第22章 直角三角形（复习讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

该初中数学直角三角形复习讲义以“性质-判定-应用”为主线构建知识框架，系统梳理直角三角形性质、全等判定、角平分线、勾股定理等核心内容，通过分点解析、表格对比（如勾股定理赵爽弦图等四种证法）、几何语言规范表述呈现知识脉络，突出定理间逻辑关联与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖11类专题（如直角三角形性质应用、勾股定理实际问题），结合例题与变式（如梯子滑动、吸管入杯等情境题）培养几何直观与模型意识，基础巩固与能力提升练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，引导学生自主构建知识体系。

第22章 直角三角形（复习讲义） 1.熟练掌握直角三角形的性质、直角三角形全等的判定、角平分线、勾股定理，构建 “性质 - 判定 - 应 用” 的知识框架，明确定理间的逻辑关联。 2.提升直角三角形相关计算、证明及实际应用的能力，能灵活运用定理解决跨知识点综合题型。 3.体会数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，掌握直角三角形相关题型。 知识点01．直角三角形的性质 性质1：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质2：两个锐角互余的三角形是直角三角形. 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点02．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 判定两个直角三角形全等的方法:判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用,因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”(一般方法)以及上面刚学的直角三角形的判定定理这五种方法来判定两个直角三角形全等。 几何语言：A B C A′ B′ C′ 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC≌ Rt△ A′B′C′(HL). 知识点03．角平分线 角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长； ②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等； ③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言： 如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 知识点04.勾股定理 1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 数学表达式：如图3.1-1 ，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， 则. 2. 勾股定理的变形公式：a²=c²-b² b²=c²-a² 3. 基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范. 知识点05.勾股定理的证明 1. 常用证法：验证勾股定理的方法很多，有测量法，有几何证明法. 但最常用的是通过拼图，利用求面积来验证，这种方法是以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据来进行验证的. 2. 著名证法举例 方法 图形 证明 “赵爽 弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为. 又因为大正方形的面积＝4×＋＝，所以＝ 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝. 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝，所以＝ 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝. 又因为S＝，所以＝ 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝，由图②得大正方形的面积＝，比较两式易得＝ 题型一 直角三角形的性质 【例1-1】（斜边的中线等于斜边的一半）（25-26八年级上·上海·期中）如图，，E为的中点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，E为的中点， ∴和均为直角三角形，且点E是公共斜边的中点， ∴， ∴， 故选：A． 【例1-2】（直角三角形的两个锐角互余）（25-26八年级上·上海·期中）在中，，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：在中，，因此， 又， 将两式相加，得：， 即， 所以， 故答案为：． 【例1-3】（含30度角的直角三角形）（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在中，是边上的中线，，．将沿所在直线翻折，点落在平面上的点处，连接，若面积为12，那么的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查折叠的性质，中线的性质以及等边三角形的性质，设，则，过点作于点，求出，，根据面积为12求出，由是中线得，证明是等边三角形，得，根据可得结论． 【详解】解：过点作于点， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵是边上的中线， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点，则， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴． 故答案为：9． 【例1-4】（锐角互余的三角形是直角三角形）（25-26八年级上·全国·期中） 如图，在中，于点D，E是上的一点，且． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】如图，在等腰三角形中，的垂直平分线交于点，则线段与线段的数量关系是（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题以尺规作图为背景，考查垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质．连接．依据线段垂直平分线的性质以及含角的直角三角形的性质，即可得出结论． 【详解】解：连接． ∵， ， 垂直平分， ， ， ， 在中，， ， ∴， 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在某探究课上，老师带领同学们做了一个实验：拿两块的三角板，将的直角顶点放在的斜边的中点处,设则此时重叠的部分四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，由题意易得，，，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积为和的面积和， ∴； 故答案为． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海·月考）已知：如图，在中，是边上的高，是边上的中线，是的平分线，与的垂直平分线相交于点．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意，得，只需证明即可证明平分； （2）根据，得，结合，得到即可得证． 本题考查了直角三角形中线的性质，余角的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）证明：∵是边上的高， ∴， ∵是的平分线，与的垂直平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二 直角三角形全等的判定 【例2-1】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，已知在和中，，，，如果，那么的大小为 ．    【答案】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，由，，，根据证明，则，，所以，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【例2-2】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：．（本题要写依据） 【详解】证明：，，（已知） 在和中， ， ， ，（全等三角形的性质） ，（已知） ，即，（线段的和差） 在和中， ， ， ，（全等三角形的性质） ．（内错角相等，两直线平行） 【例2-3】（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，已知在中，，点是内部的一点，，，垂足分别为点，且．求证：．    【详解】证明：连接，    ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【例2-4】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分线． 【变式2-1】（24-25八年级上·上海闵行·月考）如图，在中，于点D，E为上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，试求△的面积． 【详解】（1）证明： 在和中 （2）解：∵ ∴， ∵，，， ∴，， ∴． 【变式2-2】（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点D在边上，点E在的延长线上，，，交延长线于点F，．    (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点D、E分别在边上，，，且． (1)求证：； (2)连接，如果．求证：点F在的垂直平分线上． 【详解】（1）证明：∵， ∴是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点F在的垂直平分线上． 【变式2-4】（23-24八年级上·上海普陀·期末）已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 【详解】（1）∵，， ∴，与为直角三角形， ∵点A在边垂直平分线上， ∴， 在也中， ， ∴， 即； （2）设l交于点Q，连接，过作于，作于， ∴ 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 题型三 作角平分线 【例3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：如图，点A在的边上，求作点P，使点P到直线和直线的距离相等，且；（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤） 【分析】本题考查了作图—复杂作图、角平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．作的角平分线，再以O为圆心，为半径，于角平分线的交点即为点P． 【详解】解：如图，点P即为所求． 【变式3-1】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知：如图，，点A在上． (1)在射线上找一点B，使； (2)在的内部找一点P，使P到的两边距离相等，且（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤） 【分析】（1）以O为圆心，为半径作弧交于点B，点B即为所求； （2）连接，由题意可知是等边三角形，作平分交于P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，点B即为所求； （2）解：如图，点P即为所求． 【变式3-2】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，°，点在上． (1)求作：点，使点到、的距离相等，且．（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)若线段的垂直平分线交于点，四边形的面积等于，点到的距离是，则的长是__________cm． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求； （2）若线段的垂直平分线交于点，四边形的面积等于，点到的距离是4cm，则的长是__________cm． 解：如图，线段的垂直平分线交于点E，过点作垂足为， 又∵， ，由作图知是的角平分线， ， 又，点到的距离是，即， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴ 题型四 角平分线性质定理 【例4-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，已知中，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交于点G，联结．交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，由是边上的高，，推导出，而是的平分线，，所以，可判断A不符合题意；假设一定成立，则，所以，推导出，显然与已知条件不符，所以不一定成立，可判断B符合题意；由，证明，得，可判断C不符合题意；再证明，则，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∵， ∴，故A不符合题意； 假设一定成立，则， ∴， ∴，显然与已知条件不符， ∴不一定成立，故B符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故D不符合题意， 故选：B． 【例4-2】（24-25八年级上·上海·月考）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，    ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为；． 【例4-3】（24-25八年级上·上海杨浦·期末）如图，已知，是的中点，平分．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的判定和性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找边和角之间的关系． （1）过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证结论成立； （2）根据可知，根据两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可证，从而可证结论成立． 【详解】（1）证明：如下图所示，过点作， 平分，， ， ， 是的中点， ， ， 平分； （2）证明：由可知平分， ， 又平分， ， ， ， ∴， ， ， 在中，， ． 【变式4-1】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，平分，如果，点D到的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由角平分线的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴点D到的距离是2， 故答案为：2． 【变式4-2】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）直角中，，在三角形内有一点到三边的距离相等，这个相等的距离= ． 【答案】2 【分析】本题考查的是角平分线的性质，连接，设点到各边的距离为x，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， 设点到各边的距离为x， ∵，两直角边， 由题意得，， 解得， 故答案为：2． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于、交于，且，如果，，，那么的周长是 ． 【答案】32 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，对顶角的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 首先根据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可推得，根据等角对等边得出，结合对顶角相等和全等三角形的判定证明，根据全等三角形的性质得出的长，然后可求得的长，于是可求得的周长． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴． ∴， ∵是的中点， ∴． ∵， ∴． 由对顶角相等可知：． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴的周长． 故答案为：32． 【变式4-4】（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，平分，E、F分别是上的点． (1)当时，求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)22 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，作出恰当辅助线是解题的关键． （1）过D作于M，于N，根据角平分线性质求出，根据四边形的内角和定理和平角定义求出，证明即可得解； （2）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到，进而得出，过D作于G，依据角平分线的性质以及三角形面积公式，即可得到的面积． 【详解】（1）证明：如图，过D作于M，于N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作于G， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 题型五 角平分线性质定理的逆定理 【例5-1】（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，点P是边上一点，且到的距离相等，则线段一定是（  ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．所在直线是的中垂线 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质作答． 【详解】解：∵点P是边上一点，且到的距离相等，， ∴线段一定是的平分线，即线段一定是的角平分线． 故选：A． 【例5-2】（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 【答案】/29度 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理，求出的度数，证明平分，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，，， ∴平分， ∴； 故答案为：． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）若点O到的三边的距离相等，则点O为（   ） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三边上高的交点 C．三角形三个内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查三角形的内角的角平分线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质． 根据三角形的内角角平分线的性质即可判断． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点应是这个三角形的三个内角的平分线的交点， 故选：C． 【变式5-2】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，平行线的判定与性质，根据作图得到，等边对等角，推出，进而得到，根据点在边上且到边和边的距离相等，得到平分，推出为等腰三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在边上且到边和边的距离相等， ∴平分， ∴， ∴， ∴，；故选项A，C正确，不符合题意； ∵， ∴（平行线间的距离处处相等）；故选项D正确，不符合题意； 无法得到； 故选：B． 【变式5-3】（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．    ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 题型六 判断三边能否构成直角三角形 【例6】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴三角形不是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴三角形是直角三角形，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式6-1】（23-24八年级上·上海松江·期末）已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得．连接，当时，求的度数． 【答案】 【分析】根据题意可得是直角三角形，，在中，由勾股定理可得，在中，可得，则是等边三角形，所以，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，，，点是边中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，即， ∴是直角三角形，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式6-2】（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连结． (1)如果 ，求证：； (2)如果，平分求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先根据垂直平分线的性质，再根据勾股逆定理的判定即可解决问题； （2）先根据垂直平分线的性质得到再根据角平分线的定义可得进而求出再根据直角三角形中角所对的边式斜边的一半即可求解； 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【变式6-3】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，已知的三边满足，，，其中都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且． (1)求证：； (2)取边的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理逆定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质： （1）勾股定理逆定理，结合完全平方公式进行判定即可； （2）延长交于点G，证明，，得到，根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得证． 【详解】（1）证明：， ． （勾股定理的逆定理）； （2）证明：延长交于点G， ，， ． 又， ． ， ． ． ． ． 又，， ． ． 又， （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． 题型七 以直角三角形三边为边长的图形面积 【例7】（23-24八年级上·上海静安·期末）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是，，，则它们之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式．根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍，结合勾股定理可知，以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积． 【详解】解：设直角三角形的三边从小到大是 ∴ 如图，过A作于H， ， 则； 同理 ， 又 则． 故选：B． 【变式7】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图所示的三角形为直角三角形，那么字母所表示的正方形面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出正方形的边长即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，字母所表示的正方形的边长为， ∴字母所表示的正方形面积等于 故答案为：． 题型八 勾股定理的应用 【例8】（23-24八年级上·上海杨浦·期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子梛动位置，使其倾斜角变为．如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号） 【答案】行走的通道拓宽了米 【分析】此题主要考查勾股定理解三角形，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；也考查了含30度角直角三角形的性质，在直角三角形中，30度角所对的直角边长度为斜边的一半；根据勾股定理分别求出两次梯子距墙根的距离，求差得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 则． 答：行走的通道拓宽了米． 【变式8-1】（23-24八年级上·上海静安·期末）一架长的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动 米．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，在中，由勾股定理得，则，则在中，由勾股定理得，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴梯子底端将向左滑动米， 故答案为：． 【变式8-2】《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后的竹子（）的高度为 ． 【答案】4.55尺． 【分析】设AB=x，则BC=10-x，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】∵∠ABC=90°，AB+AC=10， 设AB=x，则BC=10-x， 在直角三角形ABC中， 根据勾股定理，得 ， ∴， 解得x=4.55 ∴折断后的竹子（）的高度为4.55尺， 故答案为：4.55尺． 【点睛】本题考查了直角三角形的勾股定理，熟练掌握定理，并灵活列式求解是解题的关键． 【变式8-3】（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：如图所示：是直角三角形， ∵底面半径为半径为，高为， ， 由勾股定理得：， ∴吸管露在杯口外的长度最少为：， 答：吸管露在杯口外的长度最少2厘米， 故答案为：2． ． 题型九 用勾股定理解三角形 【例9】（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，且，再分别求和的面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ， ∴四边形的面积 【变式9-1】（24-25八年级上·上海徐汇·期末）已知，如图：是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题： (1)如图①，若点P在线段上，且，，则： ①线段__________，__________； ②猜想：，，三者之间的数量关系为__________； (2)如图②，若点P在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程； (3)若动点满足，求的值． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)的值为或 【分析】（1）①在中，利用勾股定理可求得，由可求得的长；②过作于点，则可求得，把和都用和表示出来，在中，由勾股定理得到和的关系，从而可得到三者之间的数量关系； （2）过作于点，把和都用和表示出来，在中，由勾股定理得到和的关系，从而可证得结论； （3）分点在线段上和线段的延长线上，分别利用得到和的关系，从而可得到和的关系，在和中，利用勾股定理可分别得到和的关系，从而可求得的值． 【详解】（1）解：①∵是等腰直角三角形，， ， ， ； ②， 证明：如图1，过作于点， ∵为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理可得， ， ∵为等腰直角三角形，且， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图 2，过作于点， ∵为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， ∵为等腰直角三角形，且， ， ． （3）解：过点作于点， ， ∴点只能在线段上或在线段的延长线上， 如图3，当点在线段上时， ， ， 在 中，由勾股定理可得， 在 中，由勾股定理可得， ； 如图4，当点  P   在线段 的延长线上时， ， ， 在 中，由勾股定理可得， 在 中，由勾股定理可得， ， 综上，的值为或． 【变式9-2】（24-25八年级上·上海长宁·期末）在中，点D是边的中点，点分别在边上，且，连结． (1)如图1，是等腰直角三角形，，求证：； (2)如图2，是等边三角形，，求证：； (3)如图3，，请直接写出的长度：_______（无需写出过程）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线可知，根据三线合一可知，易得，即可得到是等腰直角三角形，求出答案即可； （2）过点D作于G，作于H，连接AD，先根据三线合一得到，再根据角平分线的性质可得，易得，进而可得到答案； （3）如图，延长至G，使，连接，过点G作于H，先判定是的垂直平分线，再运用勾股定理解决即可； 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点D是边BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：如图2，过点D作于G，作于H，连接AD，则， ∵是等边三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 即， ∴， 即； （3）解：如图3，延长至G，使，连接，过点G作于H， ∵ ∴是的垂直平分线， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则 由勾股定理得：， ∴， 解得：（舍），， ∴， ∴． 题型十 勾股定理与网格及折叠问题 【例10-1】（勾股定理与网格问题）（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，掌握勾股定理求出线段的长，垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 连接，，，，，，，，结合网格的特点，根据勾股定理求出各线段的长，得到，，根据线段的垂直平分线的判定及性质即可解答． 【详解】解：连接，，，，，，，， ∵每个小正方形的边长都为1， ∴，，，， ，，，， ∴，， ∴直线是的垂直平分线， ∴和线段两个端点距离相等的点的轨迹是直线． 故选：C 【例10-2】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）在中，，，在内部，且，分别将，向对折，使得，都与重合，折痕，分别交于点，．若，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的知识，解题的关键是过点作交于点，根据勾股定理，求出，再根据等腰三角形三线合一，可，设，则，由折叠可得：，，根据勾股定理，可得，解出，分类讨论；，根据勾股定理，进行计算，即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵中，，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得：，， 在中，， ∴， 解得：或， 当时，即， ∴， ∴； 当时，即， ∴， ∴； 故答案为：或． 【变式10-1】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边的长为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了新定义，网格与勾股定理，正确理解新定义是解题的关键． 根据直邻四边形的定义结合网格作出图形，再根据勾股定理与网格求出的长即可． 【详解】解：若，如图1所示； 则； 若，如图2所示， 则． 故答案为：或1． 【变式10-2】（23-24八年级上·上海闵行·期末）在中，，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么的面积是 ． 【答案】4或 【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，可得到的面积；当时，过作于，设，则，可得，，又，可得，，再利用勾股定理可得，可得到的面积． 【详解】解：当时，如图： ∵，，， ∴， ∵将折叠，使点与点重合， ∴， ∴的面积是：；    当时， 如图，过作于，      设， ∵，， ∴， ∴， ∵将折叠，使点与点重合， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴的面积是：． 综上所述，如果是直角三角形，那么的面积是4或． 故答案为：4或． 【变式10-3】（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】过点A作于点G，过点D作与点H，根据等边对等角得出，进而得出，分别根据勾股定理得出长度，设，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】过点A作于点G，过点D作与点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边中点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵将沿某直线翻折使得点与点重合， ∴垂直平方， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【变式10-4】（22-23八年级上·上海宝山·期末）在中，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N．如果是直角三角形，那么的面积是 ． 【答案】1或 【分析】本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积等知识．分两种情况：当时，根据及将折叠，使点B与点A重合，可得，可得到的面积；当时，过A作于H，设，则，可得，，又，可得，再利用勾股定理可得，可得到的面积． 【详解】解：当时，如图： ∵， ∴， ∵将折叠，使点B与点A重合， ∴， ∴的面积是：； 当时， 如图，过A作于H，设， ∵， ∴， ∴， ∵将折叠，使点B与点A重合， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的面积是：．． 故答案为：1或． 题型十一 勾股定理的证明及证明线段平方关系 【例11-1】（勾股定理的证明方法）（24-25八年级上·上海·期末）本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种． (1)请写出勾股定理的内容_____． (2)请写出一种勾股定理的证明方法． 【答案】(1)一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理及其证明： （1）直接写出勾股定理即可； （2）利用赵爽弦图进行证明即可． 【详解】（1）解：勾股定理内容为：一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）如图，大正方形由4个全等的直角三角形（直角边为，斜边为）和一个小正方形组成，则：大正方形的面积的等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， ∴． 【例11-2】（利用勾股定理证明线段平方关系)（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【变式11-1】（22-23八年级上·上海宝山·期末）如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． (1)求证：； (2)如果， ①求证：； ②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；见解析 【分析】（1）根据已知得到，，证得，，推出； （2）证明即可得到结论； 根据全等三角形的性质得到，根据四边形的面积即可推出． 【详解】（1）证明：∵三角形是直角三角形，直角顶点C在直线上， ∴， ∵过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． ∴， ∴，， ∴； （2）在和中 ∴， ∴； ∵， ∴， ∵四边形的面积 ∴， ∴． 【变式11-2】中，，点D、E分别为边AB、BC上的点，且，，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H． （1）点F是CD中点时，求证：； （2）求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）联结MD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得,根据点F是CD中点，即可判断是的垂直平分线； （2）证明是的垂直平分线，可得，进而在中，，等量代换即可得 【详解】（1）证明：联结MD． ∵， ∴ ∵点M是AE的中点， ∴．同理可证：， ∴． ∵点F是CD中点， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵点M是AE的中点， ∴． ∵， ∴点M，点C在线段AD的垂直平分线上． ∴CM是线段AD的垂直平分线． ∴，． ∴． ∴中， ∴． 基础巩固通关测 1．（22-23八年级上·上海青浦·期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意求得，根据的面积为梯形面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即可求解． 【详解】解：∵的面积为1， ∴，即， ∵，即， ∴，即， ∴的面积． 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质应用，利用等面积法计算是解题的关键． 根据已知条件求出，过点作，，，根据等面积法计算即可； 【详解】过点作，，，连接， ，，， ， 平分，平分， ， ， ， , ， 点到边的距离为． 故选． 3．（25-26八年级上·上海·期中）如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和实数与数轴，根据勾股定理求出的长，即的长，从而求出点对应的数． 【详解】解：由勾股定理知：， ∴， ∴点对应的数是， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于 ． 【答案】9 【分析】本题考查角平分线的性质．过点作，根据角平分线的性质得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵，平分， ∴， ∴的面积等于； 故答案为：9． 5．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则边的长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查角平分线的性质，解题关键是明确角平分线上的点到角两边的距离相等，做出辅助线，利用面积求解即可． 【详解】解：作于点， ∵是的角平分线，于点， ∴， ， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：4． 6．（25-26八年级上·上海·期中）在中，，于，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，结合等面积法计算是解题的关键． 在中，由和，利用含角的直角三角形的性质求出和；再利用等面积法求出，再利用勾股定理求出即可； 【详解】解：在中，，， ， ，且是的对边， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：3． 7．（25-26八年级上·上海宝山·期中）若的三条边分别为，，，则斜边上的高的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及利用三角形面积公式求斜边上的高，首先根据勾股定理确定直角三角形的斜边为，直角边为和，然后利用面积公式（直角边乘积等于斜边乘以高）求解斜边上的高． 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴斜边为，直角边为和， 设斜边上的高为h，由面积公式可得：，解得， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知、点及线段，求作点，使点到、距离相等且到点距离为． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，正确作出图形是解题的关键； 根据角平分线的作法作出的角平分线，作线段垂直平分线，以点为圆心，为半径画弧交射线于和，则点和即为所求． 【详解】解：如图所示： 点即为所求． 9．（25-26八年级上·上海·阶段练习）教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为．现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图①的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形． 要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题．利用勾股定理在网格中分别找到的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】解：如图：排列形式如图③，画出分割线并在正方形网格图④中用实线画出拼接成的新正方形． 10．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，于点，，． (1)求和的长； (2)求的长（提示：利用三角形面积公式）． 【答案】(1)的长为，的长为； (2)的长为． 【分析】本题考查含角的直角三角形，勾股定理，三角形的高相关的计算． （1）由角所对的直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得； （2）将和代入三角形的面积公式，可得，用表示，即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． ∴的长为，的长为． （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． ∴的长为． 能力提升进阶练 1．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图，中，是边上的中线，是的角平分线，下列结论错误的是（   ） A． B．点到的距离等于线段的长度 C．点在线段的垂直平分线上 D． 【答案】A 【分析】证明是直角三角形，，过点E作于点H，得到，即可判断选项B正确；由是边上的中线得到，则点在线段的垂直平分线上，即可判断选项C正确；由，得到，即可判断选项D正确；如果，则，证明，则，得到是等边三角形，则，与已知矛盾，即可判断A错误． 【详解】解：∵中， ∴， ∴是直角三角形，， 过点E作于点H， ∵是的角平分线，， ∴， ∴点到的距离等于线段的长度， 故选项B正确； ∵是边上的中线， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 故选项C正确； ∵， ∴， 故选项D正确； 如果，则，如图， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，与已知矛盾， ∴错误， 故选项A错误， 故选：A 【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 2．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）如图，已知，平分，点F、G分别在直线、直线上运动，那么在运动过程中，下列说法正确的有（   ） ① ②的值不变 ③以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变 ④长度不变 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过点E作于M，于N，根据角平分线的性质得出，根据证明，得出，，即可判断①；根据证明，得出，即可判断②；根据全等三角形的性质得出，，即可判断③；根据勾股定理即可判断④． 【详解】解：过点E作于M，于N， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，，故①正确； ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴的值不变，故②正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变，故③正确； 根据勾股定理，得 ， ∵随点F的位置变化而变化， ∴长度改变，故④错误， 故选：D． 3．（22-23八年级上·上海宝山·期末）如图，将梯形（纸片）折叠，使点与边上的点重合，直线为折痕；点也与边上的点重合，直线为折痕．已知，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，，，，过作于，解直角三角形得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由折叠的性质得，，，， ，， 过作于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解直角三角形，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为 【答案】 【分析】连接，延长交于点G，作于点H，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得三角形为直角三角形，且G为中点，从而，由勾股定理可得的长，再根据，即，从而可求得的长． 【详解】解：连接，延长交于点G，作于点H，如图所示， 由折叠的性质可得：， 则为的中垂线， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， 即， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）（1）如图，已知以边为边向形外作等边和等边，连接相交于点．求证：； （2）利用上述思想方法解决问题：如图，在中，，，度，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，求的长． 【答案】（）证明见解析；（）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由和都是等边三角形，则，，，所以，然后证明即可； （）以为直角边向外作等腰直角三角形，连接，同（）理证明，所以，然后通过勾股定理，从而求解． 【详解】（）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （）解：如图，以为直角边边向外作等腰直角三角形，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合，则表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； （3）下面介绍如何获得边长为的正方形．利用面积为2的正方形以及一个面积为1的正方形剪裁、拼接．如图3，将面积为1的正方形与面积为2的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 请参考这一方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的面积为2或5的正方形，尝试获得边长为的正方形，利用刻度尺画出图形．（图上适当标注数据，不需要写作图过程） 【答案】（1）或 （2）见解析 （3）见解析 【分析】本题考查勾股定理与全等三角形的应用，熟练掌握勾股定理与全等三角形是解题关键． （1）先由勾股定理得正方形边长，再结合点A表示的数，推出表示的数． （2）通过证明，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等，推导得出结论． （3）利用勾股定理，结合面积为5、1的正方形，构造直角三角形得到斜边，再拼成正方形． 【详解】（1）解：由题可知， 点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合， 若在A的左侧，则表示的数为， 若在A的右侧，则表示的数为， 表示的数为或． 故答案为：或． （2）证明：在与中， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图所示，四边形即为所求， 将面积为1的正方形与面积为5的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 7．（24-25八年级上·上海·期中）定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们______（填是或不是）友谊三角形； (2)如图，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系． 【答案】(1)是 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）在上取一点，使得，利用全等三角形的判定和性质即可解决问题． 【详解】（1）解：全等三角形的对应边相等，对应角相等， 两个三角形全等，必有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 若两个三角形全等，它们是友谊三角形， 故答案为：是； （2）平分， ， ，，与是友谊三角形， ， 在上取一点，使得，连接，如图 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； 8．（24-25八年级上·上海普陀·期末）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，数学课本P106的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例题14已知：如图，分别是的平分线，，，垂足分别为点． 求证：点在的平分线上． 证明过点作，垂足为点． ，分别是、的平分线（已知）． ，（已知）， （所作）， ，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． （等量代换）． 点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 【研究老图形】在例题1的图19-27中，分别连接． （1）点为△三条_____的交点，点为△三条_____的交点（填写序号）； ①边的垂直平分线  ②角平分线 ③高 ④中线 （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么_____．（用含的代数式表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 【答案】（1）②，①；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据题意，得到点是的三条角平分线的交点，再根据，得到点为的三边中垂线的交点即可； （2）根据四边形的内角和，得到，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质，推出，即可得出结果； （3）根据，，得到，根据（2）中结论得到，进而推出，得到点在的中垂线上，证明，推出垂直平分，即可得证． 【详解】解：（1）由题干可知，点是的三条角平分线的交点， ∵， ∴点到三个顶点的距离相等， ∴点为三边的垂直平分线的交点，（到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上）； 故答案为：②，①； （2）如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于点， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为：； （3）画出示意图，如图所示： ∵，， ∴， ∴； 由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴点在的中垂线上， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴点在直线上． 9．（24-25八年级上·上海·期末）如图，中，，，．点P是射线上一点（不与点B重合），为的垂直平分线，交于点F，交射线于点E，连接、． (1)的度数； (2)当点P在线段上时，设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)如果 ，请直接写的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为2或1或 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形取BC的中点H，连接，由直角三角形的性质可得出，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出答案． （2）作，垂足为点D．由直角三角形30角所对边等于斜边一半知，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）当点P在线段上时，当点P在射线上时，作，根据三角形的面积公式计算可得 【详解】（1）解：在中， ∵，，， ∴，， ∴． ∴． 取的中点H，连接，如图所示： ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． （2）解：如图1，过点A作，垂足为点D． 在中， ∵，， ∴， ∴， 同理，， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ ， 即； （3）解：当点P在线段上时，由x， 解得或1， ∴的长为2或1； 当点P在射线上时，如图2，过点A作于点M， 在中，，， ∴， 同理，， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ 即， 解得（负值舍去）， ∴的长是； 则如果，BF的长为2或1或． 【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质及三角形的面积公式和分类讨论思想的运用． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，是一条角平分线． (1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴________．（________） ∴________，又∵，∴． (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点． 求证：． (3)【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是________． 【答案】(1)，角平分线的性质， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式以及角平分线的性质求解即可； （2）过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P，再利用角平分线的性质及等面积法证明即可； （3）在上取点G，使得，连接，先利用全等三角形的判定得出，再由其性质及前面的结论求解即可． 【详解】（1）过点作于点， 于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴，（角平分线的性质） ∴， 又∵， ∴． （2）如图，过点D作于N， 过点D作于M， 过点A作于点P， 是的外角平分线， 即平分， ， ， 又， ． （3）在上取点G，使得，连接， 、分别是、的角平分线且相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）可得，在中，为的角平分线， ， 设，则， ，， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 直角三角形（复习讲义） 1.熟练掌握直角三角形的性质、直角三角形全等的判定、角平分线、勾股定理，构建 “性质 - 判定 - 应 用” 的知识框架，明确定理间的逻辑关联。 2.提升直角三角形相关计算、证明及实际应用的能力，能灵活运用定理解决跨知识点综合题型。 3.体会数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，掌握直角三角形相关题型。 知识点01．直角三角形的性质 性质1：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质2：两个锐角互余的三角形是直角三角形. 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点02．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 判定两个直角三角形全等的方法:判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用,因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”(一般方法)以及上面刚学的直角三角形的判定定理这五种方法来判定两个直角三角形全等。 几何语言：A B C A′ B′ C′ 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC≌ Rt△ A′B′C′(HL). 知识点03．角平分线 角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长； ②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等； ③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言： 如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 知识点04.勾股定理 1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 数学表达式：如图3.1-1 ，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， 则. 2. 勾股定理的变形公式：a²=c²-b² b²=c²-a² 3. 基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范. 知识点05.勾股定理的证明 1. 常用证法：验证勾股定理的方法很多，有测量法，有几何证明法. 但最常用的是通过拼图，利用求面积来验证，这种方法是以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据来进行验证的. 2. 著名证法举例 方法 图形 证明 “赵爽 弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为. 又因为大正方形的面积＝4×＋＝，所以＝ 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝. 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝，所以＝ 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝. 又因为S＝，所以＝ 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝，由图②得大正方形的面积＝，比较两式易得＝ 题型一 直角三角形的性质 【例1-1】（斜边的中线等于斜边的一半）（25-26八年级上·上海·期中）如图，，E为的中点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（直角三角形的两个锐角互余）（25-26八年级上·上海·期中）在中，，，则的度数为 ． 【例1-3】（含30度角的直角三角形）（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在中，是边上的中线，，．将沿所在直线翻折，点落在平面上的点处，连接，若面积为12，那么的面积为 ． 【例1-4】（锐角互余的三角形是直角三角形）（25-26八年级上·全国·期中） 如图，在中，于点D，E是上的一点，且． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【变式1-1】如图，在等腰三角形中，的垂直平分线交于点，则线段与线段的数量关系是（   ） A． B．5 C．3 D． 【变式1-2】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在某探究课上，老师带领同学们做了一个实验：拿两块的三角板，将的直角顶点放在的斜边的中点处,设则此时重叠的部分四边形的面积为 ． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海·月考）已知：如图，在中，是边上的高，是边上的中线，是的平分线，与的垂直平分线相交于点．求证： (1)平分； (2)． 题型二 直角三角形全等的判定 【例2-1】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，已知在和中，，，，如果，那么的大小为 ．    【例2-2】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：．（本题要写依据） 【例2-3】（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，已知在中，，点是内部的一点，，，垂足分别为点，且．求证：．    【例2-4】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 【变式2-1】（24-25八年级上·上海闵行·月考）如图，在中，于点D，E为上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，试求△的面积． 【变式2-2】（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点D在边上，点E在的延长线上，，，交延长线于点F，．    (1)求证：； (2)求证：． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点D、E分别在边上，，，且． (1)求证：； (2)连接，如果．求证：点F在的垂直平分线上． 【变式2-4】（23-24八年级上·上海普陀·期末）已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 题型三 作角平分线 【例3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：如图，点A在的边上，求作点P，使点P到直线和直线的距离相等，且；（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤） 【变式3-1】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知：如图，，点A在上． (1)在射线上找一点B，使； (2)在的内部找一点P，使P到的两边距离相等，且（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤） 【变式3-2】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，°，点在上． (1)求作：点，使点到、的距离相等，且．（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)若线段的垂直平分线交于点，四边形的面积等于，点到的距离是，则的长是__________cm． 题型四 角平分线性质定理 【例4-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，已知中，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交于点G，联结．交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25八年级上·上海·月考）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    【例4-3】（24-25八年级上·上海杨浦·期末）如图，已知，是的中点，平分．求证： (1)平分； (2)． 【变式4-1】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，平分，如果，点D到的距离是 ． 【变式4-2】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）直角中，，在三角形内有一点到三边的距离相等，这个相等的距离= ． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于、交于，且，如果，，，那么的周长是 ． 【变式4-4】（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，平分，E、F分别是上的点． (1)当时，求证：； (2)若，求的面积． 题型五 角平分线性质定理的逆定理 【例5-1】（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，点P是边上一点，且到的距离相等，则线段一定是（  ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．所在直线是的中垂线 【例5-2】（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）若点O到的三边的距离相等，则点O为（   ） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三边上高的交点 C．三角形三个内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【变式5-2】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    题型六 判断三边能否构成直角三角形 【例6】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24八年级上·上海松江·期末）已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得．连接，当时，求的度数． 【变式6-2】（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连结． (1)如果 ，求证：； (2)如果，平分求的长． 【变式6-3】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，已知的三边满足，，，其中都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且． (1)求证：； (2)取边的中点，求证：． 题型七 以直角三角形三边为边长的图形面积 【例7】（23-24八年级上·上海静安·期末）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是，，，则它们之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式7】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图所示的三角形为直角三角形，那么字母所表示的正方形面积等于 ． 题型八 勾股定理的应用 【例8】（23-24八年级上·上海杨浦·期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子梛动位置，使其倾斜角变为．如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号） 【变式8-1】（23-24八年级上·上海静安·期末）一架长的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动 米．    【变式8-2】《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后的竹子（）的高度为 ． 【变式8-3】（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为 ． 题型九 用勾股定理解三角形 【例9】（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 【变式9-1】（24-25八年级上·上海徐汇·期末）已知，如图：是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题： (1)如图①，若点P在线段上，且，，则： ①线段__________，__________； ②猜想：，，三者之间的数量关系为__________； (2)如图②，若点P在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程； (3)若动点满足，求的值． 【变式9-2】（24-25八年级上·上海长宁·期末）在中，点D是边的中点，点分别在边上，且，连结． (1)如图1，是等腰直角三角形，，求证：； (2)如图2，是等边三角形，，求证：； (3)如图3，，请直接写出的长度：_______（无需写出过程）． 题型十 勾股定理与网格及折叠问题 【例10-1】（勾股定理与网格问题）（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【例10-2】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）在中，，，在内部，且，分别将，向对折，使得，都与重合，折痕，分别交于点，．若，则的长为 ． 【变式10-1】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边的长为 ． 【变式10-2】（23-24八年级上·上海闵行·期末）在中，，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么的面积是 ． 【变式10-3】（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 ． 【变式10-4】（22-23八年级上·上海宝山·期末）在中，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N．如果是直角三角形，那么的面积是 ． 题型十一 勾股定理的证明及证明线段平方关系 【例11-1】（勾股定理的证明方法）（24-25八年级上·上海·期末）本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种． (1)请写出勾股定理的内容_____． (2)请写出一种勾股定理的证明方法． 【例11-2】（利用勾股定理证明线段平方关系)（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【变式11-1】（22-23八年级上·上海宝山·期末）如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． (1)求证：； (2)如果， ①求证：； ②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【变式11-2】中，，点D、E分别为边AB、BC上的点，且，，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H． （1）点F是CD中点时，求证：； （2）求证： 基础巩固通关测 1．（22-23八年级上·上海青浦·期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．5 2．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 3．（25-26八年级上·上海·期中）如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是 ． 4．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于 ． 5．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则边的长是 ． 6．（25-26八年级上·上海·期中）在中，，于，，，则的长为 ． 7．（25-26八年级上·上海宝山·期中）若的三条边分别为，，，则斜边上的高的长为 ． 8．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知、点及线段，求作点，使点到、距离相等且到点距离为． 9．（25-26八年级上·上海·阶段练习）教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为．现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图①的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形． 要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 10．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，于点，，． (1)求和的长； (2)求的长（提示：利用三角形面积公式）． 能力提升进阶练 1．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图，中，是边上的中线，是的角平分线，下列结论错误的是（   ） A． B．点到的距离等于线段的长度 C．点在线段的垂直平分线上 D． 2．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）如图，已知，平分，点F、G分别在直线、直线上运动，那么在运动过程中，下列说法正确的有（   ） ① ②的值不变 ③以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变 ④长度不变 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（22-23八年级上·上海宝山·期末）如图，将梯形（纸片）折叠，使点与边上的点重合，直线为折痕；点也与边上的点重合，直线为折痕．已知，，，则的面积是 ． 4．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）（1）如图，已知以边为边向形外作等边和等边，连接相交于点．求证：； （2）利用上述思想方法解决问题：如图，在中，，，度，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，求的长． 6．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合，则表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； （3）下面介绍如何获得边长为的正方形．利用面积为2的正方形以及一个面积为1的正方形剪裁、拼接．如图3，将面积为1的正方形与面积为2的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 请参考这一方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的面积为2或5的正方形，尝试获得边长为的正方形，利用刻度尺画出图形．（图上适当标注数据，不需要写作图过程） 7．（24-25八年级上·上海·期中）定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们______（填是或不是）友谊三角形； (2)如图，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系． 8．（24-25八年级上·上海普陀·期末）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，数学课本P106的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例题14已知：如图，分别是的平分线，，，垂足分别为点． 求证：点在的平分线上． 证明过点作，垂足为点． ，分别是、的平分线（已知）． ，（已知）， （所作）， ，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． （等量代换）． 点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 【研究老图形】在例题1的图19-27中，分别连接． （1）点为△三条_____的交点，点为△三条_____的交点（填写序号）； ①边的垂直平分线  ②角平分线 ③高 ④中线 （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么_____．（用含的代数式表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 9．（24-25八年级上·上海·期末）如图，中，，，．点P是射线上一点（不与点B重合），为的垂直平分线，交于点F，交射线于点E，连接、． (1)的度数； (2)当点P在线段上时，设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)如果 ，请直接写的长． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，是一条角平分线． (1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴________．（________） ∴________，又∵，∴． (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点． 求证：． (3)【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $