专题1.3 两直线的位置关系讲义(4大知识点+7大题型+能力提升）-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题1.3 两直线的位置关系 知识点一、两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交。有四种判定方法： 1、方程组法：设直角坐标系平面上两条直线方程为： （1）方程组有唯一解时，此时直线相交于一点，坐标即方程组的解。 （2）方程组无解，此时直线没有公共点，即两直线平行。 （3）方程组无穷解，此时直线重合 2、斜率法：当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可斜率法，把直线方程都化为斜截式，利用直线的斜率与截距的关系判断； 3、向量法。 4、法向量法 知识点二、两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定： 知识三、两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定： ．； 知识点四、两直线的夹角与垂直关系 1、两条相交直线的夹角：我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角. 如果两条直线平行或重合，我们规定它们的夹角为0. 2、平面上两条直线夹角的范围：. 3、夹角公式：；. 注：公式应用前提是两直线的斜率均存在. 题型一：两条直线位置关系的判定 【例1】判断下列各组直线的位置关系： （1）， ； （2），， ． 【例2】直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 【例3】写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 【例4】若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 【例5】（2020·上海·高二课时练习）方程表示的曲线由（ ）. A．一个点构成 B．两条互相平行的直线构成 C．两条互相垂直的直线构成 D．两条相交但不垂直的直线构成 【例6】（2020·上海市嘉定区第一中学高二期中）对于直线，下列说法不正确的是　　 A．无论如何变化，直线的倾斜角的大小不变 B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限 C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限 D．当取不同数值时，可得到一组平行直线 题型二：两直线的平行 【例7】（2023上·上海·高二曹杨二中校考阶段练习）过点且与直线平行的直线的方程为 . 【例8】若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 【例9】（2024上·上海·高二上海市育才中学校考期末）“”是“直线与直线平行”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【例10】（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）已知直线：与：，若，则实数的值为 ． 【例11】已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为 . 【例12】已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相平行，则实数 . 题型三：两直线的垂直 【例13】（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）过点且与直线垂直的直线方程为___________. 【例14】若直线与直线垂直，则实数m的值为 . 【例15】若直线与直线垂直，则实数的值为 . 【例16】已知的顶点，重心，垂心为，若、都在直线上，则点的坐标为 . 【例17】已知的顶点，线段的中点为，且. (1)求的值； (2)求边上的中线所在直线的方程. 题型四：两直线的相交 【例18】直线与直线平行，且过直线与的交点，则直线的方程为 . 【例19】过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【例20】平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 题型五：两直线的夹角 【例21】直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ． 【例22】若直线与直线的夹角为，则实数a的值为 . 【例23】（2023下·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）已知直线经过两条直线与的交点且与直线的夹角为，求直线的方程. 【例24】（2023上·上海·高二上海市洋泾中学校考阶段练习）已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是， (1)求直线的方程； (2)若直线过点，且直线与直线的夹角为，求直线的方程. 题型六：三线能围成三角形的问题 【例25】若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 【例26】已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为 ． 【例27】若，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值中 ． 题型七：综合应用 【例28】若直线被直线：与：截得的线段长为，则直线的倾斜角的值为 ． 【例29】已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 【例30】已知正数满足，则 . 【例31】（2022上·上海宝山·高二校考期中）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点. (1)若直线与法向量平行，写出直线的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若点分向量所成的比的值为2，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 一、填空题 1．若直线的一个方向向量，则与直线的夹角的余弦值 . 2．已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是 ． 3．已知直线的方程为，的方程为，直线l与平行且与在y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 . 4．已知集合，．若，则实数 ． 5．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 ． 6．已知两直线，若直线与不能构成三角形，则满足条件的实数为 .（写出一个即可）. 7．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为 . 8．已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为 . 二、单选题 9．“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（    ）条件 A．充分非必要B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要 10．若直线与直线互相垂直，则实数a的值是（    ） A． B．6 C． D． 11．若两条直线和互相平行，则m的值为（    ） A．3 B．或4 C．3或 D．3或4 12．若原点在直线l上的射影是P(-2，1)，则直线l的方程为（    ） A．x+2y=0 B．y-1=-2(x+2) C．y=2x+5 D．y=2x+3 13．直线与为两条不重合的直线，则下列命题： 若，则斜率； 若斜率，则； 若倾斜角，则； 若，则倾斜角． 其中正确命题的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 14．若三条直线，，将平面划分成6个部分，则实数的取值情况是（    ） A．只有唯一值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．无穷多个值 15．设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（ ） ①不论为何值，点都不在直线上；②若，则过的直线与直线相交； ③若，则直线经过的中点. A．0个 B．1个C．2个 D．3个. 三、解答题 16．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 17．已知直线，．请从以下三个条件中选出两个求实数，的值． (1)；(2)；(3)． 18．（1）已知直线l过点，且与直线（P不在上）平行，其中A，B不全为0，求证：直线l的方程为； （2）已知直线l过点，且与直线垂直，其中A，B不全为0，求证：直线l的方程为． 19．已知顶点，边上的高为且垂足为E. (1)求边上中线所在的直线方程； (2)求点E的坐标． 20．如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点. （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题1.3 两直线的位置关系 知识点一、两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交。有四种判定方法： 1、方程组法：设直角坐标系平面上两条直线方程为： ： ： 联立方程组为： （1）方程组有唯一解时，此时直线相交于一点，坐标即方程组的解。 （2）方程组无解，此时直线没有公共点，即两直线平行。 （3）方程组无穷解，此时直线重合 2、斜率法：当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可斜率法，把直线方程都化为斜截式，利用直线的斜率与截距的关系判断； 和相交； 和垂直； 和平行； 和重合. 注；应用此法的前提是两直线斜率均存在. 3、向量法。 和相交； 和垂直； 和平行； 和重合. 4、法向量法 知识点二、两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定： 知识三、两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定： ． 与垂直的充要条件： ； 知识点四、两直线的夹角与垂直关系 1、两条相交直线的夹角：我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角. 如果两条直线平行或重合，我们规定它们的夹角为0. 2、平面上两条直线夹角的范围：. 3、夹角公式：在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 则与的法向量为： ，；若夹角为； 所以，；. 注：公式应用前提是两直线的斜率均存在. 题型一：两条直线位置关系的判定 【例1】判断下列各组直线的位置关系： （1）， ； （2），， ． 【答案】 平行 相交 【分析】根据直线方程分别求出两直线的斜率，利用两直线斜率之间的关系判断直线的位置关系 【解析】（1）由直线，知直线斜率为， 由直线，知直线斜率为， 两直线的斜率相等，且两直线不重合，故两直线平行； 由直线，知直线斜率为， 由直线，知直线斜率不存在，所以直线与直线相交. 故答案为：平行；相交 【例2】直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】分，，三种情况讨论即可. 【解析】①当时，直线过点和点， 直线过点和点， 此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此； ②当时，直线过点和点，直线过点 和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此； ③当时，直线的斜率，直线的斜率， 此时，∴． 故答案为：垂直. 【例3】写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 【答案】，3，（写出一个即可） 【分析】根据方程组无解，讨论其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过，另一方程表示直线不过该点的情况得解. 【解析】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或， 此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为. 故答案为：，3，（写出一个即可） 【例4】若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 【答案】4 【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解. 【解析】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 【例5】（2020·上海·高二课时练习）方程表示的曲线由（ ）. A．一个点构成 B．两条互相平行的直线构成 C．两条互相垂直的直线构成 D．两条相交但不垂直的直线构成 【答案】D 【分析】由已知可得，再解方程结合两条直线的位置关系，即可判断选项. 【详解】方程可化为，即或，显然表示两条直线，且两直线相交但不垂直， 故选：D． 【点睛】本题考查曲线的方程，同时考查两条直线的位置关系，属于中档题. 【例6】（2020·上海市嘉定区第一中学高二期中）对于直线，下列说法不正确的是　　 A．无论如何变化，直线的倾斜角的大小不变 B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限 C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限 D．当取不同数值时，可得到一组平行直线 【答案】C 【分析】直线，化为：，根据直线斜率与在轴上的截距的意义即可判断出正误． 【详解】直线，化为：， 可得斜率，倾斜角为轴上的截距为， 因此无论如何变化，直线必经过第一、二、四象限，C错； 直线一定不经过第三象限，B对； 直线的倾斜角的大小不变，A对； 当取不同数值时，可得到一组平行直线，D对； 故选：． 题型二：两直线的平行 【例7】（2023上·上海·高二曹杨二中校考阶段练习）过点且与直线平行的直线的方程为 . 【答案】 【分析】由直线平行设直线为，将点代入求参数，即可得方程. 【详解】设所求直线方程为， 将点代入，解得， 则所求直线方程为. 故答案为： 【例8】若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可； 【解析】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，. ①由于斜率都存在，若，则，此命题正确； ②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确； ③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确； ④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确； 所以正确的命题个数是4． 故答案为：． 【例9】（2024上·上海·高二上海市育才中学校考期末）“”是“直线与直线平行”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【分析】根据两直线平行满足的系数关系可得，即可结合充要条件的判定求解. 【详解】若直线与直线平行， 则，解得， 故 “”是“直线与直线平行”的充要条件， 故选：C 【例10】（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）已知直线：与：，若，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据两直线平行的条件列式求解即可. 【详解】若，则，即，解得或， 当时，直线：与：，符合题意； 当时，直线：与：，符合题意， 综上，或. 故答案为：或. 【例11】已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为 . 【答案】0或1 【分析】分当直线AB的斜率不存在，直线MN的斜率不存在及两直线的斜率都存在时进行求解即可，注意检验下两直线不重合. 【解析】解：当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意； 当m≠－2，且m≠－1时， kAB＝， kMN＝. 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合. 综上，m的值为0或1. 故答案为：0或1 【例12】已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相平行，则实数 . 【答案】或1 【分析】讨论和两种情况求直线的斜率，根据两直线平行，得到斜率的关系，即可求解. 【解析】若，则直线的斜率为0，此时直线的斜率不存在，那么与不平行，不满足条件， 若，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以，即，解得：或. 故答案为：或 题型三：两直线的垂直 【例13】（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）过点且与直线垂直的直线方程为___________. 【答案】 【分析】根据两直线垂直求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程整理得直线的一般方程. 【详解】设所求直线的斜率为 直线可化为，斜率为. 因为直线与直线垂直， 所以，. 又直线过点， 故直线的方程为：， 整理得. 故答案为：. 【例14】若直线与直线垂直，则实数m的值为 . 【答案】 【分析】利用直线垂直，则直线的法向量垂直，计算即可. 【解析】因为直线的法向量为， 直线的法向量为 由于垂直，则对应法向量相互垂直， 所以，即， 则. 故答案为： 【例15】若直线与直线垂直，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】利用两直线位置关系计算即可. 【解析】由题意可知或. 故答案为：或 【例16】已知的顶点，重心，垂心为，若、都在直线上，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，根据重心坐标公式得到，然后根据列方程得到的坐标，最后根据求点即可. 【解析】设， 因为重心，所以，即， 因为为垂心，所以，则，解得， 所以，，， 所以直线斜率不存在，则，， 所以. 故答案为：. 【例17】（2023上·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知的顶点，线段的中点为，且. (1)求的值； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标公式以及垂直满足的斜率关系即可求解， （2）根据中点公式以及斜率公式即可根据点斜式求解方程. 【详解】（1）因为，所以的坐标为， 因为，所以， 解得. （2）设线段的中点为，由（1）知，则， 所以， 所以直线的方程为，化简得， 即边上的中线所在直线的方程为. 题型四：两直线的相交 【例18】直线与直线平行，且过直线与的交点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】先求出直线和的交点，再由题意设直线方程为，将交点代入解出，即可得出答案. 【解析】联立直线和得，则得其交点为. 因为直线与直线平行， 所以设直线方程为，将点坐标代入得， ∴直线方程为，即， 故答案为：. 【例19】过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线相交设所求直线为，结合直线过原点求参数，即可得方程. 【解析】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 【例20】平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【分析】设交点系方程，结合直线过求方程即可. 【解析】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 题型五：两直线的夹角 【例21】直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用两条直线的夹角公式求解即可. 【解析】由题知直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线与直线的夹角， 所以，即， 解得. 故答案为：. 【例22】若直线与直线的夹角为，则实数a的值为 . 【答案】/ 【分析】分别求两直线的斜率，结合夹角公式运算求解. 【解析】由题意可知：直线，的斜率分别为， 设直线与直线的夹角为，则， 可得，所以， ∵，即，解得. 故答案为：. 【例23】（2023下·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）已知直线经过两条直线与的交点且与直线的夹角为，求直线的方程. 【答案】或 【分析】利用联立两条直线方程得出交点坐标，再利用两条直线的夹角公式及直线的点斜式方程即可求解. 【详解】由，得， 所以， 设直线的斜率为，则 解得， 所以直线的方程为，即， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也满足题意， 所以直线的方程为或. 【例24】（2023上·上海·高二上海市洋泾中学校考阶段练习）已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是， (1)求直线的方程； (2)若直线过点，且直线与直线的夹角为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求得点的坐标，然后根据点斜式求得直线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，通过夹角公式求得直线的方程. 【详解】（1）由解得，故. 直线斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. （2）设直线与直线的夹角为，且，则为锐角，且， 所以， 直线的斜率为， 当直线的斜率不存在，即直线轴时，，符合题意，. 当直线的斜率存在时，设其斜率为， 则，解得， 所以直线的方程为. 所以直线的方程为或. 题型六：三线能围成三角形的问题 【例25】若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 【答案】或1 【分析】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为，求解即可. 【解析】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点， 若与垂直，则； 若与垂直，则．所以或1． 故答案为：或1 【例26】已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为 ． 【答案】6或-4或 【分析】分直线与平行，与平行，过与的交点三种情况分别求解可得. 【解析】由题知，当直线与平行，即，时，三条直线无法围成三角形； 当与平行，即，时，三条直线无法围成三角形； 由解得，当直线过点，即，即时，三条直线无法围成三角形. 综上，当或或时，三条直线无法围成三角形. 故答案为：6或-4或 【例27】若，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值中 ． 【答案】# 【分析】分别得出直线和过定点，以及与轴的交点，和与轴的交点，结合三角形和梯形的面积公式，求得四边形的面积的表达式，即可求解. 【解析】如图所示，直线，过定点，与轴的交点， 直线过定点，与轴的交点， 由题意知，四边形的面积等于的面积和梯形的面积之和， 所以所求四边形的面积为：， 当时，所求四边形的面积最小. 故答案为： 题型七：综合应用 【例28】若直线被直线：与：截得的线段长为，则直线的倾斜角的值为 ． 【答案】15°或75°/75°或15° 【分析】先计算两平行直线的距离，再由截得的线段长为，可得直线与直线之间的夹角，从而可得答案. 【解析】因为直线：与：平行， 所以与之间的距离． 设直线与，的夹角为（）， 因为直线被直线与截得的线段长， 所以，解得． 因为直线，的斜率为1，所以其倾斜角为45°， 所以直线的倾斜角的值为15°或75°． 故答案为：15°或75° 【例29】已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 【答案】矩形 【分析】分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论. 【解析】解：，且不在直线上，. 又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又. 平行四边形为矩形. 故答案为：矩形. 【例30】已知正数满足，则 . 【答案】/. 【分析】如图建立平面直角坐标系，设，由已知条件可得，，可得四边形为正方形，设，从而可求出，进而可求得答案. 【解析】设， 则四边形为矩形， 因为， 所以， 而，即，即， 所以，又是等边三角形，所以过的中点， 所以矩形为正方形，由整个图形的对称性可知. 设，得， ， 所以. 故答案为：. 【例31】（2022上·上海宝山·高二校考期中）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点. (1)若直线与法向量平行，写出直线的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若点分向量所成的比的值为2，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1)； (2)12； (3)证明见解析，定点为. 【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点即可求出直线方程； （2）设直线截距式为，代入点得到，利用基本不定式即可求出面积最小值； （3）设，利用定比分点公式得到，再设，根据四边形面积得到，代回直线方程，求出定点. 【详解】（1）由题设直线，将点代入得，,故直线 （2）设直线的方程为， 将点代入得，则， 则，当且仅当，结合，即时等号成立. 故的面积最小值为12. （3）证明：点分向量所成的比的值为2,即为, 设,由, 即有, 可得,, 梯形的面积为,由题意可得梯形的面积为6, 设,可得,即, 由直线的方程为, 将代入上式可得 , 由解得, 则直线经过定点. 一、填空题 1．若直线的一个方向向量，则与直线的夹角的余弦值 . 【答案】. 【分析】根据题意可得两直线的倾斜角分别为，，进而可得两直线的夹角为，再由两角和的余弦公式即可求得答案. 【解析】解：因为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角为， 又因为直线的斜率， 所以线的倾斜角为， 所以直线与直线的夹角， 所以. 故答案为：. 2．已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】设出点M关于直线的对称点的坐标，根据对称的几何性质列出方程组，即可求得答案. 【解析】设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得，， 故点M关于直线的对称点的坐标是， 故答案为： 3．已知直线的方程为，的方程为，直线l与平行且与在y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】由平行关系确定直线斜率，由已知及在y轴上截距易知直线过点，应用点斜式写出直线方程. 【解析】由，且直线的方程为，则直线斜率为， 由直线l与在y轴上的截距互为相反数，而在y轴上的截距为， 所以直线在y轴上的截距为，即过点， 综上，直线方程为，即. 故答案为： 4．已知集合，．若，则实数 ． 【答案】3 【分析】由题意可知直线与直线互相平行，由此可求出或，再代入检验即可得出答案. 【解析】因为，所以直线与直线没有交点， 所以直线与直线互相平行， 所以，解得或， 当时，两直线为：，，此时两直线重合，不满足； 当时，两直线为：，，此时两直线平行，满足， 所以的值为3. 故答案为：3. 5．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 ． 【答案】3 【分析】由题意设出底边所在直线的方程，再根据等腰三角形两底角相等，结合两直线的夹角公式即可得到，代入数据，解方程即可求出结果. 【解析】，，设底边为 由题意，到所成的角等于到所成的角于是有，解得， 故答案为：3. 6．已知两直线，若直线与不能构成三角形，则满足条件的实数为 .（写出一个即可）. 【答案】1，，-4（写一个即可） 【分析】依题意，不能构成三角形，分，，过与的交点三种情况研究，求出实数的值. 【解析】①当时，不能构成三角形，此时，解得； ②当时，不能构成三角形，此时，解得； ③当过与的交点时，不能构成三角形，此时联立和的方程，得， 解得，所以与过点，将代入， 解得， 综上，当时，不能构成三角形. 故答案为：1,,−4.(写出其中一个即可) 7．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为 . 【答案】 【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【解析】由题可知，的重心为， 可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 联立方程，解得，即的垂心为， 则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为， 故的欧拉线方程为. 故答案为：. 8．已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】设，由中点公式求出点A坐标，根据等腰直角三角形可知，，建立与，与间关系，即可求出，进而根据点斜式求出直线的方程. 【解析】因为中线CE所在直线方程为， 所以可设， 由AC中点为，可得， 所以， 为等腰直角三角形，CE为中线， ,， ①， 又是的中点，, ,， 化简得： ②， 由①②解得， 所以点,又因为， 所以直线方程为, 即所求方程为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了两直线垂直位置关系，根据两直线垂直研究斜率之间的关系，直线方程的点斜式，考查了推理能力和运算能力，属于中档题. 二、单选题 9．“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】D 【分析】根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可. 【解析】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立； 必要性：直线与的斜率相等，则直线与平行或重合，故必要性不成立； 综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的既非充分又非必要条件. 故选：D 10．若直线与直线互相垂直，则实数a的值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可； 【解析】解：因为直线与直线互相垂直， 所以，解得； 故选：B 11．若两条直线和互相平行，则m的值为（    ） A．3 B．或4 C．3或 D．3或4 【答案】C 【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程（不等式）组，解得即可； 【解析】解：因为直线和互相平行， 所以，解得或； 故选：C 12．若原点在直线l上的射影是P(-2，1)，则直线l的方程为（    ） A．x+2y=0 B．y-1=-2(x+2) C．y=2x+5 D．y=2x+3 【答案】C 【分析】用相互垂直的直线斜率之间的关系可得出直线的斜率为2，先利用直线的点斜式表示直线的方程，再转化为斜截式即可． 【解析】∵直线的斜率为，又， ∴直线的斜率为2， ∴直线的点斜式方程为， 化简，得， 故选：C. 13．直线与为两条不重合的直线，则下列命题： 若，则斜率； 若斜率，则； 若倾斜角，则； 若，则倾斜角． 其中正确命题的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】通过两条直线平行的充要条件，结合倾斜角和斜率的关系判断选项的正误即可． 【解析】直线与为两条不重合的直线， 因为两条直线的倾斜角为时，没有斜率，所以不正确； 因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，所以正确； 若倾斜角，则； 正确； 若，则倾斜角 正确； 故选C． 【点睛】本题考查学生掌握两直线平行与倾斜角、斜率的关系，是一道基础题． 14．若三条直线，，将平面划分成6个部分，则实数的取值情况是（    ） A．只有唯一值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．无穷多个值 【答案】C 【分析】三条直线把平面分成六个部分，则这三条直线中有两条直线互相平行，第三条直线和这两条平行线相交，或者三条直线经过同一个点，分类求解可得． 【解析】若三条直线，，将平面划分成6个部分，则其中有两条直线互相平行，第三条直线和这两条平行线相交，此时或；或者三条直线经过同一个点，联立解得则点（2，2）在直线上，此时． 综上，或或， 故选：C． 15．设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（ ） ①不论为何值，点都不在直线上； ②若，则过的直线与直线相交； ③若，则直线经过的中点. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个. 【答案】C 【分析】①通过分母不为0，确定，可以判断①的对错；②③通过对条件整理变形，利用直线的相关性质判断. 【解析】因为，分母不为0，所以，所以不论为何值，点都不在直线上，①正确； 当时，设，（），则，为直线上的两个点，显然直线与直线平行，故过的直线与直线不会相交，②错误； 当时，设，整理得：，因为，，所以的中点坐标为，故若，则直线经过的中点.③正确；正确的个数为2个 故选：C 三、解答题 16．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)与垂直； (2)与垂直； (3)与不垂直； (4)与不垂直. 【分析】（1）计算两条直线的斜率乘积是否等于即可； （2）计算两条直线的斜率乘积是否等于即可； （3）计算两条直线的斜率乘积是否等于即可； （4）根据方程可得与平行. 【解析】（1）因为，， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直， （2）因为，， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直， （3）因为，， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与不垂直， （4）因为，， 所以与平行，不垂直. 17．已知直线，．请从以下三个条件中选出两个求实数，的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)选(1)和(2)，； (2)选(1)和(3)，或； (3)选(2)和(3)，a、b无解. 【分析】根据两直线的位置关系可知，若两直线垂直则两直线的斜率之积为-1；若两直线平行则两直线的斜率相等且不重合. 【解析】（1）若选条件(1)和(2)，和， 由，得，即， 当时，，，与不垂直， 当时，，，与不垂直； 故且，得， 又，， 所以，解得，则； （2）若选条件(1)和(3)，和， 由，得， 当时，，，与不平行； 当时，，，与不平行； 故且，则，解得或， 故或， 即或； （3）若选条件(2)和(3)，和， 根据两条直线的位置关系， 可得和不可能同时成立， 此时无解. 18．（1）已知直线l过点，且与直线（P不在上）平行，其中A，B不全为0，求证：直线l的方程为； （2）已知直线l过点，且与直线垂直，其中A，B不全为0，求证：直线l的方程为． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】根据两直线平行、垂直可得两直线斜率相等、斜率积为-1，结合直线的点斜式方程即可求出直线l，即证证明. 【解析】(1)由直线l与直线平行， 可设直线l方程为：，直线过点， 所以，得， 所以直线l方程为：， 即，即证； (2)直线的斜率为， 由直线l与直线垂直， 可得直线l的斜率为，又直线过点， 由直线的点斜式方程，得， 即，即证. 19．已知顶点，边上的高为且垂足为E. (1)求边上中线所在的直线方程； (2)求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得点坐标，根据两点式求得的方程、 （2）根据求得点的坐标. 【解析】（1），即， 所以直线的方程为. （2）直线的方程为， 设， 依题意， 所以， ， 即. 20．如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点. （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）点是线段的中点，；（3）存在点或或使为等腰直角三角形. 【分析】(1)设出直线的方程，求出点A，B坐标，借助三角形面积求解而得； (2)由给定面积关系导出，再利用相似三角形性质求解即得； (3)假定存在符合条件的点M，再按照直角顶点分别为点Q，P，M分类讨论判断作答 【解析】（1）显然直线斜率存在，设直线方程为， 则直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点， 于是得，解得， 所以直线斜率为； （2）由（1）知直线的方程为：，即，， 因，则， 又，则与相似，于是有，即，得，此时点为线段中点， 所以时，点为线段中点，且； （3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形，由(1)知直线的方程为：，如图， 当时，而点在轴上，点Q在x轴的正半轴上，则M必与原点O重合， 设，因，则，于是有，解得，此时， 当时，由，知四边形为正方形， 设，则，于是有，解得，此时， 当时，由，得，即， 设，则，直线上点， 显然直线斜率为-1，则斜率必为1，即，解得，此时， 综上，轴上存在点或或使为等腰直角三角形. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $