课时作业5 基本不等式（Word练习）-【艺术生百日冲刺】2026高考数学艺术生基础生文化课成功方案

课时作业(五) 1．若x>，则f(x)＝4x＋取得最小值时x的值为(　　) A．　　　　　　　　B． C． D． 解析：选D　f (x)＝4x＋＝4x－5＋＋5.因为x>，所以4x－5>0，所以4x－5＋≥2.故f(x)≥2＋5＝7，等号成立的条件是x＝. 2．(2025·海口模拟)若正实数x，y满足x＋3y＝1，则＋的最小值为(　　) A．12 B．25 C．27 D．36 解析：选C　因为x＋3y＝1，所以＋＝＝15＋＋. 因为x，y>0，所以＋≥2＝12，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立， 所以＋的最小值为27.故选：C. 3．(2025·江西联考)的最小值为(　　 ) A．9 B．7＋4 C．8 D．7＋4 解析：选D　＝7＋＋12x2≥7＋2＝7＋4， 当且仅当＝12x2，即x4＝时，等号成立， 故的最小值为7＋4. 4．(2025·济宁月考)已知a>0，b>0，且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为(　　) A．16 B．9 C．5 D．4 解析：选A　∵，，成等差数列， ∴＋＝1， ∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝且＋＝1，即a＝4，b＝时等号成立．故选A. 5．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　) A． B． C．8 D．24 解析：选C　因为a∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3， 所以＋＝(2x＋3y) ＝× ≥＝8，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为8. 6．(2025·河南联考)已知正实数a，b满足2a＋b－9ab＝0，则a＋2b的最小值为(　　) A．3 B．1 C．9 D． 解析：选B　因为2a＋b－9ab＝0，变形得＋＝9. 所以a＋2b＝＝≥＝1，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．故选：B. 7．若M(x，y)在直线上x＋2y＋1＝0移动，则2x＋4y的最小值是(　　) A． B． C．2 D．4 解析：选B　因为x＋2y＝－1，所以2x＋4y≥2＝2＝2＝. 8．(多选)(2025·武汉模拟)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A．0＜≤ B．＋≥1 C．log2a＋log2b＜2 D．≤ 解析：选BD　因为a＞0，b＞0，ab≤≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则ab≤＝4或≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则≥，a2＋b2≥8，≤， 当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则log2a＋log2b＝log2ab≤log222≤2， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故AC错误，D正确． 对于B选项，＋＝＝≥4×＝1， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B正确． 9．(多选)(2025·重庆统考)已知x，y都为正数，且x＋2y＝4，则下列说法正确的是(　　) A．2xy的最大值为4 B．x2＋4y2的最小值为12 C．＋的最小值为 D．＋的最大值为2 解析：选ACD　由题意知正数x，y满足x＋2y＝4. 对于A，2xy＝x·2y≤＝4，当且仅当x＝2y＝2时取等号，A正确； 对于B，x2＋4y2＝≥(x＋2y)2＝8，当且仅当x＝2y＝2时取等号，B错误； 对于C，＋＝(x＋2y)＝≥，当且仅当x＝y＝时取等号，C正确； 对于D，＋＝≤＝2，当且仅当x＝2y＝2时取等号，D正确． 10．(2025·石家庄模拟)若x>1，则的最小值为______． 解析：由x>1，则x－1>0. 因为x2＋2x＋2＝(x－1)2＋4(x－1)＋5， 所以＝(x－1)＋＋4≥2＋4＝2＋4， 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时等号成立， 故的最小值为2＋4. 答案：2＋4 11．若x>0，则的最大值为__________． 解析：＝，由于x>0，所以x＋≥2，故＝≤2，当且仅当x＝1时等号成立，故最大值为2. 答案：2 12．(2025·洛阳期末)证明下列不等式，并讨论等号成立的条件． (1)若0≤x≤1，则(1－)≤； (2)若ab≠0，则≥2. 证明：(1)因为0≤x≤1，所以0≤≤1， 1－≥0， 所以(1－)≤＝， 当且仅当＝1－，即x＝时，等号成立． (2)因为ab≠0，当ab>0时，＝＋≥2＝2， 当且仅当a＝b≠0时等号成立． 当ab<0时，＝＋≥ 2＝2， 当且仅当a＝－b≠0时等号成立． 综上，若ab≠0，则≥2成立，当且仅当a2＝b2≠0时等号成立． 学科网（北京）股份有限公司 $