分别引出2条射线，共有5×2＝10（条），再加前面的4条，共有14条。 两条直线相交形成了4个角，用三角尺的直角比，上下两个角比直角大是钝角，左右两个角比直角小是锐角。 图中有9条线段，14条射线，2条直线；形成了4个角，其中有2个锐角，2个钝角。 15．（25-26三年级上·全国·单元测试）下图的七巧板中，( )号有4个直角；( )号是平行四边形，它有两个( )角和两个( )角；三角形有( )块，每块都有一个( )角和两个( )角。 【答案】 ⑤ ③ 钝 锐 5 直 锐 【思路引导】大于0°且小于90°的角是锐角；等于90°的角是直角；大于90°且小于180°的角是钝角；两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形；由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 【规范解答】七巧板中，⑤号有4个直角；③号是平行四边形，它有两个钝角和两个锐角；三角形有5块，每块都有一个直角和两个锐角。 16．（25-26三年级上·全国·单元测试）如果1路公交车有10个站点，单程需要准备几种不同的车票？（可以先画图，再解答） 【答案】45种 【思路引导】假设这是10个站点分别为：A、B、C、D、E、F、G、H、I、J，如下图所示： 分别写出从每个站点出发，有几种车票搭配，如下： A站点出发有9种车票；B站点出发有8种车票；C站点出发有7种车票；D站点出发：有6种车票；E站点出发有5种车票；F站点出发有4种车票；G站点出发有3种车票；H站点出发有2种车票；I站点出发有1种车票；再把票数相加即可。 【规范解答】 9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（种） 答：单程需要准备45种不同的车票。 17．（25-26三年级上·全国·单元测试） 射线的条数 2 3 4 5 6 角的个数 1 1＋2＝3 1＋2＋3＝6 （1）根据规律填表。 （2）我发现一个小秘密，用这个小秘密可以根据射线的条数直接求出角的个数。如果从一点出发有8条射线，角的个数是（    ）。 【答案】（1）1＋2＋3＋4＝10；1＋2＋3＋4＋5＝15；（2）28 【思路引导】（1）角的概念：从一点引出两条射线所形成的图形叫做角；据此可知，从一点出发的两条射线组成一个角，从一点出发的3条射线组成（1＋2）个角（即由单个小角组成的角有2个、有2个小角组成的角有1个）；从一点出发的4条射线组成（1＋2＋3）个角；从一点出发的5条射线组成（1＋2＋3＋4）个角；从一点出发的6条射线组成（1＋2＋3＋4＋5）个角……我发现规律是，从一点出发的n条射线就组成[（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋2＋1]个角。 （2）当射线的条数是8时，就有（7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）个角。 【规范解答】（1）从一点出发的5条射线，即由单个小角组成的角有4个、有2个小角组成的角有3个、有3个小角组成的角有2个、有4个小角组成的角有1个，共有1＋2＋3＋4＝10（个） 从一点出发的6条射线，即由单个小角组成的角有5个、有2个小角组成的角有4个、有3个小角组成的角有3个、有4个小角组成的角有2个、有5个小角组成的角有1个，共有1＋2＋3＋4＋5＝15（个）。 射线的条数 2 3 4 5 6 角的个数 1 1＋2＝3 1＋2＋3＝6 1＋2＋3＋4＝10 1＋2＋3＋4＋5＝15 （2）当角的边数是8时。 7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（个） 我发现一个小秘密，用这个小秘密可以根据射线的条数直接求出角的个数。如果从一点出发有8条射线，角的个数是28个。 18．（25-26三年级上·全国·单元测试）周末上午，聪聪和妈妈去参观博物馆。出门时，他看到家里的钟表上的时针和分针成直角。当天下午返回家时，他看了看钟表，这时的时针和分针也正好成直角。你知道聪聪出发和返回家时的时间吗？请在钟表上画出出发时和返回到家的时间。（整时出发，整时返回，到家时天还没黑） 【答案】上午9时出发，下午3时返回；图见详解 【思路引导】上午和下午的钟表的时针和分针都成直角，且整时出发，整时返回，到家时天还没黑。当钟表的时针指向9，分针指向12，时针和分针成直角，即9时整；当钟表的时针指向3，分针指向12，时针和分针成直角，即3时整，据此解答。 【规范解答】9时整或3时整时针和分针都成直角； 所以上午9时出发，下午3时返回。 如图： 19．（25-26三年级上·全国·周测）按要求在下面的图形中画一画。 （1）画一条线段，使图形中没有钝角。 （2）画一条线段，使图形中有3个直角。 （3）画一条线段，使图形中有4个直角。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【思路引导】（1）根据题意，连接左上角和右下角的两个点，画一条线段，图形中没有钝角。 （2）从平行四边形的“钝角顶点”向对边画一条线段，并让这条线段与上、下边垂直。图形中有3个直角。 （3）从平行四边形的上面的边上任意一点向对边画一条线段，并让这条线段与上、下边垂直。图形中有4个直角。 【规范解答】根据分析可知： （1） （2）（画法不唯一）   （3）（画法不唯一） 20．（25-26三年级上·山东济南·期中）（1）量出每条边的长度（用毫米作单位）。 （2）画一条比1分米短5厘米3毫米的线段。 【答案】见详解 【思路引导】（1）用直尺的“0”刻度线和线段的一个端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是该线段的长度，据此量出每条边的长度（用毫米作单位）。 （2）比1分米短5厘米3毫米的线段长是1分米－5厘米3毫米＝4厘米7毫米，根据线段有2个端点，结合题意解答即可。 【规范解答】 （1）（以实际测量为准） （2）（以实际测量为准） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $