3.3.1空间向量基本定理课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.3.1 空间向量基本定理 作者编号：、32200 1.空间中任意两个向量一定共面吗？为什么？ 一定共面，因为空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面中. 2.空间中任意三个向量一定共面吗？请举例说明. 不一定，如过一个顶点的正方体的三条棱所在直线的向量就不共面. 3.如果空间中三个向量共面，那么它们存在怎样的关系？ 如果两个向量 <m></m> ， <m></m> 不共线，那么向量 <m></m> 与 <m></m> ， <m></m> 共面的充要条件是存在唯一的一对实数 <m></m> ， <m></m> ，使得 <m></m> . 那三个不共面的向量如何表示空间中的任意一个向量呢？ 新课导入 作者编号：、32200 1.理解并掌握空间向量基本定理及其意义. 2.会用一组基表示空间向量. 学习目标 作者编号：、32200 问题1：如图，设a，b，c是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝<m>，p 能否用a，b，c表示呢？ 如图，设为在所确定的平面上的投影向量，则， 又向量，c共线， 因此存在唯一的实数z，使得＝zc，从而， 在a，b确定的平面上，由平面向量基本定理可知， 存在唯一的有序实数对(x，y)，使得， 从而. 课题探究 作者编号：、32200 空间向量基本定理：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p= xa+ yb+zc． 我们把{a，b，c}叫作空间的一组基，a，b，c都叫作基向量. 概念生成 课题探究 作者编号：、32200 注意： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同. (2)一组基是一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念. (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 课题探究 作者编号：、32200 例1 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基，给出下列向量组，其中可以作为空间一个基的向量组是( 　　) A．{a，b，x} B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c} 解析：如图所示，令a＝，b＝，c＝， 则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝． 由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面， 同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面. BCD 课题探究 作者编号：、32200 归纳总结 基的判断思路： (1)判断一组向量能否作为空间的一组基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一组基. (2)判断基时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 课题探究 作者编号：、32200 例2 如图，在平行六面体<m></m>中，<m></m>，<m></m>，设<m></m>，<m></m>，<m></m>，试用<m>，，<m></m>表示<m></m>. 解：连接 <m></m> ，则 <m></m> . 由已知可得 <m></m> 是平行四边形，从而可得 <m></m> ， <m></m> ， 又 <m></m> ， 故 <m></m> ， <m></m> . 课题探究 作者编号：、32200 用基表示向量的步骤： 归纳总结 (1)定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基. (2)找目标：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. (3)下结论：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. 课题探究 作者编号：、32200 1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基，则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(多选)若{a，b，c}是空间一组基，则下列各组中能构成空间的一组基的是( ) A.{a，2b，3c} B.{a＋b，b＋c，c＋a} C.{a＋b＋c，b＋c，c} D.{a＋2b，2b＋3c，3a－9c} B ABC 当堂检测 作者编号：、32200 3.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设＝a，＝b，AA1＝c，则＝(　　) A.－a－b－c 　　 B.a＋b－c C. a－b－c 　　 D.－a＋b－c D 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.空间向量基本定理是什么？ 2.用一组基表示向量的步骤是什么？ 课后小结 作者编号：、32200 $$