专题1.1 直线的倾斜角与斜率 (3大知识点+6大题型+能力提升） 讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线的倾斜角与斜率核心知识点，先明确倾斜角定义（x轴正向与直线向上方向的角，范围[0,π)）及与倾斜程度的关系，再阐述斜率定义（倾斜角正切值，90°时不存在），梳理两者对应关系（倾斜角变化对应斜率正负及增减性），结合定义法、两点法、系数法求斜率，构建从几何直观到代数运算的学习支架。 资料亮点在于分层设计题型（含基础应用、综合辨析、压轴探究），如直线与线段相交求斜率范围的例题，通过图形分析培养几何直观（数学眼光），命题判断类题目提升逻辑推理（数学思维），表格对比与符号公式强化数学表达（数学语言）。课中助力教师分层授课，课后便于学生回顾练习，有效弥补知识盲点。

2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题1.1 直线的倾斜角与斜率 知识点一、直线的倾斜角 1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 2.取值范围：直线的倾斜角的取值范围是，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为. 补充：（1）倾斜角与直线倾斜程度的关系 倾斜角 直线 (2)对直线的倾斜角的理解 ①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度. 2 平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角. 知识点二、直线的斜率 1.定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即. 注意：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 2．求斜率k的几种方法 （1）（定义法）已知倾斜角，则 （2）（两点法）已知两点A（）B（），则 （3）（系数法）已知方程，则 知识点三、倾斜角与斜率的关系 直线情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 0° 的范围 0 不存在 的增减性 随增大而增大 随增大而增大 斜率和倾斜角的特点 2 斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的； ②直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率 ③直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同； 直线的斜率也反映直线相对于轴的正方向的倾斜程度．由的图像可知： 当时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大; 当时，斜率越大，倾斜角也越大． 题型1：直线的倾斜角 【例1】若是直线的一个方向向量，则的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据方向向量求出斜率，进而求出倾斜角即可. 【解析】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为，即倾斜角为． 故答案为： 【例2】直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得直线的斜率为，结合直线倾斜角的定义，即可求解. 【解析】由直线，可得直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 答案为：. 【例3】已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ． 【答案】 【分析】根据直线斜率的定义和两点求斜率公式建立方程，解之即可. 【解析】由题意知， 该直线的斜率为， 解得. 故答案为：. 【例4】（2025·上海·高三专题练习）直线的倾斜角是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算直线斜率为，得到倾斜角. 【详解】线，则，故倾斜角为. 故选：C. 【点睛】本题考查了求直线倾斜角，反三角函数，属于简单题. 【例5】直线l的倾斜角为，则直线l关于直线y=x对称的直线l'的倾斜角不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可分类讨论求出对称直线的倾斜角，然后判断． 【详解】当时，直线的倾斜角为，当时，直线的倾斜角为，当时，直线的倾斜角为，因此ABD均可能，只有C不可能．实际上当直线倾斜角为时，直线与直线关于和轴垂直的直线对称． 故选：C． 题型2：直线的斜率 【例6】直线的一个方向向量是_________，一个法向量是________，斜率是________，倾斜角是____________． 【答案】 【分析】根据直线的一般方程的性质得出直线的一个方向向量以及法向量，将直线方程化为斜截式方程，即可得出斜率和倾斜角. 【详解】直线方程 直线的一个方向向量是，一个法向量是 可化为，则斜率为 设倾斜角为，，则，解得 故答案为：；；； 【点睛】本题主要考查了求直线的方向向量，法向量，斜率，倾斜角，属于中档题. 【例7】（2025•徐汇区校级开学）若直线l的倾斜角为120°则l的斜率是__________． 【答案】﹣ 【分析】直接利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可． 【详解】解：直线l的倾斜角为120°则l的斜率是：tan120°＝．故答案为：﹣． 【例8】（2025春•杨浦区校级期中）设a∈R，若直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线l的斜率是 　　． 【答案】1 【分析】直接利用点的坐标求出直线的斜率． 【详解】解：直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线的斜率． 故答案为：1． 【例9】过两点，的直线的倾斜角为，则m= 【答案】-2 【分析】根据斜率公式以及斜率的定义即可解出． 【解析】． 故答案为：-2． 题型3：直线的斜率与倾斜角的变化关系 【例10】经过点、两点的直线的倾斜角为（       ） A．90º B．120º C．135º D．150º 【解析】 因直线过点、，则直线l的斜率， 直线l的倾斜角为满足，显然，则有，解得， 所以直线的倾斜角为. 故选：D 【例11】（2024上海·华师大二附中高二期中）下列命题中，正确的是（ ） A．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα C．直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角是α D．直线的倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增 【答案】D 【分析】直线的倾斜角与斜率的关系，即倾斜角存在斜率不一定存在，斜率存在倾斜角一定存在。 【详解】A.直线的倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故错误，B.当时斜率不存在。C.只有当时，直线的倾斜角才是α 故选：D 【点睛】本题主要考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题。 【例12】设直线，其中且.给出下列结论：①的斜率是；②的倾斜角是；③的方向向量与向量平行；④的法向量与向量平行.其中真命题有（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先根据直线方程确定直线斜率（可判断①）、方向向量以及法向量，再根据斜率与倾斜角关系、向量平行坐标表示依次判断②③④. 【详解】因为直线，其中， 所以的斜率是；所以①对； 的倾斜角满足，但不一定有，所以②错； 的方向向量为，因为，所以③错； 的法向量为，因为，所以④对； 故选：B. 【点睛】本题考查由直线方程确定直线斜率、方向向量以及法向量，考查斜率与倾斜角关系、考查向量平行坐标，考查基本分析判断能力，属基础题. 【例13】已知动直线的倾斜角的取值范围是，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据倾斜角与斜率的关系可得，即可求m的范围. 【解析】 由题设知：直线斜率范围为，即，可得. 故选：B. 【例14】设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，结合斜率和倾斜角的关系分析求解. 【解析】当时，方程为，倾斜角为 当时，直线的斜率， 因为，则， 所以； 综上所述：线的倾斜角的范围是. 故选：C． 题型4：斜率公式的应用 【例15】若过点和点的直线与方向向量为的直线平行，则实数的值是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】 求出坐标，由向量共线可得关于的方程，进而可求出的值. 【详解】 由题意得，与共线，所以， 解得．经检验知，符合题意， 故选:B． 【例16】（2023下·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 . 【答案】 【分析】由线段，，不能构成三角形知三点共线，由求得的值. 【解析】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线， 显然直线的斜率存在，故，即，解得， 故答案为：4 【例17】经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得且斜率，计算即可得解. 【解析】根据题意，即， 且斜率， 即， 解得或. 实数的范围是. 故答案为： 【例18】已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【解析】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【例19】若实数、满足，，则代数式的取值范围为 【答案】 【分析】作图，根据代数式的几何意义，结合图象即可得出答案. 【解析】 如图，，，， 则，. 因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率， 由图象可知，， 所以有. 故答案为：. 【例20】已知四边形的顶点，则四边形的形状为（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形 【答案】D 【分析】 求出四条边所在直线的斜率，可判断它们是矩形． 【详解】 因为，所以. 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形. 又因为，所以. 所以四边形为矩形. 【例21】一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【解析】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    题型5：直线与线段相交求斜率范围 【例22】已知两点，，过点的直线与线段AB有交点，则直线l的斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】画出图像，根据倾斜角变化得到斜率变化. 【解析】如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段AB有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷， 此时斜率，所以此时； 从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 此时斜率，所以此时， 故答案为：. 【例23】设点、，若直线过点且与线段不相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】计算，，再根据图像得到答案. 【解析】，， 直线过点且与线段不相交，故，即. 故答案为：. 题型6：综合压轴 【例24】（2015·上海·位育中学高二期中）已知、. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）已知实数，求直线的倾斜角的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）讨论，与三种情况，即可求得斜率与倾斜角. （2）由（1）分别求直线的斜率，再求得对应的倾斜角范围即可. 【详解】（1）当时，直线的斜率不存在，倾斜角为. 当时，； 若，则； 若，则. （2）当时，直线的倾斜角为； 当时，，. 综上可得直线的倾斜角的取值范围为． 【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角关系，注意斜率不存在时的特殊形式，属于基础题. 【例25】已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 【答案】(1)答案见解析． (2) 【分析】（1）由斜率为正或为负求解； （2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论． 【解析】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得， 直线的倾斜角为钝角时，，解得或， 所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或； （2）由已知，又直线的方向向量为， 所以，解得． 【例26】已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3 (2) 【分析】（1）由斜率公式直接求解； （2）由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【解析】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3． （2）当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是. 【例27】已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【解析】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 一、填空题 1.（2025·上海市宝山中学高二期中）已知直线：，则此直线的倾斜角为_________. 【答案】 【分析】先求得直线的斜率，然后求得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为. 故答案为： 2.（2020·上海·位育中学高二期中）若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为________. 【答案】 【分析】由方向向量，斜率与倾斜角的关系求解 【详解】由得，故倾斜角的大小为， 故答案为： 3.（2025·上海崇明·高二期末）直线的倾斜角的大小等于_____________． 【答案】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】解：设直线的倾斜角为 由题知，直线的斜率，所以故答案为： 4.（2025·上海·高二专题练习）直线经过点和，则直线的倾斜角为______ 【答案】 【分析】先利用直线的斜率公式求出斜率，再求其倾斜角. 【详解】由题意，得直线的斜率为，又 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 5.（2025·上海·高二专题练习）经过两点的直线的倾斜角为，则___________. 【答案】2 【分析】由两点间的斜率公式及直线斜率的定义即可求解. 【详解】解：因为过两点的直线的倾斜角为， 所以，解得， 故答案为：2. 6.（2023年春·上海南洋模范中学高二下期中）直线的倾斜角的取值范围是_______. 【答案】 【分析】根据直线斜率，可知，结合可求得结果. 【详解】由知：直线斜率， 设直线倾斜角为，则，又，. 故答案为：. 7.（2025春·上海市奉贤中学校考期中）已知，试用表示经过两点直线的倾斜角_____． 【答案】 【分析】由斜率公式求解得到答案，注意角度的范围 【详解】设直线的倾斜角为， ∵，则， ∴， 又∵，则， ∴. 故答案为：. 8.（2025秋·上海市七宝中学高二上期末）已知直线经过点，且它的倾斜角等于直线的倾斜角的倍，则直线的方程为 _________ ． 【答案】 【分析】求出直线的倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，即可得解. 【详解】解：直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为， 所以直线的方程为． 故答案为：x = -2 9.（2025秋·上海静安·高二校考期末）直线的倾斜角为______. 【答案】 【分析】首先根据已知条件得到直线的斜率，再求倾斜角即可. 【详解】直线的斜率，则倾斜角为. 故答案为： 10.（2024秋•徐汇区校级期末）直线的倾斜角是　 　． 【答案】60° 【分析】设此直线的倾斜角为θ，则tan θ＝，且 0≤θ＜π，从而得到 θ＝60°． 【详解】解：直线的斜率为，设此直线的倾斜角为θ，则tan θ＝，且 0≤θ＜π， ∴θ＝60°， 故答案为：60°． 11.（2024秋•青浦区校级月考）已知点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围 　　 ． 【答案】45°≤α≤135° 【分析】由题意画出图形，求出P与线段AB端点连线的倾斜角得答案． 【详解】如图，当直线l过B时设直线l的倾斜角为α（0≤α＜π）， 则tan α＝＝1，α＝45° 当直线l过A时设直线l的倾斜角为β（0≤β＜π）， 则tan β＝＝﹣1，β＝135°， ∴要使直线l与线段AB有公共点， 则直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°． 故答案为45°≤α≤135°． 12．（2025·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据已知条件及直线的斜率公式即可求解. 【详解】因为直线恒过,和， 所以，. 由题意可知，直线的斜率存在且的斜率，若直线与线段有交点，如图所示 由图象可知，或,即或， 所以的斜率的取值范围是为. 故答案为：. 二、单选题 13．（2025·上海市朱家角中学高一期末）已知直线与直线，若直线与直线的夹角为，则实数的值为（    ） A． B． C．或0 D．或 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】的斜率为，所以其倾斜角为，直线恒过点,若直线与直线的夹角为，则的倾斜角为或者，所以斜率为或， 故选：C 14.已知点A（2，4），B（3，6），则直线AB的斜率为（ ） A． B． C．2 D．-2 【答案】C 【分析】直角利用两点坐标求直线斜率的公式计算即可. 【详解】因为，所以.故选：C 15.（2023年春·上海格致中学高二下期中）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果． 【详解】依题意，是直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角为．故选：C． 16.（2024秋•浦东新区校级月考）已知下列命题： ①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα； ②直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角为α； ③直线的倾斜角为α，则sinα＞0． 上述命题中不正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的定义，判断即可． 【详解】对于①，直线的倾斜角为α，α＝90°，直线的斜率不存在，α≠90°时，直线的斜率为tan α，所以①错误； 对于②，直线的斜率为tan α时，α不一定是直线的倾斜角，如α＝﹣45°时，直线的斜率为﹣1，倾斜角为135°，所以②错误； 对于③，直线的倾斜角为α，α＝0时，sinα＝0，所以③错误． 综上知，错误的命题序号是①②③． 故选：D． 三、解答题 17. 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）由题意画出图形，求出与线段端点连线的倾斜角得答案；（2）由斜率是倾斜角的正切值即可得到的斜率的取值范围. 【详解】如图，由题意可知，直线的斜率，直线的斜率， (1)要使与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是，或. (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，又直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，故的取值范围是. 18．已知直线. （1）若直线过点，试写出直线的一个方向向量； （2）若实数，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】（1）直线的一个方向向量为；（2）. 【分析】（1）将A代入直线l方程求a，写出直线方程即可得l的方向向量； （2）由直线方程得斜率，讨论a并利用基本不等式求k的范围，进而可得倾斜角的范围. 【详解】（1）把代入直线的方程，得，解得，此时直线的方程为， 故直线的一个方向向量为； （2）因为，所以直线的斜率， ∴当时，当且仅当时等号成立； 当时，当且仅当时等号成立； 综上有，可得倾斜角. 19．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1). (1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？ (2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？ (3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？ 【答案】(1) m>－2. (2) m<－2. (3) 不可能为直角. 【分析】(1)由倾斜角为锐角，则斜率大于0，根据斜率公式，得到不等式，即可求解； (2)由倾斜角为钝角，则斜率小于0，根据斜率公式，得到不等式，即可求解； (3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，即可作出判定． 【详解】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0， 即k＝＝>0， 解得m>－2. (2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0， 即k＝＝<0， 解得m<－2. (3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角. 20．已知过原点O的一条直线与函数的图像交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数的图像交于C，D两点． （1）证明：点O，C，D在同一条直线上； （2）当直线平行于x轴时，求点A的坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）设出、的坐标，解出、的坐标，求出、的斜率相等则三点共线． （2）平行轴，、纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合（1）即可求出的坐标． 【详解】（1）设点、的横坐标分别为、由题设知，，．则点、纵坐标分别为、． 因为、在过点的直线上，所以， 点、坐标分别为，，，． 由于， 的斜率， 的斜率． 由此可知，， 即、、在同一条直线上． （2）由于平行于轴知 ， 即得， ． 代入得． 由于知， ． 考虑解得． 于是点的坐标为，． 21.已知直线：的倾斜角为角. （1）求； （2）求，的值. 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）首先求出直线的斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值计算可得； （2）利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式计算可得； 【详解】（1）因为直线的斜率为，且直线的倾斜角为角， 所以 （2）由（1）知， 解得或， 因为，所以 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题1.1 直线的倾斜角与斜率 知识点一、直线的倾斜角 1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 2.取值范围：直线的倾斜角的取值范围是，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为. 补充：（1）倾斜角与直线倾斜程度的关系 倾斜角 直线 (2)对直线的倾斜角的理解 ①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度. 2 平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角. 知识点二、直线的斜率 1.定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即. 注意：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 2．求斜率k的几种方法 （1）（定义法）已知倾斜角，则 （2）（两点法）已知两点A（）B（），则 （3）（系数法）已知方程，则 知识点三、倾斜角与斜率的关系 直线情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 0° 的范围 0 不存在 的增减性 随增大而增大 随增大而增大 斜率和倾斜角的特点 2 斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的； ②直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率 ③直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同； 直线的斜率也反映直线相对于轴的正方向的倾斜程度．由的图像可知： 当时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大; 当时，斜率越大，倾斜角也越大． 题型1：直线的倾斜角 【例1】若是直线的一个方向向量，则的倾斜角为 ． 【例2】直线的倾斜角为 . 【例3】已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ． 【例4】（2025·上海·高三专题练习）直线的倾斜角是（ ）． A． B． C． D． 【例5】直线l的倾斜角为，则直线l关于直线y=x对称的直线l'的倾斜角不可能为（　　） A． B． C． D． 题型2：直线的斜率 【例6】直线的一个方向向量是_________，一个法向量是________，斜率是________，倾斜角是____________． 【例7】（2025•徐汇区校级开学）若直线l的倾斜角为120°则l的斜率是__________． 【例8】（2025春•杨浦区校级期中）设a∈R，若直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线l的斜率是 　　． 【例9】过两点，的直线的倾斜角为，则m= 题型3：直线的斜率与倾斜角的变化关系 【例10】经过点、两点的直线的倾斜角为（       ） A．90º B．120º C．135º D．150º 【例11】（2024上海·华师大二附中高二期中）下列命题中，正确的是（ ） A．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα C．直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角是α D．直线的倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增 【例12】设直线，其中且.给出下列结论：①的斜率是；②的倾斜角是；③的方向向量与向量平行；④的法向量与向量平行.其中真命题有（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例13】已知动直线的倾斜角的取值范围是，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例14】设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 题型4：斜率公式的应用 【例15】若过点和点的直线与方向向量为的直线平行，则实数的值是 ） A． B． C．2 D． 【例16】（2023下·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 . 【例17】经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 【例18】已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【例19】若实数、满足，，则代数式的取值范围为 【例20】已知四边形的顶点，则四边形的形状为（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形 【例21】一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    题型5：直线与线段相交求斜率范围 【例22】已知两点，，过点的直线与线段AB有交点，则直线l的斜率的取值范围为 . 【例23】设点、，若直线过点且与线段不相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 【例24】已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 题型6：综合压轴 【例25】（2015·上海·位育中学高二期中）已知、. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）已知实数，求直线的倾斜角的取值范围． 【例26】已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 【例27】已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 一、填空题 1.（2025·上海市宝山中学高二期中）已知直线：，则此直线的倾斜角为_________. 2.（2024·上海·位育中学高二期中）若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为________. 3.（2025·上海崇明·高二期末）直线的倾斜角的大小等于_____________． 4.（2025·上海·高二专题练习）直线经过点和，则直线的倾斜角为______ 5.（2025·上海·高二专题练习）经过两点的直线的倾斜角为，则___________. 6.（2023年春·上海南洋模范中学高二下期中）直线的倾斜角的取值范围是_______. 7.（2025春·上海市奉贤中学校考期中）已知，试用表示经过两点直线的倾斜角_____． 8.（2025秋·上海市七宝中学高二上期末）已知直线经过点，且它的倾斜角等于直线的倾斜角的倍，则直线的方程为 _________ ． 9.（2025秋·上海静安·高二校考期末）直线的倾斜角为______. 10.（2024秋•徐汇区校级期末）直线的倾斜角是　 　． 11.（2024秋•青浦区校级月考）已知点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围 　　 ． 12．（2025·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是_____． 二、单选题 13．（2025·上海市朱家角中学高一期末）已知直线与直线，若直线与直线的夹角为，则实数的值为（    ） A． B． C．或0 D．或 14.已知点A（2，4），B（3，6），则直线AB的斜率为（ ） A． B． C．2 D．-2 15.（2023年春·上海格致中学高二下期中）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 16.（2024秋•浦东新区校级月考）已知下列命题： ①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα； ②直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角为α； ③直线的倾斜角为α，则sinα＞0． 上述命题中不正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 三、解答题 17. 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 18．已知直线. （1）若直线过点，试写出直线的一个方向向量； （2）若实数，求直线的倾斜角的取值范围. 19．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1). (1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？ (2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？ (3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？ 20．已知过原点O的一条直线与函数的图像交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数的图像交于C，D两点． （1）证明：点O，C，D在同一条直线上； （2）当直线平行于x轴时，求点A的坐标． 21.已知直线：的倾斜角为角. （1）求； （2）求，的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $