课时作业19 简单的三角恒等变换（Word练习）-【艺术生百日冲刺】2026高考数学艺术生基础生文化课成功方案

课时作业(十九) 1．(2025·济南模拟)已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos 等于(　　) A．　　　　　　　B．－ C． D．－ 解析：选B　∵cos α＝，α∈(π，2π)， ∴∈， ∴cos ＝－ ＝－ ＝－ . 2．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是(　　) A． B．1＋ C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°) 解析：选C　原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18° tan 27°＝1＋tan 18° tan 27°＋tan 45° (1－tan 18°tan 27°)＝2. 3．(2025·乌鲁木齐期末)已知函数f(x)＝sin2x＋2sincos －cos2x，x∈R，则f(x)在区间(0，π)上的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　f(x)＝sin2x＋2sin(π－x)·cos (－x)－cos2x＝sin2x＋2sinx cos x－cos2x＝sin2x－cos 2x＝2sin ， 当2x－＝kπ，k∈Z时，x＝＋，k∈Z， 所以当k＝0时，x＝，当k＝1时，x＝， 所以f(x)在区间(0，π)上有2个零点． 4．已知α，β都是锐角，若sin α＝，sin β＝，则α＋β＝(　　) A． B． C．和 D．－和－ 解析：选A　由α，β都为锐角，所以cos α＝＝，cosβ＝＝.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，所以α＋β＝. 5．(2025·江西六校联考)已知α∈(π，π)，tan (α＋π)＝，则cos (α＋)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A　由α∈(π，π)，tan (α＋π)＝，即tan α＝，得sin α＝－，cos α＝－， ∴cos (α＋)＝(cos α－sin α)＝(－＋)＝.故选A. 6．(2025·衡水测试)若＝－，则cos α＋sin α的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选C　∵＝ ＝－(sin α＋cos α)＝－， ∴cos α＋sin α＝.故选C. 7．(多选)给出下列四个关系式，其中不正确的是(　　) A．sin αsin β＝[cos (α＋β)－cos (α－β)] B．sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)] C．cos αcos β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)] D．cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)] 解析：选AC　由sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，两式相加可得sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]，故B正确；两式相减可得cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]，故D正确；由cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，两式相减可得sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]，两式相加可得，cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]，故A、C错．故选AC. 8．的值为(　　) A．1 B． C． D．2 解析：选C　 ＝ ＝ ＝＝.故选C. 9．已知第四象限角α、β满足cos α＝，cos (α＋β)＝－，则cos β的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A　由α、β是第四象限角，可得cos β＞0，sin α＜0，α＋β的终边在x轴下方， 所以sin α＝－＝－，sin(α＋β)＝－＝－， 所以cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝×＋×＝.故选A. 10．若f＝sin －cos ，则f(1)＋f(2)＋f＋…＋f的值为(　　 ) A．2 B． C．1 D．0 解析：选B　f＝sin －cos ＝2sin ＝2sin x， 所以最小正周期为＝6， 且f＋f＋f＋f＋f＋f＝2sin ＋2sin ＋2sin π＋2sin ＋2sin ＋2sin 2π＝＋＋0－－＋0＝0， 所以f＋f＋f＋…＋f ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋[f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＋f(9)＋f(10)]＋…＋[f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＋f(2024)＋f(2025)＋f(2026)] ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝＋＋0－＝.故选：B. 11．已知α为锐角，且满足2cos2α－sin2α＋2－＝0，则tan α＝______． 解析：因为2cos2α－sin 2α＋2－ ＝2·－sin 2α＋2－ ＝cos 2α－sin 2α＋2 ＝2cos ＋2， 所以2cos ＋2＝0， 即cos ＝－1， 因为α∈，所以2α＋∈， 故2α＋＝π，解得α＝， 则tan α＝tan ＝. 答案： 12．(2025·湖南株洲模拟)已知函数f(x)＝cos x·cos . (1)求f的值； (2)求使f(x)<成立的x的取值集合． 解：(1)f＝cos ·cos ＝－cos ·cos ＝－＝－. (2)f(x)＝cos x·cos ＝cos x· ＝cos2x＋sinx cos x ＝(1＋cos 2x)＋sin 2x ＝cos ＋. f(x)<等价于cos ＋<， 即cos <0. 于是2kπ＋<2x－<2kπ＋，k∈Z. 解得kπ＋<x<kπ＋，k∈Z. 故使f(x)<成立的x的取值集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $