专题1.4 点到直线的距离(2大知识点+8大题型+能力提升） 讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

本讲义聚焦点到直线的距离及两条平行直线间的距离核心知识点，前承直线方程一般式基础，后接距离在最值、面积、对称等问题中的应用。通过定义理解、公式推导（含向量法）、应用要求构建学习支架，分层题型逐步深化知识运用。 资料特色在于融合数学眼光与思维，如“将军饮马”问题从古诗情境抽象距离最值模型，新定义题（如“垂直距离”）培养创新意识，对称、面积等综合题型锻炼逻辑推理。分层设计适配精英班，课中助教师分层教学，课后学生可针对性练习，弥补知识盲点。

2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题1.4 点到直线的距离 知识点一、点到直线的距离 1．点到直线的距离。是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. 3、求点到直线的距离要求 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或． （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 知识点二、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离。两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 题型1：点到直线的距离 【例1】（2023下·上海静安·高二校考期中）点到直线的距离为 ． 【答案】1 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 【例2】（2023奉贤中学）已知点和点到直线的距离相等，则 . 【答案】3或 【分析】利用点到直线距离公式建立等式求出参数即可. 【详解】因为点和点到直线的距离相等， 所以由点到直线的距离公式可得： ， 解得或， 故答案为：3或 【例3】（2023·上海·高二专题练习）已知为坐标原点，在直线上存在点，使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解不等式即得解. 【详解】由题得直线的方程为， 所以原点到直线的距离， 所以， 解得. 故答案为： 【例4】点到直线的距离不大于4，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式即可列出不等式，解出即可． 【详解】依题意可知，，解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 【例5】点到直线距离的最大值为___________. 【答案】 【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离为. 【详解】解：直线恒过点， 则点到直线的距离的最大值为点到点的距离， ∴点到直线距离的最大值为： . 故答案为：. 题型2：两平行线间的距离问题 【例6】直线与直线间的距离为 【答案】/ 【分析】利用两条直线平行的条件及两条平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】由直线，得， 所以， 由直线，得， 所以， 所以. 所以直线与直线平行， 所以直线与直线间的距离为 . 故答案为：. 【例7】两平行直线之间的距离为 . 【答案】/ 【分析】利用平行直线间的距离公式从而求解. 【详解】由题意得，可化为， 所以两直线的距离为， 故答案为：. 【例8】平行直线与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】直接由平行线的距离公式求解即可. 【详解】直线即为， 则平行直线与之间的距离为. 故答案为： 【例9】在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可. 【解析】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行， 直线和之间的距离为：， 和之间的距离为：， 于是有：， 解得， 故选：B 题型3：到两点距离相等的直线方程 【例10】过点且与点、距离相等的直线方程是________. 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①所求直线与直线平行；②所求直线过线段的中点.由此可求得所求直线的方程. 【详解】分以下两种情况讨论： ①所求直线与直线平行，由于直线的斜率为， 且所求直线过点，此时，所求直线的方程为，即； ②所求直线过线段的中点，由于所求直线过点， 此时，所求直线的方程为. 综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查到两点等距离的直线方程的求解，解题时要注意所求直线与平行和所求直线过线段的中点这两种情况进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题. 【例11】已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为________. 【答案】或 【分析】根据题意，分、两点在直线的同侧和不同侧，两种情况，分别求出直线斜率，即可求出结果. 【详解】设直线的斜率为， 因为点，到直线的距离相等，直线过点， 若、两点在直线的同侧，则，即， 所以直线的方程为：，即； 若、两点在直线的不同侧，则直线必过中点，即， 所以直线的方程为：，即. 故答案为：或 【点睛】本题主要考查求直线的一般式方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型. 【例12】已知两点到直线的距离相等，则实数可取的不同值共有（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】分两点在直线同侧、异侧讨论，同侧时利用斜率相等求解，异侧时利用两点中点在直线上求解. 【详解】若两点在直线的同侧且与直线距离相等， 则直线与直线平行， 所以， 即， 若两点在直线的异侧且与直线距离相等， 则的中点在直线上， 所以， 解得或, 综上实数可取的不同值共有3个， 故选：C 【点睛】本题主要考查了两点到直线的距离相等的性质，直线平行，中点坐标公式，分类讨论思想，属于中档题. 题型4：直线围成图形的面积问题 【例13】已知直角坐标系中三点，，. (1)求以三点为顶点的三角形中边上的高所在直线的方程 (2)求以三点为顶点的三角形的面积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点坐标可得答案； （2）求出，利用三角形的面积公式计算可得答案. 【详解】（1）因为，，所以直线与轴平行， 所以三角形中边上的高所在直线的方程为； （2）， 由于直线与轴平行，所以到直线的距离为5， 所以三角形的面积为.    【例14】已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【答案】1 【分析】首先判断直线和的定点，判断的形状，再求直线与直线的交点，利用点到直线的距离表示边长，再求解三角形的面积，并利用基本不等式求最值. 【详解】直线，即，恒过定点， 直线，即，也恒过定点， 所以直线与相交于定点， 由，解得，可知直线与直线相交于点， 又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形， 因为点到的距离， 点到,的距离， 所以的面积， 时，的面积不可能取到最大值； 时，，当且仅当时，等号成立． 因此，当时，的面积有最大值． 故答案为：1 题型5：与距离公式有关的最值问题 【例15】若，则的最小值为. 【答案】 【例16】已知正实数满足，则的最小值 . 【答案】 【分析】利用代数式和几何图形的关系，将问题转化为距离之和的最小值即可求解. 【详解】设直线，点在直线上，且在第一象限， 设点， 所以， 如图所示， 点A关于直线对称的点设为， 则有解得， 所以，由图可知，当在直线时， 最小，最小值为，即的最小值为， 故答案为：. 【例17】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解． 【详解】如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时路程和最小， 由题知，点满足： ，解得：，，即点， 因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：D 【例18】已知实数满足，求函数的最小值． 【答案】最小值是1 【分析】由函数，转化为点与直线上的动点的距离的平方，结合点直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，函数， 表示点与直线上的动点的距离的平方， 当时，取得最小值，即点到直线距离的平方， 因为，所以的最小值是1. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式及其应用，其中解答中把函数转化为点到直线的距离的平方是解答的关键，着重考查转化思想，以及计算能力. 【例19】已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出图形，可知点、在直线的同侧，并求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出的最小值为. 【解析】如下图所示： 由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为点，则， 解得，，即点， 由对称性可知， 故选：D. 【点睛】本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算，一般利用对称思想结合三点共线求得，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 题型6：距离新定义题 【例20】设集合{直线与直线相交且以交点的横坐标为斜率}． （1）点到中哪条直线距离最小； （2）设，点到中直线距离的最小值设为，求． 【答案】（1）到距离最小；（2） 【分析】（1）设出交点坐标，可写出直线的方程，再根据点到直线的距离公式即可求出点到到直线的距离，判断该式的单调性即可求出最小值，从而得到直线的方程； （2）先求出点到中直线的距离，得到关于的函数关系式，变形，结合基本不等式取等的条件进行分类讨论，即可求出． 【详解】（1）设交点为，则直线的方程为，即． 点到直线的距离关于单调递增，所以，当时，距离最小为0，此时直线的方程为． （2）因为， 因为设，，所以 当，即或时，； 当即时，在上单调递增，． 综上，． 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，基本不等式的应用，函数单调性的应用，以及函数最值的求法，意在考查学生的数学运算能力和分类讨论思想的应用能力，属于中档题． 【例21】定义：在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P、Q两点的“垂直距离”，已知点M（x0，y0）是直线ax+by+c＝0外一定点，点N是直线ax+by+c＝0上一动点，则M、N两点的“垂直距离”的最小值为（　　） A． B． C． D．|ax0+by0+c| 【答案】A 【分析】设N（，），则M、N两点的“垂直距离”为：||+||．由此能求出M、N两点的“垂直距离”的最小值． 【详解】由题意，点是直线外一定点，点是直线上一动点，可设， 则两点的“垂直距离”为： 所以两点的“垂直距离”的最小值为． 故选A． 【点睛】本题主要考查了两点间的垂直距离的最小值的求法，考查垂直距离、直线的参数方程等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档试题． 题型7：对称问题 【例22】点关于直线对称点的坐标是________． 【答案】 【分析】设出的坐标，根据中点和斜率列方程组，解方程组求得的坐标. 【详解】直线的斜率为，设，则线段的中点坐标为，直线的斜率为，由于关于直线的对称点是，所以 ，解得.所以的坐标是. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查点关于直线对称点的求法，属于基础题. 【例23】直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求直线上任一点为，则求出其关于点对称的点，代入直线中化简可得答案 【解析】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为， 因为点在直线上， 所以，化简得， 所以所求直线方程为， 故选：B 【例24】已知直线与关于点对称，则 . 【答案】 【分析】在直线上取点，，则M，N关于点对称的点分别为，再将这两点坐标代入直线中可求出的值. 【解析】在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为. 点在直线上， ，解得， . 故答案为： 【点睛】此题考查直线的对称问题，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题 【例25】一束光沿直线射入，遇到直线发生反射，则反射光线所在直线方程为________. 【答案】 【分析】求得直线与直线的交点的坐标，然后求出直线上的点关于直线的对称点的坐标，进而可求得直线的方程，即为反射光线所在直线的方程. 【详解】联立，解得，则直线与直线的交点为. 设直线上的点关于直线的对称点为， 线段的中点在直线上，则，整理得. 直线的斜率为，直线与直线垂直，则，整理得. 所以，，解得，即点. 所以，反射光线所在直线的斜率为， 因此，反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查反射光线所在直线方程的求解，同时也考查了点关于直线的对称点的坐标的求解，考查计算能力，属于中等题. 题型8：直线的综合应用问题 【例26】正方形的中心为，其一边所在直线的斜率是2， 并且此正方形的面积是20， 求这个正方形各边所在直线的方程. 【答案】，，，. 【分析】由直线的平行、垂直关系，可设出正方形的边所在的直线方程，由点到直线的距离公式，求得相应的系数，即可求解. 【详解】设正方形的边长为，因为正方形的面积为，可得，解得， 又由其一边所在直线的斜率是2，设这两边所在的直线方程为， 因为正方形的中心为， 由点到直线的距离公式，可得，解得或， 此时直线的方程为或； 设另外两边的直线方程为， 由点到直线的距离公式，可得，解得或， 此时直线的方程为或. 【点睛】根据两直线平行或垂直关系设方程的方法： 【例27】已知直线及两点A(-2,3)、B(1,6),点P在直线上. (1)若点P到A、B两点的距离相等,求点P的坐标； (2)求的最小值. 【答案】(1) ;(2). 【分析】(1)设出点的坐标,利用两点间距离公式结合已知即可求出点P的坐标； (2)求出点B关于直线对称的点,利用平面几何的知识可知的最小值就是线段的长度. 【详解】(1)因为点P在直线上,所以点P的坐标设为. 因为点P到A、B两点的距离相等,所以 两边平方化简得： ,所以点P的坐标为； (2) 直线的斜率为2,所以过点B(1,6)与直线垂直的直线的斜率为,所以直线的直线方程为：,直线的交点C坐标为：,设点B关于直线对称的点 ,因此有,由平面几何的性质可知： 的最小值就是的长度,即. 【点睛】本题考查了两点间距离公式的应用,考查了点关于线对称点的求法,考查了数学运算能力. 【例28】（1）已知点在直线上，则直线必过定点，求定点的坐标. （2）已知直线过（1）中的定点，且与直线相交于第一象限内的点，与正半轴交于点，求使△面积最小时的直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）点在直线上，所以，代入直线得可得答案； （2）讨论直线的斜率存在和不存在情况，分别求出三角形的面积比较，并求较小时直线的方程即可. 【详解】（1）因为点在直线上，所有，即， 代入直线得，整理得， 所以解得，定点. （2）设，，所以、、三点共线， 当与x轴垂直时，，，， 当与x轴不垂直时，所以，即，， 因为在直线上，所以，所以， 因为，所以，所以， ，当且仅当即时等号成立，此时，所以，因为48>40，所以△面积最小时直线与x轴不垂直，且的斜率为，所以直线的方程为，即为. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 【例29】在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边、分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合（如图），将矩形折叠，使点A落在直线上，记为E点，则O，E关于折痕对称.设折痕所在直线的斜率为k. （1）若，试求折痕所在直线的方程； （2）当时（此时折痕与线段相交），求折痕的长度的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设折痕所在直线的方程为，，根据、关于直线对称列式可求出结果； （2）设折痕所在直线的方程为，，当时，折痕的长度为；当时，根据、关于直线对称可求出折痕所在直线的方程为，求出折痕的两个端点的坐标，根据两点间的距离公式求出折痕的长度，再根据可求出最大值. 【详解】（1）当时，折痕所在直线的方程为， 依题意设，则、关于直线对称， 所以，解得， 所以折痕所在直线的方程为. （2）设折痕所在直线的方程为，， 当时，折痕所在直线的方程为，此时折痕的长度为， 当时， 根据、关于直线对称可得， 解得，则折痕所在直线的方程为， 令，得，则折痕与线段的交点为， 令，得 ，此时折痕的另一个端点在轴上， 令，得，则折痕的另一个端点为， 所以折痕的长度为， 因为，所以， 所以，所以， 又， 所以折痕的长度的最大值为. 【点睛】关键点点睛：（1）中，根据、关于直线对称列式求解是解题关键；（2）中，正确求出折痕的两个端点的坐标是解题关键. 一、填空题 1．点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为 . 【答案】3 【分析】先判断出当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，再由点到直线的距离求解即可. 【解析】由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的 距离，故P到点的距离的最小值为3. 故答案为：3. 2．在平面直角坐标系中，从点发出的光线射向x轴，经x轴反射到直线上，再反射经过点，则光线由P到Q经过的路程长为 ． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，设光线自点射向x轴上的点，经过反射后射向直线上的点，再经过反射后射向点，作出点关于轴的对称点,点关于直线的对称点，然后根据对称的关系可求得答案 【解析】如图，设光线自点射向x轴上的点，经过反射后射向直线上的点，再经过反射后射向点，点关于轴的对称点,点关于直线的对称点， 则，， 所以光线由P到Q经过的路程长为 , 故答案为： 3．设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 【答案】 【分析】由直线，可得过定点，又知过定点，且，则两直线之间距离的最大值等于两定点之间的距离. 【解析】由直线，得； 令，解得，则直线过定点； 又，且过点，则直线与之间距离的最大值； 故答案为：. 4．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出的重心，再结合对称性求出的外心，然后求出欧拉线的方程作答. 【解析】因的顶点，，，则的重心， 显然的外心在线段AC中垂线上，设， 由得：，解得：，即点， 直线，化简整理得：， 所以欧拉线的方程为. 故答案为： 5．若恰有三组不全为0的实数对（a，b）满足关系式，则实数t的所有可能的值为 . 【答案】/2.5 【分析】整理得到，看成恰有三条直线满足：到直线（不过原点）的距离相等，再对讨论，可得所求值. 【解析】由已知可得，整理可得，看成恰有三条 直线满足到直线（不过原点）的距离相等， ， （1）当，直线l为的垂直平分线，符合题意. 与直线平行的两条直线为和； （2）当，有4条直线l会使A，B到它们的距离相等，注意到l不过原点，所以当其中一条直线经过原点，会作为增根舍去. 设A到直线l的距离为d，若， 若直线l过的中点，A到直线l的距离为，其一方程为，故舍去. 若过原点且以为方向向量，到直线的距离为，其一方程为，故舍去. 所以时，有2条直线符合条件. 而当时，有4条； 综上可得，满足题意的t为 故答案为：. 6．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可. 【解析】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边，    的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. ，，，. 则的取值范围是：. 故答案为：. 7．在内切圆圆心为的中，，，，在平面内，过点作动直线，现将沿动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，点在直线上的射影为，则的最小值为 【答案】 【分析】建立坐标系，设直线斜率为，用表示出，，利用基本不等式得出答案． 【解析】过作的三边的垂线，设的半径为， 则，即． 以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则，． 在平面的射影在直线上，故直线必存在斜率． 过作，垂足为，交直线于． 设直线的方程为：，则， 又直线的方程为：， ，， 故而． ． ①若，则． 当且仅当即时取等号． ②若，则． 当且仅当即时取等号． 综上可知的最小值为. 故答案为： 8．若恰有三组不全为0的实数对,满足关系式，则实数t的所有可能的值为 ． 【答案】或或 【分析】化简得到，然后对进行分类讨论即可求解. 【解析】由已知得，整理得， 看成有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等， 又， （1）当，此时易得符合题意的直线 l 为线段AB的垂直平分线以及与直线平行的两条直线和； （2）当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等，注意到l不过原点， 所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点A到l的距离为d， ①作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为，此时，符合； ②作为增根被舍去的直线l，过原点且与平行，其方程为，此时，符合； 综上，满足题意的实数t为或或 故答案为：或或 【点睛】关键点点睛：本题的关键是化简得到，将问题转化为有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等，然后分类讨论即得. 二、单选题 9．已知直线，相互平行，且，间的距离为，则a的值为（    ） A． B．6 C．或 D．6或-4 【答案】C 【分析】根据两平行直线之间的距离公式即可求出． 【解析】即，所以，间的距离为，解得或． 故选：C． 10．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为（    ） A．－6或 B．－或1 C．－或 D．0或 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【解析】解析：， 即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或． 故选：A 11．点到直线和直线的距离相等，则点P的坐标应满足的是（    ）． A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离求解. 【解析】解：因为点到直线和直线的距离相等， 所以， 化简得：或， 故选：A 12．若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用平行线之间的距离列出不等式求解即可. 【解析】直线化为， 则两直线之间的距离，即， 解得. 所以实数的取值范围为. 故选：B. 13．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】根据题意作图，分类讨论：当A与B重合于坐标原点O时；当A与B不重合时，从而可求得答案. 【解析】如图，设点关于y轴的对称点为P，关于x轴的对称点为Q， 则P的坐标为，Q的坐标为，则．    当A与B重合于坐标原点O时， ； 当A与B不重合时， ． 综上可知，当A与B重合于坐标原点O时， 取得最小值10． 故选：A 14．已知x，y∈R，，则S的最小值是（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由表示点P(x，y)到点A(－1，0)与点B(1，0)的距离之和，利用数形结合法求解. 【解析】解：表示点P(x，y)到点A(－1，0)与点B(1，0)的距离之和， 如图所示：    由图象知：， 当点P在线段AB上时，等号成立， 所以S取得最小值为2． 故选：B 15．已知的边所在直线的方程是，边所在直线的方程是，边所在直线的方程是.若夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出示意图，根据题意判断，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，进而求出答案. 【解析】联立直线方程，易得.如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，又两平行直线的斜率为1，直线的斜率为，所以线段的长度就是过A，B两点的平行直线间的距离，易得，故两条平行直线间的距离的最小值是.    故选：B. 16．在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题: ①对任意三点，都有 ②已知点和直线则 ③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； 其中真命题的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值； ③根据“切比雪夫距离”的定义可判断出命题的真假. 【解析】① 对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则； 若，或，对调，可得； 若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，    由矩形或矩形，； 则对任意的三点，，，都有，故①正确； ②设点是直线上一点，且， 可得，， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，无最值； 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确； ③由题，到原点的“切比雪夫距离”的距离为1的点满足，即或，显然点的轨迹为正方形，故③正确； 故选：D 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题． 三、解答题 17．已知直线：， ，. (1)若、两点到直线的距离相等，求此时直线的直线方程. (2)当为何值时，原点到直线的距离最大 (3)当时，求直线上的动点到原点距离的最小值，并求此时点的坐标 【答案】(1)或 (2) (3)点到原点距离的最小值为，此时点的坐标为； 【分析】（1）分直线过的中点，直线与平行两种情况讨论，分别计算可得； （2）首先求出直线过定点，当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，即可求出； （3）首先求出直线的方程，设，根据两点的距离公式及二次函数的性质求出的最小值，即可求出点的坐标； 【解析】（1）解：因为，，所以的中点为，若直线：过的中点为，则，解得，此时直线为，满足条件， 又，所以当时直线的方程为，此时直线与直线平行，满足、两点到直线的距离相等， 综上可得：直线的方程为或； （2）解：由，得， 联立，解得，则直线过定点； 由，得， 当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，最大值为， 因为，所以，即当时原点到直线的距离最大. （3）解：当时，直线：，设，则，所以当时，，此时， 即直线上的动点到原点距离的最小值为，此时点的坐标为； 18．已知三条直线和，且与的距离是． (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】（1）根据平行间的距离公式建立方程，求解可得答案； （2）设存在点满足，由平行间的距离公式可求得或．得出满足条件②的点满足或．再由点到直线的距离公式可得或，联立方程，求解可得结论. （1） 解：因为可化为，所以与的距离为． 因为，所以． （2） 解：设存在点满足，则点在与，平行直线上． 且，即或． 所以满足条件②的点满足或． 若点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即，所以或，因为点在第一象限，所以不成立． 联立方程和，解得（舍去），联立方程和，解得，所以即为同时满足条件的点. 19．已知曲线． (1)说明曲线C是什么图形，并画出该图形； (2)直线经过点，与曲线C交于M，N两点，且点A是线段MN的中点，求直线的方程； (3)直线与曲线C交于M，N两点，且，求直线的方程． 【答案】(1)曲线C表示的是两条直线或，图形见解析； (2)直线的方程为； (3)直线的方程为或或或. 【分析】（1）化简即得解，再作图； （2）设直线交直线于点，求出点坐标即得解； （3）联立直线的方程，求出点坐标，解方程即得解. 【解析】（1）解：由得或，所以曲线C表示的是两条直线或，如图所示， （2）解：设直线交直线于点，则直线交直线于点， 所以.所以， 所以直线的斜率为. 所以直线的方程为. 所以直线的方程为. （3）解：联立直线方程得； 联立直线方程得. 因为，所以， 化简得或. 所以或或或. 所以直线的方程为或或或. 20．如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1)证明见解析，定点坐标为； (2)； (3)． 【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标； （2）求出定点在直线上，且，由得到，设出，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程； （3）作出辅助线，确定关于和的对称点，得到，由对称性得，写成直线方程. 【解析】（1）直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为； （2）因为，，，所以， 由题意得直线方程为， 故直线经过的定点在直线上，所以， 设直线与交于点，所以， 即，所以， 设，所以，即， 所以，，所以， 将点坐标代入直线的方程，解得， 所以直线的方程为； （3）设关于的对称点，关于的对称点， 直线的方程为，即， 直线的方程为，所以， 解得，所以， 由题意得四点共线，，由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 21．如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数 （1）设，求面积的最小值； （2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在； 【分析】(1)利用直线的点斜式方程直线l的方程，再利用两条直线的交点坐标得和，再结合题目条件得，当时，得直线OA的方程为， 和，以及，再利用点到直线的距离公式得点M和N到直线OA的距离，从而得面积，令，则，从而得S ，再利用基本不等式求最值，计算得结论； (2)利用(1)的结论，结合两点间的距离公式得和，计算，由得结论． 【解析】(1)因为直线l过点，且斜率为k， 所以直线l的方程为 因为直线l与，分别交于点M，N，所以， 因此由得，即， 由得，即 又因为M，N的纵坐标均为正数， 所以，即 而，因此 又因为当时，直线OA的方程为， ，，且， 所以点M到直线OA的距离为， 点N到直线OA的距离为， 因此面积 令，则且， 因此 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为，即面积的最小值为 (2)存在实数，使得的值与k无关． 由(1)知：，，且 因此，， 所以 又因为，所以当时，为定值， 因此存在实数，使得的值与k无关． 22．在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . (1)填空：(直接写出结论) ①若， 则 ； ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； (2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标； (3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件： ①； ② 若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)5；；6 (2)最小值为，点B的坐标为 (3) 【分析】（1）①代入定义即可得出答案；②设是轨迹上任意一点，根据定义列出式子，化简即可得出答案；③根据定义，化简得出.分情况去绝对值，作出函数的图象，进而得出答案； （2）设，则，得出.然后分情况讨论去掉绝对值，得出表达式，进而逐段求解，即可得出最小值； （3）分当，时，当，时，当，时等情况，分别讨论得出满足条件的点，即可得出答案. 【解析】（1）①根据定义可得，； ②设是轨迹上任意一点， 由已知可得， 根据定义可得，. 所以，到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是； ③设曲线G上任意一点， 由已知可得，， 所以有， 整理可得，. （ⅰ）当时，该式可化为， 即. 当且时，为； 当且时，为； （ⅱ）当时，该式可化为， 整理可得，即； （ⅲ）当时，该式可化为， 整理可得. 当且时，为； 当且时，为； 作出曲线满足的图象    所以，曲线G所围成的封闭图形的面积的值为. 故答案为：5；；6. （2）设，则，所以， 所以，. 当时，有； 当时，有； 当时，有. 综上所述，当时，有最小值，此时. 所以，的最小值为，取得最小值时点B的坐标为. （3）（ⅰ）当，时， 由条件②可得，， 即有. 因为，所以. 由条件①可得，， 所以有. 又， 所以有，所以. 因此，所求的点为； （ⅱ）当，时， 由（ⅰ）同理可得，所求的点为； （ⅲ）当，时，不妨设. ①若， ，，， 所以，. 当且仅当与同时成立， 所以有，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为； ②若， 由条件①可得，，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为. 综上所述，所有符合条件的点的集合为. 【点睛】关键点点睛：根据定义得出关系式后，根据未知量的范围，分类讨论，去掉绝对值，化简求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题1.4 点到直线的距离 知识点一、点到直线的距离 1．点到直线的距离。是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. 3、求点到直线的距离要求 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或． （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 知识点二、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离。两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 题型1：点到直线的距离 【例1】（2023下·上海静安·高二校考期中）点到直线的距离为 ． 【例2】（2023奉贤中学）已知点和点到直线的距离相等，则 . 【例3】（2023·上海·高二专题练习）已知为坐标原点，在直线上存在点，使得，则的取值范围为 ． 【例4】点到直线的距离不大于4，则的取值范围是________． 【例5】点到直线距离的最大值为___________. 题型2：两平行线间的距离问题 【例6】直线与直线间的距离为 【例7】两平行直线之间的距离为 . 【例8】平行直线与之间的距离为 ． 【例9】在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．4 题型3：到两点距离相等的直线方程 【例10】过点且与点、距离相等的直线方程是________. 【例11】已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为________. 【例12】已知两点到直线的距离相等，则实数可取的不同值共有（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型4：直线围成图形的面积问题 【例13】已知直角坐标系中三点，，. (1)求以三点为顶点的三角形中边上的高所在直线的方程 (2)求以三点为顶点的三角形的面积 【例14】已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 题型5：与距离公式有关的最值问题 【例15】若，则的最小值为. 【例16】已知正实数满足，则的最小值 . 【例17】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例18】已知实数满足，求函数的最小值． 【例19】已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型6：距离新定义题 【例20】设集合{直线与直线相交且以交点的横坐标为斜率}． （1）点到中哪条直线距离最小； （2）设，点到中直线距离的最小值设为，求． 【例21】定义：在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P、Q两点的“垂直距离”，已知点M（x0，y0）是直线ax+by+c＝0外一定点，点N是直线ax+by+c＝0上一动点，则M、N两点的“垂直距离”的最小值为（　　） A． B． C． D．|ax0+by0+c| 题型7：对称问题 【例22】点关于直线对称点的坐标是________． 【例23】直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 【例24】已知直线与关于点对称，则 . 【例25】一束光沿直线射入，遇到直线发生反射，则反射光线所在直线方程为________. 题型8：直线的综合应用问题 【例26】正方形的中心为，其一边所在直线的斜率是2， 并且此正方形的面积是20， 求这个正方形各边所在直线的方程. 【例27】已知直线及两点A(-2,3)、B(1,6),点P在直线上. (1)若点P到A、B两点的距离相等,求点P的坐标； (2)求的最小值. 【例28】（1）已知点在直线上，则直线必过定点，求定点的坐标. （2）已知直线过（1）中的定点，且与直线相交于第一象限内的点，与正半轴交于点，求使△面积最小时的直线的方程. 【例29】在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边、分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合（如图），将矩形折叠，使点A落在直线上，记为E点，则O，E关于折痕对称.设折痕所在直线的斜率为k. （1）若，试求折痕所在直线的方程； （2）当时（此时折痕与线段相交），求折痕的长度的最大值. 一、填空题 1．点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为 . 2．在平面直角坐标系中，从点发出的光线射向x轴，经x轴反射到直线上，再反射经过点，则光线由P到Q经过的路程长为 ． 3．设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 4．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为 ． 5．若恰有三组不全为0的实数对（a，b）满足关系式，则实数t的所有可能的值为 . 6．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 . 7．在内切圆圆心为的中，，，，在平面内，过点作动直线，现将沿动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，点在直线上的射影为，则的最小值为 8．若恰有三组不全为0的实数对,满足关系式，则实数t的所有可能的值为 ． 二、单选题 9．已知直线，相互平行，且，间的距离为，则a的值为（    ） A． B．6 C．或 D．6或-4 10．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为（    ） A．－6或 B．－或1 C．－或 D．0或 11．点到直线和直线的距离相等，则点P的坐标应满足的是（    ）． A．或 B．或 C． D． 12．若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 13．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 14．已知x，y∈R，，则S的最小值是（    ） A．0 B．2 C．4 D． 15．已知的边所在直线的方程是，边所在直线的方程是，边所在直线的方程是.若夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 16．在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题: ①对任意三点，都有 ②已知点和直线则 ③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； 其中真命题的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 三、解答题 17．已知直线：， ，. (1)若、两点到直线的距离相等，求此时直线的直线方程. (2)当为何值时，原点到直线的距离最大 (3)当时，求直线上的动点到原点距离的最小值，并求此时点的坐标 18．已知三条直线和，且与的距离是． (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 19．已知曲线． (1)说明曲线C是什么图形，并画出该图形； (2)直线经过点，与曲线C交于M，N两点，且点A是线段MN的中点，求直线的方程； (3)直线与曲线C交于M，N两点，且，求直线的方程． 20．如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 21．如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数 （1）设，求面积的最小值； （2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $