第6章 事件的概率（知识清单）数学青岛版九年级下册

第6章 事件的概率 1.可能发生也可能不发生，事先无法确定，像这种可能发生也可能不发生的事件叫做____________，也叫做_________________。 2.__________________的事件，称为必然事件。 3.__________________的事件，称为不可能事件。 4.________________和___________________，结果都是确定的，统称确定事件。 5.某个事件一共发生的次数叫做该事件发生的__________。事件发生的__________________________，叫做该事件发生的频率。 6.一般的，将总体中的数据按同一个标准分组后，各组数据的频数之和等于________________________，各组数据的频率之和____________。 7.列频数、频率分布表的步骤： ① 确定所有数据中____________________，并计算__________________。 ② 确定_________、___________，并进行分组。 ③ 列出相应的频数、频率分布表。 8.将数据进行分组时，组数的多少应适当，组数太少，不能___________________________；组数太多，不仅繁琐，且_______________________________________________，从而也不能正确显示____________________________。一般的，数据在 100 个以内，可按情况分为___________组。 9.根据频数的分布绘制的条形统计图叫做____________________。 10.两个坐标轴的单位长度不同，表示的___________________。但是只要刻度之间的比例关系一致，坐标系中的点所表达的意义就是合理的。因此，在确定坐标轴的单位长度时，要注意______________________________。 11.一般的，一个事件发生的可能性的大小可以用一个数来表示，我们把这个数叫做这个事件发生的_________，通常记为____________。在进行大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件发生的___________总在这个 事件发生的概率附近波动，显示出一定的______________。从而可以用事件发生的___________估计事件发生的概率。 12.一个事件发生的频率是_______________，也是可测的，而这个事件发生的概率是某个___________________________，但可能事先并不知道，用频率来估计概率可以实现由已知去探求未知，从偶然中去发现必然，它蕴含了一种深刻的数学思想。 13.一般的，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件E包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件E发生的概率可利用下面的公式计算：____________________。上面的概率公式只适合于__________________________________的情况。 14.任何事件E发生的概率P（E）都是____________之间（包括___________）的数，即______________________。 15.列举试验所有可能出现的结果时，应注意做到_______________。 16.树状图或列表能帮助我们将_____________________________________________，做到既不重复也没有遗漏。 易错点1 混淆必然事件、不可能事件和随机事件 错误：混淆必然事件、不可能事件和随机事件的概念。认为所有事件都是等可能的。 注意：-理解事件的分类，明确什么是必然事件、什么是不可能事件、什么是随机事件。 - 记住并不是所有事件都是等可能的，要具体问题具体分析。 例题1 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（   ） A．守株待兔 B．水涨船高 C．缘木求鱼 D．拔苗助长 易错点2 概率计算公式使用不当 错误：概率计算公式使用不当而导致错误。 注意：一般的，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件E包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件E发生的概率可利用下面的公式计算：P（E）=。上面的概率公式只适合于试验结果有限个且等可能的情况。 例题2一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个． (1)从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率． (2)若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过，摸出黑球的概率是，请设计一个符合条件的放球方案． 易错点3 树状图画法不正确，导致分支遗漏或重复 错误：树状图画法不正确，导致分支遗漏或重复。 注意：画树状图时，确保每个分支都正确无误，且不遗漏、不重复。 例题3现有4张卡片正面写有不同的变化现象，A．冰化成水，B．酒精燃烧，C．铁棒成针，D．牛奶变酸，它们除此之外都相同，把这4张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上． (1)小辰从中随机抽取1张，则这张卡片呈现的变化是物理变化的概率是 ； (2)小雨从4张卡片中随机抽取1张，再从剩下的3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的概率． 1．已知杭州市区昨天晴，今天晴，那么“杭州市区明天天晴”这一事件是（   ） A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件 2．下列事件属于必然事件的是（   ） A．明天太阳从西边升起 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D．直径所对圆周角是直角 3．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．在地球上，太阳东升西落 B．亚运会射击运动员射击一次命中靶心 C．两点之间线段最短 D．a是实数， 4．下列事件中，是必然事件的是（　　） A．掷一次骰子，向上一面的点数是3 B．任意买一张电影票，座位号是单号 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．射击运动员射击一次，命中靶心 5．一个密码锁的密码由六个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当六个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开．粗心的小明忘了最后的两个数字，那么他一次就能打开该锁的概率是（    ） A． B． C． D． 6．在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的4个白球，6个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是 ． 7．在超市促销抽奖活动中，抽奖箱里有7个除颜色外毫无差别的乒乓球，其中3个是白色乒乓球，4个是黄色乒乓球． (1)摇匀后，从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是多少？ (2)若往抽奖箱里放入若干数量的白色乒乓球，调整后摇匀，随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为．问放入了多少个白色乒乓球？ 8．2025年，中国航天将迎来新的里程碑，计划执行多次探月与空间站任务．为普及航天知识，平遥县文化馆举办了一场“筑梦航天，魅力平遥”知识竞赛．初赛环节有编号为A、B、C、D四套难度相当的航天知识题目，参赛选手需要从编号为A、B、C、D四套题中随机抽取一套作答（抽取后，把编号放回）． (1)小明同学抽中A套题的概率是 ． (2)小亮和小红两位同学都参加了此次竞赛，请用画树状图或列表的方法，求他们二人中至少有一人抽中编号为A套题的概率． 9．如图，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a、b、c、d、e五个开关中的任意两个开关． (1)请用列表或画树状图的方法，列出所有可能的情况； (2)求出使电路形成通路的概率． 10．《哪吒2》自年1月日上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． A—哪吒   B—太乙真人   C—申公豹   D—敖丙   (1)从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； (2)小明从中随机抽取两张卡片，想恰好组成“一套”（A与D组合或B与C组合），求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 事件的概率 1.可能发生也可能不发生，事先无法确定，像这种可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，也叫做不确定事件。 2.必然会发生的事件，称为必然事件。 3.不可能发生的事件，称为不可能事件。 4.必然事件和不可能事件，结果都是确定的，统称确定事件。 5.某个事件一共发生的次数叫做该事件发生的频数。事件发生的频数与事件的总次数的比值，叫做该事件发生的频率。 6.一般的，将总体中的数据按同一个标准分组后，各组数据的频数之和等于总体中数据的个数，各组数据的频率之和等于1。 7.列频数、频率分布表的步骤： ① 确定所有数据中最大值与最小值，并计算二者的差。 ② 确定组数、组距，并进行分组。 ③ 列出相应的频数、频率分布表。 8.将数据进行分组时，组数的多少应适当，组数太少，不能充分显示数据的分布情况；组数太多，不仅繁琐，且容易把性质相近的同类数据分散到各组，从而也不能正确显示数据分布的特征和规律。一般的，数据在 100 个以内，可按情况分为 5~12 组。 9.根据频数的分布绘制的条形统计图叫做频数直方图。 10.两个坐标轴的单位长度不同，表示的意义也不同。但是只要刻度之间的比例关系一致，坐标系中的点所表达的意义就是合理的。因此，在确定坐标轴的单位长度时，要注意具体问题具体分析。 11.一般的，一个事件发生的可能性的大小可以用一个数来表示，我们把这个数叫做这个事件发生的概率，通常记为P（事件）。在进行大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件发生的频率总在这个 事件发生的概率附近波动，显示出一定的稳定性。从而可以用事件发生的频率估计事件发生的概率。 12.一个事件发生的频率是已发生的，也是可测的，而这个事件发生的概率是某个客观存在的确定的数值，但可能事先并不知道，用频率来估计概率可以实现由已知去探求未知，从偶然中去发现必然，它蕴含了一种深刻的数学思想。 13.一般的，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件E包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件E发生的概率可利用下面的公式计算：P（E）=。上面的概率公式只适合于试验结果有限个且等可能的情况。 14.任何事件E发生的概率P（E）都是0和1之间（包括0和1）的数，即0 ≤ P（E）≤ 1。 15.列举试验所有可能出现的结果时，应注意做到不重不漏。 16.树状图或列表能帮助我们将所有等可能的结果直观地列举出来，做到既不重复也没有遗漏。 易错点1 混淆必然事件、不可能事件和随机事件 错误：混淆必然事件、不可能事件和随机事件的概念。认为所有事件都是等可能的。 注意：-理解事件的分类，明确什么是必然事件、什么是不可能事件、什么是随机事件。 - 记住并不是所有事件都是等可能的，要具体问题具体分析。 例题1 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（   ） A．守株待兔 B．水涨船高 C．缘木求鱼 D．拔苗助长 【答案】B 【解析】解∵ 必然事件是指在一定条件下必然发生的事件； A．守株待兔：兔子撞树是偶然事件，不是必然； B．水涨船高：水位上涨时，船身随之升高，是必然事件； C．缘木求鱼：爬到树上找鱼，不可能找到，是不可能事件； D．拔苗助长：拔高禾苗反而导致死亡，不是必然事件． ∴ 属于必然事件的是B， 故选：B． 易错点2 概率计算公式使用不当 错误：概率计算公式使用不当而导致错误。 注意：一般的，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件E包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件E发生的概率可利用下面的公式计算：P（E）=。上面的概率公式只适合于试验结果有限个且等可能的情况。 例题2一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个． (1)从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率． (2)若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过，摸出黑球的概率是，请设计一个符合条件的放球方案． 【答案】(1) (2)红，白，黑个数分别是2，1，1（答案不唯一） 【解析】（1）解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，白球有4， ∴从盒子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是． （2）解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，红球有5个，白球有4个， ∴黑球有个， 往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，则总共个球， 设加入个红球，个黑球， ∵红球的概率不超过，摸出黑球的概率是， ∴， 解得：，， ∴放入红，白，黑个数分别是2，1，1或者1，2，1或者0，3，1 或者3，0，1 （答案不唯一，选择一种答案即可）． 易错点3 树状图画法不正确，导致分支遗漏或重复 错误：树状图画法不正确，导致分支遗漏或重复。 注意：画树状图时，确保每个分支都正确无误，且不遗漏、不重复。 例题3现有4张卡片正面写有不同的变化现象，A．冰化成水，B．酒精燃烧，C．铁棒成针，D．牛奶变酸，它们除此之外都相同，把这4张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上． (1)小辰从中随机抽取1张，则这张卡片呈现的变化是物理变化的概率是 ； (2)小雨从4张卡片中随机抽取1张，再从剩下的3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的概率． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：小辰从中随机抽取1张，共有4种等可能的结果，其中抽取的卡片是呈现的变化是物理变化的结果只有2种， ∴概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的结果有2种， ∴小雨抽出的2张卡片呈现的变化都是化学变化的概率为． 1．已知杭州市区昨天晴，今天晴，那么“杭州市区明天天晴”这一事件是（   ） A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件 【答案】B 【解析】解：∵天气情况的变化是随机的，明天可能晴也可能不晴， ∴“杭州市区明天天晴”这一事件可能发生也可能不发生， ∴它是随机事件． 故选：B． 2．下列事件属于必然事件的是（   ） A．明天太阳从西边升起 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D．直径所对圆周角是直角 【答案】D 【解析】解：A、太阳从西边升起是不可能事件，故该选项错误； B、三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，到三边的距离不一定相等，故该选项错误； C、抛掷1枚硬币，硬币落地时可能正面朝上，也可能反面朝上，故该选项错误； D、直径所对的圆周角是直角（圆周角定理），该事件一定发生，属于必然事件，故该选项正确， 故选：D． 3．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．在地球上，太阳东升西落 B．亚运会射击运动员射击一次命中靶心 C．两点之间线段最短 D．a是实数， 【答案】B 【解析】解：A．太阳东升西落是必然发生的，必然事件，不符合题意； B．射击运动员射击一次，可能命中靶心也可能不命中，随机事件，符合题意； C．两点之间线段最短是几何公理，必然事件，不符合题意； D．对于实数，恒成立，故不可能发生，不可能事件，不符合题意； 故选：B． 4．下列事件中，是必然事件的是（　　） A．掷一次骰子，向上一面的点数是3 B．任意买一张电影票，座位号是单号 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【解析】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，不符合题意； C、在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 5．一个密码锁的密码由六个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当六个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开．粗心的小明忘了最后的两个数字，那么他一次就能打开该锁的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵ 每个数字有10种选择， ∴ 最后两个数字的组合总数为种， ∵ 只有一种组合与密码匹配， ∴ 一次能打开锁的概率为， 故选：D． 6．在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的4个白球，6个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是 ． 【答案】/0.6 【解析】口袋中总球数为 个，红球有 个，因此任意摸出一个球是红球的概率为 ． 故答案为：． 7．在超市促销抽奖活动中，抽奖箱里有7个除颜色外毫无差别的乒乓球，其中3个是白色乒乓球，4个是黄色乒乓球． (1)摇匀后，从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是多少？ (2)若往抽奖箱里放入若干数量的白色乒乓球，调整后摇匀，随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为．问放入了多少个白色乒乓球？ 【答案】(1) (2)5个 【解析】（1）解：从抽奖箱里随机取出一个球有7种等可能结果，其中是黄色乒乓球的有4种结果， 所以从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是． （2）解：设放入个白色乒乓球， 由题意得：， 解得：． 经检验符合题意， 答：放入了5个白色乒乓球． 8．2025年，中国航天将迎来新的里程碑，计划执行多次探月与空间站任务．为普及航天知识，平遥县文化馆举办了一场“筑梦航天，魅力平遥”知识竞赛．初赛环节有编号为A、B、C、D四套难度相当的航天知识题目，参赛选手需要从编号为A、B、C、D四套题中随机抽取一套作答（抽取后，把编号放回）． (1)小明同学抽中A套题的概率是 ． (2)小亮和小红两位同学都参加了此次竞赛，请用画树状图或列表的方法，求他们二人中至少有一人抽中编号为A套题的概率． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：总共有4套题，抽中A套题的结果数为1， 由概率公式得， 故答案为：． （2）解：列表如下(小亮结果在前，小红结果在后)， 小红小亮 A B C D A B C D 总共有种情况，每种情况出现的可能性相同． 二人中至少有一人抽中编号为A套题的情况有7种， 所以． 答：他们二人中至少有一人抽中编号为A套题的概率为． 9．如图，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a、b、c、d、e五个开关中的任意两个开关． (1)请用列表或画树状图的方法，列出所有可能的情况； (2)求出使电路形成通路的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）解：列表如下： a b c d e a b c d e （2）根据题意，形成通路的可能有：，，，，，，，，，，，共12种， ∴使电路形成通路的概率是． 10．《哪吒2》自年1月日上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． A—哪吒   B—太乙真人   C—申公豹   D—敖丙   (1)从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； (2)小明从中随机抽取两张卡片，想恰好组成“一套”（A与D组合或B与C组合），求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵某款盲盒里有哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片四张， ∴从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下：    共有种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片恰好一套的结果有4种， ∴抽到的两张卡片恰好一套的概率为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $