精品解析：山西省忻州市偏关县部分学校2025-2026学年上学期期中九年级数学试卷

2025-2026学年九年级第一学期期中质量监测 数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 山西漆艺团扇以扇子为载体，运用漆器工艺制作而成．下列四把不同形状的团扇中，其扇面的形状是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 打开电视，正在播放动物世界 B. 转动抽奖转盘（转盘分为“谢谢参与”与“小礼品”两区），停下一定能转到“小礼品” C. 从装有黑球和红球的不透明口袋中任意摸一个球，摸不到黄球 D. 经过红绿灯路口时，遇到红灯 3. 将抛物线的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个正根 D. 没有实数根 5. 如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6. 用配方法将二次函数化为的形式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，．将绕点A按逆时针方向旋转，与相交于点O，当旋转角为时，的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 据统计，2025年国庆中秋假期期间，云冈石窟累计接待游客由2023年的30.97万人次增长到2025年的36.32万人次．若设从2023年国庆中秋假期期间到2025年国庆中秋假期期间，云冈石窟接待游客的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 以O为中心点的量角器与等腰直角三角板按如图方式摆放，量角器的O刻度线与斜边重合．作射线交边于点D，交量角器的外边缘于点E．若点E所对应的读数为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧被压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性变形），小球的速度v（）和弹簧被压缩的长度x（）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 该二次函数的图象开口向下，其顶点横坐标对应弹簧被压缩长度的最小值 B. 随着弹簧被压缩长度x逐渐增大，小球速度v不断减小 C. 若弹簧被压缩长度大于时，小球速度v一定大于 D. 当弹簧被压缩长度为时，小球速度为 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分．共15分） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 数学兴趣小组做“抛瓶盖试验”获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 盖口向上的频数 64 118 189 252 310 370 434 498 558 621 盖口向上的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.61 0.618 0.620 0.621 0.621 通过试验结果，估计抛出瓶盖后盖口向上的概率为______．（结果精确到0.1） 13. 在手工课上，小明用一张长、宽的长方形硬纸板制作无盖长方体纸盒．制作方法是：在硬纸板四个角剪去大小相同的正方形，折起四边（接口忽略不计）．若纸盒的底面积为，则剪去的正方形的边长为______． 14. 如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，．若，，则阴影部分的面积为______． 15. 如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点，点E为射线上一点，连接，将绕点O顺时针方向旋转，得到交于点M．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点的中心对称图形，点，，的对应点分别为，，． （2）将绕点逆时针旋转得，画出，点，的对应点分别为，，并写出，，的坐标． 18. 中国四大博物馆通常指故宫博物院、陕西历史博物馆、南京博物院和上海博物馆，它们分别位于北京、西安、南京和上海，代表了中国文化遗产的最高水平，如图，小李将上述四个博物馆的图片制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除正面图案外，其余完全相同），现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． A． B． C． D． （1）小李从中随机抽取一张卡片，卡片中的博物馆所在地在北京的概率为 ． （2）小李从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是故宫博物院和陕西历史博物馆的概率． 19. 2025年11月1日经典话剧《雷雨》在山西大剧院上演，演出前40分钟开始安检，已知条件如下： ①观众进场立即排队，排队人数现场总人数已入场人数； ②现场总人数y与安检时间x（分钟，）的函数关系为． 请解答： （1）若开通4条安检通道，平均每条通道每分钟可安检5人，则安检x分钟时已入场 人，请直接写出排队人数w与x的函数关系式为 ． （2）求出排队人数的最大值及对应时间． 20. 某科技公司销售一款小型无人机，若按每台2000元销售，每月可卖出30台．根据市场反馈，每台无人机的售价每降低50元，月销售量就会增加5台．若该公司想要11月销售额达到90000元，且售价不低于1200元，求这款小型无人机的销售单价应定为多少元？ 21. 如图，是的直径，C是上一点，连接，．过点C作于点D，过点C作与相切于点C，并交的延长线于点F． （1）求证：平分． （2）若，，求的长（结果保留π）． 22. 如图是某小区的一处电动自行车的存放车棚．图1是其横截面的示意简图，为垂直于地面的支柱，并用，为斜支架做支撑，大棚顶部用抛物线形的膜结构材料覆盖．支柱一端固定在地面，一端与棚顶相连于D处；斜支架，的一端都固定在支柱上的B处，另一端分别固定在棚顶的C和E处．已知点C离地面的高度为，最高点F离地面的高度为，离点C的水平距离为． 【数学建模】（1）在图2中，以过点C且以垂直与地面的直线为y轴，水平地面直线为x轴，建立平面直角坐标系．棚顶上某处离地面的高度为，该处离的水平距离为，求y与x之间的函数关系式． 【问题解决】（2）工人师傅在遮阳棚的顶部安装干粉灭火器，如图2所示，要在点G悬挂干粉灭火器，已知绳长，干粉灭火器离地面的高度为． ①点G的坐标为 ． ②若车棚的俯视图如图3所示，若点C和点H的水平距离为，整个车棚的的长度为．悬挂干粉灭火器保护半径为，要使车棚下的每一个区域都被保护，至少得安装 个干粉灭火器． 23. 综合与实践 问题情境：一次数学兴趣小组活动中，同学们准备了一张如图所示的直角三角形纸片，其中，，为的中点，连接，将三角形纸片沿剪下，并绕点逆时针方向旋转，点的对应点分别为点．老师要求各小组结合所学的图形旋转的知识展开数学探究． 操作探究：（）如图，“勤学”小组将（绕点逆时针方向旋转（旋转角小于），当与共线时，连接，发现四边形是菱形，请证明这一结论． 操作探究：（）“善思”小组将在图的基础上绕点按逆时针方向继续旋转（旋转角大于且小于）． ①如图，过点作的垂线，交于点，交于点，发现所在的直线垂直平分，他们的猜想是否正确，请说明理由． ②在图的基础上连接．若，当是等腰三角形时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第一学期期中质量监测 数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 山西漆艺团扇以扇子为载体，运用漆器工艺制作而成．下列四把不同形状的团扇中，其扇面的形状是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念．熟练掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合是解决此题的关键．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 打开电视，正在播放动物世界 B. 转动抽奖转盘（转盘分为“谢谢参与”与“小礼品”两区），停下一定能转到“小礼品” C. 从装有黑球和红球的不透明口袋中任意摸一个球，摸不到黄球 D. 经过红绿灯路口时，遇到红灯 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了必然事件，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．选项C中口袋没有黄球，因此摸不到黄球是必然的． 【详解】A．打开电视可能播放其他节目，不是必然事件； B．转盘可能转到“谢谢参与”，不是必然事件； C．口袋中只有黑球和红球，没有黄球，∴ 摸不到黄球是必然事件； D．可能遇到绿灯或黄灯，不是必然事件． 故选：C． 3. 将抛物线的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】将抛物线的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为，即． 故选：A． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个正根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，通过计算判别式Δ的值，判断一元二次方程的根的情况． 【详解】∵ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5. 如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义和性质，构造旋转对应点连线的垂直平分线，找出旋转中心是解题的关键． 设中点H与中点为对应点，连接、，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心． 【详解】解：∵将绕某个点旋转，得到， ∴E与为对应点，中点H与中点为对应点， 连接、， 分别作和的垂直平分线，交于点B，如图所示， 故点B为旋转中心． 理由：∵垂直平分，垂直平分， ∴点B是旋转中心， 故选：B． 6. 用配方法将二次函数化为的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用配方法化抛物线为顶点式，熟练掌握“配方法”是解本题的关键． 先提取二次项系数，然后配成完全平方公式即可求解． 【详解】 ． 故选：A． 7. 已知中，．将绕点A按逆时针方向旋转，与相交于点O，当旋转角为时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，邻补角等知识，由旋转的性质得出，由三角形内角和定理得出，再根据邻补角的定义求出即可． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴， ∴， 故选D 8. 据统计，2025年国庆中秋假期期间，云冈石窟累计接待游客由2023年的30.97万人次增长到2025年的36.32万人次．若设从2023年国庆中秋假期期间到2025年国庆中秋假期期间，云冈石窟接待游客的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 从2023年到2025年经过2年，年平均增长率为x，根据增长公式，初始值乘以等于最终值列方程即可． 【详解】∵设年平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：C． 9. 以O为中心点的量角器与等腰直角三角板按如图方式摆放，量角器的O刻度线与斜边重合．作射线交边于点D，交量角器的外边缘于点E．若点E所对应的读数为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是运用圆周角定理得出与的关系． 由圆周角定理得出，进而得出，再由外角的性质得出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 点所对应的读数为， ， 为直径，， 点在上， ， ， ∵是等腰直角三角形， ∴， 是的外角， ， 故选：B． 10. 如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧被压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性变形），小球的速度v（）和弹簧被压缩的长度x（）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 该二次函数的图象开口向下，其顶点横坐标对应弹簧被压缩长度的最小值 B. 随着弹簧被压缩长度x逐渐增大，小球速度v不断减小 C. 若弹簧被压缩长度大于时，小球速度v一定大于 D. 当弹簧被压缩长度为时，小球速度为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的图象，解题关键是读懂题意，用数形结合思想解决问题．根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落的最低点时弹簧的长度，小球速度最大时弹簧的长度，即可得出答案． 【详解】解：A、由图象可知，其顶点横坐标对应的不是弹簧被压缩长度的最小值或最大值，是速度的转折点，故此选项不符合题意； B、由图象可知，随着弹簧被压缩长度x逐渐增大，小球速度v先增大，再减小，故此选项不符合题意； C、由图象可知，若弹簧被压缩长度大于时，小球速度v先大于，到最大后，再逐渐减小，会有小于，故此选项不符合题意； D、由图象可知，当弹簧被压缩长度为时，小球速度为，故此选项符合题意． 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分．共15分） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 12. 数学兴趣小组做“抛瓶盖试验”获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 盖口向上的频数 64 118 189 252 310 370 434 498 558 621 盖口向上的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.61 0.618 0.620 0.621 0.621 通过试验结果，估计抛出瓶盖后盖口向上的概率为______．（结果精确到0.1） 【答案】0.6 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率，并精确到0.1即可． 【详解】∵抛掷次数为1000次时，盖口向上的频率为0.619 ∴估计抛出瓶盖后盖口向上的概率为． 故答案为：0.6． 13. 在手工课上，小明用一张长、宽的长方形硬纸板制作无盖长方体纸盒．制作方法是：在硬纸板四个角剪去大小相同的正方形，折起四边（接口忽略不计）．若纸盒的底面积为，则剪去的正方形的边长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意，得． 整理，得． 解得（舍去），， 则剪去小正方形的边长是． 故答案为：2． 14. 如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，．若，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积公式，圆周角的性质，三角形中位线及等腰三角形的性质，熟练掌握扇形面积公式，圆周角的性质，三角形中位线及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后可得，即阴影部分的面积＝，进而根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积＝， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 15. 如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点，点E为射线上一点，连接，将绕点O顺时针方向旋转，得到交于点M．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，证明，求出的长，进而求出的长，解直角三角形求出，同角的余角得到，设，则，勾股定理求出的值，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：作于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∵将绕点O顺时针方向旋转， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得，解得（负值舍去）； ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解方程的方法是关键； （1）利用公式法求解； （2）利用因式分解求解． 【小问1详解】 解：这里，，． ∵， ∴， 即，． 【小问2详解】 解：将原方程变形为． 分解因式得：． 即． ∴或， 解得，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点的中心对称图形，点，，的对应点分别为，，． （2）将绕点逆时针旋转得，画出，点，的对应点分别为，，并写出，，的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求， ，， 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，熟练掌握中心对称的性质、旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 中国四大博物馆通常指故宫博物院、陕西历史博物馆、南京博物院和上海博物馆，它们分别位于北京、西安、南京和上海，代表了中国文化遗产的最高水平，如图，小李将上述四个博物馆的图片制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除正面图案外，其余完全相同），现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． A． B． C． D． （1）小李从中随机抽取一张卡片，卡片中的博物馆所在地在北京的概率为 ． （2）小李从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是故宫博物院和陕西历史博物馆的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用概率公式列式计算，即可作答． （2）先画树状图，得出一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是故宫博物院和陕西历史博物馆的结果有2种，再根据概率公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 ∵共有四张卡片， ∴小李从中随机抽取一张卡片，卡片中的博物馆所在地在北京的概率为； 【小问2详解】 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，其中小李抽到故宫博物院和陕西历史博物院的结果共有两种， ∴抽到故宫博物院和陕西历史博物院概率． 19. 2025年11月1日经典话剧《雷雨》在山西大剧院上演，演出前40分钟开始安检，已知条件如下： ①观众进场立即排队，排队人数现场总人数已入场人数； ②现场总人数y与安检时间x（分钟，）的函数关系为． 请解答： （1）若开通4条安检通道，平均每条通道每分钟可安检5人，则安检x分钟时已入场 人，请直接写出排队人数w与x的函数关系式为 ． （2）求出排队人数的最大值及对应时间． 【答案】（1）20x； （2）排队人数在第15分钟达到最大值，最大人数为345人 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数式并掌握二次函数的性质是关键． （1）由题意知，4条安检通道平均每分钟可安检（人），则安检x分钟可求得安检的人数；根据“排队人数现场总人数已入场人数”即可求解； （2）由（1）中所求二次函数进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，4条安检通道平均每分钟可安检（人）， 则x分钟可安检人； 而， 故答案为：20x；； 【小问2详解】 解：对于， ∵，对称轴为直线，且， ∴（人）． 答：排队人数在第15分钟达到最大值，最大人数为345人． 20. 某科技公司销售一款小型无人机，若按每台2000元销售，每月可卖出30台．根据市场反馈，每台无人机的售价每降低50元，月销售量就会增加5台．若该公司想要11月销售额达到90000元，且售价不低于1200元，求这款小型无人机的销售单价应定为多少元？ 【答案】这款小型无人机的销售单价应定为1800元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．设每台无人机的售价降低了x元．根据“该公司想要11月销售额达到90000元，且售价不低于1200元”，列出方程并求解即可． 【详解】解：设每台无人机的售价降低了x元， 由题意得，解得，， 当时，定价为．（不符合实际，舍去）， （元）， 答：这款小型无人机的销售单价应定为1800元． 21. 如图，是的直径，C是上一点，连接，．过点C作于点D，过点C作与相切于点C，并交的延长线于点F． （1）求证：平分． （2）若，，求的长（结果保留π）． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∴． ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，弧长公式，掌握相关的知识是解题的关键． （1）连接，由得到，由切线的性质得到，即，又，即可得到，得证结论； （2）由圆周角与圆心角的关系得到，再根据弧长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， 即的长为． 22. 如图是某小区的一处电动自行车的存放车棚．图1是其横截面的示意简图，为垂直于地面的支柱，并用，为斜支架做支撑，大棚顶部用抛物线形的膜结构材料覆盖．支柱一端固定在地面，一端与棚顶相连于D处；斜支架，的一端都固定在支柱上的B处，另一端分别固定在棚顶的C和E处．已知点C离地面的高度为，最高点F离地面的高度为，离点C的水平距离为． 【数学建模】（1）在图2中，以过点C且以垂直与地面的直线为y轴，水平地面直线为x轴，建立平面直角坐标系．棚顶上某处离地面的高度为，该处离的水平距离为，求y与x之间的函数关系式． 【问题解决】（2）工人师傅在遮阳棚的顶部安装干粉灭火器，如图2所示，要在点G悬挂干粉灭火器，已知绳长，干粉灭火器离地面的高度为． ①点G的坐标为 ． ②若车棚的俯视图如图3所示，若点C和点H的水平距离为，整个车棚的的长度为．悬挂干粉灭火器保护半径为，要使车棚下的每一个区域都被保护，至少得安装 个干粉灭火器． 【答案】（1）；（2）①；②4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，利用垂径定理求值等知识． （1）根据题意得，抛物线的顶点为，，利用待定系数法求解即可． （2）①先求出点G的纵坐标，再把点G的纵坐标代入二次函数解析式，求出点G的横坐标即可． ②根据题意画出图形，过点O作，利用垂径定理求出，再根据车棚两端安装2个灭火器，求出中间需要装的灭火器，进而可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意得，抛物线的顶点为， ∴设y与x之间的函数关系式为 将点代入得 ∴y与x之间的函数关系式为 （2）①点G的高度为：， 把代入， 得：， 解得：，， 根据图形可知：点G在点C和点F之间， ∴， 故点． ②根据题意可知：，， 如下图，过点O作， 则， ∴， 为使得装的灭火器较少，则在车棚两端各装两个如上图的灭火器． ∴， 则中间还的加2个灭火器， ∴（个） 答：要使车棚下的每一个区域都被保护，至少得安装4个干粉灭火器． 23. 综合与实践 问题情境：一次数学兴趣小组活动中，同学们准备了一张如图所示的直角三角形纸片，其中，，为的中点，连接，将三角形纸片沿剪下，并绕点逆时针方向旋转，点的对应点分别为点．老师要求各小组结合所学的图形旋转的知识展开数学探究． 操作探究：（）如图，“勤学”小组将（绕点逆时针方向旋转（旋转角小于），当与共线时，连接，发现四边形是菱形，请证明这一结论． 操作探究：（）“善思”小组将在图的基础上绕点按逆时针方向继续旋转（旋转角大于且小于）． ①如图，过点作的垂线，交于点，交于点，发现所在的直线垂直平分，他们的猜想是否正确，请说明理由． ②在图的基础上连接．若，当是等腰三角形时，请直接写出的面积． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在图，由旋转可得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）①他们猜想正确，理由如下： 如图，连接， 由（）可知是等边三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴点和点都在的垂直平分线上， ∴所在的直线垂直平分； ②或 【解析】 【分析】（）先证明是等边三角形，进而可证得四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）①连接，可证，又由得，即可得，得到，即得到点和点都在的垂直平分线上，即可求证；②分当点和点重合和垂直平分线两种情况，分别画出图形，利用等边三角形的性质、直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：（）略 （）①略 ②如图，当点和点重合时，如图，设与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当垂直平分线时，如图，，此时是等腰三角形，设垂足为， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 综上，的面积为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $