第6章 事件的概率（复习讲义）数学青岛版九年级下册

该初中数学《事件的概率》复习讲义通过分层梳理7个核心知识点，构建“概念-方法-应用”知识体系，用表格对比必然事件、不可能事件与随机事件的区别，步骤化呈现频数分布表绘制方法，清晰展现频率与概率的稳定关系及内在逻辑。 讲义亮点在于11类题型分层设计，从基础的“水中捞月”事件可能性判断，到用篮球运动员投篮频率估计概率培养推理意识，再到树状图列举志愿者活动选择结果计算概率发展数据观念，基础题巩固概念，提升题强化应用，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习突破重难点。

第6章 事件的概率（复习讲义） 1．能够准确阐述随机事件的定义，并说明其随机性特点，能够辨别随机事件的变化趋势。 ①能够准确阐述随机事件的定义，清晰区分必然事件、不可能事件和随机事件；②能列举生活中的随机事件实例，并说明其随机性特点；③能够辨别随机事件的变化趋势并利用其解决相关实际问题。 2．理解频率、概率的概念，深刻理解频率与概率的联系，会利用频数分布表、频数直方图解决相关问题。 ①理解频率、概率的概念；②深刻理解频率与概率的联系，知道随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近，并能利用频率近似估计概率；③会利用频数分布表、频数直方图解决相关问题。 3．明确概率的含义，掌握通过基本公式计算简单随机事件概率的方法，能够运用列举法计算试验中事件发生的概率，运用所学概率知识对实际问题中事件发生的可能性进行预测和判断，为决策提供依据。 ①明确概率的含义，理解概率是对随机事件发生可能性大小的数值度量；②掌握通过基本公式计算简单随机事件概率的方法，能够运用列举法计算试验中事件发生的概率；③运用所学概率知识对实际问题中事件发生的可能性进行预测和判断，为决策提供依据。 知识点01 随机事件 1）随机事件：可能发生也可能不发生，事先无法确定，像这种可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，也叫做不确定事件。 2）必然事件：必然会发生的事件，称为必然事件。 3）不可能事件：不可能发生的事件，称为不可能事件。 4）确定事件：必然事件和不可能事件，结果都是确定的，统称确定事件。 知识点02 频数与频率 1）频数：某个事件一共发生的次数叫做该事件发生的频数。 2）频率：事件发生的频数与事件的总次数的比值，叫做该事件发生的频率。 3）一般的，将总体中的数据按同一个标准分组后，各组数据的频数之和等于总体中数据的个数，各组数据的频率之和等于1。 知识点03 频数直方图 1）列频数、频率分布表的步骤： ① 确定所有数据中最大值与最小值，并计算二者的差。 ② 确定组数、组距，并进行分组。 ③ 列出相应的频数、频率分布表。 注意：将数据进行分组时，组数的多少应适当，组数太少，不能充分显示数据的分布情况；组数太多，不仅繁琐，且容易把性质相近的同类数据分散到各组，从而也不能正确显示数据分布的特征和规律。一般的，数据在 100 个以内，可按情况分为 5~12 组。 2）频数直方图：根据频数的分布绘制的条形统计图叫做频数直方图。 知识点04 随机事件的变化趋势 1）两个坐标轴的单位长度不同，表示的意义也不同。但是只要刻度之间的比例关系一致，坐标系中的点所表达的意义就是合理的。因此，在确定坐标轴的单位长度时，要注意具体问题具体分析。 2）由于画出的直线只是近似地表示图中各点的变化趋势，所以实际上还可以画出很多条直线。 知识点05 事件的概率 1）一般的，一个事件发生的可能性的大小可以用一个数来表示，我们把这个数叫做这个事件发生的概率，通常记为P（事件）。在进行大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件发生的频率总在这个 事件发生的概率附近波动，显示出一定的稳定性。从而可以用事件发生的频率估计事件发生的概率。 2） 一个事件发生的频率是已发生的，也是可测的，而这个事件发生的概率是某个客观存在的确定的数值，但可能事先并不知道，用频率来估计概率可以实现由已知去探求未知，从偶然中去发现必然，它蕴含了一种深刻的数学思想。 知识点06 简单的概率计算 1）一般的，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件E包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件E发生的概率可利用下面的公式计算：P（E）=。上面的概率公式只适合于试验结果有限个且等可能的情况。 2)任何事件E发生的概率P（E）都是0和1之间（包括0和1）的数，即0 ≤ P（E）≤ 1。 3)列举试验所有可能出现的结果时，应注意做到不重不漏。 知识点07 利用画树状图和列表计算概率 树状图或列表能帮助我们将所有等可能的结果直观地列举出来，做到既不重复也没有遗漏。 题型一 判断事件发生的可能性的大小 【例1】下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（    ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．旭日东升 D．夕阳西下 【变式1-1】下面是一些可以转动的转盘，则转出黑色可能性从大到小的顺序是（   ） A．②④①⑤③ B．④②①⑤③ C．③⑤①②④ D．③⑤①④② 【变式1-2】在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外完全相同，将球摇匀，从中任取1球．①恰好取出白球；②恰好取出黄球；③恰好取出红球．根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是（    ） A．①③② B．②①③ C．①②③ D．③②① 【变式1-3】盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到 球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加 个这种颜色的球． 题型二 频数与频率 【例2】将100个数据分成8个组，如表，则第6组的频数为（   ） 组别 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 11 14 12 13 13 12 10 A．12 B．13 C．14 D．15 【变式2-1】下列说法错误的是（    ） A．频率分布反映了一组数据落在各个小组范围内的比例大小 B．频数是一组数据中，落在各个小组内的数据 C．频数分布表中，各小组频数之和等于样本的总数 D．频率分布表中，各小组的频率之和为 【变式2-2】了解时事新闻，关心国家重大事件是每个中学生应具备的素养，在学校举行的新闻事件比赛中，知道“祝融号”成功到达火星的同学有40人，频率为0.8，则参加比赛的同学共有 人． 【变式2-3】下表记录了一名篮球运动员在罚球线上练习投篮的结果： 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 350 投中次数（n） 28 60 78 104 123 153 175 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.49 0.51 根据表格中的数据，解答下列问题： (1)求、的值； (2)若这名篮球运动员在罚球线上再投篮一次，估计他投中的概率（结果精确到0.1） 题型三 频数分布表 【例3】一组数据的最小值为60，最大值为150，若取组距为15，则可分为（ ） A．7组 B．6组 C．5组 D．4组 【变式3-1】一个容量为80的样本的最大值是142，最小值是52，若取组距为10，则可分成 组． 【变式3-2】某中学举办了一次演讲比赛，将参赛同学的成绩分段统计如下（分数为整数，满分为100分）： 分数段（分） 61～70 71～80 81～90 91~100 人数（人） 4 8 6 7 请根据表中提供的信息，解答下列问题： (1)参加本次演讲比赛的同学有多少人？ (2)已知成绩在91～100分的同学被评为优秀，求本次比赛的优秀率． 【变式3-3】某市倡导中小学开展艺体普及活动，某校学生会为了了解全校同学对艺体普及活动中部分项目的喜欢情况，随机调查了名同学（每位同学仅选一个喜欢的项目），根据调查结果制作了如下统计表： 喜欢的项目 频数 频率 篮球 ________ 排球 乒乓球 健美操 ________ ________ 武术 跑步 合计 (1)请补全统计表； (2)在这次抽样调查中，喜欢哪个体育项目的同学最多？喜欢哪个体育项目的同学最少？ (3)根据以上调查，试估计该校名学生中喜欢健美操的学生人数． 题型四 频数分布直方图 【例4】某市统计局为研究我国省会及以上城市发展水平与人均之间的关系，收集了2023年31个城市的人均数据（单位：万元）以及城市排名，进行了相关的数据分析，下面给出了部分信息． a．城市的人均的频数分布直方图（数据分成5组：，，，，）； b．城市的人均（万元）的数值在这一组的是：； c．以下是31个城市2023年的人均（万元）和城市排名情况散点图： 根据以上信息，回答下列问题 (1)补全城市的人均的频数分布直方图，若某城市的人均为万元，该城市排名全国第__________； (2)观察散点图，请你写出一条正确的结论． 【变式4-1】为了掌握我区中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师选取一个水平相当的初三年级进行调研，将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为分）分为组：第一组；第二组；第三组；第四组；第五组，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题： (1)本次调查共随机抽取了_________名学生成绩进行统计？ (2)补全频数分布直方图； (3)扇形统计图中第二组学生成绩所对应的圆心角为_________； (4)若将得分转化为等级，规定：得分低于分评为“”，分评为“”，分评为“”，分评为“”，根据目前的统计，请你估计全区该年级名考生中，考试成绩评为“”级及其以上的学生大约有多少名？ 【变式4-2】为增强学生安全意识，实验中学举行了“安全在我心中”的知识竞赛．焦校长从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（；；；），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ，并补全频数分布直方图； (2)求扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数； (3)实验中学共有学生1200人，请根据样本数据，估计实验中学学生中获得A等级的学生有多少人？ 【变式4-3】年全国食品安全宣传周于9月日启动，本次活动的主题是“尚德守法，共享食安”．某校七、八年级同学在本次活动中组织了该活动主题相关的食品安全知识竞赛，某班数学小组同学随机调查了七、八年级各名学生的竞赛成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下： 收集数据 七年级：，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，； 整理数据 七年级学生食品安全知识竞赛成绩频数分布表 八年级学生食品安全知识竞赛成绩频数分布直方图 分段 频数 频率    3 5 5 分析数据 统计量年级 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 请你根据以上图表中的信息完成下列问题： (1)填空：_____，_____，_____，并补全频数分布直方图； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有名学生、八年级有名，请估计该校七、八年级学生食品安全知识竞赛成绩大于分的学生人数的总和． 题型五 由频率估计概率 【例5】在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球有5个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2，那么可以推算出a大约是（    ）． A．25 B．20 C．15 D．10 【变式5-1】某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 A．0.400 B．0.410 C．0.413 D．0.423 【变式5-2】小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被5整除的数 D．转动转盘后，出现3的倍数 【变式5-3】一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.6，估计箱子里白球的个数为 个． 题型六 根据概率公式计算概率 【例6】某商场迎新促销活动，设置了一个转盘，转盘平均分成五部分．规定购买物品金额每超过200元就可以抽一次奖．当转盘停在红色区域则可以获得奖品．小明购买 405元的物品，他获得奖品的概率 P（获得奖品）（ ） A．1 B． C． D． 【变式6-1】掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为2的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】不透明的箱子中有1个红色小球，1个黑色小球，1个黄色小球，它们除颜色外无其他差别，从箱子中随机取出一个球，则取到红色小球为的概率为 ． 【变式6-3】在一个不透明的箱子中放有9张除地名外完全相同的卡片，卡片数量如下表．从箱子中抽出一张卡片，卡片上的地名最有可能是 ． 地名 卡片数量 丽江 4张 西双版纳 2张 红河 3张 题型七 根据概率作判断 【例7】现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． (1)如果随机取出1个黑球，从 盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 【变式7-1】小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题： (1)小深抽到“纸巾”的概率是 ； (2)小深中奖的概率是 ； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后抽到“太阳伞”的可能性大小是 ，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【变式7-2】小明和小强都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个数字，随意转动一次转盘，若转到奇数，小明去参加活动；若转到偶数，小强去参加活动．    (1)转盘转到奇数的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【变式7-3】如图是一大一小的两个可以自由转动的转盘，甲盘被平均分成6等份，乙盘被平均分成4等份，每个转盘均被涂上红、黄、蓝三种颜色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色，小明与小颖参与游戏；小明转动甲盘，小颖转动乙盘．    (1)小明转出的颜色为红色的概率为______； (2)小明转出的颜色为黄色的概率为______； (3)小颖转出的颜色为黄色的概率为______； (4)两人均转动转盘，如果转出的颜色为红色，则胜出，你认为该游戏公平吗？为什么？ 题型八 已知概率求数量 【例8】在一个不透明的盒子里装有60个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【变式8-1】现有图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三个不同旅游景点的邮票50张，除图案外完全相同，现将所有邮票放入不透明口袋中，随机抽取一枚邮票图案为磁器口的概率是，则这个口袋中有磁器口邮票 枚． 【变式8-2】已知一个口袋中装有5个只有颜色不同的球，其中有3个白球，2个黑球． (1)求从中随机取出一个球是黑球的概率是多少； (2)若往口袋中再放入个白球和8个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求的值． 【变式8-3】李伟在暑假期间进行了投掷实心球训练，训练结果如下表： 投掷次数n 10 20 40 60 100 200 500 得满分的次数m 7 14 30 46 77 154 385 得满分的频率 0.700 0.700 0.750 0.767 0.770 0.770 0.770 当李伟投掷600次时，请估计他得满分的次数． 题型九 几何概率 【例9】假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白色方砖上的概率是 ． 【变式9-2】如图，在等边中，点是线段上一点，是边上的高，连接交于点，且，现随机在内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 【变式9-3】如图，正方形内接于，在这个圆面上随意抛一粒豆子豆子大小忽略不计，若豆子落在正方形内的概率记为，豆子落在图中阴影部分内的概率记为，则 填“>”“<”或“=” 题型十 列举法或树状图法求概率 【例10】2025年8月7日晚我县因强降雨引发山洪泥石流，导致我县城关镇、马坡乡、小康营乡、夏官营镇4个乡镇发生山洪灾害，相关部门连夜救援，全县人民积极参与抗洪救灾，小张和小李两名同学踊跃前去当志愿者，他们随机从“清理淤泥垃圾”、“安置点做义务工”、“物资装卸”、“物资登记与分发”四项中任选一项参加志愿者活动，则他俩恰好选择不同项目的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月5日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，则抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率是 ． 【变式10-2】小明和小颖打算一起玩游戏，有两组牌，每组三张，牌面数字分别是2，3，4．将两组纸牌背面朝上，洗匀后从每组纸牌中各摸出一张．当摸出的两张纸牌的牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小颖获胜．则小明获胜的概率是 ． 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 【变式10-3】小宇和小欣所在的科学社团研究了以下四种生活现象，并制作了，，，四张卡片，这些卡片除了内容不同，其余完全相同．卡片正面写着四种生活现象的名称，将卡片洗匀背面朝上放置在桌面上．（注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化，生成其他物质的变化叫做化学变化．） (1)小宇随机从四张卡片中抽取一张，抽中卡片的概率是________； (2)小欣从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或者树状图法求小欣抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率． 题型十一 概率的应用 【例11】有两颗相同的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，小风和小荷玩游戏，规定：每人连续投掷2次，若掷出两次的点数之和小于7，则小风胜，否则小荷胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 【变式11-1】人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下： 年龄 活到该年龄的人数 在该年龄的死亡人数 40 80500 892 50 78009 951 60 69891 1200 70 45502 2119 80 16078 2001 … … … 根据上表解下列各题： （1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？ （保留三个有效数字） （2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？ 【变式11-2】某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【变式11-3】如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 基础巩固通关测 一、单选题 1．若一个事件不发生的机会是，那么这个事件（    ） A．很可能发生 B．必然发生 C．不可能发生 D．不大可能发生 2．夏天同学在教练的指导下进行了大量重复射击训练，用频率估计他命中环的概率为，则下列说法中正确的是（   ） A．夏天射击次，不一定会命中环 B．夏天射击次，一定不会命中环 C．夏天射击次，一定有次命中环 D．夏天射击次，一定能命中环 3．小明同学在做掷骰子游戏实验中，投掷了100次正方体骰子，不同点数出现的情况如下表所示： 出现点数 1 2 3 4 5 6 次数 20 15 13 19 16 17 则出现点数5的频数与频率分别是（　　） A．15和 B．16和 C．16和 D．16和100 4．一个不透明的袋子中装有若干个红球和3个白球（除颜色外都相同），现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中红球个数是（） A．8 B．9 C．7 D．10 5．一个容量为80的样本的最大值为147，最小值为50，取组距为10，则可以分成（    ） A．10组 B．9组 C．8组 D．7组 二、填空题 6．一个不透明的袋子中有1个白球、1个红球和4个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同，搅均匀后从中任意摸出1个球，摸出白球的可能性 摸出黄球的可能性(填“等于”或“小于”或“大于”)． 7．一个盒子中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的红球的个数为 ． 8．为了了解某地七年级学生参加消防知识竞赛的成绩（成绩取整数），从中抽取了1%的学生的竞赛成绩，整理后绘制了如图所示的频数直方图．若竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖励，则估计该地获得奖励的七年级学生有 人． 9．在列频率分布表时，得到一组数据中某一个数据的频数是，频率是，那么这个数据组中共有 个数据． 10．已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为 ． 三、解答题 11．如图所示的是各个不透明的袋子中球的情况，每个球除颜色外都相同．任意摸出1个球，请你根据摸到红球的可能性大小填空（填序号）． (1)一定能摸到的是 ； (2)能摸到且摸到的可能性较大的是 ； (3)能摸到但摸到的可能性较小的是 ； (4)不可能摸到的是 ． 12．某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 13．某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 14．人工智能（）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次抽查样本容量为______，扇形统计图中的值为______°，m的值为______． (2)请补全频数直方图． (3)学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分． 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人． 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由． 15．近日，某市考试院发布了《义务教育体育与健康考核评价现场考试项目评分标准（试行）》，2024年对于体育现场考试项目中的男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即达到3分55秒即可得到满分． 以下是该市某中学九年（1）班体育期末模拟考的长跑成绩制成的频数分布表： 成绩x（秒） 频数 频率 2 0.04 7 0.14 a 0.4 16 0.32 5 0.1 (1)表格中________，九年（1）班有________人，满分率为________； (2)在一次计时跑步中，该班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少58秒，按照新考核标准来看，这名女生能否拿到满分？请说明理由． 能力提升进阶练 一、单选题 1．明明连掷3次硬币，第1次正面朝上，第2次反面朝上，那么第3次（    ） A．一定正面朝上 B．正面不可能朝上 C．一定反面朝上 D．正、反面都有朝上的可能 2．在某市青少年航空航天模型锦标赛中，各年龄组的参赛人数情况如图所示．若小明所在年龄组的频率为，则小明所在的年龄组是（   ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 3．某综合实践活动小组做抛掷质地均匀的纪念币试验获得的数据如表： 抛掷次数/次 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 497 若抛掷纪念币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近（    ） A．497 B．502 C．800 D．1002 4．某次数学测试，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（    ） A．频数分布直方图中组距是 B．本次抽样样本容量是 C．这一分数段的频数为 D．这次测试及格（不低于分）率为 5．为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 二、填空题 6．七年（1）班40名学生参加视力检测，检测结果分成4组，第一组的频数是3，第三、四组的频率之和为0.7，则第二组的频数是 ． 7．在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是 ． 8．小涵同学通过查看通话记录得知了他家5月份打电话的次数及通话时间，并列出如下频数分布表∶ 通话时间/min 频数(通话次数) 34 18 9 5 通话时间不超过15min的频数为，则通话时间不超过10分钟的频率为 ． 9．四张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字2，3，4，5，将它们背面朝上，洗匀后先随机抽取一张，得到的牌面数字记为a，然后不放回，继续抽取第二张，得到的牌面数字记为b，则的概率是 ． 10．“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 三、解答题 11．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 12．电影《志愿军：浴血和平》于2025年9月30日上映，小明和小刚都想去看，但只有一张电影票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下： 将四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回，另一人再从袋中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字之和大于5，则小明获胜；否则小刚获胜． (1)请利用画树状图或列表的方法，求小明获胜的概率； (2)这个游戏规则是否公平？请说明理由． 13．如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 14．“地球一小时”是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的一项全球性节能活动，提倡于每年三月最后一个星期六的当地时间，家庭及商业用户关上不必要的电灯及耗电产品一小时，以此来表示他们对于应对气候变化行动的支持，为了解小区居民的用电情况，某小区物业随机抽取了部分家庭小时的用电情况，并整理成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 居民用电情况频数分布表 组别 用电量／度 频数（户数） 百分比 14 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)调查总户数为______； (2)频数分布表中，______，______，______； (3)为了响应节能减排号召，请提一条合理的建议． 15．青少年“心理健康”问题越来越引起社会的关注，某中学为了了解学校600名学生的心理健康状况，举行了一次“心理健康”知识测试，并随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 50.5～60.5 4 0.08 60.5～70.5 14 0.28 70.5～80.5 16 a 80.5～90.5 b c 90.5～100.5 10 0.2 合计 d 1 请根据图表，解答下面的问题： (1) ， ， ， ． (2)根据该样本，估计该校本次心理健康知识测试在90分以上的人数； (3)若成绩在70分以上（不含70分）为心理健康状况良好，同时，若心理健康状况良好的人数占总人数的以上，就表示该校学生的心理健康状况正常，否则就需要加强心理辅导．请根据上述数据分析该校学生是否需要加强心理辅导，并说明理由．      1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 事件的概率（复习讲义） 1．能够准确阐述随机事件的定义，并说明其随机性特点，能够辨别随机事件的变化趋势。 ①能够准确阐述随机事件的定义，清晰区分必然事件、不可能事件和随机事件；②能列举生活中的随机事件实例，并说明其随机性特点；③能够辨别随机事件的变化趋势并利用其解决相关实际问题。 2．理解频率、概率的概念，深刻理解频率与概率的联系，会利用频数分布表、频数直方图解决相关问题。 ①理解频率、概率的概念；②深刻理解频率与概率的联系，知道随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近，并能利用频率近似估计概率；③会利用频数分布表、频数直方图解决相关问题。 3．明确概率的含义，掌握通过基本公式计算简单随机事件概率的方法，能够运用列举法计算试验中事件发生的概率，运用所学概率知识对实际问题中事件发生的可能性进行预测和判断，为决策提供依据。 ①明确概率的含义，理解概率是对随机事件发生可能性大小的数值度量；②掌握通过基本公式计算简单随机事件概率的方法，能够运用列举法计算试验中事件发生的概率；③运用所学概率知识对实际问题中事件发生的可能性进行预测和判断，为决策提供依据。 知识点01 随机事件 1）随机事件：可能发生也可能不发生，事先无法确定，像这种可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，也叫做不确定事件。 2）必然事件：必然会发生的事件，称为必然事件。 3）不可能事件：不可能发生的事件，称为不可能事件。 4）确定事件：必然事件和不可能事件，结果都是确定的，统称确定事件。 知识点02 频数与频率 1）频数：某个事件一共发生的次数叫做该事件发生的频数。 2）频率：事件发生的频数与事件的总次数的比值，叫做该事件发生的频率。 3）一般的，将总体中的数据按同一个标准分组后，各组数据的频数之和等于总体中数据的个数，各组数据的频率之和等于1。 知识点03 频数直方图 1）列频数、频率分布表的步骤： ① 确定所有数据中最大值与最小值，并计算二者的差。 ② 确定组数、组距，并进行分组。 ③ 列出相应的频数、频率分布表。 注意：将数据进行分组时，组数的多少应适当，组数太少，不能充分显示数据的分布情况；组数太多，不仅繁琐，且容易把性质相近的同类数据分散到各组，从而也不能正确显示数据分布的特征和规律。一般的，数据在 100 个以内，可按情况分为 5~12 组。 2）频数直方图：根据频数的分布绘制的条形统计图叫做频数直方图。 知识点04 随机事件的变化趋势 1）两个坐标轴的单位长度不同，表示的意义也不同。但是只要刻度之间的比例关系一致，坐标系中的点所表达的意义就是合理的。因此，在确定坐标轴的单位长度时，要注意具体问题具体分析。 2）由于画出的直线只是近似地表示图中各点的变化趋势，所以实际上还可以画出很多条直线。 知识点05 事件的概率 1）一般的，一个事件发生的可能性的大小可以用一个数来表示，我们把这个数叫做这个事件发生的概率，通常记为P（事件）。在进行大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件发生的频率总在这个 事件发生的概率附近波动，显示出一定的稳定性。从而可以用事件发生的频率估计事件发生的概率。 2） 一个事件发生的频率是已发生的，也是可测的，而这个事件发生的概率是某个客观存在的确定的数值，但可能事先并不知道，用频率来估计概率可以实现由已知去探求未知，从偶然中去发现必然，它蕴含了一种深刻的数学思想。 知识点06 简单的概率计算 1）一般的，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件E包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件E发生的概率可利用下面的公式计算：P（E）=。上面的概率公式只适合于试验结果有限个且等可能的情况。 2)任何事件E发生的概率P（E）都是0和1之间（包括0和1）的数，即0 ≤ P（E）≤ 1。 3)列举试验所有可能出现的结果时，应注意做到不重不漏。 知识点07 利用画树状图和列表计算概率 树状图或列表能帮助我们将所有等可能的结果直观地列举出来，做到既不重复也没有遗漏。 题型一 判断事件发生的可能性的大小 【例1】下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（    ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．旭日东升 D．夕阳西下 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，事件分为不可能事件、随机事件、必然事件，不可能事件可能性为0，必然事件可能性为1，随机事件可能性介于0和1之间，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 水中捞月是不可能事件，可能性为0； B. 守株待兔是随机事件，可能性大于0但小于1； C. 旭日东升是必然事件，可能性为1； D. 夕阳西下是必然事件，可能性为1﹒ 故选：A 【变式1-1】下面是一些可以转动的转盘，则转出黑色可能性从大到小的顺序是（   ） A．②④①⑤③ B．④②①⑤③ C．③⑤①②④ D．③⑤①④② 【答案】D 【分析】本题主要考查了可能性出现的大小，从大到小依次排列阴影部分的面积，即为转出黑色可能性从大到小的顺序． 【详解】解：题中黑色区域的面积由大到小排列依次为③⑤①④②， 故转出黑的概率由大到小也为③⑤①④②． 故选：D． 【变式1-2】在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外完全相同，将球摇匀，从中任取1球．①恰好取出白球；②恰好取出黄球；③恰好取出红球．根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是（    ） A．①③② B．②①③ C．①②③ D．③②① 【答案】C 【分析】本题考查可能性大小，根据球的数量决定事件发生可能性大小解答即可． 【详解】解：∵白球数量（1个）＜黄球数量（2个）＜红球数量（3个）， ∴这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是①②③， 故选：C． 【变式1-3】盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到 球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加 个这种颜色的球． 【答案】 红 6 【分析】本题主要考查了可能性大小的实际应用，掌握可能性大小的比较方法是解题的关键． 比较盒子里白球、黄球、红球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大；反之，数量最少的，摸到的可能性就最小．要使拿到这种颜色的球可能性最大，则其个数至少要比7多1，据此即可确定需要增加的个数． 【详解】解：∵， ∴红球的数量最少，所以从中任意摸一个球，摸到红球的可能性最小． ∵（个）， ∴要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加6个这种颜色的球． 故答案为：红，6． 题型二 频数与频率 【例2】将100个数据分成8个组，如表，则第6组的频数为（   ） 组别 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 11 14 12 13 13 12 10 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查频数；根据各组频数和等于数据总和进行计算即可． 【详解】解：第6组的频数为： ， 故选：D． 【变式2-1】下列说法错误的是（    ） A．频率分布反映了一组数据落在各个小组范围内的比例大小 B．频数是一组数据中，落在各个小组内的数据 C．频数分布表中，各小组频数之和等于样本的总数 D．频率分布表中，各小组的频率之和为 【答案】B 【分析】根据频率与频数的概率逐一判断即可． 【详解】解：A、频率分布反映了一组数据落在各个小组范围内的比例大小，原说法正确，不符合题意； B、频数是一组数据中，落在各个小组内的数据的个数，原说法错误，符合题意； C、频数分布表中，各小组频数之和等于样本的总数，原说法正确，不符合题意； D、频率分布表中，各小组的频率之和为，原说法正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查了频率与频数的概念，熟知频数是一组数据中，落在各个小组内的数据的个数，频率分布反映了一组数据落在各个小组范围内的比例大小是解题的关键． 【变式2-2】了解时事新闻，关心国家重大事件是每个中学生应具备的素养，在学校举行的新闻事件比赛中，知道“祝融号”成功到达火星的同学有40人，频率为0.8，则参加比赛的同学共有 人． 【答案】50 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握总次数＝频数÷频率是解题的关键． 根据总次数＝频数÷频率，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：（人）， ∴参加比赛的同学共有50人， 故答案为：50． 【变式2-3】下表记录了一名篮球运动员在罚球线上练习投篮的结果： 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 350 投中次数（n） 28 60 78 104 123 153 175 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.49 0.51 根据表格中的数据，解答下列问题： (1)求、的值； (2)若这名篮球运动员在罚球线上再投篮一次，估计他投中的概率（结果精确到0.1） 【答案】(1)， (2)0.5 【分析】（1）用投中的次数除以投篮的次数即可得出答案； （2）计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率． 【详解】（1）解：根据题意得：； ； （2）由题意得： 投篮的总次数是 (次)， 投中的总次数是 (次)， 则这名球员投篮的次数为1400次，投中的次数为720， 故这名球员投篮一次，投中的概率约为：． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是理解这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 题型三 频数分布表 【例3】一组数据的最小值为60，最大值为150，若取组距为15，则可分为（ ） A．7组 B．6组 C．5组 D．4组 【答案】B 【分析】本题考查了频数分布表，掌握组数的定义：数据分成的组的个数称为组数是解题的关键，注意小数部分要进位．根据组数最大值-最小值组距计算，注意小数部分要进位，先求出极差，再根据组距求组数． 【详解】解：在样本数据中最大值为150，最小值为60，它们的差是， 已知组距为15，由于， 故可以分成6组． 故选：B． 【变式3-1】一个容量为80的样本的最大值是142，最小值是52，若取组距为10，则可分成 组． 【答案】9 【分析】本题主要考查了频率分布表中组数的确定，熟练掌握“组数 = 极差÷组距（若结果不是整数则向上取整）”是解题的关键．先求极差，再用极差除以组距，根据结果确定组数． 【详解】解：∵最大值是142，最小值是52， ∴ 极差为 ， ∵取组距为10， ∴可分成 组， 故答案为：9． 【变式3-2】某中学举办了一次演讲比赛，将参赛同学的成绩分段统计如下（分数为整数，满分为100分）： 分数段（分） 61～70 71～80 81～90 91~100 人数（人） 4 8 6 7 请根据表中提供的信息，解答下列问题： (1)参加本次演讲比赛的同学有多少人？ (2)已知成绩在91～100分的同学被评为优秀，求本次比赛的优秀率． 【答案】(1)参加本次演讲比赛的同学有25人 (2) 【分析】此题考查频数(率)分布表，百分数的应用； （1）求得各段的人数的和即可求得； （2）根据百分比的意义即可求解． 【详解】（1）解：参加本次演讲比赛的同学有：（人）； （2）本次比赛的优秀率为： 【变式3-3】某市倡导中小学开展艺体普及活动，某校学生会为了了解全校同学对艺体普及活动中部分项目的喜欢情况，随机调查了名同学（每位同学仅选一个喜欢的项目），根据调查结果制作了如下统计表： 喜欢的项目 频数 频率 篮球 ________ 排球 乒乓球 健美操 ________ ________ 武术 跑步 合计 (1)请补全统计表； (2)在这次抽样调查中，喜欢哪个体育项目的同学最多？喜欢哪个体育项目的同学最少？ (3)根据以上调查，试估计该校名学生中喜欢健美操的学生人数． 【答案】(1)；；； (2)喜欢篮球的同学最多，喜欢跑步的同学最少； (3)估计该校名学生中喜欢健美操的学生有名． 【分析】本题主要考查了频数统计表、用样本估计总体． 用单位减去已知的频率得到喜欢健美操的频率；利用喜欢篮球的频率乘以调查的总人数，得到喜欢篮球的频数；利用喜欢健美操的频率乘以调查的总人数，得到喜欢健美操的频数； 根据频数统计表中的频率可知，喜欢篮球的频率最大为，喜欢跑步的频率最小为10%，喜欢篮球的同学最多，喜欢跑步的同学最少； 利用样本频率估计总体，全校喜欢健美操的人数大约占总人数的，所以该校名学生中喜欢健美操的学生人数大约为人． 【详解】（1）解：由统计表可知，喜欢健美操的频率为：； 喜欢篮球的频数为：(人)； 喜欢健美操的频数为：(人)； 故答案为：，，； （2）解：由统计表可知，喜欢篮球的频率最大为，喜欢跑步的频率最小为10%， 喜欢篮球的同学最多，喜欢跑步的同学最少； （3）解：利用样本频率估计总体， 该校名学生中喜欢健美操的学生人数大约为(人)． 题型四 频数分布直方图 【例4】某市统计局为研究我国省会及以上城市发展水平与人均之间的关系，收集了2023年31个城市的人均数据（单位：万元）以及城市排名，进行了相关的数据分析，下面给出了部分信息． a．城市的人均的频数分布直方图（数据分成5组：，，，，）； b．城市的人均（万元）的数值在这一组的是：； c．以下是31个城市2023年的人均（万元）和城市排名情况散点图： 根据以上信息，回答下列问题 (1)补全城市的人均的频数分布直方图，若某城市的人均为万元，该城市排名全国第__________； (2)观察散点图，请你写出一条正确的结论． 【答案】(1)见详解，10 (2)根据散点图可见，城市 排名越靠前，人均往往越高． 【分析】本题考查了频数分布直方图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据调查31个城市，且结合频数分布直方图的数据，进行列式计算，即可作答． （2）观察散点图，则城市 排名越靠前，人均往往越高，即可作答． 【详解】（1）解：∵2023年31个城市的人均数据（单位：万元）以及城市排名， ∴ 补全城市的人均的频数分布直方图，如图所示： 根据城市的人均（万元）的数值在这一组的是：； 则， 结合31个城市2023年的人均（万元）和城市排名情况散点图， ∴某城市的人均为万元，该城市排名全国第； （2）解：根据散点图可见，城市 排名越靠前，人均往往越高． 【变式4-1】为了掌握我区中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师选取一个水平相当的初三年级进行调研，将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为分）分为组：第一组；第二组；第三组；第四组；第五组，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题： (1)本次调查共随机抽取了_________名学生成绩进行统计？ (2)补全频数分布直方图； (3)扇形统计图中第二组学生成绩所对应的圆心角为_________； (4)若将得分转化为等级，规定：得分低于分评为“”，分评为“”，分评为“”，分评为“”，根据目前的统计，请你估计全区该年级名考生中，考试成绩评为“”级及其以上的学生大约有多少名？ 【答案】(1)； (2)见解析； (3)； (4)人． 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用，解决本题的关键是综合扇形统计图和条形统计图得出需要的数据． 由频数分布直方图可知，第三组有人，由扇形统计图可知，第三组的人数占被调查人数的，用除以它所对应的分率，即可得到调查的总人数； 由频数分布直方图可知，第一组有名学生，第二组有名学生，第三组有名学生，第四组有名学生，由可知，被调查的人数为，可以求出第五组学生的人数，根据人数补全频数分布直方即可； 利用被调查的学生中每二组学生占被调查人数的百分比求出扇形统计图中第二组所对应的圆心角即可； 由频数分布直方图可知考试成绩评为“”级及其以上的学生有名，可以求出被调查的学生中考试成绩评为“”级及其以上的学生占被调查人数的，用样本百分数估计总体百分数，求出全区考试成绩评为“”级及其以上的学生大约人数即可． 【详解】（1）解：由频数分布直方图可知，第三组有人， 由扇形统计图可知，第三组的人数占被调查人数的， 本次调查共抽取了名； 故答案为：； （2）解：由频数分布直方图可知，第一组有名学生，第二组有名学生，第三组有名学生，第四组有名学生， 由可知，被调查的人数为， 第五组学生的人数为：(名)， 补全频数分布直方图如下： （3）解：由频数分布直方图可知，第二组有名学生， 扇形统计图中第二组对应的圆心角度数为， 故答案为：； （4）解：由频数分布直方图可知，考试成绩评为“”级及其以上的学生有名， 被调查的学生中考试成绩评为“”级及其以上的学生占被调查人数的， 全区该年级学生考试成绩评为“”级及其以上的学生大约有(名)． 【变式4-2】为增强学生安全意识，实验中学举行了“安全在我心中”的知识竞赛．焦校长从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（；；；），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ，并补全频数分布直方图； (2)求扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数； (3)实验中学共有学生1200人，请根据样本数据，估计实验中学学生中获得A等级的学生有多少人？ 【答案】(1)150，36，见解析 (2) (3)获得A等级的学生有192人 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用频数分布直方图中等级的人数除以扇形统计图中的百分比可得的值；用等级的人数除以的值再乘以可得，即可得的值．求出D组的人数，补全频数分布直方图即可． （2）用乘以扇形统计图中B的百分比，即可得答案． （3）根据用样本估计总体，用1200乘以扇形统计图中的百分比，即可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，． ∵， ∴． D组的人数为（人）． 补全频数分布直方图如图所示． 故答案为：150；36． （2）解：扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为． 故答案为：． （3）解：（人）． ∴实验中学共有学生1200人，估计实验中学学生中获得A等级的学生有人． 【变式4-3】年全国食品安全宣传周于9月日启动，本次活动的主题是“尚德守法，共享食安”．某校七、八年级同学在本次活动中组织了该活动主题相关的食品安全知识竞赛，某班数学小组同学随机调查了七、八年级各名学生的竞赛成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下： 收集数据 七年级：，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，； 整理数据 七年级学生食品安全知识竞赛成绩频数分布表 八年级学生食品安全知识竞赛成绩频数分布直方图 分段 频数 频率    3 5 5 分析数据 统计量年级 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 请你根据以上图表中的信息完成下列问题： (1)填空：_____，_____，_____，并补全频数分布直方图； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有名学生、八年级有名，请估计该校七、八年级学生食品安全知识竞赛成绩大于分的学生人数的总和． 【答案】(1)7；；；图见解析 (2)八年级的成绩更好些，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查统计知识的应用，包括频数分布表、众数、平均数、中位数的计算，以及用样本估计总体．解题步骤分为：先根据频数分布表求未知频数，再计算众数和平均数，接着根据中位数判断学生成绩排名，最后用样本比例估计总体中成绩大于90分的人数． （1）按照频数，众数和中位数方法求出未知数，补全频数分布直方图； （2）根据平均数，中位数以及众数的定义解答即可； （3）用该校七、八年级学生总人数乘抽取的20名学生的成绩大于分所占比例即可． 【详解】（1）解：依题意得：； 七年级名学生的成绩分出现5次，是出现次数最多的， ； 八年级学生的成绩从小到大排列后第10、第11位分别是分，分， ． 八年级学生食品安全知识竞赛成绩人数有：（人）， 补全频数分布直方图： 故答案为∶7；；． （2）解：八年级的成绩更好些，理由：八年级的成绩的平均数、中位数和众数均高于七年级； （3）解： (人)， 答∶ 估计该校七、八年级学生食品安全知识竞赛成绩大于分的学生人数的总和是人． 题型五 由频率估计概率 【例5】在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球有5个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2，那么可以推算出a大约是（    ）． A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于概率．根据频率估计概率的原理，摸到红球的频率稳定在0.2，即概率为0.2，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在0.2， ∴摸到红球的概率约为0.2， ∴， 解得， 因此，a大约是25． 故选：A． 【变式5-1】某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 A．0.400 B．0.410 C．0.413 D．0.423 【答案】B 【分析】本题考查了频率估计概率，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 根据表中数据显示，随着抽测学生数增加，近视学生数与n的比值在0.410附近波动，且多数值接近0.410，因此最合理的估计是0.410． 【详解】解;∵ 随着累计抽测学生数n增大，近视学生数与n的比值逐渐稳定在0.410附近， ∴ 该区初中生近视的概率的估计最合理的是0.410． 故选：B． 【变式5-2】小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被5整除的数 D．转动转盘后，出现3的倍数 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为0.4，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为0.5，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为0.2，不符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有3种，故概率为0.3，符合题意． 【变式5-3】一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.6，估计箱子里白球的个数为 个． 【答案】6 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，设白球个数为x，根据概率公式列出方程求解． 【详解】解：设白球的个数有x个， 根据摸到白球的频率稳定于0.6，得： ， 解得： 经检验，是方程的解， ∴估计箱子里白球的个数为6． 故答案为：6． 题型六 根据概率公式计算概率 【例6】某商场迎新促销活动，设置了一个转盘，转盘平均分成五部分．规定购买物品金额每超过200元就可以抽一次奖．当转盘停在红色区域则可以获得奖品．小明购买 405元的物品，他获得奖品的概率 P（获得奖品）（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，根据题意列表得出所有等可能结果以及满足题意的结果数是解题的关键． 将5个扇形分别记作A、B、C、D、E，其中红色区域分别记作A、B，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将5个扇形分别记作A、B、C、D、E，其中红色区域分别记作A、B，列表如下： A B C D E A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） （E，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） （E，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） （E，D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （E，E） 由表知，共有25种等可能结果，其中他获得奖品的有16种结果， 所以他获得奖品的概率为． 故选：C． 【变式6-1】掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为2的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率的基本计算，骰子有6个等可能的结果，点数为2是其中之一，根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数有6种等可能结果，其中点数为2的结果只有1种， ∴点数为2的概率为． 故选：C． 【变式6-2】不透明的箱子中有1个红色小球，1个黑色小球，1个黄色小球，它们除颜色外无其他差别，从箱子中随机取出一个球，则取到红色小球为的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据从箱子中随机取出1个小球共有3种等可能的结果，用红球数除以总球数即可得到答案． 【详解】解：由题意，从箱子中随机取出1个小球共有3种等可能的结果，则从箱子中随机取出一个球是红色小球的概率为． 故答案为：． 【变式6-3】在一个不透明的箱子中放有9张除地名外完全相同的卡片，卡片数量如下表．从箱子中抽出一张卡片，卡片上的地名最有可能是 ． 地名 卡片数量 丽江 4张 西双版纳 2张 红河 3张 【答案】丽江 【分析】本题主要考查了概率的基本原理，卡片数量越多，被抽到的可能性越大． 【详解】解：总卡片数为9张，其中丽江4张，西双版纳2张，红河3张．抽到丽江的概率为， 抽到西双版纳的概率为，抽到红河的概率为． 比较概率大小，， 因此抽到丽江的概率最大， 故卡片上的地名最有可能是丽江． 故答案为：丽江． 题型七 根据概率作判断 【例7】现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． (1)如果随机取出1个黑球，从 盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 【答案】(1)甲 (2)小明的说法不正确，理由见解析 【分析】本题考查概率公式，解题关键在于掌握概率公式． （1）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲、乙两盒中随机取出1个黑球的概率，再对概率进比较即可解题； （2）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲盒、以及数量变化后的乙盒中随机取出1个红球的概率，再对概率进比较即可解题； 【详解】（1）解：从甲盒中随机取出1个黑球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个黑球的概率为：， ， 从甲盒中抽取成功的机会大； 故答案为：甲． （2）解：从甲盒中随机取出1个红球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个红球的概率为：， ， 此时想取出1个红球，选甲盒中抽取成功的机会大， 小明的说法不正确． 【变式7-1】小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题： (1)小深抽到“纸巾”的概率是 ； (2)小深中奖的概率是 ； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后抽到“太阳伞”的可能性大小是 ，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【答案】(1) (2) (3)4张写着太阳伞，其它的五张牌中纸巾1张、牙刷1张，谢谢参与3张（答案不唯一） 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键； （1）用“纸巾”对应牌的数量除以牌的总数量即可； （2）用“纸巾”、“牙刷”“太阳伞”、对应牌的数量和除以牌的总数量即可； （3）根据题意，可知本题答案不唯一，只要九张牌中有四张写着太阳伞，其他的五张包含纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与即可． 【详解】（1）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个， 抽到“纸巾”奖品的可能性是：； 故答案为：； （2）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，“牙刷”奖品占2个，“太阳伞”奖品占1个，“谢谢参与”奖品占3个， 小深中奖的概率是 故答案为：； （3）解：设计九张牌中有4张写着太阳伞，其它的五张牌中纸巾、牙刷，各1张，谢谢参与3张． 【变式7-2】小明和小强都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个数字，随意转动一次转盘，若转到奇数，小明去参加活动；若转到偶数，小强去参加活动．    (1)转盘转到奇数的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）利用概率公式计算出小明和小强去参加活动的概率，然后比较判断即可． 【详解】（1）因为共有9种等可能的结果，其中奇数有1，3，5，7，9，共有5种等可能的结果， 所以． （2）这个游戏不公平． 理由：因为共有9种等可能的结果，其中偶数有2，4，6，8，共有4种等可能的结果， 所以， 因为，所以这个游戏不公平． 【点睛】本题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 【变式7-3】如图是一大一小的两个可以自由转动的转盘，甲盘被平均分成6等份，乙盘被平均分成4等份，每个转盘均被涂上红、黄、蓝三种颜色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色，小明与小颖参与游戏；小明转动甲盘，小颖转动乙盘．    (1)小明转出的颜色为红色的概率为______； (2)小明转出的颜色为黄色的概率为______； (3)小颖转出的颜色为黄色的概率为______； (4)两人均转动转盘，如果转出的颜色为红色，则胜出，你认为该游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3) (4)不公平，见解析 【分析】（1）根据甲盘被平均分成6等份，其中红色有1等份，再根据概率公式即可得出答案； （2）根据甲盘被平均分成6等份，其中黄色有3等份，再根据概率公式即可得出答案； （3）根据乙盘被平均分成4等份，其中黄色有2等份，然后根据概率公式即可得出答案； （4）根据概率公式先求出小明和小颖转出的颜色为红色的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：甲盘被平均分成6等份，其中红色有1等份， 小明转出的颜色为红色的概率为； 故答案为：； （2）解：甲盘被平均分成6等份，其中黄色有3等份， 小转出的颜色为黄色的概率为； 故答案为：； （3）解：乙盘被平均分成4等份，其中黄色有2等份， 小颖转出的颜色为黄色的概率为； 故答案为：； （4）解：不公平， 因为小明转出的颜色为红色的概率为，小颖转出的颜色为红色的概率为， 而， 所以不公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 题型八 已知概率求数量 【例8】在一个不透明的盒子里装有60个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】D 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，则摸到黄球的概率为，再根据概率计算公式求出黄球的个数即可求出红球的个数． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在， ∴摸到黄球的概率为， ∴盒子中黄球的个数为（个）， ∴盒子中红球的个数为（个）， 故选：D． 【变式8-1】现有图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三个不同旅游景点的邮票50张，除图案外完全相同，现将所有邮票放入不透明口袋中，随机抽取一枚邮票图案为磁器口的概率是，则这个口袋中有磁器口邮票 枚． 【答案】15 【分析】本题考查了根据概率求数量，根据概率的定义，磁器口邮票的数量与总邮票数的比值等于给定的概率，由此建立方程求解． 【详解】解：设磁器口邮票有枚，则概率公式为， 解方程得， 故答案为：15． 【变式8-2】已知一个口袋中装有5个只有颜色不同的球，其中有3个白球，2个黑球． (1)求从中随机取出一个球是黑球的概率是多少； (2)若往口袋中再放入个白球和8个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的运算，熟悉掌握运算方法是解题的关键． （1）利用黑球个数比上总数即可得到概率； （2）利用白球个数比上总数等于，列出方程运算即可． 【详解】（1）从中随机取出一个球是黑球的概率是； （2）根据题意可得， 解得， 经检验是分式方程的解， ． 【变式8-3】李伟在暑假期间进行了投掷实心球训练，训练结果如下表： 投掷次数n 10 20 40 60 100 200 500 得满分的次数m 7 14 30 46 77 154 385 得满分的频率 0.700 0.700 0.750 0.767 0.770 0.770 0.770 当李伟投掷600次时，请估计他得满分的次数． 【答案】462 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据表格信息，估算出概率，再用总次数乘以概率进行计算即可． 【详解】解：由表格可估计李伟投掷实心球得满分的概率为0.770， ∴（次）， 答：估计李伟得满分的次数是462次． 题型九 几何概率 【例9】假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，熟记概率公式是解此题的关键．用黑色区域面积除以全面积即可求解， 【详解】解：把小正方形边长设为， 则黑色区域面积为，大正方形面积， ∴它最终停在黑色方砖上的概率为， 故选：C． 【变式9-1】一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白色方砖上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的求法．根据几何概率的求法：最终停留在白色方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设每块方砖的边长为1，这个图形的总面积为9，白色方砖的面积为5，因此白色方砖占整体的， 所以小球最终停留在白色方砖上的概率是， 故答案为：． 【变式9-2】如图，在等边中，点是线段上一点，是边上的高，连接交于点，且，现随机在内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求概率，平行线分线段成比例， 作，连接，先根据等边三角形的性质及平行线的性质得进而说明，即可得，再设，可表示，， 然后说明，接下来可求出，即可求出阴影部分的面积，最后根据概率公式可得答案. 【详解】解：过点E作，交于点G，连接， ∵是等边三角形，且是高线， ∴. ∵， ∴， 则. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴. 根据等边三角形的对称性可知， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 所以针尖落在阴影区域的概率是. 故答案为：. 【变式9-3】如图，正方形内接于，在这个圆面上随意抛一粒豆子豆子大小忽略不计，若豆子落在正方形内的概率记为，豆子落在图中阴影部分内的概率记为，则 填“>”“<”或“=” 【答案】< 【分析】本题考查了几何的概率，圆与正方形面积的计算，掌握概率等于目标区域面积与总区域面积之比是解题的关键．通过计算正方形的面积和圆的面积，进而求出豆子落在正方形和阴影部分的概率，最后比较这两个概率的大小． 【详解】解：设的半径为，则， ，， ， ， 故答案为：<． 题型十 列举法或树状图法求概率 【例10】2025年8月7日晚我县因强降雨引发山洪泥石流，导致我县城关镇、马坡乡、小康营乡、夏官营镇4个乡镇发生山洪灾害，相关部门连夜救援，全县人民积极参与抗洪救灾，小张和小李两名同学踊跃前去当志愿者，他们随机从“清理淤泥垃圾”、“安置点做义务工”、“物资装卸”、“物资登记与分发”四项中任选一项参加志愿者活动，则他俩恰好选择不同项目的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设“清理淤泥垃圾”、“安置点做义务工”、“物资装卸”、“物资登记与分发”分别为、、、，可画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中他俩恰好选择不同项目的结果数有12种， ∴他俩恰好选择不同项目的概率是． 故选：D． 【变式10-1】每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月5日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，则抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的计算，解题的关键是通过画树状图求出所有可能的结果数和符合条件的结果数，再根据概率公式计算． 画树状图可知，共有种等可能的情况，恰好是一男一女的情况有种，从而求出抽到的个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【详解】解：设女生为A，个男生分别是，，， 画树状图如下， 共有种机会均等的结果，其中抽到的个学生恰好是一男生与一女生的情况有种． 抽到的个学生恰好是一男生与一女生的概率为． 故答案为：． 【变式10-2】小明和小颖打算一起玩游戏，有两组牌，每组三张，牌面数字分别是2，3，4．将两组纸牌背面朝上，洗匀后从每组纸牌中各摸出一张．当摸出的两张纸牌的牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小颖获胜．则小明获胜的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的求法．采用列表法进行求解，找出所有可能的结果中两张牌的数字之和为偶数的情况，即可求解． 【详解】解：列表如下： 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 由表格知，总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．其中两张牌的数字之和为偶数的结果有5种， 因此小明获胜的概率为． 故答案为． 【变式10-3】小宇和小欣所在的科学社团研究了以下四种生活现象，并制作了，，，四张卡片，这些卡片除了内容不同，其余完全相同．卡片正面写着四种生活现象的名称，将卡片洗匀背面朝上放置在桌面上．（注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化，生成其他物质的变化叫做化学变化．） (1)小宇随机从四张卡片中抽取一张，抽中卡片的概率是________； (2)小欣从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或者树状图法求小欣抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小宇从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是； （2）解：四张卡片内容中是化学变化的有A（铁钉生锈）、C（酒精燃烧）、D（牛奶变质）， 画树状图如图： 由树状图可得，共有12种等可能出现的结果，其中小欣抽取两张卡片内容均为化学变化的情况有6种， ∴小欣抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 题型十一 概率的应用 【例11】有两颗相同的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，小风和小荷玩游戏，规定：每人连续投掷2次，若掷出两次的点数之和小于7，则小风胜，否则小荷胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，熟练掌握用树状图或表格求概率是解答本题的关键．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：不公平，理由如下： 列表得两次所得点数之情况： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 一共有36种等可能的结果，点数之和小于7的一共15种情况， 则和小于7的概率，即小风胜的概率为； 和大于或等于7的概率，即小荷胜的概率为；小风和小荷胜的概率不相等， 故这个游戏对双方不公平． 【变式11-1】人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下： 年龄 活到该年龄的人数 在该年龄的死亡人数 40 80500 892 50 78009 951 60 69891 1200 70 45502 2119 80 16078 2001 … … … 根据上表解下列各题： （1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？ （保留三个有效数字） （2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？ 【答案】（1）0.0122、0.206；（2）2438.18万 【详解】试题分析：(1)利用频率估算；(2)利用频率估算20000个人中有多少人去世，再乘以赔偿金. 试题解析： （1）P(50岁去世)=0.0122,P（活到80岁）=0.206 . （2）951÷78009×20000×10≈2438.18万 【变式11-2】某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查简单概率问题，涉及简单概率公式、事件分类等知识，读懂题意，熟练掌握一步概率问题的求法是解决问题的关键． （1）由题意，结合简单概率公式求解即可得到他能获得购物券的概率是，再由转盘上没有蓝色区域，即可得到甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； （2）如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，由简单概率公式求解即可得到答案； （3）如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，他得到50元购物券的概率是；若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘被等分成20个扇形，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，则转盘上红、绿或黄色区域共有11份， 他能获得购物券的概率是； 转盘上没有蓝色区域， 甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； 故答案为：，不可能事件； （2）解：如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，则他得到100元购物券的概率是； （3）解：如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，则他得到50元购物券的概率是； 若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【变式11-3】如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【答案】(1) (2)为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式，见解析 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）求出2种猜数方式获胜的概率，比较后即可得出结果． 【详解】（1）解：因为10个数中有5个奇数， 所以（小阳获胜）． （2）10个数中有3个数为3的倍数，比7小的数有6个， 所以（转出的数是3的倍数）， （转出的数比7小）． 因为， 所以为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式． 基础巩固通关测 一、单选题 1．若一个事件不发生的机会是，那么这个事件（    ） A．很可能发生 B．必然发生 C．不可能发生 D．不大可能发生 【答案】D 【分析】本题主要考查了事件可能性大小问题、判断事件发生可能性的大小，能正确判断事件的可能性大小是解题的关键．根据事件发生的可能性大小逐项判断即可； 【详解】解：选项A：很可能发生，那么这个事件发生的可能性很大，不符合题意； 选项B：必然发生，那么这个事件一定会发生，不符合题意； 选项C：不可能发生，那么这个事件一定不会发生，不符合题意； 选项D：不大可能发生，那么这个事件发生的可能性很小，符合题意； 故选：D． 2．夏天同学在教练的指导下进行了大量重复射击训练，用频率估计他命中环的概率为，则下列说法中正确的是（   ） A．夏天射击次，不一定会命中环 B．夏天射击次，一定不会命中环 C．夏天射击次，一定有次命中环 D．夏天射击次，一定能命中环 【答案】A 【分析】本题考查概率的基本概念，主要涉及对用频率估计概率的理解，以及随机事件概率与事件发生可能性之间的关系．理解概率是描述事件发生可能性的度量，而不是确定某次或某几次试验结果的依据．概率为并不意味着在特定次数的试验中，事件一定会按照概率比例发生．根据概率的定义和性质，对每个选项进行分析判断．概率表示一个事件在大量重复试验中发生的可能性大小，但对于单次试验或有限次试验，实际结果具有不确定性，不能根据概率值确定必然会出现某种结果． 【详解】解：选项A：夏天命中环的概率为，这意味着射击次时，命中环是一个随机事件，有可能发生，也有可能不发生，所以不一定会命中环，该选项符合题意． 选项B：虽然命中环的概率是，但射击次仍有的可能性命中环，不是一定不会命中环，该选项不符合题意． 选项C：夏天射击次，命中环的次数是不确定的随机事件．虽然概率为，理论上平均可能命中次，但实际射击中不一定恰好有次命中环，该选项不符合题意． 选项D：射击次，命中环是随机事件，不是必然事件，不一定能命中环，该选项不符合题意． 故答案为：A． 3．小明同学在做掷骰子游戏实验中，投掷了100次正方体骰子，不同点数出现的情况如下表所示： 出现点数 1 2 3 4 5 6 次数 20 15 13 19 16 17 则出现点数5的频数与频率分别是（　　） A．15和 B．16和 C．16和 D．16和100 【答案】B 【分析】本题考查了频数和频率，频数是指每个对象出现的次数，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．根据频数和频率的定义求解． 【详解】解：出现点数5的频数是：16， 出现点数5的频率是：． 故选：B． 4．一个不透明的袋子中装有若干个红球和3个白球（除颜色外都相同），现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中红球个数是（） A．8 B．9 C．7 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了简单的概率公式，利用互斥概率可简化计算，根据摸出红球的概率为，可得摸出白球的概率为，再结合白球个数求出总球数，进而求出红球个数，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵摸出红球的概率为， ∴摸出白球的概率为， ∵白球有3个， ∴总球数为：， ∴红球个数为：， 故选：B． 5．一个容量为80的样本的最大值为147，最小值为50，取组距为10，则可以分成（    ） A．10组 B．9组 C．8组 D．7组 【答案】A 【分析】此题考查频数分布表分组方法，首先计算数据的极差，再用极差除以组距，若结果不是整数，则向上取整得到组数． 【详解】解：最大值147与最小值50的差为， ， 所以应分10组， 故选A． 二、填空题 6．一个不透明的袋子中有1个白球、1个红球和4个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同，搅均匀后从中任意摸出1个球，摸出白球的可能性 摸出黄球的可能性(填“等于”或“小于”或“大于”)． 【答案】小于 【分析】分别求出摸出白色和黄色球的概率，再比较摸出两种颜色球的可能性大小即可． 【详解】∵摸出白球的可能性为，摸出黄球的可能性为 ∴摸出白球的可能性小于摸出黄球的可能性． 故答案为：小于． 【点睛】本题主要考查了可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可，求概率时，应注意熟练概率公式是解题的关键． 7．一个盒子中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的红球的个数为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了简单事件的概率计算、分式方程的应用，熟练掌握简单事件的概率计算方法是解题关键． 设盒子中原有的红球的个数为个，根据摸到白球的概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设盒子中原有的红球的个数为x个，则总球数为个． 摸到白球的概率为， 由题意得：． 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 故盒子中原有的红球的个数为4个． 8．为了了解某地七年级学生参加消防知识竞赛的成绩（成绩取整数），从中抽取了1%的学生的竞赛成绩，整理后绘制了如图所示的频数直方图．若竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖励，则估计该地获得奖励的七年级学生有 人． 【答案】2000 【分析】本题主要考查频数分布直方图、样本估计总体等知识点，掌握运用样本估计总体的方法是解题的关键． 根据频数分布直方图求出调查人数，进而求出七年级学生总人数，最后再求出成绩在90分以上的学生人数即可． 【详解】解：由频数直方图可知，被调查的人数为， 该地七年级学生总人数为， 所以估计该地获得奖励的七年级学生有（人）． 9．在列频率分布表时，得到一组数据中某一个数据的频数是，频率是，那么这个数据组中共有 个数据． 【答案】 【分析】根据频率频数总数进行求解即可． 【详解】解：（个）， ∴这个数据组中共有个数据， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据频率与频数求总数，熟知频率频数总数是解题的关键． 10．已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不放回抽样的概率计算，解题的关键是掌握列表法或树状图求概率． 利用树状图或列表法求概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的情况共有12种，符合条件的有2种， 因此，恰好两张均摸到一等奖券的概率为， 故答案为：． 三、解答题 11．如图所示的是各个不透明的袋子中球的情况，每个球除颜色外都相同．任意摸出1个球，请你根据摸到红球的可能性大小填空（填序号）． (1)一定能摸到的是 ； (2)能摸到且摸到的可能性较大的是 ； (3)能摸到但摸到的可能性较小的是 ； (4)不可能摸到的是 ． 【答案】(1)⑤ (2)④ (3)② (4)① 【分析】本题主要考查了事件的可能性： （1）只有红球没有黑球的情况，才一定能摸到红球，据此可得答案； （2）红球个数较多，黑球个数较少，才能摸到且摸到的可能性较大，据此可得答案； （3）红球个数较少，黑球个数较多，才能摸到且摸到的可能性较小，据此可得答案； （4）只有黑球没有红球的情况，才不可能摸到红球，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，一定能摸到红球的时⑤； （2）解：∵， ∴能摸到且摸到的可能性较大的是④ （3）解：∵， ∴能摸到且摸到的可能性较小的是② （4）解：由题意得，不可能摸到的①． 12．某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】(1)、 (2)， (3) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：、； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； （3）解：，，， ． 13．某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)0.68、0.74、0.68 、0.69、0.68、0.70 (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，数值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率＝频数÷总数，可得各个频率； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率． 【详解】（1）解： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 （2）由表格可知：获得铅笔的概率约是； 故转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是． 14．人工智能（）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次抽查样本容量为______，扇形统计图中的值为______°，m的值为______． (2)请补全频数直方图． (3)学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分． 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人． 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由． 【答案】(1)80；22.5；31.25 (2)见解析 (3)小涵的观点正确，小涛的观点错误．见解析 【分析】本题考查了频数分布直方图与扇形统计图，中位数的概念，解决本题的关键是能读懂频数分布直方图与扇形统计图中的相关信息． （1）根据良好与中等所对应的圆心角可得总人数，再由圆心角计算公式以及人数计算即可． （2）根据中等学生人数与良好学生人数补全频数直方图即可． （3）根据中位数的概念计算中位数即可判断小涛的说法，计算不低于75分的人数即可判断小涵的说法． 【详解】（1）解：由扇形统计图可知，良好与中等所对应的圆心角为， ∴待合格，合格与优秀所对应的圆心角为， 即占总人数的， 由频数直方图可知，待合格，合格与优秀的人数为（人）， 即总人数为（人）； 待合格对应的圆心角为； 合格所占百分比为． 故答案为：80；22.5；31.25． （2）解：C等级即中等学生人数为15人， ∴良好学生人数为（人）， 补全频数直方图如图所示． （3）解：小涵的观点正确，小涛的观点错误，理由如下． 理由：本次抽样调查的样本容量是80，待合格和合格共30人，72分至75分的有8人， ∴第40人和第41人都是76分，所以这次抽取成绩的中位数是76分，所以小涛的观点错误． ∵（人）， ∴九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人，所以小涵的观点正确． 15．近日，某市考试院发布了《义务教育体育与健康考核评价现场考试项目评分标准（试行）》，2024年对于体育现场考试项目中的男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即达到3分55秒即可得到满分． 以下是该市某中学九年（1）班体育期末模拟考的长跑成绩制成的频数分布表： 成绩x（秒） 频数 频率 2 0.04 7 0.14 a 0.4 16 0.32 5 0.1 (1)表格中________，九年（1）班有________人，满分率为________； (2)在一次计时跑步中，该班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少58秒，按照新考核标准来看，这名女生能否拿到满分？请说明理由． 【答案】(1)，50， (2)这名女生能拿到满分，理由见解析 【分析】本题考查了统计表，分式方程的应用以及代数式大小的比较． （1）先用组的频数除以相对应的频率求得九年（1）班的人数，再求得a的值，根据只有组不是满分，据此求解即可； （2）设女生所用的时间为秒，则男生所用时间为秒，根据两人的平均速度相同，列出方程求解即可； 【详解】（1）解：九年（1）班有（人）， ， 满分标准为达到3分55秒=235秒，故没有满分，满分率为， 故答案为：，50，； （2）解：这名女生能拿到满分 理由如下：由题意，设这名女生跑完800米所用时间为x秒，则这名男生跑完1000米所用时间（x+58）秒， 根据题意得： 方程两边同乘，得 解这个整式方程得：． 检验：当时， ∴是所列方程的解，并且符合实际意义． ∵3分55秒秒，且， ∴这名女生能拿到满分． 答：这名女生能拿到满分． 能力提升进阶练 一、单选题 1．明明连掷3次硬币，第1次正面朝上，第2次反面朝上，那么第3次（    ） A．一定正面朝上 B．正面不可能朝上 C．一定反面朝上 D．正、反面都有朝上的可能 【答案】D 【分析】本题主要考查了可能性，掌握可能性的性质是解题的关键． 根据硬币正面朝上、反面朝上的可能性相等即可解答． 【详解】解：∵每一次投掷硬币都是一个独立事件，其结果不受前面投掷结果的影响， ∴投掷第3次硬币正面朝上、反面向上的可能性相同，即正、反面都有朝上的可能． 故选：D． 2．在某市青少年航空航天模型锦标赛中，各年龄组的参赛人数情况如图所示．若小明所在年龄组的频率为，则小明所在的年龄组是（   ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】B 【分析】本题考查频数与频率，解题的关键是掌握频数与频率的关系，根据各年龄组的参赛人数情况图算出总人数，再算出岁年龄组人数所占的百分比，即可得到答案． 【详解】解：根据各年龄组的参赛人数情况图可知：总参赛人数为： ∵， ∴小明所在的年龄组是岁， 故选：B． 3．某综合实践活动小组做抛掷质地均匀的纪念币试验获得的数据如表： 抛掷次数/次 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 497 若抛掷纪念币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近（    ） A．497 B．502 C．800 D．1002 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率．随着试验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可． 【详解】因为正面朝上的频率接近于， 所以若抛掷硬币的次数为2000，“正面朝上”的频数最接近1000． 故选：D． 4．某次数学测试，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（    ） A．频数分布直方图中组距是 B．本次抽样样本容量是 C．这一分数段的频数为 D．这次测试及格（不低于分）率为 【答案】B 【分析】本题考查频数分布直方图，组距，样本容量，频数等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据直方图逐一判断即可． 【详解】解：A、由图可知组距为，故本选项不符合题意； B、将纵轴上的人数求和，即可得抽样的学生数：（人），故本选项符合题意． C、这一分数段的频数为，故本选项不符合题意； D、估计这次测试的及格率是：，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 【答案】C 【分析】本题结合图表，考查了利用频率估计概率．由图可知，击中率在上下波动，故可估计击中的频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8，可判断A选项正确，B选项正确,利用击中概率乘以投球次数即可求得投球击中次数，可判断C选项，利用概率的意义，可判断D选项． 【详解】解：由统计图可知，随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在附近， 故A选项正确，B选项正确，不符合题意； 若爷爷投球20次，则爷爷投球大约能击中（次）， 故C选项的说法不正确，符合题意； 若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次， 故D选项的说法正确，不符合题意， 故选：C． 二、填空题 6．七年（1）班40名学生参加视力检测，检测结果分成4组，第一组的频数是3，第三、四组的频率之和为0.7，则第二组的频数是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了求频数，用40减去第一、三、四组的频数即可得到答案． 【详解】解：， 则第二组的频数为9． 故答案为：9． 7．在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了用频率估计概率，利用频率估计概率是解题的关键．由题意得，利用红球个数除以摸到红球的频率，可估计出球的总数即可求解． 【详解】解：由题意得，估计盒子中球的总个数为（个）， 故答案为：15． 8．小涵同学通过查看通话记录得知了他家5月份打电话的次数及通话时间，并列出如下频数分布表∶ 通话时间/min 频数(通话次数) 34 18 9 5 通话时间不超过15min的频数为，则通话时间不超过10分钟的频率为 ． 【答案】0.6 【分析】本题考查根据数据描述求频率，用频数除以总数进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：0.6． 9．四张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字2，3，4，5，将它们背面朝上，洗匀后先随机抽取一张，得到的牌面数字记为a，然后不放回，继续抽取第二张，得到的牌面数字记为b，则的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： ab 2 3 4 5 2 3 4 5 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中的结果数有和，共2种， ∴的概率是， 故答案为：． 10．“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，几何概率，设，则，根据，求出，得到正方形的面积，利用概率公式代入计算即可． 【详解】解：设，则， ，， ，     ， 解得：或舍去， ， ， ， ， 这个点落在阴影部分的概率为， 故答案为： 三、解答题 11．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 【答案】(1)0.962，0.96； (2)0.96； (3)14400只． 【分析】本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． （1）用频数除以总数即可； （2）由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96； （3）用总数量乘以优等品的概率即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.962，0.96； （2）解：从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96． 故答案为：0.96 （3）解：这批公仔中优等品大约有（只）， 答：估计这批公仔中优等品大约有14400只． 12．电影《志愿军：浴血和平》于2025年9月30日上映，小明和小刚都想去看，但只有一张电影票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下： 将四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回，另一人再从袋中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字之和大于5，则小明获胜；否则小刚获胜． (1)请利用画树状图或列表的方法，求小明获胜的概率； (2)这个游戏规则是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次数字之和大于5的结果有6种，再由概率公式求解即可； （2）根据（1）求出小刚获胜的概率，再比较两人获胜的概率即可得到答案． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有16种等可能性的结果数，其中摸出的两个球上的数字之和大于5的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为； （2）解：这个游戏规则不公平，理由如下： 由（1）可得摸出的两个球上的数字之和不大于5的结果数有10种， ∴小刚获胜的概率为， ∵， ∴小刚获胜的概率比小明的大， ∴这个游戏规则不公平． 13．如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字9的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种， ∴P（转出数字9）； 故答案为：； （2）解：小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 14．“地球一小时”是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的一项全球性节能活动，提倡于每年三月最后一个星期六的当地时间，家庭及商业用户关上不必要的电灯及耗电产品一小时，以此来表示他们对于应对气候变化行动的支持，为了解小区居民的用电情况，某小区物业随机抽取了部分家庭小时的用电情况，并整理成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 居民用电情况频数分布表 组别 用电量／度 频数（户数） 百分比 14 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)调查总户数为______； (2)频数分布表中，______，______，______； (3)为了响应节能减排号召，请提一条合理的建议． 【答案】(1)； (2)，，； (3)平时不使用的电器及时拔掉插销；只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关（写一条即可）． 【分析】本题考查了频数分布表和频数直方图，样本估计总体，读懂频数分布表是解题的关键． （）利用组的频数除以其百分比即可得调查总户数， （）利用的频数除以调查总户数可得的值，根据频数等于调查总户数乘以百分比分别求出的值； （）根据频数直方图总结该小区的居民用电情况，再给出节能减排的建议：平时不使用的电器及时拔掉插销；只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关． 【详解】（1）解：调查总户数为（人）， 故答案为：； （2）解：由（）得调查总户数为人， ∴，（人），（人）， 故答案为：，，； （3）解：根据频数直方图总结该小区的居民用电情况，给出节能减排的建议：平时不使用的电器及时拔掉插销；只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关（写一条即可）． 15．青少年“心理健康”问题越来越引起社会的关注，某中学为了了解学校600名学生的心理健康状况，举行了一次“心理健康”知识测试，并随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 50.5～60.5 4 0.08 60.5～70.5 14 0.28 70.5～80.5 16 a 80.5～90.5 b c 90.5～100.5 10 0.2 合计 d 1 请根据图表，解答下面的问题： (1) ， ， ， ． (2)根据该样本，估计该校本次心理健康知识测试在90分以上的人数； (3)若成绩在70分以上（不含70分）为心理健康状况良好，同时，若心理健康状况良好的人数占总人数的以上，就表示该校学生的心理健康状况正常，否则就需要加强心理辅导．请根据上述数据分析该校学生是否需要加强心理辅导，并说明理由． 【答案】(1)；；； (2)120人 (3)该校学生需要加强心理辅导，理由见解析 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息是解题的关键． （1）由的频数除以对应的频率求出样本的总人数，进而求出的频率，以及的频率与频数； （2）根据样本频率估计总体即可得到（人）； （3）求出70分以上的人数，求出占总人数的百分比，与比较大小即可． 【详解】（1）根据题意得：样本的容量为（人）， 则的频率为， 的频率为， 频数为．     故答案为：0.32；6；0.12；50． （2）（人）， 所以该校本次心理健康知识测试在90分以上的人数为120人； （3）该校学生需要加强心理辅导，理由为： 根据题意得：70分以上的人数为（人）， ∵心理健康状况良好的人数占总人数的百分比为 ， ∴该校学生需要加强心理辅导． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $