第2章 2.1 双曲线及其标准方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及应用，通过拉链实验操作导入，类比椭圆定义中“距离之和”改为“距离之差的绝对值”，搭建从椭圆到双曲线的知识支架，帮助学生构建前后知识联系。 其亮点在于以实验探究和问题链驱动，结合数学思维与数学语言。如通过焦点三角形面积推导培养推理能力，用拱桥截面问题建立双曲线模型提升应用意识。学生能深化理解，教师可借助分层训练和小结提高教学效率。

§2　双曲线 2．1　双曲线及其标准方程 新课导入 学习目标 取一条拉链，拉开 一部分，在拉开的两边 各选择一点，分别固定 在点F1，F2上，如图，把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出曲线，你知道画出的曲线是什么形状吗？ 1.掌握双曲线的定义及其标准方程、几何图形，会用待定系数法求双曲线的标准方程．　2.通过对双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力．　3.会利用双曲线解决一些简单的实际问题． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　双曲线的定义 思考1　同学们还记得椭圆的定义吗？把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)”，那么点的轨迹会怎么样？ 提示：将拉链拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另 一边上截去一段(小于|F1F2|)，作为动点P到两定点F1和F2距 离之差，而后把它固定在F2处，这时将铅笔(粉笔)置于P处， 于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，同理可画出 另一支．(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到两定点的距离之差|PF1|－|PF2|或|PF2|－|PF1|是同一个常数”这个条件． 返回导航 思考2　在新课导入给出的材料中，点M在运动过程中满足什么几何条件？ 提示：点M在运动过程中满足|MF1|－|MF2|＝常数，或|MF2|－|MF1|＝常数，且该常数小于|F1F2|. 返回导航 [知识梳理] 1．文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于____(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距． 2．集合语言：M＝{P|||PF1|－|PF2||＝2a，0＜2a＜|F1F2|}． 常数 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线．(　　) (2)平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．(　　) (3)平面内两个定点F1(0，4)，F2(0，－4)，满足条件||PF1|－|PF2||＝6的动点P的轨迹是双曲线．(　　) (4)平面内两个定点F1(0，4)，F2(0，－4)，满足条件||PF1|－|PF2||＝8的动点P的轨迹是双曲线．(　　) × × √ × 返回导航 A 返回导航 3．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨 迹是双曲线的一支，则m的取值范围是____________________________． 返回导航 感悟提升 记动点M到定点F1，F2的距离分别为|MF1|，|MF2|，||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，c>0. (1)2a<2c，M的轨迹为双曲线； (2)2a＝2c，M的轨迹为两条射线； (3)2a>2c，M无轨迹图形； (4)2a＝0，M的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 返回导航 知识点二　求双曲线的标准方程 思考　类比椭圆的方程，结合双曲线的形成过程，怎样建立坐标系才使双曲线的方程更简单些？ 提示：以F1，F2所在的直线以及线段F1F2的垂直平分线作为坐标轴，所得方程应该更简单． 返回导航 [知识梳理] a2＋b2 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程   ______________________   ______________________ 图象 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝_______ 返回导航 [例1] (对接教材例1)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点为(2，0)，(－2，0)，且双曲线上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2； 返回导航 (2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点(0，4)； 返回导航 返回导航 感悟提升 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：根据双曲线的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出双曲线的标准方程； (2)待定系数法：依据条件判断焦点是在x轴上，还是在y轴上，设出相应双曲线的标准方程，结合已知条件建立关于a，b，c的方程组，将求得的结果代入所设方程即为所求． 注意　若焦点的位置不明确，可以分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0. 返回导航 [跟踪训练1] (1)焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为________________________________________________________. 返回导航 返回导航 A 返回导航 【解析】　设C的左焦点为F′，连接MF′， 因为P为线段MF的中点， O为坐标原点，所以|MF′|＝2|OP|＝8， 由双曲线的定义可知，|MF|－|MF′|＝2a＝2， 所以|MF|＝|MF′|＋2＝8＋2＝10. 返回导航 感悟提升 双曲线定义的双向运用 (1)判断(正用)：符合定义中到两定点的距离之差的绝对值为非零常数(小于两定点间的距离)这一条件的点的轨迹为双曲线． (2)求值(逆用)：双曲线上的任意点一定满足定义中的条件，即到两焦点的距离之差的绝对值为2a，但要注意点在双曲线的哪一支上，如点在右支上，则该点到右焦点的最小距离为c－a；该点到左焦点的最小距离为c＋a，均无最大值． 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 D 返回导航 返回导航 感悟提升 (1)转化思想：利用双曲线定义||PF1|－|PF2||＝2a，将线段和或差转化为只含一个焦点的线段表达式，再结合三角形不等式或三点共线等几何性质求解． (2)共线原则：无论是求和还是求差的最值，取得最值的常见条件往往是动点P与定点、焦点三点共线的情况，此类问题的处理方式与椭圆一样，仍旧体现数形结合的思想方法． 返回导航 C 返回导航 返回导航 返回导航 1 返回导航 应用点二　双曲线在生活中的应用 [例5] (对接教材例2)如图所示，某接报中心O接到其正西、 正东、正北方向三个观测点A，B，C的报告：A，C两个观 测点同时听到了一声巨响，B观测点听到的时间比A观测点 晚4 s，假定当时声音传播的速度为v m/s，各观测点到该中心的距离都是3v m，设发出巨响的位置为点P，且A，B，C，O，P均在同一平面内．请你确定该巨响发生的点P的位置． 返回导航 【解】　如图，以接报中心O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系． 则A(－3v，0)，B(3v，0)，C(0，3v)， 设P(x，y)为巨响发生点， 由A，C同时听到巨响声，得|PA|＝|PC|， 故P在AC的垂直平分线OP上，OP的方程为y＝－x， 因为B观测点比A观测点晚4 s听到巨响， 返回导航 返回导航 感悟提升 利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系； (2)求出双曲线的标准方程； (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 38 1．平面内到两定点A(－6，0)，B(0，8)的距离之差等于10的点的轨迹为 (　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．一条射线 D 返回导航 AC 返回导航 返回导航 (－∞，5) 返回导航 返回导航 返回导航 (2)求△MF1F2的面积． 返回导航 课堂小结 1．已学习：双曲线的定义、双曲线的标准方程，双曲线在实际生活中的应用． 2．须贯通：(1)求解双曲线的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法； (2)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想． 3．应注意：双曲线的定义中的2a<|F1F2|或把双曲线的一支误认为是双曲线的两支；辨明双曲线的标准方程中a，b，c的关系． 返回导航 －<m<且m≠ －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) x2－＝1 －＝1 16 (±，±5) 解析：因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则解得k<5. x2－＝1 $