湖南省娄底市涟源市2024-2025学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年湖南省娄底市涟源市九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列航司标识中，是轴对称图形的是(    ) A. 青岛航空 B. 西藏航空 C. 中国国际航空 D. 湖南航空 2.影片《哪吒之魔童闹海》于2025年2月26日票房突破139亿元，位列全球影史票房榜第八名.用科学记数法将数据139亿表示为(    ) A. B. C. D. 3.如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的俯视图是(    ) A. B. C. D. 4.古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音.如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦.下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音指针指在0处为标准音的是(    ) A. B. C. 10 D. 20 5.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为(    ) A. 8分 B. 分 C. 分 D. 分 7.我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”.木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是(    ) A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 8.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为(    ) A. B. C. D. 9.如图，CD是的直径，点A、B在圆上，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间分与录字速度字/分成反比例函数的图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法不正确的是(    ) A. 这篇文章一共1500字 B. 当小丽的录字速度为75字/分时，录入时间为20分 C. 小丽原计划每分录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分完成任务 D. 小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.因式分解：______. 12.不等式组的解集为______. 13.某学校课外延时特色课程丰富多彩，小林和小军两名同学准备从编程、合唱、篮球、书法四门课程中选择一门学习，若不考虑兴趣和天赋等因素，两名同学选到同一门课程的概率是______. 14.如图，在中，，，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交BC于D，若，则DB的长是______. 15.中国结象征着团结、幸福和平安.如图①是中国结的手工编织品，它按照一定的规律编织而成.如图②是其抽象出的平面图形，第1个图形中有9个小正方形，第2个图形中有14个小正方形，第3个图形中有19个小正方形…按照这一规律，第n个图形中有______个小正方形用含n的代数式表示 16.关于x的方程无解，则m的值为______. 17.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点M、N分别是边AD、CD的中点，连接MN、若，，则OM的长为______. 18.在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“最距等点”.例如：点，互为“最距等点”；点，互为“最距等点”.已知点与点互为“最距等点”，则n的值为______. 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题6分 计算： 20.本小题6分 先化简，再求值：，其中， 21.本小题8分 某早餐店为了解顾客对常德牛肉粉、长沙米粉、岳阳油茶、衡阳辣子鸡粉、湘潭葱油粑粑以下分别用A，B，C，D，E表示这五种湖南常见早点的喜爱情况，对顾客进行了调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图. 根据以上统计图解答问题： 本次被调查的顾客共有______人； 补全条形统计图； 扇形统计图中常德牛肉粉对应的圆心角度数是______； 若某天有1200人购买了这五种早点假设每人只购买一种早点，估计其中购买长沙米粉的有多少人. 22.本小题8分 如图，在▱ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点 求证：≌； 若，AF平分，则AB的长为______. 23.本小题9分 “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴.”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元. 求A，B两种跳绳的单价各是多少元？ 如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，总费用不超过1388元，那么最多可以购买B种跳绳多少根？ 24.本小题9分 项目化学习 项目主题 话筒支架的选购 项目背景 某校准备举行“歌唱祖国，为青春喝彩”唱歌比赛，需要购置一个可调节话筒支架，综合实践小组以探究“话筒支架的选购”为主题展开项目化学习. 驱动任务 话筒高度调整范围与支架旋转角度之间的关系. 调研图示 调研数据 话筒旋转支点A到水平地面的高度，支架EF可绕支点A在竖直面内上下转动，在转动的过程中需满足， 问题解决：请根据此项目调研的相关材料完成下列任务： 支架EF可绕点A旋转的最大角度为______ 求点E距地面CD的最大高度结果保留整数，参考数据：，，， 25.本小题10分 已知二次函数的图象经过点 求a和b的关系式； 当时，函数y有最小值，求a的值； 若时，将函数图象向下平移个单位长度，图象与x轴相交于点A，点A在y轴的左侧当时，求m的值. 26.本小题10分 如图，在中，AB是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连接AD交CF于点G，连接AC，过点C的切线交BA的延长线于点 求证：； 若，求的值； 连接BC交AD于点N，连接CD，若的半径为5，，求与ACD的周长比. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意， 选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意， 故选： 根据轴对称图形的概念求解． 此题主要考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：139亿 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3.【答案】B  【解析】解：从上边看，底层是两个小正方形，上层是三个小正方形， 故选： 根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图． 4.【答案】B  【解析】解：因为， 所以指针指向最接近标准音， 故选： 根据绝对值的定义进行判断即可． 本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 5.【答案】D  【解析】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项正确，符合题意； 故选： 根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的方法进行解题即可． 本题考查同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：该企业的总成绩为：分， 故选： 根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可． 本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键． 7.【答案】A  【解析】解：有三个角是直角的四边形是矩形， 要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故选： 根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：由已知得， 即， 解得， 故选： 根据方程有两个不等的实数根，故，得不等式解答即可． 本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式． 9.【答案】C  【解析】解：， ， 是的直径， ， ， 故选： 先利用同弧所对的圆周角相等可得：，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答． 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 10.【答案】D  【解析】解：这篇文章一共字， 正确，不符合题意； 分， 当小丽的录字速度为75字/分时，录入时间为20分， 正确，不符合题意； 小丽原计划分完成任务， 小丽实际录入速度为字/分，则实际分完成任务， 小丽会比原计划提前分完成任务， 正确，不符合题意； 19：20到19：35经历的时间为15分， 当录入时间为15分时，则录入速度为字/分， 小丽每分钟至少应录入100字， 不正确，符合题意． 故选： A.根据字数=录入速度录入时间计算即可； B.根据录入时间=字数录入速度计算即可； C.求出小丽实际录入速度，再分别计算原计划和实际完成任务所用的时间并求差即可； D.根据录入速度=字数录入时间计算即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握字数、录入时间和录入速度之间的关系是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：， 故答案为： 根据平方差公式进行因式分解即可． 本题考查了运用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：， 由不等式①，得 ， 由不等式②，得 ， 故原不等式组的解集是 根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题． 本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 13.【答案】  【解析】解：将编程、合唱、篮球、书法四门课程分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中两名同学选到同一门课程的结果有4种， 两名同学选到同一门课程的概率为 列表可得出所有等可能的结果数以及两名同学选到同一门课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 14.【答案】6  【解析】解：连接AD， 由题意得MN为AB的中垂线，则， ， ，， ，， ， 则， 故答案为： 根据题意知MN为AB的中垂线，得到，结合题干给定的角度可求得，进而求得，即可求得答案． 本题主要考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 15.【答案】  【解析】解：第1个图形中有9个小正方形，第2个图形中有14个小正方形，第3个图形中有19个小正方形，由题意知： 第1个图形中小正方形的个数是个， 第2个图形中小正方形的个数是个， 第3个图形中小正方形的个数是个， ……， 故第n个图形中小正方形的个数是个， 故答案为： 根据所给图形发现小正方形个数依次增加5的规律求解即可． 本题考查规律型：图形的变化类，列代数式，根据所给图形发现小正方形个数规律是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：关于x的分式方程化为整式方程为， 解得， 由于原方程无解，即分式方程有增根， 当时，， 故答案为： 先将关于x的分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，几何分式方程的增根进行解答即可． 本题考查分式方程的解以及解分式方程，理解分式方程增根的意义是正确解答的前提． 17.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是菱形， ，，， ， ，点M、N分别是边AD、CD的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 根据菱形的性质可得，，，根据中位线定理可得AC，由菱形的面积可得BD，进而利用勾股定理可求出AD，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求出OM的长． 本题考查了菱形的性质，三角形中位线性质，直角三角形的性质、勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 18.【答案】2  【解析】解：点与点互为“最距等点”， 或或或， 当时， 或， ， ， 点P的坐标为，点Q的坐标为，不符合题意，舍去； ， 此方程无解； 当时， ， ， ， 点P的坐标为，点Q的坐标为，不符合题意，舍去； ， ， 点P的坐标为，点Q的坐标为，不符合题意，舍去； 当时， ， ， ， 点P的坐标为，点Q的坐标为，不符合题意，舍去； ， ， 点P的坐标为，点Q的坐标为， 点与点互为“最距等点”； 当时， ， ， ， 点P的坐标为，点Q的坐标为，不符合题意，舍去； ， 此方程无解； 综上所述：， 答案为： 根据互为“最距等点”的定义可得：或或或，然后分别进行计算即可解答． 本题考查了点的坐标，解一元一次方程，理解互为“最距等点”的定义是解题的关键． 19.【答案】  【解析】解： 首先计算零指数幂、特殊角度三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 此题主要考查了实数的运算，解答此类问题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 20.【答案】解： ， 当，时，原式  【解析】根据单项式乘多项式、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案． 本题考查的是整式的混合运算-化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 21.【答案】200；   见解答；   ；   180人．  【解析】本次被调查的顾客：人， 故答案为：200； 的人数为人， 补全条形统计图如图所示：  扇形统计图中常德牛肉粉对应的圆心角度数是：， 故答案为：； 人 答：估计其中购买长沙米粉的有180人． 根据D对应的数据可以求得本次调查的顾客人数； 计算出喜爱B的人数，从而可以将条形统计图补充完整； 根据统计图中的数据看可以得到扇形统计图中常德牛肉粉对应的圆心角度数； 利用样本估计总体即可． 本题考查了用样本估计总体，条形统计图和扇形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22.【答案】证明见解答过程；     【解析】证明：，即， ， 为CD的中点， 在和中， ≌； 解：≌， ， 四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为： 根据平行线的性质可得出，结合E为CD的中点及对顶角相等，即可证出≌； 首先求得，然后证得，进而得到 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． 23.【答案】解：设A种跳绳的单价是x元，B种跳绳的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种跳绳的单价是25元，B种跳绳的单价是30元； 设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳根， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 得最大值为37， 答：最多可以购买B种跳绳37根．  【解析】设A种跳绳的单价是x元，B种跳绳的单价是y元，根据购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳根，根据总费用不超过1388元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 24.【答案】35；   点E距地面CD的最大高度约为  【解析】解：， 支架EF可绕点A旋转的最大角度， 故答案为：35； 过点E作，垂足为G，过点A作，垂足为H， 由题意得：，， 当最大时，点E距地面CD的高度最大，此时， ， 在中，， ， ， 点E距地面CD的最大高度约为 根据已知，进行计算即可解答； 过点E作，垂足为G，过点A作，垂足为H，根据题意可得：，，当最大时，点E距地面CD的高度最大，此时，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出EH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25.【答案】解：将代入函数表达式得：， 则； 由知，抛物线的表达式为：， 当时， 当时，函数在顶点时取得最小值， 当时，y有最小值， 即， 解得：； 当时， 则时，y取得最小值， 即， 解得：； 综上，或； 由题意得，平移后的抛物线表达式为：， 设点，则点， 则， 则且， 解得：  【解析】将代入函数表达式得：，即可求解； 当时，当时，函数在顶点时取得最小值，即可求解；当时，同理可解； 由题意得：，则且，即可求解． 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、图形的平移等，熟悉函数的性质和分类求解是解题的关键． 26.【答案】证明见解析；  ；    【解析】证明：，D是的三等分点， 所以， 是的直径， ， 是的切线， ， ； 解：如图，连接AO， ， ， ， ， 又， ≌， ， 设，则 ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：负值舍去， ； 解：，， ， ， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， ， 解得： ， ， ， ∽， ， ， ， ， ∽， 与的周长比为 根据垂径定理的推论得到，根据切线的性质得到，证明； 连接AO，根据圆周角定理得到，证明≌，得到，根据勾股定理求出AG，再根据正切的定义计算即可； 证明∽，根据相似三角形的性质求出ND，进而求出AN，证明∽，根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可． 本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定和性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $