第7章 空间图形的初步认识（知识清单）数学青岛版九年级下册

该初中数学知识清单系统梳理了“空间图形的初步认识”单元内容，涵盖多面体、直棱柱、圆柱、圆锥的概念、展开图及侧面积计算等核心范畴，搭建从基础概念填空到易错点解析再到例题习题的递进式学习支架。 清单通过“概念填空+易错点标注+例题应用”呈现知识体系，如标注圆柱侧面展开图矩形长为底面周长等易错点，结合例题强化空间观念和几何直观，设计“易错点专项分析”帮助学生突破难点，既便利自主学习，又辅助教师精准教学。

第7章 空间图形的初步认识 1.由多边形围成的几何体叫做______________。围成多面体的多边形的边叫做多面体的_________，多边形的顶点叫做多面体的__________。 2.一个多面体 ，顶点数+面数-棱数=________。 3.直棱柱的底面是几边形就叫做______________，如长方体也叫做________________。在棱柱中，除上、下底面以外，其他的面叫做它的__________。相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的____________。 4.直棱柱的上、下底面是_____________________，各个侧面都是___________。侧棱数、侧面数都等于____________________，相邻的两条侧棱____________________。 5.一般的，将一个直棱柱沿它的一条侧棱展开，将各个侧面铺在同一个平面内，所得到的图形叫做这个直棱柱的__________________。直棱柱的侧面展开图是矩形，矩形的宽等于__________________________，矩形的长等于_______________________________。 6.将矩形 OAA'O' 以它的一条边 OO′为轴旋转一周，所得到的立体图形是一个___________。由矩形的边 OA，O′A′旋转所成的面分别是圆柱的下底面与上底面，矩形的边AA′旋转所成的面是____________________。线段AA′叫做圆柱的__________。 7.圆柱的侧面展开图是一个____________，它的一边是___________________，另一边的长等于_______________________。圆柱侧面积等于圆柱的侧面展开图的面积，即 ___________________侧，其中r是圆柱的_______________，l是圆柱的____________。 8.将 Rt△OAB 以它一条直角边 OA 为轴旋转一周，所得到的立体图形是一个_________。另一条直角边 OB 旋转所成的面是_________________，斜边 AB 旋转所成的面是_________________，点 A 叫做圆锥的__________，线段 AB 叫做圆锥的__________，AO叫做圆锥的___________。 9.圆锥的侧面展开图是以圆锥的顶点为圆心、以母线为半径的扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的圆周长。圆锥侧面积等于圆锥的侧面展开图的面积，即___________________，其中 c 是圆锥的__________________，r 是___________________，l 是__________________。 易错点1 展开圆柱的侧面时，无法正确理解展开后的形状是一个矩形 错误：有学生在展开圆柱的侧面时，可能无法正确理解展开后的形状是一个矩形，或者在计算矩形的长和宽时出现错误。 注意：圆柱的侧面展开图是一个矩形，其长为底面圆的周长，宽为圆柱的高。要熟练掌握圆的周长公式，并准确应用到展开图中。 例题1 一个圆柱形粮囤，从里面量底面半径是，高是，每立方米玉米重，这个粮囤能装玉米 kg，合 吨（1吨）． 易错点2 处理圆锥的侧面展开图时，对扇形的概念理解不清 错误：在处理圆锥的侧面展开图时，学生可能会对扇形的概念理解不清，导致无法正确计算扇形的弧长和半径。 注意：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。要清楚扇形的弧长公式和面积公式，并能灵活运用。 例题2如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将，重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面半径为 ． 1．如图，圆柱的高线长为10cm，轴截面ABCD的面积为240cm2，则圆柱的侧面积是（　　） A．240 cm2 B．40πcm2 C．480 cm2 D．480πcm2 2．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是(　　) A．13 cm B．4cm C．4cm D．52 cm 3．一个圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，把圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积比原来增加了，已知圆柱的高是，那么圆柱的底面积是 ．（结果保留） 5．若圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥底面半径为 6．已知圆锥的底面半径是，母线长是，它的侧面积是 ． 7．聪聪是一个非常善于动脑筋的孩子，学习计算圆柱的表面积时，他利用如图方式探索新的计算方法．请你根据图示尝试理解并回答问题，借助他的方法解题． (1)聪聪把圆柱的两个底面、转化成两个近似的长方形、，再把、拼接成一个较长的近似长方形，这个近似长方形（图①中、两部分）的长相当于圆柱底面的___________，宽相当于底面的___________． (2)由图①可知，聪聪把整个圆柱的表面积转化成近似的大长方形，近似大长方形的长相当于圆柱的底面___________，宽相当于圆柱的___________与___________的和，因此，利用聪聪的方法我们就得到了圆柱的表面积的另外一种求解方法，即圆柱的表面积＝___________ (3)请你利用聪聪的方法计算如图②中的圆柱的表面积． 8．如图所示，有一个圆柱，它的高为9厘米，底面周长为24厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁要沿侧面到上底面B点取食物，问它爬行的最短路程是多少厘米？ 9．已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是多少？ 10．圆锥的母线长为，底面圆的半径为． (1)侧面展开图的圆心角度数是 ． (2)如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 空间图形的初步认识 1.由多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的多边形的边叫做多面体的棱，多边形的顶点叫做多面体的顶点。 2.一个多面体 ，顶点数+面数-棱数=2。 3.直棱柱的底面是几边形就叫做直几棱柱，如长方体也叫做直四棱柱。在棱柱中，除上、下底面以外，其他的面叫做它的侧面。相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 4.直棱柱的上、下底面是全等的多边形，各个侧面都是矩形。侧棱数、侧面数都等于底面的边数，相邻的两条侧棱平行且相等。 5.一般的，将一个直棱柱沿它的一条侧棱展开，将各个侧面铺在同一个平面内，所得到的图形叫做这个直棱柱的侧面展开图。直棱柱的侧面展开图是矩形，矩形的宽等于直棱柱的侧棱长，矩形的长等于直棱柱底面的周长。 6.将矩形 OAA'O' 以它的一条边 OO′为轴旋转一周，所得到的立体图形是一个圆柱。由矩形的边 OA，O′A′旋转所成的面分别是圆柱的下底面与上底面，矩形的边AA′旋转所成的面是圆柱的侧面。线段AA′叫做圆柱的母线。 7.圆柱的侧面展开图是一个矩形，它的一边是圆柱的母线，另一边的长等于底面圆的周长。圆柱侧面积等于圆柱的侧面展开图的面积，即 S侧 = 2πrl，其中r是圆柱的底面半径，l是圆柱的母线长。 8.将 Rt△OAB 以它一条直角边 OA 为轴旋转一周，所得到的立体图形是一个圆锥。另一条直角边 OB 旋转所成的面是圆锥的底面，斜边 AB 旋转所成的面是圆锥的侧面，点 A 叫做圆锥的顶点，线段 AB 叫做圆锥的母线，AO叫做圆锥的高。 9.圆锥的侧面展开图是以圆锥的顶点为圆心、以母线为半径的扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的圆周长。圆锥侧面积等于圆锥的侧面展开图的面积，即S侧 =cl = πrl，其中 c 是圆锥的底面圆的周长，r 是底面圆的半径，l 是圆锥的母线长。 易错点1 展开圆柱的侧面时，无法正确理解展开后的形状是一个矩形 错误：有学生在展开圆柱的侧面时，可能无法正确理解展开后的形状是一个矩形，或者在计算矩形的长和宽时出现错误。 注意：圆柱的侧面展开图是一个矩形，其长为底面圆的周长，宽为圆柱的高。要熟练掌握圆的周长公式，并准确应用到展开图中。 例题1 一个圆柱形粮囤，从里面量底面半径是，高是，每立方米玉米重，这个粮囤能装玉米 kg，合 吨（1吨）． 【答案】 【详解】解：粮囤的体积为：， 能装玉米的重量为： 合吨数为：吨． 故答案为，合吨． 易错点2 处理圆锥的侧面展开图时，对扇形的概念理解不清 错误：在处理圆锥的侧面展开图时，学生可能会对扇形的概念理解不清，导致无法正确计算扇形的弧长和半径。 注意：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。要清楚扇形的弧长公式和面积公式，并能灵活运用。 例题2如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将，重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【详解】解：扇形的弧长为：， ∴将，重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面周长为， ∴底面半径为：． 故答案为：． 1．如图，圆柱的高线长为10cm，轴截面ABCD的面积为240cm2，则圆柱的侧面积是（　　） A．240 cm2 B．40πcm2 C．480 cm2 D．480πcm2 【答案】A 【详解】圆柱的高线长为10cm,轴截面的面积为240cm2， 则可求出圆柱的直径是240÷10=24 cm， 所以侧面积=24π×10=240πcm2. 故选A. 2．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是(　　) A．13 cm B．4cm C．4cm D．52 cm 【答案】D 【详解】如图， 由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm， ∵∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm， ∴x2=(12×4)2+202∴x2=(12×4)2+202， 所以彩带最短是52cm． 故选D． 【点睛】本题考查了平面展开−−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高， 3．一个圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为圆锥的侧面积， 又因为， 所以圆锥的侧面积． 故选:C． 4．如图，把圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积比原来增加了，已知圆柱的高是，那么圆柱的底面积是 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：设圆柱的底面半径为，由题意，得 ， 解得， ∴圆柱的底面积是． 故答案为：． 5．若圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥底面半径为 【答案】4 【详解】， 代入公式得： 解得： 故答案为：． 6．已知圆锥的底面半径是，母线长是，它的侧面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵底面半径是， ∴底面周长， ∵母线长是， ∴圆锥的侧面积． 故答案为：． 7．聪聪是一个非常善于动脑筋的孩子，学习计算圆柱的表面积时，他利用如图方式探索新的计算方法．请你根据图示尝试理解并回答问题，借助他的方法解题． (1)聪聪把圆柱的两个底面、转化成两个近似的长方形、，再把、拼接成一个较长的近似长方形，这个近似长方形（图①中、两部分）的长相当于圆柱底面的___________，宽相当于底面的___________． (2)由图①可知，聪聪把整个圆柱的表面积转化成近似的大长方形，近似大长方形的长相当于圆柱的底面___________，宽相当于圆柱的___________与___________的和，因此，利用聪聪的方法我们就得到了圆柱的表面积的另外一种求解方法，即圆柱的表面积＝___________ (3)请你利用聪聪的方法计算如图②中的圆柱的表面积． 【答案】(1)圆的周长，圆的半径 (2)圆的周长，高，底面圆的半径，近似大长方形的面积 (3) 【详解】（1）解：根据图形的变换可知， 这个近似长方形的长相当于圆柱底面圆的周长，宽相当于底面的圆的半径， 故答案为：圆的周长，圆的半径； （2）解：根据图形的变换可知， 这个近似长方形的长相当于圆柱的底面圆的周长，宽相当于圆柱的高和底面圆的半径的和，则圆柱的表面积＝近似大长方形的面积， 故答案为：圆的周长，高，底面圆的半径，近似大长方形的面积； （3）解：圆柱的表面积为：， 所以，圆柱的表面积为． 8．如图所示，有一个圆柱，它的高为9厘米，底面周长为24厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁要沿侧面到上底面B点取食物，问它爬行的最短路程是多少厘米？ 【答案】它爬行的最短路程是15厘米． 【详解】解：如下图， 由题意得： ， 由勾股定理得：， 它爬行的最短路程是15厘米． 【点睛】本题考查了对勾股定理，平面展开-最短路径问题，解题的关键是理解题意知道蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长． 9．已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：扇形的圆心角是，半径是， 这个扇形的弧长为； （2）解：由（1）得这个扇形的弧长为， 设这个圆锥的半径是， 则， 解得：， 这个圆锥的半径是． 10．圆锥的母线长为，底面圆的半径为． (1)侧面展开图的圆心角度数是 ． (2)如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设侧面展开图的圆心角度数为， ∵底面圆的半径为， ∴侧面展开图的弧长， ， ，解得：， 故答案为：； （2）解：如图2，连接，则线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 的长为，，令， ，解得， ， ， ∴为等边三角形，即， ， ， 在中，， 即蚂蚁爬行的最短距离为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $