2026届高考真题·周计划——数学第一周练习卷（十二月）

数学·第一周（十二月） 1．【2024年·新课标全国Ⅱ卷】（多选）设函数，则( ) A.当时，有三个零点 B.当时，是的极大值点 C.存在a，b，使得为曲线的对称轴 D.存在a，使得点为曲线的对称中心 2．【2023年·新课标全国Ⅱ卷】（多选）若函数既有极大值也有极小值，则( ) A. B. C. D. 3．【2022年·新高考Ⅰ卷】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 4．【2025年·全国一卷】已知数列中，，. （1）证明：数列为等差数列； （2）给定正整数m，设函数，求. 5．【2025年·全国二卷】已知函数，其中. （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设，分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 1．答案：AD 考点：利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值、求在曲线上一点处的切线方程 解析：A项，由题意，， 当时，或，， 所以在和上，在上， 又因为，， 所以的草图如图，由图可知，有3个零点，故A项正确； B项，当时，或，， 故在和上，在上， 所以是的极小值点，故B项错误； C项，假设关于对称，则，所以 恒成立，这不可能， 所以曲线不可能关于对称，故C项错误； D项，由题意，， 所以关于对称等价于恒成立， ， 令， 则，解得， 所以当时，曲线关于对称，故D项正确. 2．答案：BCD 考点：根据极值求参数 解析：由题意，， 函数既有极大值，又有极小值， 所以在上有两个变号零点， 故方程在上有两个不相等实根， 所以， 由①可得，故C项正确； 由②可得，所以a，c异号，故，故D项正确； 由③可得a，b同号，所以，故B项正确； 因为a，c异号，a，b同号，所以b，c异号， 从而，故A项错误. 3．答案： 考点：求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数 解析：∵，∴， 设切点为，则，切线斜率， 切线方程为：， ∵切线过原点，∴， 整理得：， ∵切线有两条，∴，解得或， ∴a的取值范围是， 故答案为： 4．答案：（1）证明见解析；（2） 考点：导数的运算法则、由递推关系证明数列是等差数列 解析：（1）两边同时乘，得， 又，所以是首项为3，公差为1的等差数列. （2）由（1）可知数列的通项公式为， 又， 故， 所以. 两式相减，得 ， 所以. 5．答案：（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii），证明见解析 考点：用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 解析：（1）因为，， 所以. 当时，令，解得， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以是在上唯一的极值点，是极大值点. 因为，， 所以，， 所以是在上唯一的零点. （2）（i）因为，所以 . 因为，所以，， 所以， 即在区间上单调递减. （ii）由（i）得，在上单调递减， 所以， 即， 又，所以， 因为是的零点，所以， 所以， 又，，且在上单调递减， 所以. 1、函数的单调性与导数的关系：在某个区间内，如果，那么函数在区间上单调递增；在某个区间内，如果，那么函数在区间上单调递减. 2、函数极值的概念：一般地，设函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，0，且在点附近的左侧，右侧.类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧.则a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 3、函数的零点：对于一般函数，使的实数 x 叫做函数的零点. 4、基本初等函数的导数公式： （1）若(为常数)，则； （2）若，且，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，且，则；特别地，若，则； （6）若，且，则；特别地，若，则. 5、导数的四则运算法则： （1）和、差的求导法则：对于两个函数和，； （2）积、商的求导法则：对于两个函数和，； . 常数与函数的积的导数：. 6、求函数的极值的方法：解方程，当时： （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值. 7、等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 8、导数的几何意义：函数在处的导数就是在点的斜率，即.这就是导数的几何意义. 1、 辨类型——精准区分，明确函数的极值、导数的几何意义、数列的递推关系与通项公式、函数的零点的概念等核心考点. 2、 析特点——深入探究，多维度梳理函数极值与导数的关联场景，数列递推关系与通项公式，函数的零点的运用思路. 3、 联运算——依据导数的运算法则、数列的相关公式等知识，进行准确推导与计算，避免逻辑疏漏. 学科网（北京）股份有限公司 $