精品解析：江苏省南通市如皋市2025-2026学年高二上学期11月期中教学质量调研数学试题

2025－2026学年度高二年级第一学期期中教学质量调研 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线中p的几何意义可求解． 【详解】由抛物线知，， 所以抛物线的焦点到准线的距离是， 故选：B． 2. 已知直线，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，从而可求解. 【详解】由题意知，即得，解得，故A正确. 故选：A. 3. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】讨论截距是否为0，设直线方程，结合点在直线上求参数，即可得. 【详解】因为直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等， 当直线经过原点时，满足题意，设直线的方程为， 代入得，此时直线的方程； 当直线的截距都不为0时，设直线的方程为， 则有，解得，此时直线的方程为； 综上所述：所求直线的方程为或. 故选：D. 4. 设数列是公比为的等比数列，．若数列的连续四项构成集合，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知将四个数按照绝对值从小到大排列就可得到数列的各项，从而可求出公比 【详解】因为数列是公比为q的等比数列，，且数列的连续四项构成集合， 则数列的连续四项为递增数列，为3，9，27，81， 可知数列的连续四项为，所以公比. 故选：B. 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何关系建立方程式，分别解出、的值，即可求解的值. 【详解】因为，所以由，可知. 不妨设，则，故. 又由双曲线定义，得， 所以. 故选:C. 6. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 24 B. 30 C. 60 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质及前项和求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 7. 若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线和半圆的位置关系进行求解即可. 【详解】， 问题方程有两个不相等的实根，可以转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，如图所示： 半圆的圆心为，半径为， 点到直线的距离为，或舍去， 函数的图象与直线有两个不同的交点， 只需. 故选：D 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限相交于点．若直线的斜率为，的面积为4，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断是直角三角形，利用斜率的几何意义，找到与的数量关系，再结合的面积为，列方程，求出与长度，再由椭圆的定义得，，，最终求出椭圆的方程. 【详解】因为以为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，所以，即是直角三角形，已知直线的斜率为，即， 在中，设，则， 由勾股定理可得 因为的面积为，根据三角形面积公式，即 解得，，所以 ，所以，，； 根据椭圆的定义：，所以； 又因为，所以； 根据得：； 所以椭圆的方程为. 故选：. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 9. 已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周长为12 C. 面积的最大值为4 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由曲线的轨迹为椭圆，得到，求得，可判定A正确；根据椭圆的定义，求得的周长，可判定B正确；根据，结合椭圆的性质，可判定C错误；设点的坐标为，求得，结合椭圆的性质，可判定D正确. 【详解】对于A,由圆锥曲线的离心率为，则曲线的轨迹为椭圆， 可得，则， 则可得，解得，，所以A正确； 对于B，由A得椭圆的方程为，可得， 又由椭圆的定义，可得的周长为，所以B正确； 对于 C，由面积为，因为， 所以当点为短轴的端点时，面积取得最大值， 可得面积的最大值为，所以C错误； 对于D，设点的坐标为，其中，则，所以， 因为，可得， 则， 因为，可得，即取值范围为，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（ ） A. B. C. D. 数列是等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据之间的关系，结合等比数列的定义、等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可. 【详解】对于A：由， 由，因为是等比数列，所以有，因此本选项正确； 对于B：由上可知：，所以本选项不正确； 对于C：，所以本选项正确； 对于D：因为常数 ， 所以数列不是等差数列，因此本选项不正确， 故选：AC 11. 已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 的最大值为6 C. 的取值范围是 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由点到点的距离将其表示为关于的方程，再化简便可得到点的轨迹方程判断A；转化为动点到定点距离的平方加1，当到圆上的距离最大时有最大值判B； 为两个定圆上两点间的距离，最大值为圆心距加两个圆的半径，最小值为圆心距减去两个圆的半径；当时，四边形为正方形，判断存在点. 【详解】因为，所以 化简得到，点的轨迹方程为，选项A正确； ，几何意义为点到定点距离的平方加1， 因为点在圆上，圆心为 ，半径 ， 到圆心距离为 ，则到圆上的最大距离为 所以最大值为，选项B错误； 圆，圆心为 ,半径 ； 两圆心距为 ; 则的最小距离为； 的最大距离为； 所以范围是，选项C正确； 当时，四边形为正方形，故时，因为点到的最小距离为，则存在点，，选项D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法进行求解即可. 【详解】设圆的方程为，圆心坐标为， 因为圆的圆心在直线上， 所以， 因为圆与轴的交点分别为，， 所以， 所以有， 所以圆的方程为. 故答案为： 13. 等比数列的前项和为，若，则的公比______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】当时，显然成立， 当时， ，（舍去）， 故答案为：或 14. 从椭圆上一点引出以短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为，，直线与轴、轴分别相交于点，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据题意得到切线的方程，进而分析得直线的方程，从而求得点的坐标，再结合椭圆方程即可得解. 【详解】由椭圆方程可知：，圆的方程为， 设， 在切线上任取一点，则，， 因为，可得， 即，且，可得， 所以切线的方程为， 同理可得：切线的方程为， 因为点在切线上，则，， 所以直线的方程为， 则，可得， 因为点在椭圆上，可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹方程为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率之积是，列出方程并求解即可； （2）联立直线和椭圆，然后由韦达定理可得，进而根据弦长公式进行求解即可. 【小问1详解】 设点，则直线的斜率为，直线的斜率为， 根据题意有：，化简得， 由于时斜率不存在，故曲线的方程为. 【小问2详解】 设，， 联立，消去并整理得， ， 所以， ， 直线斜率为1，弦长公式为， 因此 16. 已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， （1）求和的通项公式； （2）设求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可； （2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，得，故， 又，消去可得，则（舍）或． 则，故． 【小问2详解】 因为，所以， 则. 17. 过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． （1）求直线的方程； （2）设为圆上一点，求的最小值． 【答案】（1）或 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据弦长公式可求得圆心到直线的距离为，讨论直线的斜率是否存在即可列出等式求解； （2）根据抛物线的定义进行转化，利用几何意义即可求解最小值. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 已知弦长，根据弦长公式（为圆心到直线的距离），得： ， ①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线方程为，即 圆心到直线的距离为：，解得， 所以直线方程为，化简得， 综上，直线的方程为或 【小问2详解】 因为为圆上的动点，所以的最小值为， 故， 抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线定义，，因此：， 问题转化为求的最小值，即点到准线的距离与到点的距离之和的最小值， 过作准线的垂线，方程为，与抛物线交于， 此时最小值为到准线的距离：， 因此，的最小值为. 18. 已知数列的前项和为，，设． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可. （2）根据（1）的结论，结合错位相减法进行求解即可； （3）运用裂项相消法进行运算证明即可. 【小问1详解】 由， ，得， 因为， 所以数列是等比数列； 【小问2详解】 由， 由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 因为， 所以， ， ，得， ； 【小问3详解】 ， . 19. 已知双曲线：的实轴长为2，离心率为2，，分别为左，右顶点，，分别为左，右焦点． （1）求双曲线的方程； （2）若过的直线与双曲线右支交于，两点，直线与直线交于点． ①证明：点在定直线上； ②若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ②或. 【解析】 【分析】（1）由双曲线的实轴长为，所以，再通过离心率以及即可求解. （2）①设直线的方程为，，，直线与双曲线方程联立，通过韦达定理得到，的关系，求出直线与直线的方程，两式联立求解交点，再根据代入求解即可. ②由，得到，再由三点共线，可得到向量共线，即可得到线段比，代入求解即可. 【小问1详解】 因为双曲线实轴长为，所以，即，又因为离心率为，所以，所以，因为，所以，所以双曲线：. 【小问2详解】 ①因为为双曲线右焦点，所以，，， 设过直线的方程为，，， 所以，联立可得， 由韦达定理可得， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 设，所以， 将，，所以， 整理可得 因为， ，所以， 所以 ，解得， 所以点在定直线上. ②设，因为在直线，，如图所示 ，因为，，三点共线，所以，即， ，，所以，同理，即，，，所以， 所以，因为，所以， 所以 ， ，， 因为，所以， ， 所以， 解得，即，所以直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度高二年级第一学期期中教学质量调研 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 2. 已知直线，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为（ ） A. B. C. D. 或 4. 设数列是公比为的等比数列，．若数列的连续四项构成集合，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 24 B. 30 C. 60 D. 120 7. 若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限相交于点．若直线的斜率为，的面积为4，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 9. 已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周长为12 C. 面积的最大值为4 D. 的取值范围是 10. 已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（ ） A. B. C. D. 数列是等差数列 11. 已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 的最大值为6 C. 的取值范围是 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 13. 等比数列的前项和为，若，则的公比______． 14. 从椭圆上一点引出以短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为，，直线与轴、轴分别相交于点，，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹方程为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，求线段的长． 16. 已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， （1）求和的通项公式； （2）设求数列的前n项和. 17. 过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． （1）求直线的方程； （2）设为圆上一点，求的最小值． 18. 已知数列的前项和为，，设． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，求证：． 19. 已知双曲线：的实轴长为2，离心率为2，，分别为左，右顶点，，分别为左，右焦点． （1）求双曲线的方程； （2）若过的直线与双曲线右支交于，两点，直线与直线交于点． ①证明：点在定直线上； ②若，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $