精品解析：黑龙江省七台河市勃利县兄弟学校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年上学期勃利县兄弟学校联考 九年级期中数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 由10个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，要使它的主视图与左视图不变，则最多需要拿走的小正方体的个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 为了推动中华传统文化进校园，光华中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”的传统文化知识竞赛，9年4班5名参赛选手的得分如下：，，，，，这组数据的方差是（ ） A B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 6 6. 若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（ ） A. 和 B. C. D. 且 7. 今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 9种 8. 已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y2＜y3 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 文化和旅游部2月5 日公布2025年春节假期文化和旅游市场情况，春节假期8天期间全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%，将数据5.01亿用科学记数法表示为________． 12. 函数 中，自变量x的取值范围是_______． 13. 如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 14. 如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角为___________度． 15. 关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是_______． 16. 设是方程 的两个根，且－＝1,则m=_______. 17. 若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是_____________° 18. 如图，中，，点P是边上的一个动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则在点P运动过程中，线段的最小值为_________． 19. 如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是_________． 20. 如图，点，是正方形两个顶点，以对角线为边作正方形，再以对角线为边作正方形，……依此规律，则点的坐标是________． 三、解答题（本题满分60分） 21. 先化简，再求值： 其中． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）的面积为 ． 23. 如图，抛物线 与x轴交于点，，与y轴交于点 C，P第四象限内抛物线上一点，过点 P作轴于点 M，连接，交y轴于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，请直接写出点P的坐标． 24. “五四”青年节来临之际，朝阳中学举办了“勿忘国耻，铭记历史”知识竞赛，刘老师随机抽取了部分同学的成绩（满分100分），按成绩划分为A，B，C，D四个等级，并制作了如下不完整的统计表和统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： 等级 成绩（m） 人数 A 24 B 18 C a D b （1）本次抽取的学生共有 人，表中α的值为 ； （2）所抽取学生成绩的中位数落在 等级（填“A”“B”“C”或“D”）； （3）该校共组织了1 200名学生参加知识竞赛活动，请估计其中竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生人数． 25. 甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求甲休息前的速度和乙的速度； （2）求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； （3）请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 26. 如图，菱形中，，的两边分别与，边所在的直线交于点 E 和点 F，且． （1）当的两边分别与，边垂直时，如图①，易证：； （2）将绕着点 D 旋转至不垂直时，如图②，请直接写出线段，和之间有怎样数量关系，不需证明； （3）将绕着点D旋转至，分别和射线，相交时，如图③，请写出线段，和之间有怎样的数量关系，并证明． 27. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购买2箱甲种粽子和1箱乙种粽子用元，购买1箱甲种粽子和4箱乙种粽子用元． （1）求甲种粽子每箱进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元； （2）商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种粽子共箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，该商店有几种进货方案（不用写出具体方案）? （3）若商店将甲种粽子每箱售价定为元，乙种粽子每箱售价定为元，在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大?最大利润为多少元? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期勃利县兄弟学校联考 九年级期中数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的乘除运算，包括单项式乘单项式、幂的乘方、整式除法和平方差公式的应用，根据相关的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，正确； B、，错误； C、，错误； D、，错误； 故选：A． 2. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A 3. 由10个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，要使它的主视图与左视图不变，则最多需要拿走的小正方体的个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，由几何体的主视图与左视图可以得到要组成该几何体最少需要小正方体5个，底层3个，第二层2个，从而得出结果． 【详解】解：由几何体的主视图与左视图可知想要组成该几何体最少需要小正方体5个，底层3个，第二层2个， 则由10个完全相同的小正方体搭成的几何体，最多需要拿走的小正方体的个数为个， 故选：B． 4. 为了推动中华传统文化进校园，光华中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”的传统文化知识竞赛，9年4班5名参赛选手的得分如下：，，，，，这组数据的方差是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是解决问题的关键．结合方差公式先求出这组数据的平均数，然后代入公式求出即可． 【详解】解：平均数为： ； ． 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零求出m的取值范围即可．． 【详解】∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得， ∴ 且 ． 故选B． 6. 若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（ ） A. 和 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程无解可能由于化简后的整式方程无解，或解为增根（使分母为零）．先简化方程，再讨论参数的取值． 【详解】解：， ， 即 ， ， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，矛盾， 整式方程无解，原方程无解， 当时，，若此解使分母为零，则原方程无解，当时，即 ， 解得， 当或时，原方程无解， 故选：A． 7. 今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 9种 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，熟练掌握根据实际问题的数量关系列方程，并结合正整数条件确定方程的解是解题的关键．设购买A、B型铁锹的数量为未知数，根据总价列出方程，化简后结合正整数条件确定未知数的取值，进而得到购买方式的数量． 【详解】解：设购买A型铁锹把，B型铁锹把，则 ， 解得， ∵为正整数， ∴是5的倍数，即是5的倍数． 设（为正整数），代入得， 解得， ∵，， ∴， 解得． 为正整数， 可以取， 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，． 共有7种购买方式． 故选：B． 8. 已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y2＜y3 【答案】D 【解析】 【分析】求得抛物线对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质，开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m， ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1， ∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大， ∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近， ∴y1＜y2＜y3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大． 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除； 故选． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系． 10. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系；由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可，熟练掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解决此题的关键． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，①正确； ∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴，③错误； ∵时，， ∴，④正确； 根据抛物线的对称性可知，当时，， ∴，⑤正确， ∴正确的有①②④⑤共4个， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 文化和旅游部2月5 日公布2025年春节假期文化和旅游市场情况，春节假期8天期间全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%，将数据5.01亿用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法表示形式为 ，其中 ， 为整数，将 5.01 亿转换为科学记数法时，需确定和的值， 【详解】解：因为“亿”表示 ， 所以 5.01 亿 ， 其中，5.01 满足 ，且 ， 故答案为 . 12. 函数 中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，函数表达式包含分式和二次根式，需满足分母不为零且被开方数非负，联立不等式求解自变量取值范围； 【详解】解：由题意得：，且； 解得：； 故答案为： 13. 如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定，因为平行四边形中，，根据对角线相等的平行四边形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，再添加一组邻边相等即可证明四边形是正方形． 【详解】解：平行四边形中，， 四边形是矩形， 当时， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 可知四边形是正方形． 故答案为：(答案不唯一)． 14. 如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质和旋转的性质求出，，求出，根据三角形内角和求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将在平面内绕点旋转到的位置， ∴， ∴， ∴． ∴旋转角的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角和平行线的性质，能灵活运用旋转的性质进行推理是解此题的关键． 15. 关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，先解不等式组，得到解集，再根据有个整数解的条件，确定参数的取值范围． 详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组解集为 不等式组有4个整数解，且 整数解为，，，， ， 解得， 故答案为：． 16. 设是方程 的两个根，且－＝1,则m=_______. 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：首先根据韦达定理可得：=4，=m，则4-m=1，解得：m=3. 17. 若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是_____________° 【答案】m＞9 【解析】 【分析】 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴∆＜0，即， 解得. 故答案为m＞9． 18. 如图，中，，点P是边上的一个动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则在点P运动过程中，线段的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形所对的直角边是斜边的一半，垂线段最短，三角形中位线定理，综合应用这些知识点是解题关键， 将Rt△ABC绕点B顺时针旋转得到，再设线段的中点为M，并连接．根据线段的旋转方式确定点Q在线段上运动，再根据垂线段最短确定当Q与点M重合时，取得最小值为．根据求出的长度，再根据旋转的性质求出和的长度，根据线段的和差关系确定点C是线段的中点，进而确定是的中位线，再根据三角形中位线定理即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，将绕点B顺时针旋转得到， 设线段的中点为M，并连接． ∵点P是边上的一个动点，线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴点Q在线段上运动． ∴当，即点Q与点M重合时，线段取得最小值为． ∵， ∴，, ∵绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴． ∴． ∴点C是线段中点． ∵点M是线段的中点， ∴是的中位线． ∴． 故答案为：． 19. 如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是_________． 【答案】7或 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识．分两种情形：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有 解得， ； 当时，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为7或． 故答案为：7或． 20. 如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以对角线为边作正方形，……依此规律，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标类规律探索，正方形的性质，勾股定理，先求出，，，，，，，，，…，从而可得（为自然数），再结合即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵点，是正方形的两个顶点， ∴，， ∵以对角线为边作正方形， ∴， ∴， ∵以对角线为边作正方形， ∴， ∴， 同理可得：，，，，，，…， ∴（为自然数）， ∵， ∴点的坐标是，即， 故答案为：． 三、解答题（本题满分60分） 21. 先化简，再求值： 其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值问题．注意计算的准确性． 【详解】解:原式 ∴原式 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）的面积为 ． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称和旋转，熟练掌握轴对称和旋转的性质，得出对应点位置是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得出对应顶点的位置，顺次连接可得，然后由所作图形可得点的坐标； （2）根据旋转的性质得出对应顶点的位置，顺次连接可得，然后由所作图形可得点的坐标； （3）根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，． 【小问3详解】 解：的面积为， 故答案为：． 23. 如图，抛物线 与x轴交于点，，与y轴交于点 C，P为第四象限内抛物线上一点，过点 P作轴于点 M，连接，交y轴于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定指数法求函数解析式，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法将，代入，即可求解； （2）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线解析式，联立方程组可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴，， ∴直线的解析式为； 联立，得， 解得，（不符合题意，舍去），， 点P的坐标为． 24. “五四”青年节来临之际，朝阳中学举办了“勿忘国耻，铭记历史”知识竞赛，刘老师随机抽取了部分同学的成绩（满分100分），按成绩划分为A，B，C，D四个等级，并制作了如下不完整的统计表和统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： 等级 成绩（m） 人数 A 24 B 18 C a D b （1）本次抽取的学生共有 人，表中α的值为 ； （2）所抽取学生成绩的中位数落在 等级（填“A”“B”“C”或“D”）； （3）该校共组织了1 200名学生参加知识竞赛活动，请估计其中竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生人数． 【答案】（1）60，12 （2）B （3）840人 【解析】 【分析】本题考查的是统计表与扇形统计图，综合两个图得出相关信息是解题关键． （1）由A的人数除以所占比例得出抽取的学生人数，然后确定D等级的人数，即可解决问题； （2）根据中位数的确定方法求解即可； （3）用总人数乘以满足条件的人数即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为：（人）， ∴D等级的人数为， ∴ 故答案为60，12； 【小问2详解】 解：∵， ∴所抽取学生成绩的中位数落在B等级， 故答案为：B； 【小问3详解】 解：由题意得： （名）， 答：估计其中竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生人数有840人． 25. 甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求甲休息前的速度和乙的速度； （2）求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； （3）请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 【答案】（1）甲休息前的速度为75千米/时，乙的速度为60千米/时 （2） （3）乙车出发2小时或3小时，相距30千米 【解析】 【分析】本题考查函数图象，一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据甲车出发2小时，甲车的路程为150千米，乙车出发2.5小时，乙车的路程为150千米，利用路程除以时间，即可得解； （2）先求出C、E的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）设乙车出发x小时后两车相距30千米，由两车相向而行，故分相遇之前和相遇之后，两种情况讨论求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得：甲休息前的速度为千米/时；乙的速度为千米/时； 【小问2详解】 解：乙车从B地到A地所用的时间为小时， ∵甲比乙早到达目的地0.5小时， ∴， 又， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：两车相遇前， 根据题意，得， 解得； 两车相遇后， 根据题意，得， 解得， 答：乙车出发2小时或3小时，相距30千米 26. 如图，菱形中，，的两边分别与，边所在的直线交于点 E 和点 F，且． （1）当的两边分别与，边垂直时，如图①，易证：； （2）将绕着点 D 旋转至不垂直时，如图②，请直接写出线段，和之间有怎样的数量关系，不需证明； （3）将绕着点D旋转至，分别和射线，相交时，如图③，请写出线段，和之间有怎样的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明和均为等边三角形，得出，再由等边三角形的性质可得，，即可得证； （2）先证明和均为等边三角形，得出，，再证明，得出，从而可得，即可得证； （3）先证明和均为等边三角形，得出，，再证明，得出，从而可得，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵菱形中，， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∵的两边分别与，边垂直， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵菱形中，， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，证明如下： ∵菱形中，， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 27. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购买2箱甲种粽子和1箱乙种粽子用元，购买1箱甲种粽子和4箱乙种粽子用元． （1）求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元； （2）商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种粽子共箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，该商店有几种进货方案（不用写出具体方案）? （3）若商店将甲种粽子每箱售价定为元，乙种粽子每箱售价定为元，在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大?最大利润为多少元? 【答案】（1）甲种粽子每箱的进价是元，乙种粽子每箱的进价是元 （2）该商店有6种进货方案 （3）购进甲种粽子箱，乙种粽子箱时，获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组一次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设甲种粽子每箱的进价是x元，则乙种粽子每箱的进价是y元．根据题意，得 即可求解； （2）设购进甲种粽子m箱，则购进乙种粽子箱．根据题意，得 即可求解； （3）设商品全部售出后获得的总利润为w元，根据题意，得．即可求解； 【小问1详解】 解：设甲种粽子每箱进价是x元，则乙种粽子每箱的进价是y元． 根据题意，得 解得 答：甲种粽子每箱的进价是元，乙种粽子每箱的进价是元． 【小问2详解】 解：设购进甲种粽子m箱，则购进乙种粽子箱． 根据题意，得 解得． 又∵m为正整数， ∴m可以取， ∴该商店有6种进货方案． 【小问3详解】 解：设商品全部售出后获得的总利润为w元， 根据题意，得． ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w有最大值为元， ∴． 答：购进甲种粽子箱，乙种粽子箱时，获利最大，最大利润为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $