1 2.1 双曲线及其标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

2.1　双曲线及其标准方程 　 第二章　§2　双曲线 学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程，培 养数学抽象的核心素养. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法，提升数学运算的核心 素养. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决较简单的问题，提升 逻辑推理、数学运算的核心素养. 4.了解双曲线的简单应用. 任务一　双曲线的定义 1 任务二　双曲线的标准方程 2 任务三　双曲线定义的应用 3 课时分层评价 6 任务四　双曲线的实际应用 4 内容索引 随堂评价 5 任务一　双曲线的定义 返回 问题导思 问题1.把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹会怎么样？ 提示：准备实验(可以找三名同学在教师指导下操作)，取 一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一个 点，分别固定在点F1，F2上，点F1到点F2的距离为2c(c＞ 0).把笔尖放在拉链开口的咬合处M，点M到点F1的距离与点M到点F2的距离之差等于2a(c＞a＞0).随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线，同理可画出另一支.(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到两定点的距离之差｜MF1｜－｜MF2｜，或｜MF2｜－｜MF1｜是同一个常数”这个条件. 问题2.在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于｜F1F2｜，如果截取的长度等于｜F1F2｜，其轨迹还是上述图形吗？ 提示：不是，是以F1，F2为端点的两条射线. 新知构建 双曲线的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的__________________等于常数(大于零且小于｜F1F2｜)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线 焦点 两个______________叫作双曲线的焦点 焦距 两焦点间的______｜F1F2｜叫作双曲线的焦距 集合语言 P＝{M｜______________________________，0＜2a＜｜F1F2｜} 距离之差的绝对值 定点F1，F2 距离 ｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a 微提醒 (1)常数要小于两个定点的距离.(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2a＝｜F1F2｜时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2a＞｜F1F2｜时，动点的轨迹不存在.(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. (多选题)已知平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(1，0)，点P为平面内一动点，且｜PA｜－｜PB｜＝2a(a∈R)，则下列说法正确的是 A.当a＝0时，点P的轨迹为一直线 B.当a＝1时，点P的轨迹为一射线 C.当a＝－1时，点P的轨迹不存在 D.当a＝时，点P的轨迹是双曲线 典例 1 √ √ 对于A，当a＝0时，｜PA｜＝｜PB｜，则点P的轨迹为线段AB的垂直平分线，故A正确；对于B，当a＝1时，｜PA｜－｜PB｜＝2＝｜AB｜，则点P的轨迹是一条射线，且射线的端点为B，方向为x轴的正方向，故B正确；对于C，当a＝－1时，｜PA｜－｜PB｜＝－2＝－｜AB｜，则点P的轨迹是一条射线，且射线的端点为A，方向为x轴的负方向，故C错误；对于D，当a＝时，｜PA｜－｜PB｜＝1＜｜AB｜，且｜PA｜＞｜PB｜，所以点P的轨迹是以点A，B为左、右焦点的双曲线的右支，故D错误.故选AB. 规律方法 判断点的轨迹是否为双曲线时，依据是双曲线的定义成立的充要条件. √ 对点练1.(1)已知M(－2，0)，N(2，0)，｜PM｜－｜PN｜＝4，则动点P的轨迹是 A.线段 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支 因为M(－2，0)，N(2，0)，于是有｜PM｜－｜PN｜＝4＝｜MN｜，所以动点P的轨迹是一条射线.故选C. √ (2)与圆x2＋y2＝1及圆x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆P的圆心在 A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条直线上 D.双曲线的一支上 由x2＋y2－8x＋12＝0，得(x－4)2＋y2＝4，作出两方程所对应曲线，如图所示：设圆P的半径为r，因为圆P与圆O和圆M都外切，所以｜PM｜＝r＋2，｜PO｜＝r＋1，则｜PM｜－｜PO｜＝1＜4，所以根据双曲线定义知点P在以O，M为焦点的双曲线的左支上.故选D. 返回 任务二　双曲线的标准方程 返回 问题导思 问题3.仿照求椭圆标准方程的方法，根据双曲线的定义，如何选择恰当的平面直角坐标系来求双曲线的标准方程？ 提示：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性， 而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以直线F1F2为x 轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标 系，则焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，焦距 为2c，c＞0. 设P(x，y)是双曲线上任意一点，则根据双曲线的定义可得｜｜PF1｜－ ｜PF2｜｜＝2a，即｜PF1｜－｜PF2｜＝±2a， 因为｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，所以－＝±2a，化简、整理可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2).根据双曲线的定义可知，2c＞2a＞0，所以c2－a2＞0，设b2＝c2－a2(b＞0)，代入上式，得b2x2－a2y2＝a2b2，即－＝1(a＞0，b＞0). 问题4.设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，其中c＞a＞0，以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？   提示：－＝1(a＞0，b＞0). 新知构建 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦点 ________________________ ________________________ a，b，c的关系 b2＝________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2－a2 微提醒 (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.(2)a与b没有大小关系；a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 角度1　求双曲线的标准方程 (链教材P62例1)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，a＝2，经过点A(－5，2)； 解：因为a＝2，且双曲线的焦点在x轴上， 可设双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)， 将点A(－5，2)的坐标代入双曲线的方程得－＝1，解得b2＝16， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 典例 2 (2)经过A(－7，－6)，B(2，3)两点； 解：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 将点A，B的坐标代入双曲线方程可得解得m＝，n＝－， 所以双曲线的标准方程为－＝1. (3)过点P(－，2)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的双曲线方程. 解：由题意知，椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 所以可设双曲线标准方程为－＝1，其中a2＋b2＝5， 代入点P(－，2)可得－＝1，联立解得a2＝1，b2＝4， 所以双曲线的标准方程为x2－＝1. 规律方法 1.求双曲线标准方程的两个关注点 规律方法 2.双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程. (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可. 注意：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0. 对点练2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点A(4，3)，且a＝4； 解：若双曲线的焦点在y轴上， 则－＝1，不成立，可知双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)， 代入点A(4，3)， 即－＝1，解得b2＝9， 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)经过点A，B(3，－2). 解：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 代入点A，B(3，－2)， 可得 所以双曲线的标准方程为－＝1. 角度2　双曲线标准方程的理解 给出曲线方程＋＝1. (1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围； 解：将所给方程化为－＝1，若该方程表示双曲线，则有(4＋k)(k－1)＞0，解得k＞1或k＜－4. 故实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞). 典例 3 (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围. 解：将所给方程化为－＝1，若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k＜－4. 故实数k的取值范围是(－∞，－4). 规律方法 方程表示双曲线的条件及参数范围求法 1.对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线，且当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线. 2.对于方程－＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线. 规律方法 3.已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围. √ 对点练3.在方程mx2－my2＝3n中，若mn＜0，则该方程表示 A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线 方程化为－＝1.因为mn＜0，所以＜0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线.故选D. 返回 任务三　双曲线定义的应用 返回 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离； 解：由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则c2＝25， 所以a＝3，b＝4，c＝5. 设｜MF1｜＝7，则根据双曲线的定义知 ｜｜MF2｜－7｜＝6，即｜MF2｜－7＝±6， 解得｜MF2｜＝13或｜MF2｜＝1， 又｜MF2｜＝1＜c－a，则｜MF2｜＝1不合题意， 因此，点M到另一个焦点的距离为13. 典例 4 (2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 解：由定义和余弦定理得｜PF1｜－｜PF2｜＝±6， ｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos 60°， 所以102＝(｜PF1｜－｜PF2｜)2＋｜PF1｜·｜PF2｜， 所以｜PF1｜·｜PF2｜＝64， 所以＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin ∠F1PF2 ＝×64×＝16. 变式探究 (变条件)若将本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改为“｜PF1｜·｜PF2｜＝32”，求△F1PF2的面积. 解：将｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝2a＝6，两边平方得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝36， 所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝36＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2 ＝＝＝0， 所以∠F1PF2＝90°. 所以＝｜PF1｜·｜PF2｜＝×32＝16. 规律方法 双曲线的定义的应用 1.已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离. 2.双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用. 对点练4.已知双曲线的方程为x2－＝1，如图所示，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求｜MA｜＋｜MB｜的最小值. 解：设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，如图所示， 连接MD，BD.由双曲线的定义，得｜MA｜－｜MD｜＝2a＝2. 所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜－｜MD｜＋｜MB｜＋｜MD｜ ＝2＋｜MB｜＋｜MD｜≥2＋｜BD｜. 又点B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)， 半径长为1， 故｜BD｜≥｜CD｜－1＝－1， 从而｜MA｜＋｜MB｜≥2＋｜BD｜≥ ＋1， 当且仅当点M，B在线段CD上时取等号. 故｜MA｜＋｜MB｜的最小值为＋1. 返回 任务四　双曲线的实际应用 返回 (链教材P63例2)某区域有三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角. 解：如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系. 典例 5 则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2). 因为｜PB｜＝｜PC｜， 所以点P在线段BC的垂直平分线上. 又易知kBC＝－， 线段BC的中点D(－4，)， 所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)，① 又｜PB｜－｜PA｜＝4＜6＝｜AB｜， 所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上. 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则a＝2，c＝3，b＝， 所以点P的轨迹方程为－＝1(x≥2)，② 联立①②，得P点坐标为(8，5)， 所以kPA＝＝， 因此在A处发现P的方位角为北偏东30°. 规律方法 用双曲线解决实际问题的基本步骤 第一步(建系)：建立适当的坐标系； 第二步(求方程)：求出双曲线的标准方程； 第三步(还原)：根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). 对点练5.如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，现要把此处 生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到农贸市场A1A2A3A4中 去，已知｜AA1｜＝10 km，｜AA2｜＝15 km，∠A1AA2＝ 60°，能否在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧 的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运 送蔬菜较近？如果能，说出这条界线是一条什么曲线，并求出该曲线的 方程. 解：以A1A2所在直线为x轴，以A1A2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示. 在△AA1A2中，由余弦定理可得｜A1A2｜2＝｜AA1｜2＋ ｜AA2｜2－2｜AA1｜｜AA2｜cos 60°＝175， 可得｜A1A2｜＝5.设M是边界上任一点，则满足 ｜MA1｜＋｜AA1｜＝｜AA2｜＋｜MA2｜， 所以｜MA1｜－｜MA2｜＝｜AA2｜－｜AA1｜＝15－10＝5＜5＝ ｜A1A2｜. 由双曲线定义可知，点M所在的界线是以A1，A2为焦点的双曲线靠近A2的一支，并且在农贸市场A1A2A3A4内的部分. 由a＝，c＝，可得b2＝c2－a2＝－＝， 所以双曲线方程为－＝1(x＞0)，即－＝1(x＞0). 课堂小结 任务再现 1.双曲线的定义及应用.2.双曲线的标准方程.3.双曲线的实际应用 方法提炼 待定系数法、分类讨论法、定义法、转化与化归思想 易错警示 忽略双曲线成立的必要条件及双曲线焦点位置的判断 返回 随堂评价 返回 √ 1.在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则标准方程是 A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1或－＝1 应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求.故选D. √ 2.(多选题)已知方程＋＝1表示曲线C，则下列判断正确的是 A.当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆 B.当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线 C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜ D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4 √ √ 由4－t＝t－1，得t＝，此时方程＋＝1表示圆，故A错误；由双曲线的定义可知，当(4－t)(t－1)＜0，即t＜1或t＞4时，方程＋＝1表示双曲线，故B正确；由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x轴上时，满足4－t＞t－1＞0，解得1＜t＜，故C正确；当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线时，满足解得t＞4，故D正确.故选BCD. √ 3.若双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为 A.1或21 B.14或36 C.2 D.21 设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设｜PF1｜＝11，根据双曲线的定义知｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝10，所以｜PF2｜＝1或 ｜PF2｜＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，所以｜PF2｜＝1舍去，所以点P到另一个焦点的距离为21.故选D. 4.以椭圆＋＝1的焦点为焦点，且过点(2，)的双曲线的标准方程 为　　　　　　. －＝1 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上.设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0).根据题意得(舍去)，所以双曲线的标准方程为－＝1. 返回 课时分层评价 返回 √ 1.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足 ｜PF1｜－｜PF2｜＝8，则动点P的轨迹是 A.椭圆 B.一条射线 C.双曲线 D.双曲线的一支 因为F1(－5，0)，F2(5，0)，所以｜F1F2｜＝10，若动点P满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝8＜｜F1F2｜＝10，则动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.而题目中动点P只满足｜PF1｜－｜PF2｜＝8，有｜PF1｜＞｜PF2｜，所以动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于 A. B.5 C.7 D. 根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 设炮弹爆炸点为点P，由题意可得｜PA｜－｜PB｜＝340×2＝680＜800＝｜AB｜，所以炮弹爆炸点的轨迹是双曲线的一支.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.(多选题)若双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为 A.2 B.7 C.17 D.22 √ 设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则a＝5，b＝3，c＝，设P为双曲线上一点，不妨令｜PF1｜＝12(12＞a＋c＝5＋)，所以点P可能在左支，也可能在右支，由｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝10，得｜12－｜PF2｜｜＝10，所以｜PF2｜为22或2.所以点P到另一个焦点的距离是22或2.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长｜AB｜＝m，则△ABF2的周 长为 A.4a B.4a－m C.4a＋2m D.4a－2m 由题意可知｜AF2｜＞｜AF1｜，｜BF2｜＞｜BF1｜，由双曲线的定义，知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a，所以｜AF2｜＋｜BF2｜＝(｜AF1｜＋｜BF1｜)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝4a＋2m.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.已知双曲线－＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为 A.3或7 B.6或14 C.3 D.7 设F2是双曲线的右焦点，连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，所以｜ON｜＝｜PF2｜，因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝4，｜PF1｜＝10，所以｜PF2｜＝6或14，所以｜ON｜＝｜PF2｜＝3或7.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知点A(0，2)，B(0，－2)，C(3，2)，若动点M(x，y)满足｜MA｜＋ ｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，则点M的轨迹方程为　 　　　　　　. y2－＝1(y≤－1) 因为｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，即｜MA｜＋3＝｜MB｜＋，所以｜MA｜－｜MB｜＝2.故点M(x，y)的轨迹是以A(0，2)，B(0，－2)为焦点，2a＝2的双曲线的下支.此时a＝1，c＝2，b2＝c2－a2＝3.故点M的轨迹方程为y2－＝1(y≤－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0，5)与两焦点的连 线互相垂直，则此双曲线的标准方程为　　　　　　. －＝1 设焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)，则由QF1⊥QF2，得·＝ －1，所以·＝－1，所以c＝5.设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为双曲线过点P(4，－3)，所以－＝1，又因为c2＝a2＋b2＝25，所以a2＝16，b2＝9.所以双曲线的标准方程为－＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(双空题)设P是双曲线x2－＝1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A(3，1)，B(3，6)，则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为　　　　；｜PB｜＋｜PF｜的最小值为　　　　. －2 . 设双曲线的另一焦点为F'，则有F'(－2，0)，F(2，0)，连接AF'(图略)，易知点A在双曲线内，点B在双曲线外，则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋(｜PF'｜－2)≥｜AF'｜－2＝－2；｜PB｜＋｜PF｜≥｜BF｜＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型. 解：①当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线； ②当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； ③当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线； ④当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆； ⑤当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.双曲线C：－＝1＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C左支上一点，直线AF2与双曲线C的右支交于点B，且＝15，∠F1AF2＝，则＋＝ A. B.26 C.25 D.23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知｜AF2｜－｜AF1｜＝｜BF1｜－｜BF2｜ ＝2a＝10.令｜BF2｜＝x，则｜AF1｜＝x＋15－10 ＝x＋5，｜BF1｜＝x＋10，△ABF1中，如图所示， ＝15，∠F1AF2＝，则cos∠F1AF2＝ ＝，所以 ＝，则x＝3，故｜AF1｜＝8，则｜AF2｜＝18，所以＋＝26.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12.(多选题)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)过点(3，)和点(，0)，下列选项正确的是 A.C的标准方程为－y2＝1 B.C与椭圆＋＝1有共同的焦点 C.曲线x2＋(y－2)2＝4过C的一个焦点 D.设P为C的右支上任一点，F1，F2为焦点，△PF1F2的内切圆过点(，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得双曲线方程为－y2＝1，a＝，b＝1，c＝2，焦点分别为(±2，0).故A正确，B、C错误；设△PF1F2的内切圆与x轴切于A点，则｜PF1｜－｜PF2｜＝｜F1A｜－｜AF2｜，即A点在双曲线右支上，所以A(，0)，故D正确.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为　 　　　. －2 因为｜AP｜＋｜AF2｜＝｜AP｜＋｜AF1｜－2，所以要求｜AP｜＋｜AF2｜的最小值，只需求｜AP｜＋｜AF1｜的最小值.如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，｜AP｜＋｜AF1｜最小，最小值为｜PF1｜＝＝.故｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)如图，某野生保护区监测中心设置在点O处， 正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且｜OA｜ ＝｜OB｜＝｜OC｜＝30 km，一名野生动物观察员在 保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信 号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 s.(注：信号每秒传播V0 km) (1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：设观察员可能出现的位置为点P(x，y)，由题意，得｜PB｜－｜PA｜＝×V0＝40＜｜AB｜＝60，故点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0，x≤－a)，又2a＝40，2c＝60，所以b2＝c2－a2＝500，故所求轨迹方程为－＝1(x≤－20). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少？ 解：设轨迹上一点为M(x，y)， 则｜MC｜＝＝， 又－＝1，所以x2＝y2＋400， 所以｜MC｜＝ ＝≥20， 当且仅当y＝时，｜MC｜取得最小值20，故扫描半径r至少是20 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)从某个角度观察篮球(如图①)，可以得到一个对称的平面图形.如图②，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝ BC＝CD＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为　　　　　. x2－＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所求双曲线方程为－＝1(a＞ 0，b＞0)，因为AB＝BC＝CD＝2， 则点C的坐标为(1，0)，将其代入双 曲线方程，得a＝1，又坐标轴和双 曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以点在双曲线上，得－＝1，则b2＝，故所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点. (1)设 ＜m＜4，求与的夹角θ的正切值的取值范围； 解：因为 所以tan θ＝. 又＜m＜4， 所以1＜tan θ＜4， 即tan θ的取值范围为(1，4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q， 如图所示，｜｜＝c，m＝c2，当｜｜取得 最小值时，求此双曲线的标准方程. 解：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)， 所以S△OFQ＝｜｜·｜y1｜＝2， 则y1＝±. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又·＝m， 即(c，0)·(x1－c，y1)＝c2， 解得x1＝c， 所以｜｜＝＝≥ ＝2，当且仅当c＝4时取等号，｜｜最小为2， 这时Q的坐标为(，)或(，－). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此 于是所求双曲线的标准方程为－＝1. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 2.1　双曲线及其标准方程 返回 $