1.3 两条直线的位置关系-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

1.3两条直线的位置关系 第1章 坐标平面上的直线 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 两条直线平行的判定 两条直线垂直的判定 两条直线的相交、平行与重合 01 03 02 CONTANTS 目 录 04 两条直线的夹角 两条直线平行的判定 01 复习：直线的方程 名称 已知条件 方程 适用范围 点斜式 过点 P0(x0， y0)，斜率为 k 斜截式 纵截距为 b， 斜率为 k 两点式 过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 截距式 横截距和纵截距分别为 a 和 b 一般式 点法式 经过 <m></m> </m> y －y0 = k (x－x0) y = k x ＋ b (y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0 不表示垂直x轴的直线 即斜率不存在的直线 所有直线 不表示垂直于坐标轴和经过原点的直线 不表示垂直x轴的直线 即斜率不存在的直线 Ax＋By＋C=0（A，B不同时为0） 所有直线 4 直线的方向向量与法向量 直线的方向向量： 与直线平行的非零向量都称为的方向向量． 斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍． 直线 Ax＋By＋C=0 (A，B不同时为0)的一个方向向量为 (B，－A)． 直线的法向量： 与直线垂直的非零向量称为直线的法向量． 直线 Ax＋By＋C=0 (A，B不同时为0)的一个法向量为 (A，B)． 5 设在xOy平面上的两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，它们的方程分别是 y=k1x＋b1和 y=k2x＋b2． 平面几何中讲到，两直线与第三条直线相交，则这两条直线平行的充分必要条件是同位角相等． 设两条直线的倾斜角分别为α1，α2． 6 首先，我们来研究两条直线平行（不重合）的情形． 如果l1//l2，则α1=α2，从而 tanα1=tanα2，即k1=k2=k． 此时，两条直线的方程分别为 y=k1x＋b1， y=k2x＋b2，并且b1≠b2． 反之，若k1=k2，并且b1≠b2，则l1//l2． 由此得到 显然，根据上述结论，可以得到∶ 若k1=k2，并且b1=b2，那么两条直线重合． l1//l2 k1=k2 且 b1≠b2． 7 如果两条直线斜率都不存在，它们都与 x 轴垂直但在 x 轴上的截距不同，则这两条直线平行，如图． 如果两条直线斜率都不存在，它们都与 x 轴垂直且在 x 轴上的截距相同，则这两条直线重合． 当l1，l2斜率都存在时， k1=k2 且 b1≠b2． 当l1，l2斜率都不存在时， 横截距不相等． 综上可得： l1//l2 8 例1 已知直线l1：3x＋2y－6=0，l2：6x＋4y－10=0．试判断直线l1与l2是 否平行． 9 我们知道斜率、方向向量、法向量都是刻画直线方向的几何要素，前面我们是根据斜率来判定两条直线平行，事实上也可以借助直线的方向向量或法向量来判定． 已知两条直线的一般方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0， 则两条直线的法向量分别为 n1= (A1，B1)，n2 = (A2，B2)． 判断两条直线平行 l1//l2 法向量平行且两直线不重合 A1= λ A2，B1= λB2，C1≠λC2． 确保两直线不重合 10 判断两条直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0平行： l1//l2 法向量平行且两直线不重合 A1= λ A2，B1= λB2，C1≠λC2． 确保两直线不重合 A1B2= A2B1，A1C2≠A2C1或B1C2≠B2C1． 11 两条直线相交、平行与重合 02 　两条直线的相交、平行与重合 (1)直线方程在斜截式方程形式下两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2的位置关系可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断,具体判断方法如下表所示. 位置关系 平行 重合 相交 图示 k,b满足条件 　　 　　  　　 　　  　　 　  k1=k2且b1≠b2 k1=k2且b1=b2 k1≠k2 方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件 无解 平行 0   有唯一解 相交 1 A1B2≠A2B1 有无穷 多组解 重合 无穷多 存在实数λ,使得 辨析1：判断正误. (1)若两条