江西省临川第二中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题

**基本信息** 试卷覆盖复数、向量、三角函数、解三角形等高一核心知识，通过基础题（如复数象限判断）、情境题（弹簧振动模型）、新定义题（伴随函数）的梯度设计，考查数学眼光观察现实世界、数学思维逻辑推理及数学语言表达模型的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数象限、向量投影、三角函数对称中心|基础巩固，聚焦概念理解| |多选题|3/18|向量性质判断、三角函数定义应用|辨析能力，考查知识准确性| |填空题|2/10|解三角形余弦定理、向量模计算|简洁应用，强化公式掌握| |解答题|5/82|向量夹角、三角函数性质与解三角形、弹簧振动模型（三角函数应用）、函数奇偶性与恒成立、伴随函数新定义（向量与函数结合）|综合创新，结合实际情境（弹簧振动）与跨知识整合（向量与函数），体现能力提升与创新应用|

临川二中2025-2026学年度高一下学期第二次月考 数学试题 命题人： 审题人： 考试时间：100分钟 分值：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知，向量在方向上的投影数量是（   ） A．12 B．4 C． D．2 3．函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 5．将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，则实数的最小值（     ） A． B． C． D． 6．设非零向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（    ） A．8 B．13 C．16 D．32 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．两个非零向量，若，则与共线且反向 11．已知角的始边为轴的非负半轴，终边过点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 12．已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 三、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共计10分. 13．在中，角的对边分别是，已知，则__________． 14．已知向量，的夹角为，，，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知，． (1)求与夹角的余弦值； (2)若与的夹角为钝角，求实数的范围． 16．已知 ，. (1)求的最小正周期和单调减区间； (2)已知锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，，，求AB的长. 17．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：cm）的相关数据如下： (1)现有以下几个函数模型：，，.哪个模型可以更好地刻画与之间的对应关系？求出该拟合模型的函数解析式. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 10 0 0 10 0 0 10 (2)根据（1）中的模型，解决下列问题. ①每秒钟小球能往复振动多少次（即频率是多少）？ ②在前5秒内，小球相对于平衡位置的高度不低于的时间有多少秒？ 18．已知函数． (1)当时，函数在一个周期内的图象，如图A为图象的最高点，为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形，求曲线的对称中心； (2)当时，若为偶函数，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，设，若对任意的，都有，求实数的取值范围． 19．定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)已知，，为函数的伴随向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 临川二中2025-2026学年度高一下学期第二次月考 数学参考答案 单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A D D C B 多选题 9 10 11 答案 ABC AC ABD 1．A 【分析】对化简即可. 【详解】，复平面内对应的点坐标为，因此位于第一象限. 2．【答案】B 【分析】根据向量投影的定义即可求解. 【详解】由题意得：. 3．C 【详解】令，得， 故函数图象的对称中心是. 4.A 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 5．D 【分析】利用图象变换和诱导公式求出m的最小值. 【详解】，而. 函数的图象向左平移个单位长度， 可得， 因为平移后所得函数图象与函数的图象重合， 所以，，解得，， 因为，所以当时，取得最小值. 6．D 【分析】由向量垂直的坐标表示结合二倍角公式即可求解； 【详解】因为， 所以， 所以，因为非零向量， 所以，所以， 所以， 故选：D 7．C 【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即，且， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 8．B 【分析】由余弦定理化简可得，再根据向量数量积运算律与数量积几何意义计算求解. 【详解】由余弦定理可得， 因为，代入化简可得，所以， 因为， 所以为边的中点，， 取的中点为， 因为是的外接圆圆心， 所以， 由数量积的几何意义可知， 同理， 所以. 9．ABC 【详解】对于A：与共线，与共线，而与不一定共线，所以等式不成立，A错误. 对于B：由，得，则，不一定有，B错误. 对于C：当时，不一定平行，C错误 对于D：由向量三角不等式取等号条件可知，D正确. 10．AC 【详解】根据三角函数定义得，，故A正确； 由二倍角公式得，故B错误； 由，故C正确； 因为角的终边过点，所以， 解得， 当时，，此时，， 由两角和的正弦公式得，故D错误. 11．ABD 【分析】通过条件推导函数的性质，逐个分析选项即可. 【详解】由关于对称，得， 已知，将第二个式子换元，代入化简得， 因为，则，将用替换，可得， 将用替换，得， 即，故周期为. 又因为，则，即是偶函数. 由和，得， 且，故是偶函数. 选项A，，，由， 得，A正确； 选项B，对任意，，故，B正确； 选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误； 选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确. 12．/0.875 【详解】由余弦定理得. 13． 【分析】利用垂直关系的向量表示求出，根据向量数量积的定义求得，结合数量积的运算律求解即可. 【详解】由，得，即，所以. 又，所以，即. 所以. 14.【详解】令，即， 即，所以， 因为函数和的图象在区间上有三个交点， 所以方程在区间上有三个不同的解， 因为，所以， 所以，所以， 由，得， 所以， 所以， 则函数和的图象相邻两个交点的水平距离为， 构成正三角形的高为， 由正三角形的性质可得高与水平距离之比为， 即，所以， 所以， 则 ， 由和差化积公式可得 ， 所以. 15．(1)； (2)． 16．(1)， (2)8 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用余弦函数的性质求解. （2）由（1）结合已知求出，再利用余弦定理及基本不等式求出最大值，利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）依题意，， 由，得， 所以函数的最小正周期，单调递增区间为. （2）由（1）得，即， 在锐角中，，，则，解得， 由余弦定理得，c=8. 17．(1)更好， (2)①0.5次；②秒 【分析】（1）结合小球运动形式及初始位置可得函数可以更好地刻画与之间的对应关系，再利用所给数据表格计算即可得函数解析式； （2）①计算出周期后，利用周期与频率关系计算即可得； ②令，利用余弦函数性质求解即可. 【详解】（1）小球做上下振动，是周期性运动，故应选择正弦型函数， 由表可知，小球初始位置不在平衡位置， 故函数可以更好地刻画与之间的对应关系， 根据数据可得， 不妨令，则，， 所以， 则，，所以； （2）①小球振动的频率，即每秒钟小球能往复振动0.5次. ②令，即，则， 解得， 因为，所以，，， ，，，， 所以在前5秒内，小球相对于平衡位置的高度不低于的时间有秒. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象等腰直角三角形可求周期，从而求得，再根据整体法可求对称中心； （2）根据偶函数求得初相位，再根据三角变换公式及正弦函数性质求得的值域后根据恒成立的关于的不等式组，从而可求其范围； （3）根据（2）中的结果可得在上恒成立，利用换元法及参变分离可求的取值范围. 【详解】（1）设函数的最小正周期为．由为等腰直角三角形知，，所以，解得，所以． 令，解得， 故曲线的对称中心为． （2）因为为偶函数，所以， 因为，所以，则． ， 若，则，则． 因为不等式在上恒成立， 所以，解得，故实数的取值范围为． （3）由题意，得． 因为，所以，则． 因为对任意的，都有， 所以， 则对任意的，都有，即． 令，则对任意的恒成立． 若，则恒成立，． 若，则． 因为在上单调递减，所以，则，解得． 若，则．因为在上单调递减， 所以，则，即． 综上，实数的取值范围是． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）先将函数化简为的形式，从而得到伴随向量的坐标，再根据向量模长的计算公式即可求出； （2）根据题意求出的解析式，并据此设，又由列出关于x的方程，最后借助三角函数值域及一元二次不等式解出该方程即可． （3）先根据伴随函数的定义求出函数的表达式，再化简方程，原方程可等价为，令，分类讨论并画出的图象，然后将问题转化为两个函数有交点问题，最后根据函数图象的交点情况即可求出实数的取值范围． 【详解】（1） ， 所以，． （2）由伴随向量的定义可知， 又， 所以可得，解得，因此， 所以， 即，设点， 又，由， 得， 展开并化简可得（*），令，且， 方程变为，即， 解得，又，所以，此时且， 所以，对应，即． （3）函数为向量的伴随函数，所以， 又关于的方程为， 所以可得， 即， 记， 化简得，作出函数的图像， 方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 等价于图象与直线有四个交点，故， 即． 答案第6页，共10页 答案第7页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $