专题1.1 直线的斜率与方程（高效培优讲义）数学沪教版2020选择性必修第一册

专题1.1 直线的斜率与方程 教学目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系. 教学重难点 1.重点 （1）斜率公式； （2）直线方程的不同形式； 2.难点 （1）含参数的直线相关性质判断； 知识点01 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②倾斜角的范围为[0°，180°). (2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【即学即练】 1．已知，两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率公式，可得斜率k的表达式，根据二次函数的性质，分析计算，即可得答案. 【详解】直线l的斜率. 因为 ， 所以，即直线l的斜率的取值范围是. 故选：C 2．过点，的直线的倾斜角为，则实数t的值为 ． 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角的概念与计算式，结合三角函数的诱导公式与反三角函数化简列方程求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 解得. 故答案为：. 3．直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 【答案】 【分析】利用倾斜角和斜率的关系、斜率公式计算即可得解. 【详解】解：由题意，直线的斜率为， ∵为直线上的点， ∴由斜率公式得， 解得：. 故答案为：. 4．已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】设直线的倾斜角为，求得，得到直线的倾斜角，进而得到直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以， 又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半， 所以直线的倾斜角，所以直线的斜率为. 故答案为：. 知识点02 直线方程的四种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2) 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 【即学即练】 1．已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 2．经过点，斜率为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直线点斜式方程求解即得. 【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即. 故选：A. 3．过点且斜率为的直线，其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程的点斜式直接判断. 【详解】因为过点且斜率为的直线， 其点斜式方程为：. 故选：A 4．直线过点，. (1)求直线的一般方程. (2)求直线的斜率，以及在x轴和y轴上的截距. 【答案】(1)； (2)斜率，在x轴和y轴上的截距分别为. 【分析】（1）根据给定条件。利用直线的两点式方程求出方程，再化成一般式即可. （2）利用（1）的结论，求出直线的斜率及横纵截距. 【详解】（1）直线过点，，则直线的方程为，即， 所以直线的一般方程为. （2）由（1）知，直线，当时，；当时，， 所以直线的斜率，在x轴和y轴上的截距分别为. 知识点03 线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 【即学即练】 1．在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求边上的中点坐标，再求边上的中线的斜率与方程. 【详解】∵， ∴边上的中点坐标为， ∴边上中线所在的直线的斜率为， ∴边上中线所在的直线方程为，即 故选：A 2．在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用中点坐标公式运算求解. 【详解】因为，，所以中点的坐标为，即． 故选：A． 3．已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为 .（结果用一般式表示） 【答案】 【分析】设，应用线段，的中点分别在，轴上求参，再根据中点坐标公式得出点，最后点斜式得出直线方程即可. 【详解】设，则，得，， 而线段的中点坐标为， 故边上的中线的斜率， 故中线所在的直线的方程为，即. 故答案为：. 4．已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据中点坐标以及中点坐标公式即可根据点斜式方程求解. 【详解】的中点坐标为, 则,故边上的中线所在直线方程为， 即， 故答案为： 题型01 已知两点求直线倾斜角或斜率 【典例1】已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率. 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 【变式1】经过点、的直线的斜率为 . 【答案】 【分析】利用斜率公式可求得直线的斜率. 【详解】经过点、的直线的斜率为. 故答案为：. 【变式2】经过两点和的直线的倾斜角是 . 【答案】 【分析】利用斜率公式求得直线的斜率，可得，可求直线的倾斜角. 【详解】因为直线过和， 所以直线的斜率， 记直线的倾斜角为，所以， 又，则可得． 故答案为：. 【变式3】过点和点的直线的倾斜角为，则的值是 . 【答案】 【分析】根据倾斜角可求斜率，根据斜率公式构建方程后可求参数的值. 【详解】解：，， ，则， 解得． 故答案为：． 【变式4】已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 【答案】(1)； (2)且. 【分析】（1）根据斜率的两点式及斜率与倾斜角的关系列方程求参数值； （2）应用斜率两点式求斜率，注意参数取值. 【详解】（1）由题设，可得，即； （2）由题设，当时，直线不存在斜率， 所以，则. 题型02 斜率与倾斜角变化的关系 【典例1】已知直线l的斜率，则该直线的倾斜角α的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围求倾斜角的范围. 【详解】由，得， 又，所以. 故答案为： 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0). 【变式1】如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为 ．    【答案】 【分析】由图可得直线、、倾斜角大小关系，据此可得斜率关系． 【详解】设直线、、的倾斜角分别为、、，由图可得，则，也即． 故答案为：． 【变式2】已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据斜率的定义以及正切函数的单调性可得结论. 【详解】因为在上为增函数,所以, 因为在上为增函数,所以, 又时,直线的斜率不存在, 所以直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是 . 【答案】 【分析】根据余弦函数性质求出斜率范围，然后利用正切函数性质求解可得. 【详解】记直线的倾斜角为，则， 因为，所以，则， 所以. 故答案为： 【变式4】已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意，作出图象，利用正切函数的单调性，结合图象即得. 【详解】 如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间， 即需使斜率满足, 因，，故. 故答案为：. 题型03 三点共线问题 【典例1】若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】由的斜率和的斜率相等，求出实数m的值． 【详解】因为三点、、在同一直线上， ∴的斜率和的斜率相等， 即 ， ∴. 故答案为：． 【变式1】已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 . 【答案】 【分析】由线段，，不能构成三角形知三点共线，由求得的值. 【详解】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线， 显然直线的斜率存在，故，即，解得， 故答案为：4 【变式2】若三点、、共线，则实数n的值为 ． 【答案】0 【分析】根据、、共线，由斜率相等求解. 【详解】解：因为三点、、共线， 所以， 解得， 故答案为：0 【变式3】已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 【答案】或 【分析】依题意可得，利用两点的斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】因为三个不同的点、、在同一条直线上， 所以，即，解得或，经检验符合题意. 题型04 根据直线与线段相交关系求斜率范围 【典例1】设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图象，结合斜率公式求得正确答案. 【详解】如图，直线的斜率， 直线的斜率， 所以当直线与线段相交时， 的斜率的取值范围是. 故选：D 【变式1】已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题设，，如下图示，所以． 故选：D 【变式2】已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出直线过线段端点时的斜率，数形结合即可得出直线斜率范围. 【详解】如图， ，, 因为直线l与线段AB相交， 所以， 故答案为： 【变式3】已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式求出，再结合图形求出直线l的斜率的取值范围. 【详解】根据题中条件画出图形，如图所示，    因为，，，设直线l的斜率为， 则， 直线l与以为端点的线段相交，结合图形， 则直线l的斜率的取值范围为. 故答案为：. 题型05 直线图像辨析 【典例1】直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率的正负值与定点即可判断结果． 【详解】因为，所以A C错； 当时，，故B对； 故选：B 【变式1】已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 【变式2】下列图象，能作为直线的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率的正负值与定点即可判断结果． 【详解】因为直线，可知直线的是上升的，且过定点， 结合选项可知：ACD错，故B正确； 故选：B 【变式3】圆中所示为直线及．下列何者正确？（　　） I． II． III． A．只有I B．只有II C．只有I及III D．只有II及III 【答案】C 【分析】利用斜率关系可判断I；利用横截距可判断II，作差法比较数的大小可判断III. 【详解】由图可知两直线的倾斜角均为钝角，且直线的倾斜角小于直线的倾斜角， 所以，所以，故I正确； 由，令，可得，又，所以，故II错误； 由，令，可得，又，所以， 所以，故III正确. 故选：C. 【变式4】如图所示，直线与 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜截式方程的系数的几何意义，逐一判断各选项即得. 【详解】对于A，由的图象，可知，，即，， 而由的图象，可知，，产生矛盾，故A错误； 对于B，由的图象，可知，，即，， 而由的图象，可知，，产生矛盾，故B错误； 对于C，由的图象，可知，，即，， 此时由的图象，可知，，两者一致，故C正确； 对于D，由的图象，可知，，即，， 而由的图象，可知，，产生矛盾，故B错误. 故选：C. 题型06 直线不同形式方程的互化 【典例1】一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用光的反射性质求出点关于轴的对称点，再利用，的坐标求出反射光线的斜率，即可求解. 【详解】因为点关于轴的对称点为， 故，在反射光线所在的直线上， 所以，则直线方程为，即． 故选：C． 【变式1】直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程的一般式转化为斜截式，即可求解. 【详解】由，得到，所以直线的斜率为， 故选：C. 【变式2】已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线倾斜角计算直线的斜率，点斜式求直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率. 又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，化成一般式为. 故选：D. 【变式3】直线的倾斜角为，且，则该直线不通过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据直线方程求直线的斜率和纵截距，即可判断选项. 【详解】直线的斜率， 又，所以直线的纵截距为， 所以该直线不通过第三象限. 故选：C 【变式4】已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】讨论截距是否为0，设直线方程，结合点在直线上求参数，即可得. 【详解】当直线经过原点时，满足题意，设直线的方程为，代入得， 此时直线的方程； 当直线的截距都不为0时，设直线的方程为， 则有，解得，，此时直线的方程为. 综上，所求直线的方程为或. 故选：D. 题型07 直线过定点问题 【典例1】直线（是任意实数）恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线系过定点求解. 【详解】当时，， 所以直线（是任意实数）恒过定点， 故选：B 【变式1】直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后联立方程组可得解. 【详解】直线，即， 令，解得， 即直线过定点. 故选：C 【变式2】直线恒过定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由直线方程得到，进而可求解. 【详解】直线， 即， 联立可得，∴， 即直线恒过定点. 故答案为： 【变式3】已知点和，直线与线段AB有公共点，则实数a的取值范围 . 【答案】 【分析】首先确定直线所过的定点，再求出临界情况的斜率，应用数形结合确定参数范围. 【详解】由过定点，则，，如下图， 由图，要使直线与线段AB有公共点，则. 故答案为： 【变式4】若直线恒过点，则点的坐标为 【答案】 【分析】根据直线恒过定点可得，解之即可求解. 【详解】由题意知，直线方程为， 即， 则，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为： 题型08 直线与坐标轴围成的面积问题 【典例1】已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【详解】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 【变式1】若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】先利用点斜式求出直线方程，求得在坐标轴上的截距即可求解面积. 【详解】因为斜率为的直线l经过点，所以直线l方程为， 令，得，令，得， 所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为. 故选：B 【变式2】若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为 . 【答案】// 【分析】利用截距式方程，求直线在两坐标轴上的截距，再求三角形的面积. 【详解】由条件可知，直线不过原点， 设直线，则，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为： 【变式3】直线与直线（m为正整数）的交点A在第四象限，求： (1)点A的坐标； (2)这两条直线与x轴围成的三角形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程组求出交点坐标，再利用第四象限点的特征求出后可得点A的坐标； （2）分别求出两直线与x轴的交点，再由三角形的面积公式可得. 【详解】（1）解方程组得 ∴． ∵交点在第四象限，∴，且，解得． ∵m是正整数，∴，∴． （2）由（1）得两直线的解析式为，， 直线与x轴的交点为，直线与x轴的交点为， ∴这两条直线与x轴围成的三角形面积为． 【变式4】平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可知直线过点，由此可得斜率，再由点斜式得解； （2）设直线在轴上的截距为，由此建立关于的方程，解出即可得直线的斜截式方程. 【详解】（1）依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； （2）设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． 1．设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析直线与线段相交的条件，解得a的取值范围. 【详解】当时，直线为轴，显然与线段相交；    又， 当时，只需或，所以或. 综上，所以实数的取值范围是. 故选：C. 2．已知直线l经过点，，则正确的是（ ） A．直线l的方程为 B．直线l的倾斜角为 C．直线l的方向向量为 D．直线l的法向量为 【答案】B 【分析】先根据已知两点求出直线斜率，再利用斜率结合各选项中条件逐一判定选项． 【详解】 直线l经过点，， 直线l的斜率为 选项A：直线l的方程为，一般式为，故A错误； 选项B：直线的倾角，，倾斜角为，故B正确； 选项C、D：，方向向量为，法向量为，其中， 与不平行，不是直线的方向向量，故C错误； 与的数量积为，故不是直线的法向量，故D错误． 故选：B． 3．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】①当时，此时，倾斜角为， ②当时，则， 而，所以， 则， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C 4．若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 故选：D 5．已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象分析过点与线段有公共点的情况，求出过线段端点的斜率，从而得出斜率的取值范围． 【详解】如下图所示，    若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故C正确． 故选：C． 6．已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为函数的图象在直线下方的部分有3个整点，然后数形结合可解. 【详解】得，所以满足的整数解恰有3个，等价于函数的图象在直线下方的部分有3个整点. 如图，当直线的斜率m满足时满足题意，其中 所以，，所以. 故选：A 7．过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 【答案】B 【分析】先根据斜率的定义及过两点的斜率的计算公式列出等式，求出，将值代入两点的坐标验证，即可得解. 【详解】因为过两点的直线倾斜角为45°，所以直线的斜率. 又因为， 所以， 整理可得，即，解得或. 当时，，，此时两点重合，不符合题意，舍去； 当时，，，此时两点不重合，符合题意. 综上，所以的取值为. 故选：B 8．如果，且，那么直线不通过（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】D 【分析】通过确定斜率和截距的正负，即可判断. 【详解】因为，且，所以A、B同号， 直线方程化成斜截式得：; 即直线斜率小于0，截距小于0，直线过二三四象限. 故选：D 9．直线，当变动时，则直线恒过定点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理直线方程可得：，列出方程即可求解. 【详解】整理直线方程可得：，令，解得：，所以当变动时，则直线恒过定点坐标为， 故选：B 10．已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 11．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分为截距为和截距不为进行求解. 【详解】当截距为，则直线的方程为， 当截距不为，设，由直线过点， 故，解得， 即. 因此直线的方程为或. 故选：C 12．过点且截距互为相反数的直线方程为 . 【答案】或. 【分析】利用分截距为0和截距不为0，结合待定系数法来求直线方程. 【详解】当直线过原点时满足题意，此时直线方程为，即， 当直线不过原点时，可设截距式方程为：， 由经过点可得：， 由截距互为相反数可得， 所以，直线方程为：， 故答案为：或. 13．已知，，则同时经过三个点，，的直线方程为 . 【答案】或 【分析】由题意可知点，均在直线上，又在直线上，可求得，进而求出，得出所求直线的方程. 【详解】根据，成立， 可知点，均在直线上， 且有两个不等实根，则， 又在直线上，则，得， 所以，均满足， 当，时，所求直线方程为，即； 当，时，所求直线方程为，即， 故答案为：或. 14．已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为 .（结果用一般式表示） 【答案】 【分析】设，应用线段，的中点分别在，轴上求参，再根据中点坐标公式得出点，最后点斜式得出直线方程即可. 【详解】设，则，得，， 而线段的中点坐标为， 故边上的中线的斜率， 故中线所在的直线的方程为，即. 故答案为：. 15．直线恒过定点 ，若该直线不经过第四象限，则实数的取值范围为 . 【答案】 ； . 【分析】对于直线恒过定点问题，可通过对直线方程进行变形，令含参数的项的系数为零，从而求出定点坐标；对于直线不经过第四象限的条件，需要将直线方程化为斜截式，根据斜率和截距的正负来确定参数的取值范围. 【详解】根据题意，直线即， 令，解得，所以直线过定点. 由可知，当时，，不符合题意. 当时，方程化为：，由直线不过第四象限知，， 解得，故实数的取值范围是. 故答案为：； 16．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 17．已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）讨论直线经过坐标原点和不过坐标原点的情况，根据截距相等可构造方程求得结果； （2）讨论直线斜率为和斜率不为的情况，根据直线不过第二象限可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）若直线经过坐标原点，则，解得：； 若直线不经过坐标原点，即时， 则直线在两坐标轴的截距分别为和，且，解得：； 综上所述：或. （2）当直线斜率为时，，即时，直线方程为，不经过第二象限，符合题意； 当直线斜率不为时，若直线不经过第二象限，则，解得：； 综上所述：的取值范围为. 18．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若直线l过点C，且对直线l上异于点C的任意一点P都满足和的面积相等，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据斜率公式以及垂直关系，结合点斜式即可求解方程， （2）根据面积相等，可得直线与平行或过的中点，即可求解直线方程. 【详解】（1）设边上的高为， ∵直线与垂直，又直线的斜率， ∴的斜率. 又∵直线过点， ∴的方程为，整理成一般方程为. （2）∵对直线上异于点的任意一点都满足，则，两点到直线的距离相等， ∴直线与平行或过的中点. ①当直线与平行时，的斜率与的斜率相等且过点， 则直线的方程为，整理成一般方程为； ②当直线过的中点时，直线的斜率且过点， 则直线的方程为，整理成一般方程为. 综上，直线的方程为或. 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 直线的斜率与方程 教学目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系. 教学重难点 1.重点 （1）斜率公式； （2）直线方程的不同形式； 2.难点 （1）含参数的直线相关性质判断； 知识点01 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②倾斜角的范围为[0°，180°). (2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【即学即练】 1．已知，两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．过点，的直线的倾斜角为，则实数t的值为 ． 3．直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 4．已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ． 知识点02 直线方程的四种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2) 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 【即学即练】 1．已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 2．经过点，斜率为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．过点且斜率为的直线，其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 4．直线过点，. (1)求直线的一般方程. (2)求直线的斜率，以及在x轴和y轴上的截距. 知识点03 线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 【即学即练】 1．在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为 .（结果用一般式表示） 4．已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为 ． 题型01 已知两点求直线倾斜角或斜率 【典例1】已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【变式1】经过点、的直线的斜率为 . 【变式2】经过两点和的直线的倾斜角是 . 【变式3】过点和点的直线的倾斜角为，则的值是 . 【变式4】已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 题型02 斜率与倾斜角变化的关系 【典例1】已知直线l的斜率，则该直线的倾斜角α的取值范围为 ． 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0). 【变式1】如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为 ．    【变式2】已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为 . 【变式3】已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是 . 【变式4】已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 题型03 三点共线问题 【典例1】若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 【变式1】已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 . 【变式2】若三点、、共线，则实数n的值为 ． 【变式3】已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 题型04 根据直线与线段相交关系求斜率范围 【典例1】设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是 ． 【变式3】已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 题型05 直线图像辨析 【典例1】直线可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列图象，能作为直线的图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】圆中所示为直线及．下列何者正确？（　　） I． II． III． A．只有I B．只有II C．只有I及III D．只有II及III 【变式4】如图所示，直线与 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 题型06 直线不同形式方程的互化 【典例1】一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】直线的倾斜角为，且，则该直线不通过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4】已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 题型07 直线过定点问题 【典例1】直线（是任意实数）恒过定点（   ） A． B． C． D． 【变式1】直线过定点（    ） A． B． C． D． 【变式2】直线恒过定点的坐标为 ． 【变式3】已知点和，直线与线段AB有公共点，则实数a的取值范围 . 【变式4】若直线恒过点，则点的坐标为 题型08 直线与坐标轴围成的面积问题 【典例1】已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式2】若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为 . 【变式3】直线与直线（m为正整数）的交点A在第四象限，求： (1)点A的坐标； (2)这两条直线与x轴围成的三角形面积． 【变式4】平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 1．设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线l经过点，，则正确的是（ ） A．直线l的方程为 B．直线l的倾斜角为 C．直线l的方向向量为 D．直线l的法向量为 3．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 4．若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 7．过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 8．如果，且，那么直线不通过（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 9．直线，当变动时，则直线恒过定点坐标为（  ） A． B． C． D． 10．已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 11．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D． 12．过点且截距互为相反数的直线方程为 . 13．已知，，则同时经过三个点，，的直线方程为 . 14．已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为 .（结果用一般式表示） 15．直线恒过定点 ，若该直线不经过第四象限，则实数的取值范围为 . 16．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 17．已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 18．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若直线l过点C，且对直线l上异于点C的任意一点P都满足和的面积相等，求直线l的方程. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $