1.2.2直线的一般式方程（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

第1章 坐标平面上的直线 沪教版2020选择性必修第一册·高二 1.2.2直线的一般式方程 学习目标 教学重点：理解一般式方程、点法式方程概念，应用法向量的几何意义分析直线特征 教学难点：掌握点法式方程推导过程及几类直线方程的相互转化，并能解决复杂问题 理解直线的一般式方程、法向量及点法式方程的概念，明确法向量的几何意义； 掌握点法式方程推导过程，能熟练进行几类直线方程的相互转化； 理解法向量在刻画直线位置关系中作用，培养数学抽象、几何与代数转化的思维及符号语言表达能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：直线的一般式、法向量、点法式方程概念的抽象提炼； 逻辑推理：方程转化过程的逻辑推导与严谨性分析； 直观想象：结合法向量的几何意义理解直线的位置特征，建立代数方程与几何图形的直观联系； 数学运算：直线方程转化运算。 新知探究 点斜式 斜截式 两点式 已知条件 点和斜率 斜率与直线在轴上的截距 两点 (其中，) 图示 方程形式 适用条件 斜率存在的直线 斜率存在且不等于的直线 备注 斜截式是特殊的点斜式方程 特殊形式的直线方程 新知引入 特别的，当直线的倾斜角为或倾斜角为，即斜率为0或斜率不存在时： 新知引入 情境1：由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形. (1)斜率是,经过点； (2)在轴和轴上的截距分别是,; (3)经过两点，; (4)在轴上的截距是,倾斜角是. 【答案】 (1)；(2)=1； (3)； (4). 同一直线 都可以化简为 新知引入 由前面的讨论可以看到，不管哪种形式的直线方程都是关于、的二元一次方程，因此都可以化为如下二元一次方程的一般形式： （不同时为零） 新知探究 思考1：反过来，二元一次方程（不同时为零）是否都能表示一条直线呢？ 新知探究 我们把关于的二元一次方程 （不同时为零）叫做直线的一般式方程，简称一般式. 注：①直线的一般式适用于所有直线. ②解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式． ③ 典例精讲 例6：在平面直角坐标系中，根据所给直线方程，作出相应图形，并求出该直线的斜率和在轴上的截距： （1）：； （2）： 解：（1）因为：，所以该直线过点且平行于 轴。所以，的斜率为且在轴上的截距是； （2）在方程中，令，得；令， 得这就得到上两个不同的点、， 连接、两点的直线即为直线 因为方程可化为， 所以直线的斜率为在轴上的截距是 练习巩固 练习1：把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形. 解：把直线的一般式方程化为斜截式. 因此，直线的斜率，它在轴上的截距是. 在直线的方程中，令，得， 即直线在轴上的截距是. 由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，， 过，两点作直线，就得直线(如图). 练习巩固 变式1-1：已知直线过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点，斜率为的直线的 点斜式方程是， 化为一般式，得. 变式1-2：已知直线经过点，，求直线的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在轴、轴上的截距. 解：∵，所以点斜式方程为，斜截式方程为， 一般式方程为，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为. 典例精讲 例7：已知直线的方程为,求证：无论取何值时，直线都经过一个定点，并写出该定点的坐标。 解：由，变形得。 这是直线的点斜式方程，是的斜率，点是经过的顶点。 所以，无论取何值时，直线都经过一个定点，该定点坐标为 解：当时，直线的方程为，它只经过第二、三象限，不符题意， 所以。于是，直线的方程可化为 因为直线经过第一、第二与第四象限，所以其斜率小于0，且在轴上的截距大于0，则 ，解得或 所以，实数的取值范围是 典例精讲 例8：如图，直线经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限。求实数的取值范围。 练习巩固 练习2：无论m为何值,直线所过定点的坐标为 (　　) A.(-2,-1)　　　B.(2,-1) C.(-2,1)　　　　D.(2,1) 【答案】 变式2-1：如果,且,那么直线不通过 (　　) A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 【答案】 练习巩固 变式2-2：已知直线. (1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求的取值范围. （1）证明：将直线的方程整理为， ∴直线的斜率为，且过定点， 而点在第一象限内，故不论为何值，恒过第一象限. （2）解：直线的斜率为.如图，要使不经过第二象限，需斜率， ∴，即的取值范围为. 练习巩固 变式2-3：已知直线.若直线不经过第二象限，求的取值范围. 解：①当，即时，直线方程为，该直线不经过第二象限，满足要求. ②当，即时，直线化为截距式方程， 因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在轴的截距小于等于零，即解得所以. 由①②可得，的取值范围为. 典例精讲 例9：已知点与是直线（不同时为零）上任意两点，且向量。求证：向量与向量垂直。 证明：因为点与在直线上， 所以 且 。 两式相减，得 即 所以向量与向量垂直。 新知探究 一般地，与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量。 以直线的一般式方程 （、不同时为零）的一次项系数为坐标的向量是的一个法向量。 辨析1：判断：直线的法向量只有一个。 【答案】：× 是的一个法向量，那么也是的一个法向量 新知探究 思考2：已知是直线的一个法向量，那么直线能确定吗？ y x o 追问1：如何才能将直线确定下来呢？ 一个点和一个方向可以确定直线，法向量确定直线方向，多一个点，就能将直线确定下来。 追问2：已知是直线的一个法向量，点是直线上一点，你能求出直线的方程吗？ 新知探究 追问2：已知是直线的一个法向量，点是直线上一点，你能求出直线的方程吗？ 平面上一点在直线上的充要条件是 即， 因为 所以，平面上一点在直线上的充要条件是 新知探究 平面上过点，且一个法向量，的直线方程为 我们把这个方程叫做直线的点法式方程。 追问3：这个方程可以化为直线的一般式方程吗？它的使用有限制吗？ 即 只要令，直线的点法式方程就化归为一般式方程了。 直线的点法式方程是一个几何意义明确、没有任何附加限制条件的直线方程 新知探究 直线的点方向式方程： 一般地，把与直线平行的非零向量叫做直线的方向向量。 已知直线过点，一个方向向量为，则直线方程为 我们把这个方程叫做直线的点方向式方程 典例精讲 例10：已知的三个顶点的坐标分别是、与，求边上的高所在直线的方程。 解：因为，所以向量是所在直线的一个法向量； 又因为直线，经过点， 所以所在直线的点法式方程是 练习巩固 练习1：写出下列直线的一个法向量： （1）； （2） （3）； （4） 【答案】：（1）； （2）； （3）； （4）； 小技巧： 即 所以，的法向量为 典例精讲 例11：已知直线经过点，且是它的一个法向量。若与坐标轴围成的三角形的面积是2，求实数的值。 解：根据条件写出直线的点法式方程 化简，为 如果或，直线与轴或轴平行，这样的直线无法与坐标轴围成三角形 所以且 在上述方程中分别令与等于零，求得直线在轴与轴上的截距分别是与 所以，与坐标轴围成的三角形的面积为 解得或 练习巩固 练习2：已知直线的方程是，它的一个法向量是.求实数的值。 解：因为直线的方程是 即 所以，直线的一个法向量是 由直线的一个法向量是 所以，且，即 解得， 练习巩固 练习3：根据下列条件，求直线的方程： （1）在轴的截距为，且的一个法向量是； （2）经过点，且上的任何向量都与向量平行。 解：（1）因为在轴的截距为，所以直线过点 又的一个法向量是 所以直线的点法式方程为， （2）法一：设直线的法向量为，因为上任何向量都与向量平行 所以，令，得，所以是的一个法向量 又经过点，所以直线的点法式方程为， 法二：又直线过点，方向向量为，则直线的点方向式方程为 小结 点斜式 斜截式 两点式 一般式 直线方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为0) 已知条件 直线上一定点 ,斜率 斜率k, y轴截距b 直线上两点 (x1,y1),(x2,y2) 系数 适用条件 斜率存在 斜率存在 斜率存在且不为 任何位置 直线的方程 感谢聆听 数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼 $