2 2.2 双曲线的简单几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

2.2　双曲线的简单几何性质 　 第二章　§2　双曲线 学习目标 1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简 单的几何性质，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.能利用双曲线的简单几何性质求标准方程及解决一些简单 的实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　双曲线的简单几何性质 1 任务二　双曲线的渐近线与离心率问题 2 任务三　双曲线简单几何性质的实际应用 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　双曲线的简单几何性质 返回 问题导思 问题1.仿照椭圆的简单几何性质的讨论方法，根据双曲 线C的标准方程－＝1(a＞0，b＞0)和图象(如图)，如 何研究双曲线C的范围、对称性、顶点、离心率等性质？ 提示：(1)范围：利用双曲线的方程求出它的范围，由方 程－＝1可得＝1＋，所以双曲线C上的任意一点P(x，y)都满足≥1，y∈R，即x≥a或x≤－a，y∈R.因此，双曲线C在不等式x≤－a与x≥a所表示的区域内，即位于两条直线x＝－a和x＝a外侧的区域. (2)对称性：－＝1(a＞0，b＞0)关于x轴、y轴和原点 都对称.x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又称为双曲线的中心. (3)顶点：双曲线与它的对称轴的交点，叫作双曲线的 顶点.顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个. (4)离心率：①定义：e＝.②e的范围：e＞1.③e的含义：因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄. 问题2.如图，线段A1A2的长为2a，线段B1B2的长为2b.据此，你能发现双曲线的范围与矩形对角线y＝±x有什么关系？   提示：双曲线在第一象限内部分的方程为y＝·，它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方.它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近.其他象限同理. 新知构建 双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形     性质 焦点 ________________________ ________________________ 焦距 ________________ 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 对称性 对称轴：__________；对称中心：__________ 顶点 __________________ __________________ 轴长 实轴长＝____，虚轴长＝____ 渐近线 ±＝0或y＝_____ ±＝0或y＝_____ 离心率 e＝(e＞1) F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) ｜F1F2｜＝2c x轴、y轴 坐标原点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) 2a 2b ±x ±x 微提醒 (1)e＝＝.(2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“开口”大小，e越大，开口越大.(3)写双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.(4)焦点到渐近线的距离为b. 角度1　双曲线的简单几何性质 (链教材P65例4，P67例5)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝. 所以双曲线的顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x＝±x. 典例 1 变式探究 (变条件)若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 解：将方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)， 由此可得实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝， 所以双曲线的焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. 规律方法 确定双曲线几何性质的基本步骤 对点练1.求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解：将方程25y2－16x2＝400化为标准方程为－＝1. 由此可得实半轴长a＝4，虚半轴长b＝5，c＝＝＝， 所以双曲线的焦点坐标为(0，－)，(0，)； 离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x. 角度2　利用双曲线的性质求标准方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为16，离心率为； 解：设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0). 由题意知2a＝16，＝，c2＝a2＋b2， 解得c＝10，a＝8，b＝6， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 典例 2 (2)右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)； 解：设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0). 由已知得a＝，c＝2， 所以b2＝c2－a2＝1. 所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1. (3)过点(2，0)，与双曲线－＝1离心率相等. 解：当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝－＜0(舍去). 综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 规律方法 利用双曲线的几何性质求双曲线标准方程的基本思路 1.根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程可按先定位，再定形的方法.但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用，如在定位方面，可能涉及双曲线的焦点、顶点的位置；在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程.解题时，我们要充分利用这些几何性质. 规律方法 2.设双曲线方程的技巧 (1)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2). (2)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). (3)渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0). 对点练2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； 解：设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝， 从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； 解：由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分，可得2c＝4a＝12，即c＝6，则b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (3)(一题多解)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3). 解：法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x. 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝.① 因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.② ①②联立，无解. 当焦点在y轴上时，设所求方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝.③ 因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， 因为A(2，－3)在双曲线上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 返回 任务二　双曲线的渐近线与离心率问题 返回 角度1　求双曲线离心率的值或取值范围 (1)已知F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点，B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线交于点M，且点M恰是线段BF的中点，则双曲线的离心率为 A. B. C.2 D. 典例 3 √ 不妨设F(－c，0)，B(0，b)，则M(－，).将点M坐标代入双曲线方程－＝1，得－＝1，则＝5，即＝.故选D. (2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，O为坐标原点，F1，F2为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得F2P的中点M满足｜OM｜＝c，则双曲 线的离心率e的取值范围是　　　　. . 因为O，M分别为F1F2，PF2的中点，所以｜PF1｜＝2｜OM｜＝c.又双曲线上的点到焦点的最小距离为c－a，所以c≥c－a＞0，解得1＜≤.因此双曲线的离心率e的取值范围是. 规律方法 求双曲线的离心率的方法 1.直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解；若已知a，b，可直接利用e＝得解. 2.解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解. √ 对点练3.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在双曲线E上，满足△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的离心率为 A. B. C.2 D. 不妨取点M在第一象限，如图所示.设双曲线的方程为 －＝1(a＞0，b＞0)，因为△ABM是顶角为120°的 等腰三角形，所以｜BM｜＝｜AB｜＝2a，∠MBx＝ 60°，所以点M的坐标为(2a，a).又因为点M在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，所以将点M坐标代入方程得4－＝1，整理上式得a2＝b2.而c2＝a2＋b2＝2a2，所以e2＝2，因此e＝.故选A. 角度2　双曲线的渐近线与离心率的综合 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(－1，－)，则该双曲线的离心率为 A. B.2 C. D.4 典例 4 √ 易知双曲线的渐近线y＝x经过点(－1，－)，将(－1，－)代入渐近线方程得＝，所以e＝＝＝2.故选B. 对点练4.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，渐近线在第一象限的部分上存在一点P，且｜OP｜＝ ｜OF1｜，直线PF1的斜率为，则该双曲线的离心率为　　. 2 由双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，可得渐近线方程为y＝±x，设点P的坐标为(x0，x0)，且x0＞0，因为｜OP｜＝｜OF1｜，即＋＝c2，解得＝a2，即x0＝a，所以点P的坐标为(a，b)，又因为直线PF1的斜率为，所以＝，可得b＝a＋c，两边平方得3b2＝a2＋c2＋2ac，即c2－ac－2a2＝0，两边同时除以a2，可得e2－e－2＝0，即(e－2)(e＋1)＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去). 返回 任务三　双曲线简单几何性质的实际应用 返回 如图为陕西历史博物馆收藏的国宝—— 唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑 娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作. 该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体.若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为 A.2π B.3π C.2π D.4π 典例 5 √ 该金杯主体部分的上口外直径为，下底座 外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距 离是到下底座距离的2倍，可设M，N(，－m)，代入双曲线方程可得－＝1，－＝1，即－＝，－＝1，作差可得＝，解得a2＝3，a＝，所以杯身最细处的周长为2π.故选C. 规律方法 双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题.特别要注意在实际意义下隐含着的变量 范围. √ 对点练5.(新情境)单叶双曲面是最受设计师青睐的结 构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻 力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图①， 俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是 单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转 所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图②，最细处的直径为100 m，楼底的直径为50 m，楼顶直径为50 m，最细处距楼底300 m，则该地标建筑的高为 A.350 m B.375 m C.400 m D.450 m 以地标建筑的最细处所在直线为x轴，双曲线的虚轴为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，由题意可得A(50，0)， C(25，－300)，设B(25，y0)(y0＞0)，双曲线的方程 是－＝1(a＞0，b＞0)，则 －＝1，将点B(25，y0)代入得－＝1，解得y0＝100，所以该地标建筑的高为300＋100＝400(m).故选C. 课堂小结 任务再现 1.双曲线的简单几何性质.2.由双曲线几何性质求标准方程.3.双曲线的渐近线与离心率问题.4.双曲线简单几何性质的实际应用 方法提炼 待定系数法、直接法、解方程组法、数形结合思想 易错警示 求双曲线的方程时常因位置关系考虑不全面出错 返回 随堂评价 返回 √ 1.双曲线2x2－y2＝－8的实轴长是 A.2 B.4 C.2 D.4 双曲线标准方程为－＝1，故实轴长为2a＝4.故选B. √ 2.(2025·八省适应性测试)双曲线x2－＝1的渐近线方程为 A.y＝±x B.y＝±2x C.y＝±3x D.y＝±4x 由方程x2－＝1，则a＝1，b＝3，所以渐近线方程为y＝±x＝±3x.故选C. √ 3.(2025·北京西城区期中)已知双曲线－＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于 A. B. C. D. 根据右焦点为(3，0)，知c＝3，则a2＋5＝9，所以a＝2，故e＝＝.故选C. √ 4.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为 A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.故选D. 返回 课时分层评价 返回 √ 1.(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为 A. B. C. D. 由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，所以点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.(多选题)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是 A.x2－＝1 B.－y2＝1 C.－x2＝1 D.y2－＝1 √ B、D选项，双曲线的渐近线方程为y＝±x，A、C选项，双曲线的渐近线方程为y＝±2x.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为 A.y＝±2x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为e＝＝，c＝，所以＝＝，所以＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线－＝1(a＞0，b＞0)下支的一部分，此双曲线一条渐近线为3x＋y＝0，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为 A.－＝1 B.－＝1 C.－x2＝1 D.－＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得又c2＝a2＋b2，则－＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若｜PQ｜＝｜OF｜，则C的离心率为 A. B. C.2 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，由题意知，以OF为直径的圆的方程为 ＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，① －②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2 的相交弦所在直线的方程为x＝，所以｜PQ｜＝2.由｜PQ｜＝｜OF｜，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－y2＝1的左焦点为F，点A在C的右支上，A关于O的对称点为B，则－＝ A.－2 B.2 C.－4 D.4 由已知及双曲线的定义知－＝2a＝4.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0.设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点.若｜PF2｜＝3，则｜PF1｜＝　　. 5 依题意知3＝，所以a＝1，由点P在双曲线右支上，得｜PF1｜－ ｜PF2｜＝2a＝2，所以｜PF1｜＝2＋｜PF2｜＝2＋3＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的范围为　　 　　. (，＋∞) 设双曲线的方程为－＝1，F(c，0)，渐近线y＝x，由题意知，－＞－，即a2＜b2，即a2＜c2－a2，即e＞. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(双空题)如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远 2 km，则曲线PQ的轨迹方程是　　　　　　　　；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是　　　　km. x2－＝1(x≥1) 2－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分 线为y轴建立平面直角坐标系.则｜DA｜－｜DB｜ ＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支. 故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1 ＝3，故轨迹方程为x2－＝1(x≥1).根据题意知C(3，)，A(－2，0)，｜MB｜＋｜MC｜＝｜MA｜＋｜MC｜－2≥｜AC｜－2＝2－2，当A，M，C三点共线时等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)(一题多解)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5，3)； 解：法一：因为e＝＝，所以c＝a，b2＝c2－a2＝a2. 又因为焦点在x轴上， 所以设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0). 把点(－5，3)代入方程，解得a2＝16. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法二：由离心率为知，所求双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2－y2＝k(k≠0)，把点(－5，3)的坐标代入方程得k＝16， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6. 解：设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)， 即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3. 当λ＞0时，＝9，λ＝36， 双曲线方程为－＝1； 当λ＜0时，＝9，λ＝－81， 双曲线方程为－＝1. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为 A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 把x＝c代入－＝1，得y＝±.不妨设A，B，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，则d1＝，d2＝，故d1＋d2＝＋＝＝2b＝6，故b＝3.又＝＝＝＝2，得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12.(多选题)已知双曲线E：2x2－my2＝4m的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，则下列结论正确的是 A.m＞0 B.当双曲线E为等轴双曲线时，焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0) C.焦点F1到双曲线E的一条渐近线的距离是定值2 D.若双曲线E的一条渐近线方程是y＝2x且｜PF1｜＝3，则｜PF2｜＝1或｜PF2｜＝5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，将方程2x2－my2＝4m化为标准形式为－＝1，方程表示双曲线，则m＞0，故A正确；对于B，双曲线E为等轴双曲线时，2m＝4，即a2＝b2＝4，所以c＝2，焦点坐标为(2，0)，(－2，0)，故B错误；对于C，不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以E的一个焦点(c，0)到一条渐近线的距离是＝b，故为定值b＝2，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，双曲线－＝1的一条渐近线方程是y＝2x，所以a2＝2m＝1，c2＝1＋22＝5，c＝.由双曲线的定义知｜PF2｜－｜PF1｜＝±2，又｜PF1｜＝3，所以｜PF2｜＝1或｜PF2｜＝5，又｜PF2｜≥c－a＝－1，所以｜PF2｜＝5，故D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(双空题)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1(m＞0，n＞0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为　　　　；双曲线N的离心率为　　. －1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第 一象限内的情况.记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在 第一象限的交点为P，椭圆左焦点为Q，右焦点为F， 连接PQ，如图所示，由题意知，△OPF为正三角形， 边长设为2，则高为，所以椭圆半焦距为2，2a＝ ｜PQ｜＋｜PF｜＝2＋2，a＝＋1，椭圆M的离心率为＝－1.双曲线N的一条渐近线斜率为＝tan 60°＝，e2＝＝1＋＝4，所以双曲线N的离心率为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线离心率e的取值范围. 解：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点， 所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以＝＝＋4a＋｜PF2｜≥8a，当且仅当＝｜PF2｜， 即｜PF2｜＝2a时取等号， 所以｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜＝4a. 因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＜2c，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6a≥2c⇒e＝≤3， 所以双曲线离心率e的取值范围为(1，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(新情境)双曲线具有光学性质，从双曲线一 个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线 的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E： －＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2， 从F2发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos ∠BAC＝－，·＝0，则E的离心率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，延长CA，DB，则必过点F1，如图所 示.由双曲线的定义知 又因为cos ∠BAC＝－，所以cos ∠F1AB＝. 又因为·＝0，所以AB⊥BD，设｜AF1｜＝13m，m＞0，则｜AB｜＝5m，＝12m， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此从而由｜AF2｜＋ ｜BF2｜＝｜AB｜得13m－2a＋12m－2a＝5m， 所以a＝5m.则｜BF1｜＝a，｜BF2｜＝a， ｜F1F2｜＝2c，又因为｜BF1｜2＋｜BF2｜2＝｜F1F2｜2，所以＋＝(2c)2，即37a2＝25c2，即e＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线的右支上一点. (1)求的最小值； 解：设F1(－c，0)，F2(c，0)，P(x，y)(x≥a)， 则＝＝＝＝ ＝＝x＋a≥·a＋a＝a＋c， 当P在右顶点时，最小，所以的最小值为a＋c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若右支上存在点P满足＝4，求双曲线的离心率的取值范围. 解：依题意 法一：由(1)知，｜PF1｜≥a＋c，所以a≥a＋c， 所以1＜e≤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法二：设∠F1PF2＝θ，θ∈. 由余弦定理得cos θ＝＝＝－e2， 即－1≤－e2＜1，得1＜e2≤，1＜e≤. 所以双曲线的离心率的取值范围为. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 2.2　双曲线的简单几何性质 返回 $