专题1.2 直线的方程 讲义 (6大知识点+8大题型+能力提升）-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题1.2 直线的方程 知识点1．直线的点斜式方程 设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点． 方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程． 知识点2．直线的斜截式方程 1．直线在y轴上的截距 一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离） 2．直线的斜截式方程 已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b． 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程． 知识点3．直线的两点式方程 直线的两点式方程： 经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式． （x1≠x2，y1≠y2） #注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线． 特别地：①当x1＝x2时，直线l的方程为x＝x1； ②当y1＝y2时，直线l的方程为y＝y1． 知识点4．直线的截距式方程 直线的截距式方程： 若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：可推得直线的斜截距方程为：． #注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线． 知识点5.直线的一般式方程 1、定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。 2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3、系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 知识点6.直线的一般式方程与其他形式方程的互化 知识点7.直线的点法式方程 1.直线的法向量 (1)一般地,与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量 (2)以直线l的一般式方程ax+by+c=0(a、b不同时为零)的一次项系数为坐标的向量=(a,b)是l的一个法向量 2.直线的点法式方程 如果知道了直线l上的一个点M(xo，yo)和的一个法向量=(a,b),那么平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件是,或用向量数量积写成.因为向量,所以平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件变成了a(x-xo)+b(y-yo)=0，这个方程称为直线的 点法式方程 题型1：点斜式方程 【例1】（2022•浦东新区校级开学）过点（﹣1，﹣2）斜率为3的直线的点斜式方程是 　 ． 【分析】根据直线的点斜式方程，列方程即可． 【解答】解：过点（﹣1，﹣2）斜率为3的直线的点斜式方程为y+2＝3（x+1）． 故答案为：y+2＝3（x+1）． 【点评】本题考查了直线的点斜式方程，是基础题． 【例2】（2023春上海市·虹口·期中）设点，若直线l经过点H，且与直线垂直（O为坐标原点），则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】由直线l与直线垂直，求出直线斜率，再根据点斜式方程即可求直线l的方程. 【详解】因为，所以，又直线l与直线垂直，所以直线l斜率为， 又因为直线l经过点H，所以直线l的方程为，即. 故答案为： 【例3】直线经过点，且直线的一个方向向量为，若直线与轴交于点，则 . 【答案】/ 【分析】利用方向向量可得斜率为，求得直线的方程代入点可得. 【解析】由的一个方向向量为可得直线斜率为， 所以直线的方程为，即， 将代入直线方程可得，可得. 故答案为： 题型2：两点式方程 【例4】过点和点的直线的两点式方程是 ． 【答案】 【分析】直接由直线方程的两点式得出答案 【解析】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 【例5】下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线方程的相应形式对各个选项逐个判断即可. 【解析】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确； 故选：D. 题型3：截距式、斜截式方程 【例6】（2023春·上海市控江中学高一下期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是____________. 【答案】 【分析】先找到直线的斜率，再由直线过点求出直线方程. 【详解】设直线l的倾斜角为，则，则， 所以直线，故答案为：. 【例7】经过点且在轴上的截距等于轴上截距的3倍的直线的方程为 . 【答案】或 【分析】利用截距的定义及直线的截距式计算即可. 【解析】当直线的截距都是零，即直线过原点时，可设其方程为， 代入点得， 当直线截距不为零时，设该直线在轴上截距为，则其在轴上的截距为， 可设该直线方程为，代入点得， 即. 故答案为：或. 【例8】已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数 . 【答案】1或2 【分析】根据给定条件，求出横纵截距，列式计算作答. 【解析】依题意，，因此直线在轴上的截距分别为， 于是，即，解得或， 所以实数或. 故答案为：1或2 【例9】（2022秋•闵行区校级月考）求过点p（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程　 ． 【分析】当直线经过原点时，直线的方程直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为x+y＝a，把点P的坐标代入即可得出． 【解答】解：当直线经过原点时，直线的方程为，化为3x﹣2y＝0． 当直线不经过原点时，设直线的截距式为x+y＝a，把点p（2，3）代入可得：2+3＝a，∴a＝5． ∴直线的方程为：x+y＝5． 故答案为：3x﹣2y＝0或x+y﹣5＝0． 【点评】本题考查了直线的截距式方程、分类讨论的思想方法，属于基础题． 题型4：点法向式方程 【例10】已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为 . 【答案】 【分析】由直线方程的点法式求解即可. 【解析】∵直线过点，一个法向量为， ∴直线的点法式方程为. 故答案为：. 【例11】过点且与经过两点的直线垂直的直线的点法向式方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的法向量，再利用点法式方程写出作答. 【解析】依题意，直线的一个方向向量为， 因为直线，因此直线的一个法向量为， 所以直线的点法向式方程为：. 故答案为： 【例12】（2024·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）设是直线:的一个方向向量，是直线的一个法向量.设向量与向量的夹角为，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件求出直线的方向向量，直线的法向量，再利用向量夹角公式计算即可得解. 【详解】因是直线:的一个方向向量，则， 又是直线的一个法向量，则， 则有向量与向量的夹角为，， 所以. 故选：C 【例13】（2025·上海市建平中学高二期中）已知△的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在直线的点法向式方程； （2）如图，若四边形是平行四边形，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出直线的斜率，从而得边上的高所在直线的法向量，结合点坐标可得点法向式方程； （2）由平行四边形对角线互相平分得点坐标． 【详解】（1），∴边上的高所在直线斜率为，方向向量为，一个法向量为，∴点法向式方程为； （2）设点坐标为， ∵是平行四边形，∴，∴．解得， ∴． 题型5：直线的一般式方程与其他形式方程互化 【例14】直线在轴上的截距是 ． 【答案】 【分析】由直线：，令，得从而求解. 【解析】由题意知，令，得， 所以直线：在轴上的截距为. 故答案为：. 【例15】已知直线在轴上的截距为，且它的倾斜角为，则 . 【答案】2 【分析】根据截距求，根据倾斜角和斜率关系求即可. 【解析】因为直线在轴上的截距为， 所以，所以， 则直线方程可化为， 又因为直线倾斜角为，所以， 所以. 故答案为：2 【例16】若过点的直线的倾斜角是直线倾斜角的两倍，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，写出直线的方程. 【解析】设直线的倾斜角为， 则，故， 设直线的倾斜角为，则， 故直线的斜率为， 故直线的方程为，即． 故答案为：． 题型6：直线过定点问题 【例17】当取不同实数时，直线恒过一个定点，这个定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】令的系数等于零即可. 【解析】由， 令，则， 所以直线所过的定点为. 故答案为：. 【例18】动直线过定点，则的坐标为 . 【答案】 【分析】依题意将直线整理成关于的一次函数形式，解方程组即可求得. 【解析】根据题意将直线方程整理可得， 令，解得；所以可得. 故答案为： 【例19】直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 【答案】4 【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案. 【解析】直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足, ,即， , ,当且仅当时，等号成立， 的最大值为4. 故答案为：4. 题型7：直线与坐标轴围成的面积问题 【例20】（2025·上海·格致中学高二期中）过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________. 【答案】 【分析】设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件求出的取值范围，然后求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】易知直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，即. 在直线的方程中，令，可得；令，可得. 所以，点、. 由已知条件可得，解得. 的面积为. 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，直线的方程为，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率的取值范围的求解. 【例21】方程所表示的直线而构成的图形的面积为 ． 【答案】8 【例22】已知的三个顶点分别为， （1）求AB的垂直平分线所在的直线方程； （2）过点A作直线，它把的面积分成1：3两部分，求直线的方程. 【答案】（1） ； （2）或 【分析】（1）先计算得到直线斜率为，再计算中点得到答案. （2）根据面积关系得到直线经过四等分点，分成和两种情况，计算得到答案. 【详解】（1）的三个顶点分别为 ，则 ，中点为即 则垂直平分线方程为： 整理得到 （2）过点A作直线，它把的面积分成1：3两部分 则直线过的四等分点，即或 当时： 解得 此时的直线方程为： 整理得到 当时： 解得 此时的直线方程为：整理得到 综上所述：直线方程为或 【点睛】本题考查了直线方程，漏解是容易发生的错误，意在考查学生的计算能力. 【例23】（2022春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考阶段练习）已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，是坐标原点. (1)当的面积最小时，求直线的一般式方程； (2)当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为4 【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标，得到，结合基本不等式求出面积最值，得到的方程； （2）表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，得到直线方程， 【详解】（1）设的方程为， 由直线过得， 由基本不等式得：，即，解得：， 当且仅当，时取等号，此时的方程为，即； （2）因为直线与轴、轴的正半轴分别交于点A、点， 所以直线的斜率存在， 可设直线的方程为， 所以，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 此时直线的方程为，的最小值为4. 【例24】（2024·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B． （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程； （3）当取最小值时，求直线的方程． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）设，，根据的中点在直线上求出，利用斜率公式求出直线的斜率，再由点斜式可求出直线的方程； （2）设直线的方程为，求出的坐标，利用求出面积关于的解析式，再根据基本不等式求最值可得和直线的方程； （3）利用（2）中的坐标求出、，得到关于的函数关系式，再换元利用基本不等式求出取最小值时的，从而可得直线的方程. 【详解】（1）设，，则的中点为， 因为的中点在直线上， 所以，即， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）设直线的方程为， 联立，得，所以， 联立，得，，所以， 所以， 因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，此时，直线的方程为，即. （3）由（2）知，， ， 所以 ， 令，则 ，当且仅当，即时，取得最大值，取得最小值，此时直线的方程为，即. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 题型8：直线的综合解答题 【例25】（2025·上海师大附中高二期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 【答案】（1）；（2）当时，，此时． 【分析】（1）根据题意可得，根据直线的截距式方程即可求解. （2）设，可得，展开配方即可求解. 【详解】（1）由题意得， 所以线段所在直线的方程为，即； （2）设，则草坪的占地面积 故当时，，此时． 【例26】（2025·上海·华师大二附中高二阶段练习）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0． 【分析】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）证明： 直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）． （2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k， ∴A，B（0，1＋2k）． 又且1＋2k＞0， ∴k＞0． 故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，取等号． 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 【例27】（2024·上海·高二专题练习）如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，. （1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率； （2）若，求的面积的最大值； （3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定点坐标为. 【分析】（1）当直线斜率不存在时，求出点坐标得三角形面积，当斜率存在时，设直线为，由题意可得，然后求出，，由得的取值范围，计算出面积，令，换元后利用函数的性质求得取最小值时的值； （2）设，则，用正弦定理表示出，把表示为的函数，由三角函数知识求得最大值； （3）写出坐标，，，斜率不存在进写出方程，斜率存在时，写出方程，可得斜率不存在时方程也适合此式，代入，化方程为的方程，由它关于恒成立可得定点坐标． 【详解】解：（1）因为O为坐标原点且，则所在直线方程为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，点B坐标为， 的面积为， 当直线斜率存在时，设直线为，由题意可得， 令，解得， 联立，可得， 由得或，由得或，所以或． 所以的面积 令，则， 则 因为，所以当时，面积最小， 此时，即，则，所以的面积的最小值时所在的直线的斜率为. （2）下面用弧度表示角，设，则， 由正弦定理得， 所以， 因此 当即时，的面积的最大，最大值为. （3）因为，所以， 所以当直线斜率不存在时，即时，直线方程为（①）， 当直线斜率存在时，即时，直线方程为， 整理可得（②）（①满足②，所以对②都成立）， 同时除以得③， 又因为，所以代入③整理得 ，对于任意都成立， 所以，解得， 所以直线过定点，定点坐标为. 【点睛】本题考查直线的斜率，直线过定点问题，三角形面积的最值问题，掌握直线方程是解题关键．与三角形面积有关的问题，一般先把面积表示出来，可表示为直线斜率的函数，也可引入点的坐标，线段的长度，或角度为参数，用参数表示出三角形面积，再根据函数的性质或基本不等式求得最值及取得最值时的参数值．定点问题，首先由参数写出直线方程，然后把直线方程转化为关于参数的恒等式，利用恒等式知识可得． 一、填空题 1．经过点，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是 ． 【答案】 【分析】由点斜式求得方程，化为一般式即可. 【解析】由题知，直线斜率为， 则直线点斜式方程为： 故答案为： 2．直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的一般式方程为 . 【答案】， 【分析】设点斜式，分别求出横截距和纵截距，利用横截距和纵截距相等，求出斜率，代回点斜式方程化一般式 【解析】显然直线的斜率存在且不为，设： 令，则；令，则 依题意， 解之得或 当时，： 当时，： 故答案为：， 3．设直线的方程为，若直线 在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】整理直线的方程为，列出方程组，求出直线过点，分截距为0和截距不为0两种情况，得到直线的方程 【解析】直线的方程为，即， 令，求得，，可得该直线经过定点． 由于直线在两坐标轴上的截距相等，若直线过原点，方程为，即． 若直线不过原点，设它的方程为，再把点代入，求得， 故直线的方程为． 综上可得，直线的方程为或． 故答案为：或 4．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为 . 【答案】 【分析】由题意知是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程. 【解析】解：由题设知：是直角三角形，则垂心为直角顶点，外心为斜边的中点， ∴“欧拉线”的方程为. 故答案为：. 5．直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题可得直线恒过定点，可设方程为，则，利用基本不等式可得，即求. 【解析】∵直线， ∴， 由，得， ∴直线恒过定点， 可设直线方程为，则，， 又，即，当且仅当时取等号， ∴， 当面积最小时，直线的方程为，即. 故答案为：. 6．如图，射线，分别与轴正半轴成和角，过点作直线分别交，于，两点，当的中点恰好落在直线上时，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出射线，的方程，，，可得点的坐标，利用点在直线以及列方程组可得的值，再求出，由点斜式可得直线方程. 【解析】由题意可得，， 所以直线的方程：，直线的方程：， 设，，所以的中点， 由点在直线上，且三点共线得： 解得：，所以 又，所以， 所以直线的方程是：，即， 故答案为：. 7．已知，直线上存在点，满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件先判断点在线段上，结合点在直线上得出点是线段与直线的公共点，接着判断直线过定点，最后通过直线的斜率范围求得数的取值范围. 【解析】   如图，由可得 因点满足，即, 故点在线段上， 又因过点，则点是线段与直线的公共点. 由整理得：， 则易得直线过定点， 直线的斜率为直线的斜率为 又由知其斜率必存在（否则直线与线段无公共点）， 依题意，其斜率需满足，解得：或. 故答案为：. 8．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【答案】9 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【解析】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 二、单选题 9．已知直线l过点，倾斜角，下列方程可以表示直线l的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分倾斜角和两种情况讨论，利用点斜式即可求解. 【解析】解：当倾斜角时，因为直线l过点，所以直线l的方程为，此时选项A，B，C没有意义，选项D符合题意； 当倾斜角时，直线l的斜率为， 所以由点斜式有直线l的方程为，即； 综上，直线l的方程为， 故选：D. 10．若表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据y轴的特点进行判断即可. 【解析】因为y轴方程表示为，所以a，b，c满足条件为且． 故选：D 11．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【解析】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 12．下列说法中不正确的是（    ）． A．平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程（A，B不同时为0）表示 B．当时，方程（A，B不同时为0）表示的直线过原点 C．当，，时，方程表示的直线与x轴平行 D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 【答案】D 【分析】考虑斜率存在和不存在两种情况，将直线方程化为一般式即可判断A； 将代入方程即可验证直线是否过原点，进而判断B； 根据题意解出y即可判断C； 斜率不存在的直线不能化为点斜式，进而判断D. 【解析】对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，当时，直线的斜率k存在，其方程可写成，它可变形为，与比较，可得，，；当时，直线的斜率不存在，其方程可写成，与比较，可得，，，显然A，B不同时为0，所以此说法是正确的； 对于选项B，当时，方程（A，B不同时为0），即，显然有，即直线过原点，故此说法正确； 对于选项C，因为当，，时，方程可化为，它表示的直线与x轴平行，故此说法正确； 对于选项D，若直线方程为，显然它不能表示为点斜式，故错误． 故选：D. 13．过点，且横、纵截距的绝对值相等的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分类讨论，截距相等且不过原点有一条，截距相反有一条，过原点有一条. 【解析】当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意， 当直线不经过原点时，设直线方程为. 由题意得 解得或 综上，符合题意的直线共有3条. 故选：C． 【点睛】易错点睛：首先明白直线的截距的概念，就是直线和坐标轴的交点的坐标，可正，可负，可0，截距不是距离．截距绝对值相等，截距互为相反数，横截距是纵截距的两倍，都要考虑过原点的情况． 14．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为（    ） A．1 B．－1 C．－2或1 D．－1或2 【答案】D 【分析】根据直线方程求出在x轴、y轴上的截距，由截距相等列方程求参数a，即可知直线l的斜率. 【解析】根据题意：，由直线， 令得到直线在x轴上的截距是， 令得到直线在y轴上的截距是， 由题意得：，即，解得或，即l的斜率为2或－1． 故选：D 15．在平面直角坐标系xoy中，已知直线l上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为 A．－2 B．－ C． D．2 【答案】A 【分析】首先设出直线l上的一点，进而求得移动变换之后点，根据点在直线上，利用两点斜率坐标公式求得斜率，从而求得结果. 【解析】根据题意，设点是直线l上的一点， 将点向右平移2个单位后再向下平移4个单位得到点， 由已知有：点仍在该直线上， 所以直线的斜率， 所以直线l的斜率为， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关直线的斜率问题，涉及到的知识点有平移变换，两点斜率坐标公式，属于简单题目. 16．在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题： ①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条； ②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条； ③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条； ④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条． 其中，所有真命题的序号是． A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【解析】∵直线与轴，轴交点的坐标分别是：，，∴，当时，，∵，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时取等号，∴当，在时，有两个值；当时，，∵，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时取等号，当时，在时，有两个值；∴当时，仅有一条直线使的面积为，故①不正确；当时，仅有两条直线使的面积为，故②正确；当时，仅有三条直线使的面积为，故③正确；当时，仅有四条直线使的面积为，故④正确；综上所述，真命题的序号是②③④，故选D. 三、解答题 17．分别求下列直线与两坐标轴围成的三角形的面积： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2； (2)3； (3). 【分析】根据给定直线方程求出直线在x轴、y轴上的截距，再借助直角三角形面积公式计算作答. 【解析】（1）直线中，由得，由得， 即直线在x轴、y轴上的截距分别为2，2， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. （2）直线中，由得，由得， 即直线在x轴、y轴上的截距分别为3，， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. （3）直线中，由得，由得， 即直线在x轴、y轴上的截距分别为，， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 19．设A，B，C为实数，且A，B不同时为0．若直线l的方程为，根据下列条件，分别求出A，B，C应满足的条件： (1)直线l过原点； (2)直线l垂直于x轴； (3)直线l垂直于y轴； (4)直线l与两条坐标轴都相交． 【答案】(1)实数A，B不同时为0，； (2)实数； (3)实数； (4)实数. 【分析】(1)把原点坐标代入计算判断作答. (2)利用垂直于x轴的直线方程特征计算作答. (3)利用垂直于y轴的直线方程特征计算作答. (4)利用直线与x轴、y轴相交的特点计算作答. 【解析】（1）依题意，原点坐标满足直线l的方程，则有， 所以实数A，B不同时为0，时，直线l过原点. （2）因垂直于x轴的直线上任意一点的横坐标相等，则直线l垂直于x轴时，直线l的方程中y取任意实数，x值不变， 因此，，方程化为， 所以实数时，直线l垂直于x轴. （3）因垂直于y轴的直线上任意一点的纵坐标相等，则直线l垂直于y轴时，直线l的方程中x取任意实数，y值不变， 因此，，方程化为， 所以实数时，直线l垂直于y轴. （4）直线l与x轴相交，即方程组有唯一解，于是， 同理，直线l与y轴相交时有， 所以实数时，直线l与两条坐标轴都相交. 20．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点为整点，有下列5个命题： ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k与b都是无理数，则直线不经过任何整点； ③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点； ④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线. 写出2个你认为正确命题的编号，并说明理由. 【答案】①③⑤正确，可以任选2个，理由详见解析 【分析】给直线分别取不同的方程，可得到②和④的反例，同时找到符合条件①和⑤的直线；通过过原点的直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，③正确. 【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线为：，则直线经过整点，②错误； ③令直线为：，过两个不同的整点， 则，两式作差得： 即直线经过整点 直线经过无穷多个整点，③正确； ④令直线为：，则不过整点，④错误； ⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确. 本题正确结果：①③⑤ 可以任选2个. 21．过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B. (1)若是等腰直角三角形，求直线l的方程； (2)对于①最小，②面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)选①：；选②：. 【分析】（1）由题意，求出直线l的倾斜角为，进而可得直线l的斜率，最后利用点斜式即可写出直线l的方程； （2）设，，直线的方程为，把点代入可得，若选①：，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程；若选②：，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程． 【解析】（1）解：因为过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A、B，且是等腰直角三角形， 所以直线l的倾斜角为， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即； （2）解：设，，直线l的方程为，代入点可得， 若选①：，当且仅当时等号成立， 此时直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即； 若选②：由，可得，当且仅当时等号成立， 所以，即面积最小为4， 此时直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题1.2 直线的方程 知识点1．直线的点斜式方程 方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程． 知识点2．直线的斜截式方程 1．直线在y轴上的截距 2．直线的斜截式方程： y＝kx+b． 知识点3．直线的两点式方程 直线的两点式方程：（x1≠x2，y1≠y2） #注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线． 特别地：①当x1＝x2时，直线l的方程为x＝x1；②当y1＝y2时，直线l的方程为y＝y1． 知识点4．直线的截距式方程 直线的截距式方程：由两点式：可推得直线的斜截距方程为：． #注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线． 知识点5.直线的一般式方程 1、定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。 2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3、系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 知识点6.直线的点法式方程 1.直线的法向量 (1)一般地,与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量 (2)以直线l的一般式方程ax+by+c=0(a、b不同时为零)的一次项系数为坐标的向量=(a,b)是l的一个法向量 2.直线的点法式方程：a(x-xo)+b(y-yo)=0 题型1：点斜式方程 【例1】（2022•浦东新区校级开学）过点（﹣1，﹣2）斜率为3的直线的点斜式方程是 　 ． 【例2】（2023春上海市·虹口·期中）设点，若直线l经过点H，且与直线垂直（O为坐标原点），则直线l的方程为 ． 【例3】直线经过点，且直线的一个方向向量为，若直线与轴交于点，则 . 题型2：两点式方程 【例4】过点和点的直线的两点式方程是 ． 【例5】下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 题型3：截距式、斜截式方程 【例6】（2023春·上海市控江中学高一下期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是____________. 【例7】经过点且在轴上的截距等于轴上截距的3倍的直线的方程为 . 【例8】已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数 . 【例9】（2022秋•闵行区校级月考）求过点p（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程　 ． 题型4：点法向式方程 【例10】已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为 . 【例11】过点且与经过两点的直线垂直的直线的点法向式方程为 ． 【例12】（2024·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）设是直线:的一个方向向量，是直线的一个法向量.设向量与向量的夹角为，则为（ ） A． B． C． D． 【例13】（2025·上海市建平中学高二期中）已知△的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在直线的点法向式方程； （2）如图，若四边形是平行四边形，求点的坐标. 题型5：直线的一般式方程与其他形式方程互化 【例14】直线在轴上的截距是 ． 【例15】已知直线在轴上的截距为，且它的倾斜角为，则 . 【例16】若过点的直线的倾斜角是直线倾斜角的两倍，则直线的方程为 ． 题型6：直线过定点问题 【例17】当取不同实数时，直线恒过一个定点，这个定点的坐标为 ． 【例18】动直线过定点，则的坐标为 . 【例19】直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 题型7：直线与坐标轴围成的面积问题 【例20】（2025·上海·格致中学高二期中）过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________. 【例21】方程所表示的直线而构成的图形的面积为 ． 【例22】已知的三个顶点分别为， （1）求AB的垂直平分线所在的直线方程； （2）过点A作直线，它把的面积分成1：3两部分，求直线的方程. 【例23】（2022春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考阶段练习）已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，是坐标原点. (1)当的面积最小时，求直线的一般式方程； (2)当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值． 【例24】（2024·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B． （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程； （3）当取最小值时，求直线的方程． 题型8：直线的综合解答题 【例25】（2025·上海师大附中高二期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 【例26】（2025·上海·华师大二附中高二阶段练习）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【例27】（2024·上海·高二专题练习）如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，. （1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率； （2）若，求的面积的最大值； （3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标. 一、填空题 1．经过点，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是 ． 2．直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的一般式方程为 . 3．设直线的方程为，若直线 在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 ． 4．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为 . 5．直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为 . 6．如图，射线，分别与轴正半轴成和角，过点作直线分别交，于，两点，当的中点恰好落在直线上时，则直线的方程是 ． 7．已知，直线上存在点，满足，则实数的取值范围是 ． 8．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 二、单选题 9．已知直线l过点，倾斜角，下列方程可以表示直线l的是（    ） A． B． C． D． 10．若表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件（    ） A． B． C．且 D．且 11．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A．B．C． D． 12．下列说法中不正确的是（    ）． A．平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程（A，B不同时为0）表示 B．当时，方程（A，B不同时为0）表示的直线过原点 C．当，，时，方程表示的直线与x轴平行 D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 13．过点，且横、纵截距的绝对值相等的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 14．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为（    ） A．1 B．－1 C．－2或1 D．－1或2 15．在平面直角坐标系xoy中，已知直线l上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为 A．－2 B．－ C． D．2 16．在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题： ①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条； ②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条； ③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条； ④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条． 其中，所有真命题的序号是． A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④ 三、解答题 17．分别求下列直线与两坐标轴围成的三角形的面积： (1)； (2)； (3)． 18．设A，B，C为实数，且A，B不同时为0．若直线l的方程为，根据下列条件，分别求出A，B，C应满足的条件： (1)直线l过原点； (2)直线l垂直于x轴； (3)直线l垂直于y轴； (4)直线l与两条坐标轴都相交． 19．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点为整点，有下列5个命题： ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k与b都是无理数，则直线不经过任何整点； ③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点； ④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线. 写出2个你认为正确命题的编号，并说明理由. 20．过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B. (1)若是等腰直角三角形，求直线l的方程； (2)对于①最小，②面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $