精品解析：山东省青岛市即墨区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025—2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题共25道题．第1—10题为选择题，共30分；第11—16题为填空题，共18分；第17题为作图题，共4分；第18—25题为解答题，共68分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 2. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确找到等量关系列出方程是解题关键．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，再由第三个季度生产零件共196万个列出方程即可． 【详解】解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为， 由题意得，， 故选：C． 3. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列判断错误的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是矩形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 正方形有矩形和菱形的一切性质 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定以及菱形的判定，根据矩形的判定，正方形的判定，菱形的判定逐个选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，故正确， B、四条边都相等的四边形是菱形，故原说法错误， C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故正确， D、矩形和菱形的性质一定符合正方形的性质，故正确， 故选：B． 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的2个红球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量实验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则袋中的绿球数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率求概率，以及利用概率求对应数量，掌握相关知识是解题关键． 根据题意得到抽到红球的概率为0.4，利用概率求出袋中总的球数，进而求出袋中的绿球数，即可解题． 【详解】解：摸到红球的频率稳定在0.4，即抽到红球的概率为0.4， 袋中总的球数为：（个）， 袋中的绿球数为（个）， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为， ∵B点坐标为， ∴点D的坐标为， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，点F为的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，直角三角形中线的有关计算，根据矩形和角平分线的性质可得，由此可得，运用勾股定理可得的值，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解 【详解】解：四边形是矩形 ，， 平分 ， ， ， ， 在中， 点F为的中点 ， 故选：D 9. 如图，菱形的边长为2，，对角线、相交于点O，点E为中点，点F为中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，含30度直角三角形的性质等知识，取点的中点H，连接，即可得出为的中位线，再由菱形的性质得出，再由勾股定理得出，再进一步利用勾股定理即可求出． 【详解】解：取点的中点H，连接， ∵点F为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵是菱形，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴在中，， 故选A 10. 如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先运用勾股定理可求得EF, 过G作GH⊥DE垂足为H，则四边形EFGH是矩形可得HG=EF,再说明△EBF∽△DAE、△DAE∽△GHD，进一步可得△EBF∽△GHD，最后运用相似三角形的性质解答即可. 【详解】解：∵在Rt△BEF中，BF=2,BE=3 ∴EF= 如图：过G作GH⊥DE垂足为H， ∵DE⊥EF，EF⊥FG ∴四边形EFGH是矩形 ∴HG=EF= ∵矩形ABCD ∴∠A=∠B=90° ∴∠AED+∠ADE=90° ∵DE⊥EF ∴∠AED+∠BEF=90° ∴∠BEF=∠ADE 又∵∠A=∠B=90° ∴△EBF∽△DAE 同理：△DAE∽△GHD ∴△EBF∽△GHD ∴,即,解得DG=. 故选B. 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、运用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 方程的一次项系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，对于一元二次方程（a，b，c是常数且）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 先将方程化为一般形式后，然后再确定一次项系数即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以一次项系数是2． 故答案为2． 12. 三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为10，则这个相似三角形的最短边为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质．由三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为10，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：设这个相似三角形的最短边为， 三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为10， ， 解得：， 这个相似三角形的最短边为6． 故答案为：6． 13. 若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式 的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a，b是方程两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 故答案为：3 14. 黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值的点．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，．已知为2米，则线段的长为______米．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵E为边的黄金分割点，，为2米， ∴米， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，点为线段上一点，将沿翻折，点刚好落在上点处，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标与图形、矩形与折叠问题、勾股定理等知识，熟练掌握矩形与折叠问题是解题关键．先证出四边形是矩形，，则可设点的坐标为，再根据折叠的性质可得，，，则，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵点，，的坐标分别为，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴设点的坐标为，则， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过作，交于点，若，则正方形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】作于，过点作于，延长交于，先证明四边形是正方形，四边形是矩形，然后利用勾股定理求得，接着证明，得到，接着算得，最后求得正方形的面积． 【详解】解：作于，过点作于，延长交于，如图所示： ∵正方形， ∴，，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ， 四边形是矩形， ，， ，由勾股定理得：， ∴， ， ， ， ， ， 在和中，， ， 则， ， 则正方形的边长是， 正方形的面积为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三、作图题（本题满分4分） 17. 如图，在中，请你用尺规作图法作正方形，使得为正方形的对角线，且点D在的左侧．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，正方形为所求图形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规基本作图，正方形的性质与判定．熟练掌握尺规基本作图，正方形的性质与判定是解题的关键． 分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，交于点，则该直线为的垂直平分线，再以点为圆心，以或为半径画弧，交的垂直平分线于点（在的左侧）和点（在的右侧），最后连接，，，即可． 【详解】略 四、解答题（满分68分） 18. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用配方法求解； （2）利用公式法求解； （3）利用公式法求解； （4）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ，． 【小问3详解】 解：， ， ， ，． 【小问4详解】 解：， ， ， ， ，， ，． 19. 字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作A、B、C、D（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎和小麦同时随机各抽取一张卡片并猜卡片上字谜的谜底，若小虎能猜出A、D卡片上的谜底，猜不出B、C卡片上的谜底；小麦能猜出A、B、C卡片上的谜底，猜不出D卡片上的谜底．请用画树状图或列表法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，根据题意画出树状图得到所有等可能性的结果数，再根据题意找出小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的结果有5种， ∴小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率为． 20. 学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 【答案】6米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，正确列出方程求解． 根据题意可得种植田的长为米，再根据面积公式列一元二次方程，解方程，最后根据墙的最大可用长度为米对求出的根进行取舍． 【详解】解：∵种植田为m米，栅栏总长为米，有两个宽为1米的门， ∴种植田的长为米， ∵该种植田的面积为平方米， ∴， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：该种植田的宽m为6米． 21. 如图：，分别交，，于点E，F，G，已知，，，．求，的长． 【答案】， 【解析】 【分析】在中，根据平行线分线段成比例求出，在中，根据平行线分线段成比例求出，即可求出． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，，， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 22. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”：___________________． （2）已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为______________．根据以上结论，猜想方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______________． （3）已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，求关于x的方程的两根． 【答案】（1） （2），互为倒数 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据定义解答即可． （2）解方程，根据根与系数关系定理解答即可． （3）根据结论，结合方程解的定义解答即可． 本题考查了新定义，根与系数关系定理，方程解的定义，熟练掌握新定义，根与系数关系定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据定义，得一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：已知一元二次方程的两根为， 解方程得， 故答案为：； 由方程的两根；，“友好方程”的两根， 则，， 故． 故方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数． 故答案为：互为倒数． 【小问3详解】 解：关于x的方程的两根是． 故方程的两根是， 故方程的两根是， 又， 故， 故是方程的根． 故或， 解得或， 故关于x的方程的两根为或． 23. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、在对角线上，且，，连接、、、． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ，，． ， ，即． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 又∵， ∴四边形是正方形． （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，所以，则是直角三角形． ． 又知四边形是正方形，，且、互相平分， ， 在中，由勾股定理，得． 24. （项目式学习・探究销售利润）2025年人工智能大会在上海成功举办，科技园区内一家企业为迎合市场需求，推出了具有独特交互功能的智能摆件．请根据以下素材，探究完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润； 任务2 若每件智能摆件的利润率不低于，则智能摆件的销售价最多降低多少元？（利润率） 任务3 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价． 【答案】任务1：1152元． 任务2：智能摆件的销售价最多降低元． 任务3：智能摆件的销售价为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）先算出降价8元时，每件的利润以及每天的销量，然后用每件的利润乘以每天的销量可得出答案； （2）设智能摆件的销售价降低元．，根据“为了保证每件智能摆件的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围； （3）设智能摆件的销售价为元，然后利用（售价进价）销量利润，列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】任务1： 解：当降价8元时，每件利润为：（元） 平均每天能卖出：（件） 那么每天利润为：（元） 答：当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润1152元． 任务2： 解：设智能摆件的销售价降低元． 解得：， 那么最大为7元， 答: 智能摆件的销售价最多降低元． 任务3： 解：设智能摆件的销售价为元． 解得：或， 那么当优惠力度最大时，， 答：智能摆件的销售价为元． 25. 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿的方向匀速运动，速度为；同时点M由点C出发，沿的方向匀速运动，速度为，过点M作交于点N．设运动时间为 （1）求线段的长（用含t的代数式表示）； （2）连接，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在说明理由； （3）连接、，是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式，列出一元二次方程进行求解即可； （3）作于点，证明，求出的长，根据中垂线的性质得到，由（2）可知，进而得到，三线合一，得到，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 由题意，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； 【小问2详解】 存在； 由（1）知：，， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得或； 故当或时，； 【小问3详解】 存在； 作于点，则：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 当点P在线段的垂直平分线上时，则：， 由（2）可知四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 【点睛】本题考查相似三角形中的动点问题，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，中垂线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题共25道题．第1—10题为选择题，共30分；第11—16题为填空题，共18分；第17题为作图题，共4分；第18—25题为解答题，共68分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 2. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 4. 下列判断错误的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是矩形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 正方形有矩形和菱形的一切性质 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的2个红球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量实验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则袋中的绿球数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，点F为的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的边长为2，，对角线、相交于点O，点E为中点，点F为中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（ ） A. 4 B. C. D. 5 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 方程的一次项系数是______． 12. 三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为10，则这个相似三角形的最短边为__________． 13. 若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式 的值为_____． 14. 黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值的点．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，．已知为2米，则线段的长为______米．（结果保留根号） 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，点为线段上一点，将沿翻折，点刚好落在上点处，则点的坐标为__________． 16. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过作，交于点，若，则正方形的面积为________． 三、作图题（本题满分4分） 17. 如图，在中，请你用尺规作图法作正方形，使得为正方形的对角线，且点D在的左侧．（保留作图痕迹，不写作法） 四、解答题（满分68分） 18. 解方程： （1） （2） （3） （4） 19. 字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作A、B、C、D（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎和小麦同时随机各抽取一张卡片并猜卡片上字谜的谜底，若小虎能猜出A、D卡片上的谜底，猜不出B、C卡片上的谜底；小麦能猜出A、B、C卡片上的谜底，猜不出D卡片上的谜底．请用画树状图或列表法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 20. 学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 21. 如图：，分别交，，于点E，F，G，已知，，，．求，的长． 22. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”：___________________． （2）已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为______________．根据以上结论，猜想方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______________． （3）已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，求关于x的方程的两根． 23. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、在对角线上，且，，连接、、、． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求的长． 24. （项目式学习・探究销售利润）2025年人工智能大会在上海成功举办，科技园区内一家企业为迎合市场需求，推出了具有独特交互功能的智能摆件．请根据以下素材，探究完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润； 任务2 若每件智能摆件的利润率不低于，则智能摆件的销售价最多降低多少元？（利润率） 任务3 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价． 25. 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿的方向匀速运动，速度为；同时点M由点C出发，沿的方向匀速运动，速度为，过点M作交于点N．设运动时间为 （1）求线段的长（用含t的代数式表示）； （2）连接，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在说明理由； （3）连接、，是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $