专题22.2 直角三角形全等的判定（举一反三讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

本讲义聚焦直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理，衔接已学的一般三角形全等判定方法，通过添加条件使全等、证明全等及利用性质求线段长度等8个题型构建学习支架，系统梳理HL定理的应用脉络。 资料以真题例题结合变式题分层设计，培养学生几何直观的数学眼光和推理能力的数学思维，如通过添加条件题型强化定理理解，证明与计算题型提升应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，夯实知识运用能力。

专题22.2 直角三角形全等的判定（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 添加条件使三角形全等】 1 【题型2 证明直角三角形全等】 2 【题型3 利用HL及全等的性质求线段长度】 3 【题型4 利用HL及全等的性质求角度】 4 【题型5 利用HL及全等的性质证明线段相等】 5 【题型6 利用HL及全等的性质证明角度相等】 6 【题型7 利用HL及全等的性质证明线段间的数量关系】 7 【题型8 利用HL及全等的性质证明线段间的位置关系】 8 知识点 斜边、直角边定理 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【题型1 添加条件使三角形全等】 【例1】（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，中，于O，若要根据“”判定，还需要添加条件 ． 【变式1-2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 【题型2 证明直角三角形全等】 【例2】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，，连接，点为的中点，连接，，求证：． 【变式2-1】如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 【变式2-2】（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【变式2-3】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 【题型3 利用HL及全等的性质求线段长度】 【例3】如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式3-1】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ； 【变式3-3】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的值并说明理由． 【题型4 利用HL及全等的性质求角度】 【例4】（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【变式4-1】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别是点D，E，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【题型5 利用HL及全等的性质证明线段相等】 【例5】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 【变式5-1】（24-25八年级上·全国·期中）如图中，，过C作，使，在上取一点E，连接，且．求证： 【变式5-2】（2025·陕西宝鸡·一模）如图，在和中，，，相交于点G，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：． 【变式5-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知于点于点，且，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型6 利用HL及全等的性质证明角度相等】 【例6】（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，已知、分别是两个钝角和的高，已知，．求证：． 【变式6-1】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，，，，垂足分别为，，．求证：． 【变式6-2】如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且； (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式6-3】如图，于点D，于，交于，,求证： 【题型7 利用HL及全等的性质证明线段间的数量关系】 【例7】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 【变式7-1】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 【变式7-2】如图，在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点． (1)依题意补全图形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【变式7-3】将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在AB上，DE所在直线交直线AC于点F． （1）求证：； （2）若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明． 【题型8 利用HL及全等的性质证明线段间的位置关系】 【例8】如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，垂足分别为E，F，．求证： (1)； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【变式8-1】（24-25八年级下·福建三明·期末）已知：如图，，，，垂足分别为，，且．求证：． 【变式8-2】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，是的高，是上一点，，，求证： (1)． (2)． 【变式8-3】（2025·四川宜宾·一模）如图，四边形中，，，，，与相交于点．判断线段与的位置关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.2 直角三角形全等的判定（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 添加条件使三角形全等】 1 【题型2 证明直角三角形全等】 3 【题型3 利用HL及全等的性质求线段长度】 6 【题型4 利用HL及全等的性质求角度】 9 【题型5 利用HL及全等的性质证明线段相等】 13 【题型6 利用HL及全等的性质证明角度相等】 16 【题型7 利用HL及全等的性质证明线段间的数量关系】 18 【题型8 利用HL及全等的性质证明线段间的位置关系】 23 知识点 斜边、直角边定理 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【题型1 添加条件使三角形全等】 【例1】（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据为两条斜边和一组直角边对应相等的直角三角形全等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 故选D． 【变式1-1】如图，中，于O，若要根据“”判定，还需要添加条件 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据“斜边直角边”的理解可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时， 在 和中， ， ， 故答案为： ． 【变式1-2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定. 根据是三角形的高，得到，故可根据可以判定． 【详解】解：∵是三角形的高， ∴， ∵，， ∴（）， 故选A． 【变式1-3】如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 【答案】 【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 故答案为：． 【题型2 证明直角三角形全等】 【例2】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，，连接，点为的中点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：等角对等边，得到，三线合一，得到，，进而得到，利用即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． 【变式2-1】如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据“”证明即可． 【详解】证明：，，点E、F为垂足， ， 和均为直角三角形． 为的中点， ． 在和中， ． 【变式2-2】（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“”证明全等即可． 【详解】证明：、， 在和中， ， 【变式2-3】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三线合一定理，由三线合一定理得到，则可证明，据此可利用证明． 【详解】证明：∵，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【题型3 利用HL及全等的性质求线段长度】 【例3】如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定，角平分线的定义，熟知勾股定理和全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由角平分线的性质可得，再利用即可证明； （2）直接利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴； （2）解：在中，， ∴． 【变式3-1】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质．先判定，从而得出，则． 【详解】解：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 【变式3-2】（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ； 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式3-3】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的值并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)6；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）先得，因为是的外角，故，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴ ∴， ∵， ∴． 【题型4 利用HL及全等的性质求角度】 【例4】（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形全等判定的特殊方法是解题的关键． （1）根据题意，得到，又，利用直角三角形全等的判定方法证明；从而得证； （2）由（1）得，得到，结合，即可得解． 【详解】（1），理由如下： ∵小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，两人分别同时到达， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， 又， ． 【变式4-1】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，首先根据，，可得：，，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得：，从而可得：． 【详解】解： ，， ，， 在和中，， ， ， ． 故选：C． 【变式4-2】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 【变式4-3】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别是点D，E，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的应用，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形判定定理． （1）由，，可得，再由 “”即可证明； （2）由可知，进而求得，结合，即可得解． 【详解】（1）解：证明： ，， ， 在和中 ； （2）解：， ∴， ， ， ∴， ， ∴， ， ． 【题型5 利用HL及全等的性质证明线段相等】 【例5】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，连接，，由线段垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，据此可证明，则可证明． 【详解】证明：如图所示，连接，， 垂直平分， ， ，，平分， ，， ， ． 【变式5-1】（24-25八年级上·全国·期中）如图中，，过C作，使，在上取一点E，连接，且．求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式5-2】（2025·陕西宝鸡·一模）如图，在和中，，，相交于点G，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定， 先说明，再根据“斜边，直角边”证明，可得，然后根据“等角对等边”得出答案． 【详解】证明：， ， 即， 在和中，，， ， ， ． 【变式5-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知于点于点，且，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理． （1）先证明，再根据证明，根据全等三角形对应边相等即可证明结论； （2）根据证明即可得出，代入数据可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∴． 【题型6 利用HL及全等的性质证明角度相等】 【例6】（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，已知、分别是两个钝角和的高，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质知识点，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等． 利用＂HL＂判定直角三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等来证明． 【详解】证明：、分别是两个钝角和的高， 且，， ， ， ， ． 【变式6-1】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，，，，垂足分别为，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用证明即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且； (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关定理内容是解题关键． （1）证即可； （2）由题意得，推出，由（1）可知，，据此即可求解； 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ∴ ； （2）解：，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， 即的度数为． 【变式6-3】如图，于点D，于，交于，,求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的判定得出，即可证明 【详解】证明：于，于， ， ∵， ， ， ， ， ． 【题型7 利用HL及全等的性质证明线段间的数量关系】 【例7】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式7-1】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由得，证明，即可证明； （2）证明，得到即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 【变式7-2】如图，在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点． (1)依题意补全图形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）依照题意补全图形； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由可证，可得，可得结论． 【详解】（1）补全图形如图所示： （2），理由如下： 如图，连接，并延长交于点，过点作于，于， ， ， 是的中点， ， 又， ， ，， 将线段沿所在直线翻折， ， 又，， ， ，， 又， ， ， ， ． 【变式7-3】将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在AB上，DE所在直线交直线AC于点F． （1）求证：； （2）若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）如图，连接BF，利用的性质，结合已知条件证明，从而可得结论； （2）如图，连接BF，证明，从而可得结论． 【详解】证明：（1）如图，连接BF， ∵ ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）线段AF、EF与DE之间的关系为：．理由如下： 如图，连接BF， 由旋转和全等可知：，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的全等的判定与性质，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【题型8 利用HL及全等的性质证明线段间的位置关系】 【例8】如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，垂足分别为E，F，．求证： (1)； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余证明即可得结论． 【详解】（1）证明：∵于E点，于F点 ∴在与中 ∴ ∴； （2），理由如下： 在直角三角形中， ∴ ∴ ∵E、C，F三点共线 ∴ ∴． 【变式8-1】（24-25八年级下·福建三明·期末）已知：如图，，，，垂足分别为，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．证明，可得，可得． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式8-2】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，是的高，是上一点，，，求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及垂直的证明，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等，再利用角度关系证明垂直． （1）先根据是的高，得出，再根据，得出，即可证出． （2）如图，延长与交于点，由（1）可知，得出，再根据对顶角，得到，得出，从而得出，即可证出． 【详解】（1）证明： 是的高， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，延长与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ． 【变式8-3】（2025·四川宜宾·一模）如图，四边形中，，，，，与相交于点．判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“斜边直角边”证明，可得，进而得出，即可得出答案. 【详解】解：． 理由如下： ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $