精品解析：湖南省长沙市一中广雅中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

长沙市一中广雅中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】由可得，解得，即， 因，故. 故选：D． 2. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，即可结合判别式求解. 【详解】当时，不等式为，此时解集不为空集，不符合题意， 当时，若解集为空集，则，解得， 当时，此时不等式的解集一定不为空集，故不符合题意， 综上可得, 故选：C 3. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故选：C 4. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值是 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC，利用常数代换技巧求最值判断D. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故A错误； 结合A，， 当时，等号成立，故B错误； 结合A，， 所以，当时，等号成立，故C错误； ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确． 故选：D． 5. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用赋值法计算求解. 【详解】因为，令，则. 故选：B. 6. 已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用单调性定义确定函数单调性，再利用单调性、偶函数性质比较大小. 【详解】由对任意的，都有不等式，得函数在上单调递增， 由是R上的偶函数，得在上单调递减，而， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 7. 已知，若对于正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出的单调性和奇偶性，然后将条件转化为关于的等量关系，利用“的代换”求解出的最小值，则的最大值可知. 【详解】因为，且的定义域为关于原点对称， 所以为上的奇函数， 又因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 又因为，所以的最大值为， 故选：D. 8. 若，且，则（ ） A. -2 B. -1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法，判断函数的周期，对称性，再利用周期性和对称性求值. 【详解】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 B. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 C. 若不等式的解集为，则不等式的解集为 D. “”为假命题的充要条件为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断A，分类讨论求出k的范围判断B，根据数轴穿根法及不等式的解集求出及解不等式判断C，由命题的否定转化为不等式恒成立，看作关于的不等式恒成立即可判断D. 【详解】对A，若是的必要不充分条件，是的充要条件， 则，但是不能推出， 所以，但是不能推出，所以是的充分不必要条件，故A正确； 对B，当时，原不等式为，恒成立满足题意， 当时，由题意需满足，解得， 综上，实数的取值范围是，故B错误； 对C，由不等式的解集为， 结合数轴穿根法知，，且， 所以不等式可化为，解得，故C正确； 对D，由题意知为真命题， 则在时恒成立， 令，只需， 则，解得，故D正确. 故选：ACD 10. 已知，（ ） A. 若的定义域为R，则 B. 若时，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立即可求解A，根据二次函数的单调性求解值域，即可求解B，根据二次函数的性质即可求解CD. 【详解】对于A，的定义域为R，则恒成立， 所以，则，故A正确； 对于B，因为函数的对称轴为， 所以当时，单调递减，当时单调递增， 所以，解得， 又因为且，所以，解得（负根舍去）， 所以，故B不正确； 对于C，由于，且的对称轴为， 故，则，所以，而在单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，又函数图像开口向上，对称轴为． 所以，即，故D正确； 故选：ACD． 11. 已知函数若，且，则（ ） A. 的最小值 B. 的最大值为1 C. ，使 D. 存在唯一，使 【答案】AC 【解析】 【分析】令，易得，对于A，换元后构造成二次函数求其在中的最小值即可判断；对于B，换元构造新函数，判断其在中的最大值即可判断；对于C，举例即可判断；对于D，分类讨论，根据其根是否符合题意进行判断. 【详解】在上的值域为，在上的值域为， 令，易得，且，， 对于A，， 令，， 所以是开口向上，对称轴为的二次函数， 所以在上的最小值为，故A正确； 对于B，， 令，， 则其为开口向下，对称轴为即的二次函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为，故B错误； 对于C，取，则，，因此，使得，故C正确； 对于D，当时，， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以存在两解，故D错误； 故选：AC． 三、填空题 12. 已知，它的非空真子集的个数为______. 【答案】30 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，进而求出其非空真子集的个数. 【详解】依题意，，所以集合的非空真子集的个数为. 故答案为：30 13. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】当时结合题意可得，再分、、三种情况，结合一元二次不等式求解. 【详解】由题意知，当时，有，即，得， 当时，不等式即， 显然当时，不等式恒成立； 当，时，恒成立， 则不等式可化为即， 欲使恒成立，则，即； 当时，不等式即， 由，得，得或，不符合题意； 综上可得或. 故答案为：或. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】不等式变形为，即，根据偶函数特征结合单调性求解即可 【详解】， 不等式可变形为，即， 函数是定义在上的偶函数，， 所以为偶函数，若函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 故答案为：． 四、解答题 15. 已知函数.设的定义域为集合，的值域为集合，集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出的定义域与值域，把集合具体化，然后利用集合的运算法则可得答案； （2）由，得，解一元二次不等式可得到，利用集合的基本关系可得答案. 【小问1详解】 由，得，即. 由， 因为，所以，即. 所以. 【小问2详解】 ，得. 因为，所以， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知关于的一元二次不等式的解集 （1）求实数，的值； （2）集合，且是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集确定方程的根，再利用韦达定理或直接展开对比系数来求解实数，的值； （2）先求出和集合，再根据充分条件得到集合间的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【小问1详解】 关于的一元二次不等式的解集， 所以和是方程的两个根，且 所以，所以， 【小问2详解】 由，根据对数函数的单调性可知，即， 故， 又集合， 是的充分条件，所以， 所以，所以 故实数的取值范围为 17. 已知函数，，. （1）若为偶函数，求实数的值； （2）对任意的，都存在使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性即可求得参数的值； （2）根据题意得到，先利用绝对值不等式得到，再构造，通过一系列的分类讨论与整合，结合二次函数的性质求得，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 因为为偶函数， 所以，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以，解得， 当时，得，由于不恒为，故不满足题意； 当时，得； 经检验，当时，， 所以，易知的定义域为，关于原点对称， 又易得，所以为偶函数， 综上：. 【小问2详解】 因为对任意的，都存在使得， 所以， 因为，所以，则， 令，则，， 当时，， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则； 当时，， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则； 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以当时，，则， 当时，，则， 综上：当时，；当时，， 所以当时，有，解得或，故； 当时，有，解得或，故； 所以或，即. 【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 18. 已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为6，求的值. 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案； （2）利用二次函数的单调性可得答案； （3）根据对称轴与定义域的关系分类讨论，结合二次函数的单调性可得答案. 【小问1详解】 由条件，在上恒成立， 当，不符合； 当时，显然也不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是. 【小问2详解】 由条件，在上单调递减， 当，符合； 当时，显然不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是 【小问3详解】 由，即. 由条件在上的最大值为6， 当，即时，， 即，解得，符合； 当，即时，， 即，解得，符合. 所以符合条件的的取值为或. 19. 研究发现：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.请根据以上结论解决下列问题： （1）求函数的值域； （2）已知函数. ①写出的单调减区间，并用定义法证明； ②若，满足，证明：. 【答案】（1） （2） ①的单调减区间为. 证明如下：设， ，（*） 因为，所以， 因为， 所以. 又，所以，即， 所以的单调减区间为. ②因为，由知，. 又，所以， 所以，所以. 【解析】 【分析】（1）利用题目中给的结论得到函数的单调性，再结合函数的奇偶性可得答案； （2）①利用题目中给的结论得到函数的单调性，并用函数单调性定义证明；②由得，再化简即得答案. 【小问1详解】 由，知，所以， 所以当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又， 所以是奇函数， 所以当时，. 所以的值域为. 【小问2详解】 ①略 ②略 20. 若函数满足:，则称函数为阶对称函数，已知是2阶对称函数. （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若，讨论关于的方程的解的个数. 【答案】（1） （2） （3） :当时，原方程的解的个数为0； 当或时，原方程的解的个数为2； 当时，原方程的解的个数为3； 当时，原方程的解的个数为4. 【解析】 【分析】（1）由阶对称函数的定义，通过整理函数解析式后建立等式，求得的值； （2）将的值代入函数解析式并整理，用换元将函数解析式简化为双勾函数，借助基本不等式求得双勾函数定义域，再由双勾函数的单调性求出函数值域； （3）将方程因式分解，由（2）中函数的值域求方程的根，讨论的不同取值，找到对应方程的解的个数. 【小问1详解】 因为是2阶对称函数，所以当时，有， 又时，， 故， 所以 ， 又，则恒成立， 即恒成立，则，故实数的值为 2. 【小问2详解】 由（1）知，即，定义域， 故， 令，则或，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，又， 时，时，， 故在或时的值域为， 即函数的值域是 . 【小问3详解】 由已知，所以或， 因为，故，由（2）知的值域是， 故无解，下面讨论方程的解的个数： ① 当时，，由（2）知，的值域是， 故无解，所以当时，原方程的解的个数为0； ② 当时，，即有唯一解，又， 即，方程的解是， 故有2个解，所以当,时,原方程的解的个数为2 ; ③当时，， 解得有两根，且解得，又 ， 即，此方程有2解， ，此方程有2解，故有4个解, 所以当时,原方程有4个解； ④当时，，即有两解， 且，又 ， ，此方程有唯一解， ，此方程有2个解,故有3个解, 所以当时，原方程有3个解； ⑤ 当时， ， 解得有两根，且， 又 ，该方程无解，方程有 2 解， 故有2个解, 所以当时，原方程有2个解； 综上所述:当时，原方程的解的个数为0； 当或时，原方程的解的个数为2； 当时，原方程的解的个数为3； 当时，原方程的解的个数为4. 【点睛】方法点睛，讨论方程的解的个数，可以转化为求函数的零点个数，也可以转化为两个函数交点个数.本题就是将方程解的个数转化为函数与直线和的交点个数，这个时候就需要根据函数的值域来进行讨论即可得出结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市一中广雅中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值是 5. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 6. 已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若对于正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 若，且，则（ ） A. -2 B. -1 C. D. 0 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 B. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 C. 若不等式的解集为，则不等式的解集为 D. “”为假命题的充要条件为 10. 已知，（ ） A. 若的定义域为R，则 B. 若时，，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数若，且，则（ ） A. 的最小值 B. 的最大值为1 C. ，使 D. 存在唯一，使 三、填空题 12. 已知，它的非空真子集的个数为______. 13. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为_____． 四、解答题 15. 已知函数.设的定义域为集合，的值域为集合，集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知关于的一元二次不等式的解集 （1）求实数，的值； （2）集合，且是的充分条件，求实数的取值范围． 17. 已知函数，，. （1）若为偶函数，求实数的值； （2）对任意的，都存在使得，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为6，求的值. 19. 研究发现：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.请根据以上结论解决下列问题： （1）求函数的值域； （2）已知函数. ①写出的单调减区间，并用定义法证明； ②若，满足，证明：. 20. 若函数满足:，则称函数为阶对称函数，已知是2阶对称函数. （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若，讨论关于的方程的解的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $