专题03 一次方程与方程组8大高频考点（期末真题汇编，安徽专用）七年级数学上学期新教材沪科版

专题03 一次方程与方程组（期末真题汇编，安徽专用） 8大高频考点概览 考点01 一元一次方程的解法 考点02 二元一次方程组的解法 考点03 二元一次方程（组）的实际应用 考点04 特殊一元一次方程的解法技巧 考点05列方程解应用题设未知数的技巧 考点06 列二元一次方程组解决分段计费和方案问题 考点07 含参数的一元一次方程. 考点08方程的应用——数轴上的动点问题 地 城 考点01 一元一次方程的解法 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列哪个数是方程的解？（    ） A． B．0 C．1 D．2 二、填空题 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）已知是关于x的方程的解，那么关于x的方程的解是 ． 三、解答题 3．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）解方程：． 4．（22-23七年级上·安徽六安·期末）解下列方程 (1)； (2)． 5．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）解方程： (1)； (2)； 6．（23-24七年级上·安徽马鞍山·期末）解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 地 城 考点02 二元一次方程组的解法 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的方程组的解满足，则 ． 三、解答题 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）解方程组． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）解方程（组） (1)解方程：； (2)． 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）解方程： (1) (2)解方程组 6．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值． 【方法对比】 甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下： （1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值． （2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值． （3）丙同学：先解方程组，再求k的值． 【解答问题】 你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题． 地 城 考点03 二元一次方程（组）的实际应用 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设杆子的长度为x尺，则下列说法错误的是（   ） A．列方程： B．设绳索长为y尺，列方程为 C．设绳索长为y尺，列方程组为 D．竿子的长度为10尺 二、填空题 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 二、填空题 3．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 三、解答题 4．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）某公司需要将120吨物资从A市运往B市，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨／辆） 5 8 10 运费（元／辆） 450 600 700 (1)若选用甲、丙两种车型一次性运完，如果甲车有11辆，则丙车至少需要多少辆？ (2)若选用甲、乙两种车型一次性运完，且每辆车均满载，需运费9600元，则甲、乙两种车型各需多少辆？ (3)若选用甲车辆、乙车辆、丙车若干辆一次性运完，且每辆车均满载，已知三种车辆共14辆，直接写出a、b的值和总运费． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）在长方形中，放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．试求阴影部分的面积． 6．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 7．（24-25七年级上·安徽六安·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 地 城 考点04 特殊一元一次方程的解法技巧 一、单选题 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）下列方程的变形，正确的是（   ） A．方程，去括号，得 B．方程，移项，得 C．方程，去分母，得 D．方程，可化为 二、解答题 2．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）解方程：． 3．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： 解方程：． 4．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 地 城 考点05 列方程解应用题设未知数的技巧 一、单选题 1．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）甲、乙两车分别从A、B两车站同时开出相向而行，相遇后甲车行驶1小时到达B站，乙车行驶4小时到达A站，若甲车速度是，那么乙车速度是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店将一种书包按进价提高作为标价，然后再按标价9折出售，这样卖出一个书包可盈利8.5元．这种书包每个进价为（   ）元． A．50 B．58.5 C．42.5 D．60 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对（    ）道题 A．16 B．15 C．14 D．13 二、填空题 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，部分数据如图所示，则每个小长方形的面积为 ． 5．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）某电子商品每件的标价为元，按标价的六折销售，每件仍能获利，则这件商品每件的进价为 元； 三、解答题 6．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水后再接 s的开水，此时温水和开水混合后共有的水； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间； (3)丙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是，求这杯水混合后的水温． 8．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，点是线段的中点，是上一点，且，． (1)求的长； (2)若为的中点，求的长． 9．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）我市的雨山湖公园，娟秀妩媚，环境优雅，湖水清澈见底，是市民游玩休闲的好地方．某校七年级1班学生计划假期去雨山湖游玩，游船价格如下表： 船型 四座电动船 六座电动船 价格 元/小时 元/小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩小时，请解决下面问题： (1)若租用四座电动船条数与六座电动船条数之比为，所有船恰好坐满，需花费元，那么租用了几条四座电动船？ (2)若每条船均坐满，且每种船型至少一条；列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 地 城 考点06 列二元一次方程组解决分段计费和方案问题 一、解答题 1．列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 (1)求出x，y的值； (2)周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了15公里，用时12分钟，那么小华的打车总费用为多少元？ 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）为了让学生加强体育锻炼，增强体质，某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元，购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元． (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，其中购买跳绳的数量多于25根，且购买的总费用不超过300元，则有哪几种购买方案？哪一种购买方案更省钱？ 3．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某商店准备采购甲、乙两种玩具共360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，共需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，共需要4600元．其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件． (1)求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元？ (2)若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案？ (3)在（2）的采购方案中，哪种方案该商店在销售完这360件玩具可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 4．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）某农场实行机械化种植，为了更好更快地收割庄稼，农场主张致富决定购买8台收割机．现有久保田和春雨两种品牌的收割机，其中久保田牌收割机每天收割24亩，春雨牌收割机每天收割18亩．销售商又宣传说，购买一台久保田收割机比购买一台春雨收割机多8万元，购买2台久保田收割机比购买3台春雨收割机多4万元． (1)求两种收割机的价格； (2)如果张致富购买收割机的资金不超过125万元，那么有哪几种购买方案？ 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运11吨.该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满. (1)1辆A型车和1辆型车都装满资物，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费. 地 城 考点07 含参数的一元一次方程. 一、解答题 1．已知关于x的方程与的解互为相反数，求a的值． 2．（22-23七年级上·安徽黄山·期末）用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小严同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务， 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是 ； ②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； ③请直接写出该方程的正确解： ； 任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议． 3．已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关． (1)求a的值； (2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值． 4．已知关于x的方程 (1)当a取何值时，方程的解是； (2)当a取何值时，方程无解； (3)当a取何值时，方程有无穷多个解． 地 城 考点08 方程的应用——数轴上的动点问题 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，．若点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．6 B．9 C．6或9 D．9或12 二、填空题 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）在如图所示的数轴上，点表示的数为−7，点表示的数为5． （1）点与点之间的距离为 ． （2）若一动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动的时间为秒，当，之间的距离为8个单位长度时，的值为 ． 三、解答题 4．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且，满足． (1)求、两点之间的距离； (2)点在点的右侧，点在点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点与点之间的距离； (3)在（2）的条件下，动点以3个单位长度每秒从点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度每秒的速度从点出发沿负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇时点表示的数是多少？ 5．（23-24七年级上·安徽·期末）在数轴上点A表示的数是6，点B位于点A的左侧，与点A的距离是12个单位长度． (1)点B表示的数是 ． (2)动点P从点B出发，沿着数轴向右以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒，点P到两点的距离相等． (3)在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴向左，以每秒1个单位长度的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍？ 6．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知：线段． (1)如图1，点沿线段自点向点以运动，同时点沿线段自点向点以运动，求几秒钟后，、两点第一次相距？ (2)如图2，，，点绕点以10度/秒的速度顺时针旋转一周停止，同时点沿直线自点向点运动，假如、两点能相遇，求点运动的速度． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次方程与方程组（期末真题汇编，安徽专用） 8大高频考点概览 考点01 一元一次方程的解法 考点02 二元一次方程组的解法 考点03 二元一次方程（组）的实际应用 考点04 特殊一元一次方程的解法技巧 考点05列方程解应用题设未知数的技巧 考点06 列二元一次方程组解决分段计费和方案问题 考点07 含参数的一元一次方程. 考点08方程的应用——数轴上的动点问题 地 城 考点01 一元一次方程的解法 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列哪个数是方程的解？（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键．先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，再系数化1求解． 【详解】解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得． 故选：C． 二、填空题 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）已知是关于x的方程的解，那么关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，确定参数a的值是解题关键．根据题意，先由一元一次方程的解求参数a，即将代入方程中并解得a值；再解含参数a的一元一次方程，即把a值代入方程中，然后按照去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1等步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程中，得 ， 整理可得 解得 ， 把代入方程中，可得 ， 去分母，得 去括号、移项、合并同类项，得 系数化为1，可得 ． 故答案为： 三、解答题 3．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，理解并掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键．按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 去分母，可得 ， 去括号，可得 ， 移项，可得 ， 合并同类项，可得 ， 系数化为1，可得 ． 4．（22-23七年级上·安徽六安·期末）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法解方程是关键． （1）移项，合并同类项即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 5．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）解方程： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解答本题的关键． （1）利用去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （2）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为得：． 6．（23-24七年级上·安徽马鞍山·期末）解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握．解一元一次方程的基本思路是：通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程“转化”为（a为常数）的形式． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （4）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 方程可变形为， 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：． 地 城 考点02 二元一次方程组的解法 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 通过加减消元法解方程组即可． 【详解】解：方程组为： ，得：， ，得：， 化简得：， 解得：， 将代入方程②，得：， ∴方程组的解为． 故选：B． 二、填空题 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的方程组的解满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组的应用能力，关键是能用合适的方法准确求解．先求得此方程组的解为，再代入求解的值． 【详解】解：解方程组得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，关键是掌握 “加减消元” 的方法，对等式两端同乘以，然后，加上即可把变量消去． 【详解】解：根据题意可知， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故方程组的解为． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）解方程（组） (1)解方程：； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程、解二元一次方程组，解本题的关键在熟练掌握相关解方程（组）的方法． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1，计算即可； （2）利用加减消元法，计算即可． 【详解】（1）解：， 去分母，可得：， 去括号，可得：， 整理可得：， 移项，合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：； （2）解：， 原方程组整理可得， 由可得：， 把代入①，可得：， ∴方程组的解为． 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）解方程： (1) (2)解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解方程即可； （2）利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （2）解：， 由可得：， 将代入，得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 方程组的解为． 6．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值． 【方法对比】 甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下： （1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值． （2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值． （3）丙同学：先解方程组，再求k的值． 【解答问题】 你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． 第一种思路：利用加减消元法解方程组，可用含k的式子表示出方程组的解，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案； 第二种思路：利用加减消元法用含k的式子表示出的结果，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案； 第三种思路：可建立方程组，解方程组后根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 第一种：我欣赏甲同学的思路， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得； 第二种：我欣赏乙同学的思路， 得， ∵， ∴， 解得 第三种：我欣赏丙同学的思路， 由题意得， 得：，解得， 把代入③得：，解得 ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得． 地 城 考点03 二元一次方程（组）的实际应用 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设杆子的长度为x尺，则下列说法错误的是（   ） A．列方程： B．设绳索长为y尺，列方程为 C．设绳索长为y尺，列方程组为 D．竿子的长度为10尺 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用． 根据题意建立方程组并求解，验证各选项的正确性即可 【详解】解：A：由题意可知绳索长，对折后长度为， ∵对折后比竿短5尺， ∴，正确； B：设绳索长为y尺， 则，即， 代入A得， 可得，正确； C：设绳索长为y尺， ∵绳索比竿长5尺， ∴， ∵将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺， ∴， ∴，正确； D：解方程得，故竿长应为15尺，错误； 故选：D． 二、填空题 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ， 故答案为：0． 二、填空题 3．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ， 故答案为：0． 三、解答题 4．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）某公司需要将120吨物资从A市运往B市，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨／辆） 5 8 10 运费（元／辆） 450 600 700 (1)若选用甲、丙两种车型一次性运完，如果甲车有11辆，则丙车至少需要多少辆？ (2)若选用甲、乙两种车型一次性运完，且每辆车均满载，需运费9600元，则甲、乙两种车型各需多少辆？ (3)若选用甲车辆、乙车辆、丙车若干辆一次性运完，且每辆车均满载，已知三种车辆共14辆，直接写出a、b的值和总运费． 【答案】(1)丙车至少需要7辆 (2)甲型车有8辆，乙型车有10辆 (3)、，8800元 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解． （1）根据甲型车运载量是5吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出丙型车的车辆数； （2）设甲种车型需辆，乙种车型需辆，根据运费9600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （3）设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆，列出等式，再根据、、均为正整数，求出，的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：， 答：丙型车至少需要辆． （2）解：设甲种车型需辆，乙种车型需辆， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种车型需8辆，乙种车型需10辆． （3）解：设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆， 由题意得， 即， ∵、、均为正整数， ∴只能等于5， ∴， ， ∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆， 则需运费（元）， 答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时的总运费为8800元． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）在长方形中，放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．试求阴影部分的面积． 【答案】32 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 由图得等量关系：（1）1个长个宽；（2）3个宽个长个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设小长方形宽为，长为， 根据题意得：， 解得， ， ∴阴影部分的面积为 32 ． 6．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 【答案】两种车型各有座位个和个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设两种车型各有座位个和个，根据租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设两种车型各有座位个和个，由题意，得： ，解得：； 答：两种车型各有座位个和个． 7．（24-25七年级上·安徽六安·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A 、 B两种型号的汽车每辆进价分别为 25 万元、 10 万元 (2)方案一：购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车；方案二：购买 4 辆型汽车，购买 8 辆型汽车；方案三：购买 6 辆型汽车，购买 3 辆型汽车； (3)购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车获利最大，最大值为77000 元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据 2 辆型汽车、 3 辆型汽车的进价共计 80 万元； 3 辆型汽车、 2 辆型汽车的进价共计 95 万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据（1）中的结果和该公司计划正好用 180 万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），可以得到相应的二元一次方程，然后求解即可； （3）根据（2）中的结果和题意，可以分别计算出各种方案获得的利润，从而可以得到最大利润． 【详解】（1）解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得， 解得， 答：A ， B两种型号的汽车每辆进价分别为 25 万元、 10 万元； （2）解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆， 由题意可得且为正整数， 解得或或， ∴该公司共有三种购买方案， 方案一：购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车； 方案二：购买 4 辆型汽车，购买 8 辆型汽车； 方案三：购买 6 辆型汽车，购买 3 辆型汽车； （3）解：当时，获得的利润为：（元）， 当时，获得的利润为：（元）， 当时，获得的利润为：（元）， 由上可得，最大利润为77000 元， ∴购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车获利最大，最大值为77000 元． 地 城 考点04 特殊一元一次方程的解法技巧 一、单选题 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）下列方程的变形，正确的是（   ） A．方程，去括号，得 B．方程，移项，得 C．方程，去分母，得 D．方程，可化为 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、方程，去括号，得，原选项变形错误，不符合题意； B、方程，移项，得，原选项变形错误，不符合题意； C、方程，去分母，得，原选项变形错误，不符合题意； D、方程，可化为，原选项变形正确，符合题意； 故选D． 二、解答题 2．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 3．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： 解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法．先去绝对值，化成一元一次方程求解即可． 【详解】解：由绝对值的意义得或， 解得或． 4．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答的关键． （1）方程去括号，移项，合并同类项，即可求出解； （2）方程去括号，去分母，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； （2）去括号得：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：； （3）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 地 城 考点05 列方程解应用题设未知数的技巧 一、单选题 1．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）甲、乙两车分别从A、B两车站同时开出相向而行，相遇后甲车行驶1小时到达B站，乙车行驶4小时到达A站，若甲车速度是，那么乙车速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了行程问题中的相遇问题，熟练掌握路程、速度、时间的关系是解题的关键．通过设相遇时间和乙车速度，根据路程相等的关系来列方程求解． 【详解】解：设两车相遇时间为小时，乙车速度为． ． 由，可得， 将代入， 得， 解得（）． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店将一种书包按进价提高作为标价，然后再按标价9折出售，这样卖出一个书包可盈利8.5元．这种书包每个进价为（   ）元． A．50 B．58.5 C．42.5 D．60 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．设这种书包每个进价为x元，根据书包按进价提高作为标价，然后再按标价9折出售，这样卖出一个书包可盈利8.5元列出方程求解即可． 【详解】解：设这种书包每个进价为x元，根据题意， 得， 解得， 所以这种书包每个进价为50元． 故选：A． 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对（    ）道题 A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设他做对道，则做错或不做道，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设他做对道，则做错或不做道， 依题意得：， 解得：， 答：他做对15道题， 故选：B． 二、填空题 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，部分数据如图所示，则每个小长方形的面积为 ． 【答案】270 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设小长方形的长为，根据大长方形的长和宽，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，则：小长方形的宽为， 由图可知：， 解得：， ∴； ∴小长方形的面积为：； 故答案为：270 5．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）某电子商品每件的标价为元，按标价的六折销售，每件仍能获利，则这件商品每件的进价为 元； 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这种商品每件的进价为元，根据题意列出方程，然后解方程即可，读懂题意，根据题目给出的条件，由售价找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这种商品每件的进价为元， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 【答案】(1)卡套30个，小挂件20个 (2)①，，②打折后卖出的卡套10个，小挂件15个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键； （1）根据批发了卡套和小挂件共50个，设出未知数，然后根据卡套个数卡套批发价小挂件个数小挂件批发价，列出一元一次方程，计算即可； （2）设打折的商品中有个卡套，根据一共有50个，共卖出25个，则打折出售的小挂件有个，表示出打折前卖出卡套和小挂件获得的利润，然后加上打折后的即为捐出的总钱数，列方程解答； 【详解】（1）解：设批发卡套m个，则批发小挂件个， 根据题意得：， 解得：， 则（个） 答：批发卡套30个、小挂件20个； （2）解：①设打折的商品中有个卡套，则打折卖出的小挂件有个， 原价售出的小挂件有个，即个； ②根据题意得： ， 解得：， 则（个）， 答：打折后卖出的卡套10个，小挂件15个． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水后再接 s的开水，此时温水和开水混合后共有的水； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间； (3)丙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是，求这杯水混合后的水温． 【答案】(1)8 (2)乙同学接了温水，开水 (3)这杯水混合后的水温为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）利用接开水的时间温水的流速×接温水的时间开水的流速，即可求出接开水的时间； （2）设乙同学接了温水，则接了开水，根据这杯水混合后的水温为，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即接温水的时间），再将其代入中，即可求出接开水的时间； （3）设丙同学接了温水，则接了开水，根据共接了的水，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，将其代入及中，即可求出接温水及开水的体积，设这杯水混合后的水温为，根据开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴再接的开水． 故答案为：8； （2）解：设乙同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：乙同学接了温水，开水； （3）解：设丙同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴，， ∴丙同学接了温水，开水． 设这杯水混合后的水温为， 根据题意得：， 解得：． 答：这杯水混合后的水温为． 8．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，点是线段的中点，是上一点，且，． (1)求的长； (2)若为的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差计算，一元一次方程的应用，找出线段之间的数量关系是解题关键． （1）设的长为，则，再根据线段中点，得出，根据，求出的值，即可得出的长； （2）由（1）可得，，进而得到，即可求出长． 【详解】（1）解：设的长为， ， ， ， ∵点E是线段的中点， ， ， ， ，即， ； （2）解：，， ， 为线段的中点， ， ． 9．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）我市的雨山湖公园，娟秀妩媚，环境优雅，湖水清澈见底，是市民游玩休闲的好地方．某校七年级1班学生计划假期去雨山湖游玩，游船价格如下表： 船型 四座电动船 六座电动船 价格 元/小时 元/小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩小时，请解决下面问题： (1)若租用四座电动船条数与六座电动船条数之比为，所有船恰好坐满，需花费元，那么租用了几条四座电动船？ (2)若每条船均坐满，且每种船型至少一条；列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 【答案】(1)租用了条四座电瓶船 (2)方案见解析；最省钱的方案是租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船． 【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程的应用． （1）根据题意，设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船，列出方程并正确计算即可； （2）先计算出共有学生数量，设租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，则，再分别计算出方案一到方案三所花费用，进行比较即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船，根据题意得， 解得：， ∴，， ∴租用了条四座电瓶船，条六座电瓶船 答：租用了条四座电瓶船 （2）解：由（1）可得学生人数为人 设租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，则 ∴， ∴ ∵为正整数， ∴或或 方案一：租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船，总费用为元， 方案二：租用6条四座电瓶船，4条六座电瓶船，总费用为元， 方案三：租用9条四座电瓶船，2条六座电瓶船，总费用为元， ∵ ∴最省钱的方案是租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船． 地 城 考点06 列二元一次方程组解决分段计费和方案问题 一、解答题 1．列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 (1)求出x，y的值； (2)周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了15公里，用时12分钟，那么小华的打车总费用为多少元？ 【答案】(1) (2)21元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，代数式求值，解题的关键是根据题意列出方程组． （1）根据表格信息列出方程组，解方程组即可； （2）将代入代数式，求值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：小华的里程数是，时间为， 则总费用是：（元）， 答：总费用是21元． 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）为了让学生加强体育锻炼，增强体质，某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元，购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元． (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，其中购买跳绳的数量多于25根，且购买的总费用不超过300元，则有哪几种购买方案？哪一种购买方案更省钱？ 【答案】(1)购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元 (2)有三种购买方案，①购买跳绳26根，毽子28个；②购买跳绳27根，毽子27个；③购买跳绳28根，毽子26个；购买跳绳26根，毽子28个更省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，找准等量关系列出方程组和数量关系列出不等式组是解题的关键． （1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）购买跳绳m根，则购买毽子个，根据购买的总费用不超过300元，购买跳绳的数量多于25根，列出一元一次不等式组，解得，则，27，28，分别计算每种方案的费用，即可解决问题． 【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元， 由题意得：， 解得：， 答：购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元； （2）解：购买跳绳m根，则购买毽子个， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ，27，28， 有三种购买方案： ①购买跳绳26根，毽子28个，费用为：元； ②购买跳绳27根，毽子27个，费用为：元； ③购买跳绳28根，毽子26个，费用为：元； ， 方案①更省钱：购买跳绳26根，毽子28个． 3．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某商店准备采购甲、乙两种玩具共360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，共需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，共需要4600元．其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件． (1)求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元？ (2)若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案？ (3)在（2）的采购方案中，哪种方案该商店在销售完这360件玩具可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲种玩具的进价是90元/件，乙种玩具的进价是70元/件 (2)该商店共有5种采购方案 (3)当甲种玩具购进80件，乙种玩具购进280件时利润最大，最大利润是8800元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组与不等式组的应用； （1）设甲种玩具的进价是x元/件，乙种玩具的进价是y元/件，购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，共需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，共需要4600元，再建立方程组解题即可； （2）设购进m件甲种玩具，则购进件乙种玩具，乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，再建立不等式组解题即可； （3）甲种玩具每件的销售利润大于乙种玩具每件的销售利润，可得当甲种玩具购进80件时，销售利润最大，再计算即可； 【详解】（1）解：设甲种玩具的进价是x元/件，乙种玩具的进价是y元/件， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种玩具的进价是90元/件，乙种玩具的进价是70元/件； （2）解：设购进m件甲种玩具，则购进件乙种玩具， 根据题意得： 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为76，77，78，79，80， ∴共有5种采购方案． 答：该商店共有5种采购方案； （3）解：∵甲种玩具每件利润是． 乙种玩具每件利润为（元）， ∴甲种玩具每件的销售利润大于乙种玩具每件的销售利润， ∴当甲种玩具购进80件时，销售利润最大． 最大利润为， 答：当甲种玩具购进80件，乙种玩具购进280件时利润最大，最大利润是8800元． 4．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）某农场实行机械化种植，为了更好更快地收割庄稼，农场主张致富决定购买8台收割机．现有久保田和春雨两种品牌的收割机，其中久保田牌收割机每天收割24亩，春雨牌收割机每天收割18亩．销售商又宣传说，购买一台久保田收割机比购买一台春雨收割机多8万元，购买2台久保田收割机比购买3台春雨收割机多4万元． (1)求两种收割机的价格； (2)如果张致富购买收割机的资金不超过125万元，那么有哪几种购买方案？ 【答案】(1)久保田收割机的价格为每台20万元，春雨收割机的价格为每台12万元 (2)有4种购买方案：①购买久保田收割机0台，春雨收割机8台；②购买久保田收割机1台，春雨收割机7台；③购买久保田收割机2台，春雨收割机6台；④购买久保田收割机3台，春雨收割机5台 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题关键是弄清题意，找到合适的数量关系． （1）此题可设两种收割机的价格分别为x万元，y万元，根据题中的等量关系列出二元一次方程组解答即可； （2）设购买久保田收割机m台，由“购买收割机的资金不超过125万元”列出关于m的不等式，通过解不等式求得整数m的值． 【详解】（1）解：设购买久保田收割机的价格为万元/台，购买春雨收割机的价格为万元/台， 依题意得 ， 解得， 答：久保田收割机的价格为每台20万元，春雨收割机的价格为每台12万元． （2）设购买久保田收割机台， 依题意得， 解得．     又且为整数， 故有以下4种购买方案：①购买久保田收割机0台，春雨收割机8台； ②购买久保田收割机1台，春雨收割机7台； ③购买久保田收割机2台，春雨收割机6台； ④购买久保田收割机3台，春雨收割机5台． 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运11吨.该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满. (1)1辆A型车和1辆型车都装满资物，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费. 【答案】(1)1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆型车装满资物一次可运3吨． (2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆型车；方案2：租用4辆A型车，5辆型车；方案3：租用7辆A型车，1辆型车． (3)最省钱的租车方案为租用7辆A型车，1辆型车，最少租车费为990元． 【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满资物一次可运吨，1辆型车装满资物一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆型车装满资物一次可运3吨． （2）依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆型车；方案2：租用4辆A型车，5辆型车；方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． 所以最省钱的租车方案为租用7辆型车，1辆型车，最少租车费为990元． 地 城 考点07 含参数的一元一次方程. 一、解答题 1．已知关于x的方程与的解互为相反数，求a的值． 【答案】a的值为6． 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解和相反数．先求出每个方程的解，根据相反数的性质得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与的解互为相反数， ∴， 解得：， ∴a的值为6． 2．（22-23七年级上·安徽黄山·期末）用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小严同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务， 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是 ； ②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； ③请直接写出该方程的正确解： ； 任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议． 【答案】①等式的性质2，乘法分配律；②三，从左边移项至右边未变号；③；任务二：见解析 【分析】任务一：解方程的过程运用的是等式的基本性质，还运用到了去括号法则，合并同类项法则等，据此解答即可； 任务二：就解方程中可能出现的错误进行解答即可． 【详解】解：任务一：填空： ①等式的性质2，乘法分配律； ②三；从左边移项至右边未变号； ③； 故答案为：①等式的性质2，乘法分配律；②三，从左边移项至右边未变号；③； 任务二：开放性答案：如“注意去分母时出现的“漏乘”现象”；“去括号时，没有变号”；“去括号时没有正确运用乘法分配律”；“移项忘记变号”等． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的依据以及步骤是解本题的关键． 3．已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关． (1)求a的值； (2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把M与N代入2M+N中，去括号合并得到最简结果，由2M+N的值与x无关，确定出a的值即可； （2）方程移项，x系数化为1，表示出解，根据解为正整数且b为整数，确定出b的值，进而求出所求． 【详解】（1）解：∵，N=， ∴2M+N=2（）+（） = =（16a-8）x+6， ∵2M+N的值与x无关， ∴16a-8=0， 解得：a=； （2）解：方程bx-b-3=0， 整理得：x=1+， ∵解是正整数， ∴b=1或3， 当b=1时，=； 当b=3时，． 【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，以及一元一次方程的解，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键． 4．已知关于x的方程 (1)当a取何值时，方程的解是； (2)当a取何值时，方程无解； (3)当a取何值时，方程有无穷多个解． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】此题考查了含字母系数的一元一次方程、含绝对值符号的一元一次方程． （1）将代入可得关于的方程，解出即可得出的值； （2）将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程无解，列式求解即可； （3）将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程方程有无穷多个解，列式求解即可． 【详解】（1）解：将代入可得：， 整理得， 当时，，解得． 当时，，解得， 故或时，方程的解是； （2）解：整理得， 当且时，方程无解， 解得， 故时，方程无解； （3）解：整理得， 当且时，方程有无穷多个解， 解得， 故时，方程有无穷多个解． 地 城 考点08 方程的应用——数轴上的动点问题 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设， 则方程，可化为， ∵的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，．若点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．6 B．9 C．6或9 D．9或12 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据题意设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为，相遇前和相遇后距离为，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为，， ∴， ∴点表示的数为， 设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 当，相遇前，可得， 解得：； 当，相遇后，可得， 解得：； 综上，t的值为6或9； 故选：C． 二、填空题 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）在如图所示的数轴上，点表示的数为−7，点表示的数为5． （1）点与点之间的距离为 ． （2）若一动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动的时间为秒，当，之间的距离为8个单位长度时，的值为 ． 【答案】 或/或 【分析】本题考查数轴上两点间距离，一元一次方程应用． （1）根据题意利用两点间距离公式即可求出； （2）根据题意分情况讨论列出方程解出即可． 【详解】解：（1）∵点表示的数为−7，点表示的数为5， ∴点与点之间的距离为：； （2）由（1）知：， ①当，没有相遇时，之间的距离为8个单位长度， ∴，即：，解得：； ②当，相遇后之间的距离为8个单位长度， ∴根据题意得：，解得：， 故答案为：或． 三、解答题 4．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且，满足． (1)求、两点之间的距离； (2)点在点的右侧，点在点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点与点之间的距离； (3)在（2）的条件下，动点以3个单位长度每秒从点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度每秒的速度从点出发沿负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇时点表示的数是多少？ 【答案】(1)、两点之间的距离为 (2)点与点之间的距离为 (3)、两点3.6秒时相遇，相遇时点表示的数为 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，可求出、的值，用数轴上两点距离公式即可求解， （2）由已知得出点、表示的数，进而求出两点之间的距离， （3）利用两点间距离和运动速度求出运动时间，再求出点的运动路程，即可求解， 本题考查了绝对值及平方的非负性，数轴上两点间的距离，数轴上的动点，解题的关键是：理解掌握相关定义，正确列出数学表达式． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 则，， 解得：，， 、两点之间的距离为：， 故答案为：、两点之间的距离为， （2）点表示的数为：， 点表示的数为：， 点与点之间的距离为， 故答案为：点与点之间的距离为， （3）设运动时间为秒，根据题意可得：，解得：（秒）， 相遇时点所走的路程为：，， 故答案为：、两点3.6秒时相遇，相遇时点表示的数为． 5．（23-24七年级上·安徽·期末）在数轴上点A表示的数是6，点B位于点A的左侧，与点A的距离是12个单位长度． (1)点B表示的数是 ． (2)动点P从点B出发，沿着数轴向右以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒，点P到两点的距离相等． (3)在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴向左，以每秒1个单位长度的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍？ 【答案】(1) (2)3秒 (3)4或秒 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据两点间的距离进行计算即可得到答案； （2）设经过t秒，点P到的距离相等，根据题意得出一元一次方程，解方程即可得到答案； （3）设经过t秒，点到点的距离是点到点距离的2倍，分两种情况：当点P在点A的左侧时，当点P在点A的右侧时，分别得出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：因为在数轴上点A表示的数是6， 所以点A到原点的距离为6， 因为点B位于点A的左侧，与点A的距离是12个单位长度． 所以点B到原点的距离为6， 所以点B表示的数为． 故答案为：； （2）解：设经过t秒，点P到两点的距离相等，由题意： ， 解得：． 答：经过3秒，点P到的距离相等； （3）解：经过t秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍．由题意得： 当点P在点A的左侧时， ， 解得： 当点P在点A的右侧时， ， 解得：． 答：经过4或秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍． 6．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知：线段． (1)如图1，点沿线段自点向点以运动，同时点沿线段自点向点以运动，求几秒钟后，、两点第一次相距？ (2)如图2，，，点绕点以10度/秒的速度顺时针旋转一周停止，同时点沿直线自点向点运动，假如、两点能相遇，求点运动的速度． 【答案】(1)经过9秒钟后，、两点第一次相距相距 (2)点运动的速度为或 【分析】本题借助数轴考查数轴上动点问题及一元一次方程的应用．确定数量关系是解答此类题目的关键． （1）设经过 ，、两点相距，分点在点左右两边两种情况分别列方程来解答； （2）设点的速度为，分、在点左右两边相遇来解答． 【详解】（1）设经过 ，、两点第一次相距， 即遇前相距，有，解得：， 答：经过9秒钟或15秒钟后，、相距； （2）点，只能在直线上相遇，则点旋转到直线上的时间为： 或. 设点的速度为，则有：或. 解得或. 答：点运动的速度为或. 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $