第三章一次方程与方程组（10考点+11易错+易错训练）（知识清单）数学新教材沪科版七年级上册

该初中数学知识清单系统梳理“一次方程与方程组”单元内容，涵盖一元一次方程、二元一次方程组的概念、性质、解法及实际应用，搭建从概念辨析到解法步骤再到实际问题建模的递进式学习支架。 清单通过“知识点分级”与“易错点专项突破”构建知识体系，如将“一元一次方程定义”细化为三要素（未知数个数、次数、系数），标注“参数取值需满足系数不为0”等易错点，培养学生的运算能力与模型意识。配套“对点训练”和“应用题类型归纳”，不同学生可针对性练习，教师能据此设计分层教学，提升复习效率。

第三章 一次方程与方程组 【知识点01】方程以及一元一次方程的概念： 1. 方程的概念： 含有 未知数 的等式叫做方程。 特别说明：两个条件必须满足：①是等式；②等式中含有未知数。 2. 一元一次方程的概念： ①概念：只含有 1 个未知数且未知数的次数是 1 的 整式 方程叫做一元一次方程。 ②一般形式：一元一次方程的一般形式为 或 。由一般形式可知，含未知数的项的系数不能等于 0 。 特别说明：任何一个一元一次方程都可以通过变形变成一般形式。判断方程是不是一元一次方程首先要将原方程化简变形成一般形式，在进行判断。 【知识点02】等式的性质： 性质1：等式左右两边同时加上（减去） 同一个 数（式子），等式 仍然成立 。 性质2：等式左右两边同时乘 同一个 的数（式子）或同时除以 同一个不为0 的数（式子），等式 仍然成立 。 性质3：对称性：，则 。 性质4：传递性：，，则 。又称等量代换。 【知识点03】方程以及一元一次方程的解： 1. 方程的解： 使方程中等号左右两边 相等 的 未知数 的值叫做方程的解。、 特别说明：①方程的解有可能不止一个，也有可能无解。 2. 一元一次方程的解： 使一元一次方程等号左右两边 相等 的 未知数 的值是一元一次方程的解。 特别说明：①一元一次方程只有一个解。 ②检验一个数是不是一个方程的解，需要将给出的数带入方程的左右两边，当方程左边等于右边，则是该方程的解，若左边不等于右边，则不是方程的解。 【知识点04】解一元一次方程的步骤： 第一步：去分母——等式左右两边每一项乘以所有分母的 ． 第二步：去括号——用括号前的数乘以括号内的 ．若括号前是负数时，要注意每一项的 变化． 第三步：移项——把含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边．在移项的过程中，被移动的项一定要 ． 第四步：合并——按照合并同类项的方法合并． 第五步：系数化为1——等式左右两边同时除以 或乘以 ． 特别说明：在原方程中既有分母又有括号时，一般情况下先去分母．但如果括号外的项乘以括号内的项能消去分母则直接去括号． 【知识点05】列一元一次方程解实际应用题的基本步骤： 第一步：审题——仔细审题，找出题目中的等量关系． 第二步：设未知数——根据题目的等量关系直接或间接设未知数． 第三步：列方程——根据未知数以及等量关系列出一元一次方程． 第四步：解方程——根据解方程的步骤解方程． 第五步：检验作答 【知识点06】用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）行程问题 基本等量关系：路程＝速度×时间；时间＝路程÷速度；速度＝路程÷时间． 飞机（行船）问题： 顺行速度＝飞机自身速度＋风速（轮船自身速度＋水速） ． 逆行速度＝飞机自身速度－风速（轮船自身速度－水速） ． 顺行路程＝逆行路程。 （2）工程问题 基本等量关系：工作总量＝ 工作时间×工作效率 ． 实际工作时间＝ 计划工作时间－提前完成时间 ． 实际工作量＝ 计划工作量 ． （3）商品销售问题： 基本等量关系： 利润＝ 售价－进价 ； 售价＝ 标价×折扣 ＝ 原价×（1＋涨价率）或原价×（1－降价率） ； 利润率＝ 利润÷进价×100% 。 （4）配套问题： 基本等量关系：实际生产比等于 配套比 ． （5）比赛积分问题： 基本等量关系： 总场＝ 胜场 ＋ 平场 ＋ 败场 总积分＝ 胜场积分 ＋ 平场积分 ＋ 败场积分 【知识点07】二元一次方程 1．二元一次方程的概念： 方程中含有 2 个未知数，且含有未知数的项次数为 1 的 整式方程 是二元一次方程． 注意：①方程中含有两个未知数． ②含有未知数的项次数为1，不是未知数的次数为1． ③必须是整式方程． 2．二元一次方程的解： 使二元一次方程左右两边成立的 未知数 的两个值是二元一次方程的一组解．二元一次方程有 无数 组解． 注意：判断是不是方程的解只需带入方程验算即可． 【知识点08】二元一次方程组 1．二元一次方程组的概念： 方程组中含有 2 个未知数，且含有未知数的项的次数是 1 的整式方程组． 注意：①方程组中的两个方程必须是整式方程． ②方程组中一共含有两个未知数． ③含有未知数的项的次数是1． 2．二元一次方程组的解： 一般地，二元一次方程组的两个方程的 公共解 ，叫做二元一次方程组的解． 【知识点09】解二元一次方程组 1．解二元一次方程组的思想： 消元思想． 2．代入法消元解二元一次方程组： ①方法介绍： 将其中一个方程的一个未知数用另一个未知数来表示，带入到另一个方程中消元求解的方法． 3．加减消元法解二元一次方程组： ①方法介绍： 利用方程组中的两个方程进行加或者减来达到消掉未知数的目的并且解出方程组的方法． 【知识点10】列二元一次方程组解应用题 1.基本步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数 ③列方程：根据等量关系与未知数列出二元一次方程组 ④解方程组——按照解二元一次方程组的步骤解方程 ⑤检验作答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答 2.基本等量关系： ①行程问题基本等量关系： 路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间 顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速） ②工程问题： 工作总量=工作时间×工作效率 注意实际工作情况与计划工作情况之间的关系 ③商品销售问题： 利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100% 3.常见的建立方程的方法： ①基本等量关系建立方程 ②同一个量的两种不同表达式相等 易错点1 利用一元一次方程的定义求参数 易错提醒 这类问题中，同学们最容易掉入两个出题陷阱：一是只关注“未知数的次数为1”这一个条件，直接求出参数的所有可能取值，完全忽略“未知数的一次项系数不能为0”这个核心要求，最终得到错误结果；二是当参数出现在分母中时，忘记方程两边必须是整式这一前提，没有排除让分母为0的参数取值。 解决这类问题要牢牢紧扣一元一次方程的定义，需要同时满足三个条件：未知数只有一个、未知数的次数为1、未知数的一次项系数不为0，如果参数出现在分母位置，还要额外加上分母不为0的限制，所有条件都满足才能得到正确的参数取值。 【对点训练】1若关于的方程是一元一次方程，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，列出方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， ∴且， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 易错点2已知一元一次方程的解求参数或代数式的值 易错提醒 当方程的解满足方程时，首先是把解代入原方程求解，但最常见的问题是代入计算时符号处理错误，尤其是参数本身为负数时，多重符号化简出错的概率更高； 其次，当得到关于参数的方程是绝对值方程或可化为二次的方程时，求出多个参数结果后，忽略题目中隐含的限制条件，没有排除不符合条件的结果，最终失分。 另外，一类典型问题是求与参数相关的代数式的值，不一定要算出参数的具体结果再代入计算，要灵活使用整体代入法，不仅减少计算量，同时减少出错的概率。 总之，解答这类问题时，要牢记三个要点：一是代入后计算过程时刻注意符号规则，二是得到参数结果后，逐一核对题目给出的所有限制条件，舍去不符合要求的解；三是求代数式的值优先观察是否可以整体代入，简化计算过程，就能有效避免不必要的失分。 【对点训练】2．已知是方程的解，则代数式的值是（    ） A．2 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入方程得：， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 易错点3 解一元一次方程去分母运算出错 易错提醒 ①第一个错误就是去分母时漏乘方程中不含分母的项，忘记根据等式的性质，方程左右两边所有项都要乘这个公倍数， ②忽略分数线本身自带的括号作用，当分子是多项式时，去分母后忘记给分子整体添上括号， ③分母是小数的题型中，很多同学混淆了分数的基本性质与等式的基本性质，把分母化为整数的过程中，错误地将不含分母的项也扩大相同的倍数，徒增计算错误。 想要避开这些坑，去分母时记住三点：一是所有项都要乘最小公倍数，不要漏乘常数项；二是分子是多项式时一定要先添括号再去括号，注意符号变化；三是化小数分母时，只需要对单个分数利用分数性质变形，不需要改动方程其他项，就能大大降低去分母步骤的出错率。 【对点训练】3．解方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去分母的一般步骤，等号两边同时乘以各分母的最小公倍数即可． 【详解】解：， 等号两边同时乘以得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次方程－去分母，注意去分母是不要漏乘． 易错点4 解一元一次方程去括号与移项易错： 易错提醒 去括号时，若括号前是负号，容易出现只改变括号内第一项符号、其余项符号不变的错误；移项时，经常混淆“移项要变号”的规则，对没有从等号一边移到另一边的项错误变号。计算时要牢记去括号的符号法则，移项后必须变号，不移项的项不改变符号。 【对点训练】4．解方程： ； 【答案】 【详解】解：去括号得：， 移项合并得：， 解得：； 易错点5 解一元一次方程系数化1时出错 易错提醒 解一元一次方程到系数化1最常见的错误就是颠倒分子分母：在得到“系数乘未知数等于常数项”的形式后，误把常数项除系数变成了系数除常数项，完全颠倒了运算逻辑。其次就是符号错误，当未知数的系数为负数时，化1过程中经常漏掉负号，忽略了两边同除以负数后结果仍要保留负号，还有一类常见问题出现在系数为分数的情况中，很多同学对分数系数化1的规则不清晰，要么直接去掉分母得到错误结果，要么错误地只乘分母不乘分子，弄错计算结果。 要避开这类错误，只需要记住：系数化1的核心是等式两边同时除以未知数的系数（或同时乘系数的倒数），计算时先确定结果的符号，再计算绝对值，最后再核对一遍分子分母的位置，就能轻松避开这个最后一步的坑。 【对点训练】5．解方程：    【答案】. 【详解】解：， 方程两边同乘以21去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． 易错点6 一元一次方程实际应用问题求解出错 易错提醒 一元一次方程解实际应用的出错点大多出现在审题、列式和最终检验三个环节，首先最常见的就是审题时找错等量关系：很多同学容易搞混题目中的倍数、差量关系，其次是不注意统一单位，题目中不同已知量给出的单位不统一时，没有提前统一单位，最终得到错误结果。 再者是配套、工程这类典型题型中，对数量关系理解错误，比如配套问题中“1个桌面配4条桌腿”，不少同学错把配套关系写反，得出完全错误的结果；工程问题中忽略“总工作量为1”的设定，或是错误计算多人合作的工作效率。 最后，就是解完方程后忘记结合实际情境检验结果，比如求得人数、物品个数为分数或负数，依然直接将结果作为最终答案，没有舍去不符合实际意义的解。 想要减少这类错误，审题时可以先圈出题目中的关键词，把题目描述的等量关系用文字等式先梳理出来，再替换为未知数和参数；列式前先检查所有量的单位是否统一，解完方程后一定要结合实际问题的情境判断结果是否合理，确认无误后再写出最终答案，就能很大程度上避免这类失误。 【对点训练】6．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身个，或盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有张白铁皮，假设用张制作盒身，用张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．根据题意，可列出方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设用张白铁皮制盒身，则可用张制盒底，根据题意列方程，即可求解． 【详解】解：设用张白铁皮制盒身，则可用张制盒底， 根据题意列方程得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解答本题的关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 易错点7 .判断二元一次方程时忽略“整式” 易错提醒 很多同学在判断一个方程是否为二元一次方程时，往往只关注“含有两个未知数”“每个未知数的次数都是1”这两个条件，却容易忽略二元一次方程要求方程两边必须是整式这个隐含前提。不少题目会设置分母含未知数的陷阱，很多同学会误将其判定为二元一次方程，本质上它属于分式方程，并不满足二元一次方程的定义。 判断时要牢记二元一次方程的三个完整判定条件：①方程两边都是整式；②方程中只含有两个未知数；③每个未知数的次数都是1，三个条件必须同时满足才能判定为二元一次方程。遇到含分母的方程要先检查分母是否含有未知数，避免落入出题陷阱。 【对点训练】7．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的是（    ） A．①⑥ B．①②⑥ C．①②④ D．①②④⑥ 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且两个未知数的次数都为1的整式方程叫二元一次方程逐一判断即可． 【详解】解：①；⑥是二元一次方程，故符合题意； ②，不是整式方程，不合题意； ③，④，⑤；次数不为1，不是二元一次方程，不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握含有两个未知数，且两个未知数的次数都为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键． 易错点8 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 易错提醒 利用定义求参数或代数式值时，最容易踩两个核心陷阱：第一是漏掉了“未知数系数不为0”这个隐含条件，完全忘记如果对应未知数的系数为0，这个未知数就会从方程中消失，最终得到的方程就不满足二元一次方程的要求。第二个常见错误是混淆了未知数和参数的身份，很多题目会明确指明方程是“关于XX和XX的二元一次方程”，但依然有同学会把参数错当成未知数计数，错数了未知数的个数，最终得出完全错误的结论。 想要避开这类问题，只要按照固定步骤判断即可：第一步先根据题干要求，明确哪两个字母是未知数，剩余字母均为待求参数；第二步分别确认两个未知数的次数都为1，且对应系数都不等于0；最后联立得到的等式和不等式求解参数。 【对点训练】8．若方程是关于，的二元一次方程，则的值为（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】根据方程未知数系数不为0和未知数次数为1列出方程或不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，，， 解得，，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，解题关键是根据二元一次方程的定义列出方程求出字母的值． 易错点9 已知二元一次方程(组)的解求参数或代数式的值 易错提醒 这类问题最常见的易错点主要有两类，第一类是代入计算失误：将方程(组)的解代入原方程求参数时，容易看错原方程的系数符号，或是出现漏乘常数项、漏算符号的错误，第二类是变形题型思路混乱：当题目要求方程组的解满足某一额外条件（如解满足x+y=m这类关系式）时，很多同学会混淆解题逻辑，要么错误联立条件和原方程的单个式子，要么盲目消元增加计算量，最终结果出错。 想要避开这些易错点，遵循清晰的思路就能降低出错概率：若题目直接给出方程组的解，将解分别代入两个原方程，得到关于参数的方程组，分步计算代入过程，核对完符号与系数后再求解参数；若为“解满足某关系式”类题型，可先将原方程组中未知数用参数表示，再代入关系式计算，或是先联立关系式和原方程中不含参数的式子求出未知数，再回代求参数，每一步计算后及时核对符号，就能有效避免失误。 【对点训练】9．若方程组的解满足，则等于（   ） A． B．2021 C．2023 D．2027 【答案】C 【分析】运用整体思想直接将两个方程相加可得，再结合条件即可求出k． 【详解】解： ①+②得5x+5y=5k-5， ， ∵， ∴， ∴k=2023， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是掌握用整体思想解二元一次方程组的方法． 易错点10 加减消元运算出错 易错提醒 加减消元法解二元一次方程组的出错点大多集中在方程变形和符号处理两个环节， ①方程变形漏乘项：为了让目标未知数的系数化为相等或相反，需要给整个方程乘以某一系数时，很多同学只会给含未知数的项乘系数，完全漏掉等号右侧的常数项，直接导致方程变形错误， ②符号处理失误，在做两个方程相减消元时，很多同学只给第一个含未知数的项变号，后续所有项都忘记改变符号， 想要避开这类错误，核心就是不要跳步心算：给方程乘系数变形时，把方程每一项依次乘系数再整理，不要省略过程；消元做减法时，先把减号分配到第二个方程的每一项，逐个核对符号后再合并同类项；变形完成后先核对一遍方程系数和常数项是否正确，再开始消元计算，就能有效减少运算错误。 【对点训练】10．解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程组整理后，利用加减消元法求解即可．掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． 【详解】解：原方程组整理，得， ，得， 把代入，得， 故原方程组的解为． 易错点11 解二元一次方程组应用题错设错列 易错提醒 解二元一次方程组应用题时，容易混淆两个未知数的实际含义，对应错等量关系，列出错误的方程组，或是得到结果后不检验结果是否符合实际情境，保留了不符合题意的解。解题时要先明确两个未知数分别对应的实际量，找准两个独立的等量关系列方程，得到结果后结合实际问题判断结果合理性。 【对点训练】11．某鞋店正举办开学特惠活动，如图为活动说明． 小李打算在该店同时购买两双鞋，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券． (1)若小李参加特惠活动需花费420元，比使用折价券多花20元，则两双鞋的原件为多少元？ (2)若小李计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差60元，则两双鞋的原价相差多少元？ 【答案】(1)设两双鞋的原价分别为300元和200元 (2)两双鞋的原价相差300元 【分析】（1）设两双鞋的原价分别为x元和y元，，根据“参加特惠活动需花费420元，比使用折价券多花20元”列方程组求解即可； （2）设两双鞋的原价分别为a元和b元，且，然后分两种情况列式求解． 【详解】（1）设两双鞋的原价分别为x元和y元，． 由题意得， 解得， 答：设两双鞋的原价分别为300元和200元． （2）设两双鞋的原价分别为a元和b元，且． ①当使用折价券比参加特惠活动花费多60元时， 由题意得， 整理得， 与矛盾，此情况不成立． ②当参加特惠活动比使用折价券花费多60元时， 由题意得， 整理得， 答：两双鞋的原价相差300元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可． 一、单选题 1．若方程是关于x的一元一次方程，则a的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程是一元一次方程，根据定义列式计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，且， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查一元一次方程的定义，需注意的是含未知数的项的系数中含有未知数时必须满足系数不等于0． 2．若是关于的一元一次方程的解，则的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】将代入一元一次方程中可得，进而得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟知一元一次方程的解即为能使一元一次方程成立的未知数的值，运用整体代入的思想解题是关键． 3．若关于x，y的方程是二元一次方程，则k的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用二元一次方程的定义判断即可． 【详解】∵关于x的方程是二元一次方程， ∴且， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查二元一次方程的定义，以及绝对值，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 4．已知是二元一次方程组的解，则m+3n的值为（　　） A．7 B．9 C．14 D．18 【答案】B 【分析】将代入方程组，得到方程组，再将此方程组中的两个方程相加即可求解． 【详解】解：由题意，将代入方程组， 得， ①②得，， 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键． 5.若方程组的解满足，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】方程组中两方程相加得到以k为未知数的方程，解方程即可得答案． 【详解】解：①+②，得 3（x+y）=3-3k， 由x+y=0，得 3-3k=0， 解得k=1， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，利用等式的性质是解题关键． 二、填空题 6．关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】2022 【分析】利用一元一次方程的定义列等式，计算的值． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了绝对值和一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． 7．已知关于的方程的解为，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】将方程的解代入方程得到a，b的关系式，在整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵方程的解为， ∴， 即 ∴， ∴原式， 故答案为． 【点睛】本题考查方程的解及整体代换求多项式值的问题，解题的关键是将方程的解代入方程得到a，b的关系式． 8．下面是小愉同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程： 解：去分母，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，得．…第三步 合并同类项，得，…第四步 方程两边同除以，得．…第五步 (1)以上求解过程中，第三步的依据是 ； (2)从第 步开始出现错误，具体的错误是 ； (3)该方程正确的解为 ． 【答案】(1)等式的基本性质 (2)一；去分母时，常数项没有乘最小公倍数 (3) 【分析】（1）根据等式的基本性质，进行作答即可； （2）第一步出现错误，去分母时，常数项没有乘最小公倍数； （3）正确的进行求解即可． 【详解】（1）解：第三步的依据是：等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； （2）从第一步开始出错，具体的错误是去分母时，常数项没有乘最小公倍数； 故答案为：一；去分母时，常数项没有乘最小公倍数． （3）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得， 方程两边同除以，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．注意去分母时，不要漏乘． 9．若是二元一次方程，则________，_________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面计算即可． 【详解】解：是二元一次方程， ， ， 解得：， ，， 解得：， ，． 故答案为：3，-2 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的概念，熟练掌握二元一次方程中含有个未知数，含未知数项的最高次数为的整式方程是解答本题的关键． 10．三月初某书店销售A、B两种书籍，销售36本A书籍和25本B书籍收入3495元，销售24本A书籍和30本B书籍收入3330元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际购买了原价或打折的两种书籍，共花费3150元，其中购买的A种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买A种打折书籍________本． 【答案】15 【分析】设A种书籍的售价为x元，B种书籍的售价为y元，根据题意列二元一次方程求出x，y的值，设原价购买A种书籍本，打折购买A种书籍本，原价购买B中书籍本，打折购买B种书籍本，根据题意得，整理得到，表示出，由均为正整数得到方程的解，由此得到答案． 【详解】解：设A种书籍的售价为x元，B种书籍的售价为y元，则 ， 解得， 设原价购买A种书籍本，打折购买A种书籍本，原价购买B中书籍本，打折购买B种书籍本，则 ， 整理得：， ∴， ∴， 得， ∵均为正整数， ∴（舍去）或（舍去）或， 故答案为：15． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的解，正确理解题意，列得方程组或二元一次方程是解题的关键． 三、解答题 11．解方程： 【答案】 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 12．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 由得：， 由得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查解二元一次方程组．掌握加减消元法解二元一次方程组是解题关键． 13．已知关于x，y的二元一次方程组． （1）当方程组的解为时，求a的值． （2）当a＝﹣2时，求方程组的解． （3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将代入方程x+2y＝a中，即可求出a的值．小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由． 【答案】（1）3；（2）；（3）小冉提出的解法不对，理由见解析 【分析】（1）把代入中即可得解； （2）当a＝﹣2时，方程组变为，计算即可； （3）根据判断得出不是方程组的解，计算即可； 【详解】（1）将代入中得：； （2）当a＝﹣2时，方程组为， 得：，解得：， ∴， ∴方程组的解为； （3）小冉提出的解法不对， ∵不是方程的解， ∴不是该方程组的解，则不一定是方程x+2y＝a的解，因此不能代入求解； 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解得应用，准确分析计算是解题的关键． 14．机械厂加工车间有52名工人，平均每人每天加工大齿轮12个或小齿轮8个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？ 【答案】需要安排16名工人加工大齿轮，需要安排36名工人加工小齿轮． 【分析】设需要安排x名工人加工大齿轮，则需要安排名工人加工小齿轮，再利用2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套得出方程即可． 【详解】解：设需要安排x名工人加工大齿轮，则需要安排名工人加工小齿轮， 依题意有 解得x=16， 52-x=52-16=36． 故需要安排16名工人加工大齿轮，需要安排36名工人加工小齿轮． 【点睛】题本主要考查了一元一次方程的应用，利用2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，进而得出方程是解本题关键． 15．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机， 已知厂家生产三种不同号的电视机， 出厂价分别为： 甲种每台1500元， 乙种每台2100元， 丙种每台 2500元． (1)若商场计划同时只购进其中两种不同型号的电视机，并且正好用完拨款．请你给出所有可行的采购方案． (2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元．在以上的方案中， 为使获利最多， 你选择哪种进货方案？ 【答案】(1)可选择方案：1、采购甲乙两种电视机各25台 2、采购甲丙两种电视机分别35台和15台 (2)选择方案2：采购甲丙两种电视机分别35台和15台，获利最大 【分析】（1）利用平均价格=总价单价，可求出购进50台电视的平均价格为1800元，结合题意，三种情况考虑，甲、乙、丙三类电视机选择2类共3种可能：甲乙、甲丙、乙丙，再由9万元从厂家购进50台电视机，列二元一次方程组，解方程组即可； （2）利用总利润=每台利润购进数量，可分别求出各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：甲、乙、丙三类电视机选择2类共3种可能：甲乙、甲丙、乙丙． 甲乙：设购进甲电视机x台、乙电视机y台． 可得到方程： 解得： 甲丙：设购进甲电视机x台、丙电视机z台． 可得到方程： 解得： 乙丙：设购进乙电视机y台、丙电视机z台． 可得到方程： 解得：（不合题意，舍去） 答：可选择方案：1、采购甲乙两种电视机各25台 2、采购甲丙两种电视机分别35台和15台． （2）方案1：150×25+200×25=8750（元） 方案2：150×35+250×15=9000（元） 9000＞8750 答：选择方案2：采购甲丙两种电视机分别35台和15台，获利最大． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一次方程与方程组 【知识点01】方程以及一元一次方程的概念： 1. 方程的概念： 含有______的等式叫做方程。 特别说明：两个条件必须满足：①是等式；②等式中含有未知数。 2. 一元一次方程的概念： ①概念：只含有 1 个未知数且未知数的次数是 1 的_____方程叫做一元一次方程。 ②一般形式：一元一次方程的一般形式为 或 。由一般形式可知，含未知数的项的系数不能等于 0 。 特别说明：任何一个一元一次方程都可以通过变形变成一般形式。判断方程是不是一元一次方程首先要将原方程化简变形成一般形式，在进行判断。 【知识点02】等式的性质： 性质1：等式左右两边同时加上（减去） 同一个 数（式子），等式 仍然成立 。 性质2：等式左右两边同时乘 同一个 的数（式子）或同时除以 同一个不为0 的数（式子），等式 仍然成立 。 性质3：对称性：，则 。 性质4：传递性：，，则 。又称等量代换。 【知识点03】方程以及一元一次方程的解： 1. 方程的解： 使方程中等号左右两边_____的 未知数 的值叫做方程的解。、 特别说明：①方程的解有可能不止一个，也有可能无解。 2. 一元一次方程的解： 使一元一次方程等号左右两边_____的 未知数 的值是一元一次方程的解。 特别说明：①一元一次方程只有一个解。 ②检验一个数是不是一个方程的解，需要将给出的数带入方程的左右两边，当方程左边等于右边，则是该方程的解，若左边不等于右边，则不是方程的解。 【知识点04】解一元一次方程的步骤： 第一步：去分母——等式左右两边每一项乘以所有分母的 ． 第二步：去括号——用括号前的数乘以括号内的 ．若括号前是负数时，要注意每一项的 变化． 第三步：移项——把含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边．在移项的过程中，被移动的项一定要 ． 第四步：合并——按照合并同类项的方法合并． 第五步：系数化为1——等式左右两边同时除以 或乘以 ． 特别说明：在原方程中既有分母又有括号时，一般情况下先去分母．但如果括号外的项乘以括号内的项能消去分母则直接去括号． 【知识点05】列一元一次方程解实际应用题的基本步骤： 第一步：审题——仔细审题，找出题目中的等量关系． 第二步：设未知数——根据题目的等量关系直接或间接设未知数． 第三步：列方程——根据未知数以及等量关系列出一元一次方程． 第四步：解方程——根据解方程的步骤解方程． 第五步：检验作答 【知识点06】用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）行程问题 基本等量关系：路程＝速度×时间；时间＝路程÷速度；速度＝路程÷时间． 飞机（行船）问题： 顺行速度＝飞机自身速度＋风速（轮船自身速度＋水速） ． 逆行速度＝飞机自身速度－风速（轮船自身速度－水速） ． 顺行路程＝逆行路程。 （2）工程问题 基本等量关系：工作总量＝ 工作时间×工作效率 ． 实际工作时间＝ 计划工作时间－提前完成时间 ． 实际工作量＝ 计划工作量 ． （3）商品销售问题： 基本等量关系： 利润＝ 售价－进价 ； 售价＝ 标价×折扣 ＝ 原价×（1＋涨价率）或原价×（1－降价率） ； 利润率＝ 利润÷进价×100% 。 （4）配套问题： 基本等量关系：实际生产比等于 配套比 ． （5）比赛积分问题： 基本等量关系： 总场＝ 胜场 ＋ 平场 ＋ 败场 总积分＝ 胜场积分 ＋ 平场积分 ＋ 败场积分 【知识点07】二元一次方程 1．二元一次方程的概念： 方程中含有 2 个未知数，且含有未知数的项次数为______的________是二元一次方程． 注意：①方程中含有两个未知数． ②含有未知数的项次数为1，不是未知数的次数为1． ③必须是整式方程． 2．二元一次方程的解： 使二元一次方程左右两边成立的 未知数 的两个值是二元一次方程的一组解．二元一次方程有____组解． 注意：判断是不是方程的解只需带入方程验算即可． 【知识点08】二元一次方程组 1．二元一次方程组的概念： 方程组中含有 2 个未知数，且含有未知数的项的次数是 1 的整式方程组． 注意：①方程组中的两个方程必须是整式方程． ②方程组中一共含有两个未知数． ③含有未知数的项的次数是1． 2．二元一次方程组的解： 一般地，二元一次方程组的两个方程的 公共解 ，叫做二元一次方程组的解． 【知识点09】解二元一次方程组 1．解二元一次方程组的思想： 消元思想． 2．代入法消元解二元一次方程组： ①方法介绍： 将其中一个方程的一个未知数用另一个未知数来表示，带入到另一个方程中消元求解的方法． 3．加减消元法解二元一次方程组： ①方法介绍： 利用方程组中的两个方程进行加或者减来达到消掉未知数的目的并且解出方程组的方法． 【知识点10】列二元一次方程组解应用题 1.基本步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数 ③列方程：根据等量关系与未知数列出二元一次方程组 ④解方程组——按照解二元一次方程组的步骤解方程 ⑤检验作答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答 2.基本等量关系： ①行程问题基本等量关系： 路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间 顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速） ②工程问题： 工作总量=工作时间×工作效率 注意实际工作情况与计划工作情况之间的关系 ③商品销售问题： 利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100% 3.常见的建立方程的方法： ①基本等量关系建立方程 ②同一个量的两种不同表达式相等 易错点1 利用一元一次方程的定义求参数 易错提醒 这类问题中，同学们最容易掉入两个出题陷阱：一是只关注“未知数的次数为1”这一个条件，直接求出参数的所有可能取值，完全忽略“未知数的一次项系数不能为0”这个核心要求，最终得到错误结果；二是当参数出现在分母中时，忘记方程两边必须是整式这一前提，没有排除让分母为0的参数取值。 解决这类问题要牢牢紧扣一元一次方程的定义，需要同时满足三个条件：未知数只有一个、未知数的次数为1、未知数的一次项系数不为0，如果参数出现在分母位置，还要额外加上分母不为0的限制，所有条件都满足才能得到正确的参数取值。 【对点训练】1若关于的方程是一元一次方程，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 易错点2已知一元一次方程的解求参数或代数式的值 易错提醒 当方程的解满足方程时，首先是把解代入原方程求解，但最常见的问题是代入计算时符号处理错误，尤其是参数本身为负数时，多重符号化简出错的概率更高； 其次，当得到关于参数的方程是绝对值方程或可化为二次的方程时，求出多个参数结果后，忽略题目中隐含的限制条件，没有排除不符合条件的结果，最终失分。 另外，一类典型问题是求与参数相关的代数式的值，不一定要算出参数的具体结果再代入计算，要灵活使用整体代入法，不仅减少计算量，同时减少出错的概率。 总之，解答这类问题时，要牢记三个要点：一是代入后计算过程时刻注意符号规则，二是得到参数结果后，逐一核对题目给出的所有限制条件，舍去不符合要求的解；三是求代数式的值优先观察是否可以整体代入，简化计算过程，就能有效避免不必要的失分。 【对点训练】2．已知是方程的解，则代数式的值是（    ） A．2 B．5 C． D． 易错点3 解一元一次方程去分母运算出错 易错提醒 ①第一个错误就是去分母时漏乘方程中不含分母的项，忘记根据等式的性质，方程左右两边所有项都要乘这个公倍数， ②忽略分数线本身自带的括号作用，当分子是多项式时，去分母后忘记给分子整体添上括号， ③分母是小数的题型中，很多同学混淆了分数的基本性质与等式的基本性质，把分母化为整数的过程中，错误地将不含分母的项也扩大相同的倍数，徒增计算错误。 想要避开这些坑，去分母时记住三点：一是所有项都要乘最小公倍数，不要漏乘常数项；二是分子是多项式时一定要先添括号再去括号，注意符号变化；三是化小数分母时，只需要对单个分数利用分数性质变形，不需要改动方程其他项，就能大大降低去分母步骤的出错率。 【对点训练】3．解方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 易错点4 解一元一次方程去括号与移项易错： 易错提醒 去括号时，若括号前是负号，容易出现只改变括号内第一项符号、其余项符号不变的错误；移项时，经常混淆“移项要变号”的规则，对没有从等号一边移到另一边的项错误变号。计算时要牢记去括号的符号法则，移项后必须变号，不移项的项不改变符号。 【对点训练】4．解方程： ； 易错点5 解一元一次方程系数化1时出错 易错提醒 解一元一次方程到系数化1最常见的错误就是颠倒分子分母：在得到“系数乘未知数等于常数项”的形式后，误把常数项除系数变成了系数除常数项，完全颠倒了运算逻辑。其次就是符号错误，当未知数的系数为负数时，化1过程中经常漏掉负号，忽略了两边同除以负数后结果仍要保留负号，还有一类常见问题出现在系数为分数的情况中，很多同学对分数系数化1的规则不清晰，要么直接去掉分母得到错误结果，要么错误地只乘分母不乘分子，弄错计算结果。 要避开这类错误，只需要记住：系数化1的核心是等式两边同时除以未知数的系数（或同时乘系数的倒数），计算时先确定结果的符号，再计算绝对值，最后再核对一遍分子分母的位置，就能轻松避开这个最后一步的坑。 【对点训练】5．解方程：    易错点6 一元一次方程实际应用问题求解出错 易错提醒 一元一次方程解实际应用的出错点大多出现在审题、列式和最终检验三个环节，首先最常见的就是审题时找错等量关系：很多同学容易搞混题目中的倍数、差量关系，其次是不注意统一单位，题目中不同已知量给出的单位不统一时，没有提前统一单位，最终得到错误结果。 再者是配套、工程这类典型题型中，对数量关系理解错误，比如配套问题中“1个桌面配4条桌腿”，不少同学错把配套关系写反，得出完全错误的结果；工程问题中忽略“总工作量为1”的设定，或是错误计算多人合作的工作效率。 最后，就是解完方程后忘记结合实际情境检验结果，比如求得人数、物品个数为分数或负数，依然直接将结果作为最终答案，没有舍去不符合实际意义的解。 想要减少这类错误，审题时可以先圈出题目中的关键词，把题目描述的等量关系用文字等式先梳理出来，再替换为未知数和参数；列式前先检查所有量的单位是否统一，解完方程后一定要结合实际问题的情境判断结果是否合理，确认无误后再写出最终答案，就能很大程度上避免这类失误。 【对点训练】6．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身个，或盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有张白铁皮，假设用张制作盒身，用张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．根据题意，可列出方程为（  ） A． B． C． D． 易错点7 .判断二元一次方程时忽略“整式” 易错提醒 很多同学在判断一个方程是否为二元一次方程时，往往只关注“含有两个未知数”“每个未知数的次数都是1”这两个条件，却容易忽略二元一次方程要求方程两边必须是整式这个隐含前提。不少题目会设置分母含未知数的陷阱，很多同学会误将其判定为二元一次方程，本质上它属于分式方程，并不满足二元一次方程的定义。 判断时要牢记二元一次方程的三个完整判定条件：①方程两边都是整式；②方程中只含有两个未知数；③每个未知数的次数都是1，三个条件必须同时满足才能判定为二元一次方程。遇到含分母的方程要先检查分母是否含有未知数，避免落入出题陷阱。 【对点训练】7．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的是（    ） A．①⑥ B．①②⑥ C．①②④ D．①②④⑥ 易错点8 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 易错提醒 利用定义求参数或代数式值时，最容易踩两个核心陷阱：第一是漏掉了“未知数系数不为0”这个隐含条件，完全忘记如果对应未知数的系数为0，这个未知数就会从方程中消失，最终得到的方程就不满足二元一次方程的要求。第二个常见错误是混淆了未知数和参数的身份，很多题目会明确指明方程是“关于XX和XX的二元一次方程”，但依然有同学会把参数错当成未知数计数，错数了未知数的个数，最终得出完全错误的结论。 想要避开这类问题，只要按照固定步骤判断即可：第一步先根据题干要求，明确哪两个字母是未知数，剩余字母均为待求参数；第二步分别确认两个未知数的次数都为1，且对应系数都不等于0；最后联立得到的等式和不等式求解参数。 【对点训练】8．若方程是关于，的二元一次方程，则的值为（    ） A．1 B． C．2024 D． 易错点9 已知二元一次方程(组)的解求参数或代数式的值 易错提醒 这类问题最常见的易错点主要有两类，第一类是代入计算失误：将方程(组)的解代入原方程求参数时，容易看错原方程的系数符号，或是出现漏乘常数项、漏算符号的错误，第二类是变形题型思路混乱：当题目要求方程组的解满足某一额外条件（如解满足x+y=m这类关系式）时，很多同学会混淆解题逻辑，要么错误联立条件和原方程的单个式子，要么盲目消元增加计算量，最终结果出错。 想要避开这些易错点，遵循清晰的思路就能降低出错概率：若题目直接给出方程组的解，将解分别代入两个原方程，得到关于参数的方程组，分步计算代入过程，核对完符号与系数后再求解参数；若为“解满足某关系式”类题型，可先将原方程组中未知数用参数表示，再代入关系式计算，或是先联立关系式和原方程中不含参数的式子求出未知数，再回代求参数，每一步计算后及时核对符号，就能有效避免失误。 【对点训练】9．若方程组的解满足，则等于（   ） A． B．2021 C．2023 D．2027 易错点10 加减消元运算出错 易错提醒 加减消元法解二元一次方程组的出错点大多集中在方程变形和符号处理两个环节， ①方程变形漏乘项：为了让目标未知数的系数化为相等或相反，需要给整个方程乘以某一系数时，很多同学只会给含未知数的项乘系数，完全漏掉等号右侧的常数项，直接导致方程变形错误， ②符号处理失误，在做两个方程相减消元时，很多同学只给第一个含未知数的项变号，后续所有项都忘记改变符号， 想要避开这类错误，核心就是不要跳步心算：给方程乘系数变形时，把方程每一项依次乘系数再整理，不要省略过程；消元做减法时，先把减号分配到第二个方程的每一项，逐个核对符号后再合并同类项；变形完成后先核对一遍方程系数和常数项是否正确，再开始消元计算，就能有效减少运算错误。 【对点训练】10．解方程组 易错点11 解二元一次方程组应用题错设错列 易错提醒 解二元一次方程组应用题时，容易混淆两个未知数的实际含义，对应错等量关系，列出错误的方程组，或是得到结果后不检验结果是否符合实际情境，保留了不符合题意的解。解题时要先明确两个未知数分别对应的实际量，找准两个独立的等量关系列方程，得到结果后结合实际问题判断结果合理性。 【对点训练】11．某鞋店正举办开学特惠活动，如图为活动说明． 小李打算在该店同时购买两双鞋，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券． (1)若小李参加特惠活动需花费420元，比使用折价券多花20元，则两双鞋的原件为多少元？ (2)若小李计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差60元，则两双鞋的原价相差多少元？ 一、单选题 1．若方程是关于x的一元一次方程，则a的值是（    ） A．2 B． C． D． 2．若是关于的一元一次方程的解，则的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．若关于x，y的方程是二元一次方程，则k的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．已知是二元一次方程组的解，则m+3n的值为（　　） A．7 B．9 C．14 D．18 5.若方程组的解满足，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D．不能确定 二、填空题 6．关于x的方程是一元一次方程，则 ． 7．已知关于的方程的解为，则代数式的值为 ． 8．下面是小愉同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程： 解：去分母，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，得．…第三步 合并同类项，得，…第四步 方程两边同除以，得．…第五步 (1)以上求解过程中，第三步的依据是 ； (2)从第 步开始出现错误，具体的错误是 ； (3)该方程正确的解为 ． 9．若是二元一次方程，则________，_________． 10．三月初某书店销售A、B两种书籍，销售36本A书籍和25本B书籍收入3495元，销售24本A书籍和30本B书籍收入3330元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际购买了原价或打折的两种书籍，共花费3150元，其中购买的A种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买A种打折书籍________本． 三、解答题 11．解方程： 12．解下列方程组： (1)； (2)． 13．已知关于x，y的二元一次方程组． （1）当方程组的解为时，求a的值． （2）当a＝﹣2时，求方程组的解． （3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将代入方程x+2y＝a中，即可求出a的值．小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由． 14．机械厂加工车间有52名工人，平均每人每天加工大齿轮12个或小齿轮8个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？ 15．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机， 已知厂家生产三种不同号的电视机， 出厂价分别为： 甲种每台1500元， 乙种每台2100元， 丙种每台 2500元． (1)若商场计划同时只购进其中两种不同型号的电视机，并且正好用完拨款．请你给出所有可行的采购方案． (2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元．在以上的方案中， 为使获利最多， 你选择哪种进货方案？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $