课时作业15 导数的应用（Word练习）-【艺术生百日冲刺】2026高考数学艺术生基础生文化课成功方案

课时作业(十五) 1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2)　　　 　B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞) 解析：选D　因为f(x)＝(x－3)ex，则f′(x)＝ex(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞). 2．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D． 解析：选D　f′(x)＝3x2－6b，当f′(x)＝0时，x＝±，∴0＜＜1，解得0＜b＜. 3．(2025·商洛三模)若函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x无极值，则a的取值范围为(　　) A．[－3，6] B．(－3，6) C．(－∞，－3]∪[6，＋∞) D．(－∞，－3)∪(6，＋∞) 解析：选A　因为f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)无极值，所以(2a)2－4×3×(a＋6)≤0，解得－3≤a≤6，所以a的取值范围为[－3，6].故选：A. 4．函数f(x)＝2x3－6x＋m有三个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－4，4) B．[－4，4] C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 解析：选A　由题意，函数f(x)＝2x3－6x＋m， 可得f′(x)＝6x2－6＝6(x－1)(x＋1)， 当x＜－1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 所以函数f(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值， 要使得函数f(x)有三个零点， 则满足 解得－4＜m＜4， 即实数m的取值范围是(－4，4).故选A. 5．(2025·兰州期中)若函数f＝2ax－ln x在上不单调，则实数a的取值范围为(　　 ) A． B．∪ C． D．∪ 解析：选C　由f＝2ax－ln x， 得f′＝2a－＝. 因为f在上不单调，所以f在上有极值点． 当a＝0时，f′＝－<0在上恒成立，所以f在上单调递减，不满足题意； 当a≠0时，令f′＝0，得x＝， 所以有1<<3，解得<a<. 综上所述，实数a的取值范围为. 6．(2025·贵州毕节三诊)已知函数f＝2sin (ω>0)，是f的一个极值点，则ω的最小值为(　　 ) A． B．1 C．2 D． 解析：选A　由是f的一个极值点，结合正弦函数图象的性质可知，x＝是f的一条对称轴， 即ω＋＝kπ＋，k∈Z，求得ω＝3k＋， ∵ω>0， ∴当k＝0时，ω的最小值为. 7．(多选)已知函数y＝f(x)的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间 B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间 C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值 D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值 解析：选ABD　由图知，当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0，y＝f(x)单调递减；当x>5或－1<x<3时，f′(x)>0，y＝f(x)单调递增，所以y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞).函数f(x)在x＝－1，5处取得极小值，在x＝3处取得极大值．故选ABD. 8．(2025·石家庄调研)已知函数y＝x在x＝1处极大值，则a的值为(　　 ) A．1 B．3 C．1或3 D．0或1或3 解析：选B　∵函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x， ∴f′(x)＝3x2－4ax＋a2， 由题意知f′＝3－4a＋a2＝0，∴a＝3，或a＝1， 又函数f(x)＝x(x－a)2在x＝1处有极大值， 故导数值在x＝1处左侧为正数，右侧为负数． 当a＝3时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，满足导数值在x＝1处左侧为正数，右侧为负数． 当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，导数值在x＝1处左侧为负数，右侧为正数，不符合题意，故a＝3. 9．(2025·河北保定一模)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 解析：选B　设g(x)＝f(x)－2x－4，由已知g′(x)＝f′(x)－2＞0， 则g(x)在(－∞，＋∞)上递增，又g(－1)＝f(－1)－2＝0， 由g(x)＝f(x)－2x－4＞0，知x＞－1. 10．设点P是曲线y＝－ln x上的任意一点，则P到直线y＝－x的最小距离是________． 解析：由题意可设P，又y′＝－，则－＝－1，解得x0＝1，即切点为(1，1)，所以点(1，1)到直线y＝－x的距离d＝. 答案： 11．(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，则f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1， 可得f(1)＝e－2，f′(1)＝e－1， 即切点坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1， 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0. (2)因为f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－a， 若a≤0，则f′(x)≥0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意； 若a>0，令f′(x)>0，解得x>ln a；令f′(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(－∞，ln a)内单调递减，在(ln a，＋∞)内单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)＝a－a ln a－a3，无极大值， 由题意可得：f(ln a)＝a－a ln a－a3<0，即a2＋ln a－1>0， 构建g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，则g′(a)＝2a＋>0， 可知g(a)在(0，＋∞)内单调递增，且g(1)＝0， 不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1， 所以a的取值范围为(1，＋∞). 12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值． (1)求a，b，c的值； (2)求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值． 解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c， 得f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.① 当x＝时，y＝f(x)有极值， 则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝－4. 由于切点的横坐标为x＝1， ∴f(1)＝4， ∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5. ∴a＝2，b＝－4，c＝5. (2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， ∴f′(x)＝3x2＋4x－4， 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝. 当x变化时，y′、y的取值及变化如下表： x －3 (－3，－2) －2 1 y′ ＋ 0 － 0 ＋ y 8 单调递增↗ 13 单调递减↘ 单调递增↗ 4 ∴y＝f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $