2 1.2 椭圆的简单几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，通过问题导思衔接椭圆定义，从方程和图象出发搭建“定义-方程-性质”学习支架，引导学生逐步探究性质应用。 其亮点是以问题链驱动，结合直观想象和数学运算，通过典例（如用正弦定理求离心率）和变式培养逻辑推理，规律方法结构化总结助力数学语言表达。帮助学生提升核心素养，为教师提供分层教学资源，提高教学效率。

1.2　椭圆的简单几何性质 　 第二章　§1　椭圆 学习目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单的几何性 质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，培养直观想 象、数学运算的核心素养. 2.能利用椭圆的简单几何性质求标准方程及了解椭圆的简单 应用，提升数学运算的核心素养. 任务一　椭圆的简单几何性质 1 任务二　求椭圆的离心率 2 任务三　相关点法求轨迹方程 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　椭圆的简单几何性质 返回 问题导思 问题1.如图所示，椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，你能根据方程和图象确定椭圆的边界吗？ 提示：由方程＋＝1(a＞b＞0)可得椭圆C上的任意一点P(x，y)总满足≤1，≤1，即－a≤x≤a，－b≤y≤b，这说明椭圆C位于四条直线x＝－a，x＝a，y＝－b，y＝b所围成的矩形区域内. 问题2.如上图所示，椭圆具有怎样的对称性？如何通 过椭圆方程加以说明？ 提示：既关于坐标轴轴对称，又关于原点中心对称.若 (x0，y0)是椭圆方程的一组解，即＋＝1，则 (x0，－y0)，(－x0，y0)，(－x0，－y0)也是方程的解. 问题3.如上图所示，椭圆中有哪些特殊点？坐标是什么？ 提示：在椭圆的标准方程中，当x＝0时，y＝±b；当y＝0时，x＝±a，所以(±a，0)，(0，±b)为特殊点. 问题4.扁平程度是椭圆的重要形状特征，观察图象，我 们可以发现，不同椭圆的扁平程度不同，我们常用离心 率e＝来刻画椭圆的扁平程度.请说明一下这个定量对 椭圆的形状有何影响？ 提示：题干图中，保持长半轴长a不变，随着短半轴长b的增大，即离心率e＝＝减小，椭圆就越接近于圆；随着短半轴长b的减小，即离心率e＝＝增大，椭圆就越扁. 新知构建 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 对称性 对称轴：__________，对称中心：________ 范围 __________________________ －b≤x≤b，且－a≤y≤a x轴和y轴 (0，0) －a≤x≤a，且－b≤y≤b 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 顶点 ________________________________________________ ________________________________________________ 轴长 短轴长＝____，长轴长＝____ 焦点 ________________________ ________________________ 焦距 ｜F1F2｜＝____ 离心率 e＝(0＜e＜1) A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 2b 2a F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c 微提醒 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.(4)P为短轴端点时，∠F1PF2最大.(5)通径长为(通径是过焦点垂直于长轴的弦).(6)e＝＝.(7)离心率的范围为(0，1)，e越大，椭圆就越扁；e越小，椭圆就越接近于圆. 角度1　椭圆的简单几何性质 (链教材P54例4)已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上. (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； 解：由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8， 焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝. 典例 1 (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质. 解：椭圆C2：＋＝1.几何性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，长轴长为20，短轴端点(－8，0)，(8，0)，短轴长为16；④焦点：(0，6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝. 规律方法 确定椭圆几何性质的基本步骤 对点练1.设椭圆方程为mx2＋4y2＝4m(m＞0)，离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标. 解：椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， 所以e＝＝＝， 所以m＝3，所以b＝，c＝1， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，). ②当m＞4时，a＝，b＝2， 所以c＝， 所以e＝＝＝，解得m＝， 所以a＝，c＝， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1(0，－)，A2，B1(－2，0)，B2(2，0). 角度2　由椭圆的简单性质求标准方程 (链教材P55例5)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，a＝2，离心率e＝； 解：由a＝2，e＝，得a2＝4，且＝，即c＝1， 所以b2＝a2－c2＝4－1＝3. 已知椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 典例 2 (2)一焦点坐标为(－3，0)，一顶点坐标为(0，5)； 解：由椭圆的一个焦点坐标为(－3，0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3. 又由一顶点坐标为(0，5)，可得b＝5， 所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)过点(3，0)，离心率e＝. 解：当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝，所以＝，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 规律方法 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等，充分体现方程思想. 规律方法 2.在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个. 对点练2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为8，离心率为0.8； 解：当焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0). 由题意得c＝4，e＝， 所以a＝5，b＝3. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 当焦点在y轴上，同理可求得方程为＋＝1. 所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)长轴是短轴的3倍，且经过点(3，0). 解：当焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0). 因为椭圆过点(3，0)，所以a＝3， 又2a＝3×2b，所以b＝1. 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. 当焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0). 因为椭圆过点(3，0)，所以b＝3. 又2a＝3×2b，所以a＝9. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1. 返回 任务二　求椭圆的离心率 返回 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°，求C的离心率. 解：在△PF1F2中，因为∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝ 75°，所以∠F1PF2＝60°，设｜PF1｜＝m，｜PF2｜ ＝n，｜F1F2｜＝2c，m＋n＝2a， 则在△PF1F2中，有＝＝， 所以＝，所以e＝＝＝＝. 典例 3 变式探究 (变条件)若将本例中“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围. 解：由题意，若∠F1PF2为钝角，则c＞b，所以c2＞b2.又b2＝a2－c2，所以c2＞a2－c2，即2c2＞a2.所以e2＝＞，所以e＞，又0＜e＜1， 所以C的离心率的取值范围为. 规律方法 求椭圆离心率及取值范围的两种方法 1.直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解. 2.解方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围. √ 对点练3.椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN的长为，若△MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则由椭圆的定义，可得｜MF1｜＋｜MF2｜＝｜NF1｜＋｜NF2｜＝2a.由△MF2N的周长为20，可得4a＝20，即a＝5.令x＝－c，代入椭圆的方程，可得y＝±，即＝，解得b2＝9，所以c＝＝4，所以椭圆的离心率为e＝＝.故选D. 返回 任务三　相关点法求轨迹方程 返回 (链教材P56例7)已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(－，0)的距离与它到定直线l：x＝－的距离之比为常数. (1)求动点M的轨迹Q的方程； 解：设动点M(x，y)， 由已知可得 ＝， 平方、整理，得＋y2＝1， 即所求动点M的轨迹Q的方程为＋y2＝1. 典例 4 (2)设点A，若P是(1)中轨迹Q上的动点，求线段PA的中点B的轨迹 方程. 解：设点B的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)， 由 由点P在轨迹Q上，得＋＝1， 整理得＋4＝1， 所以线段PA的中点B的轨迹方程是＋＝1. 规律方法 1.直接法求轨迹方程 求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示. 规律方法 2.相关点法求轨迹方程 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法. 注意：相关点法求轨迹问题的四步曲为：设点、求关系式、代换、得方程. 对点练4.已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹方程. 解：设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)， 由Q是线段OP的中点知，x0＝2x，y0＝2y， 又＋＝1，所以＋＝1，即x2＋＝1， 所以点Q的轨迹方程为x2＋＝1. 教材拓展3　椭圆的第二、第三定义(源自于教材P58－B组T3、P84－阅读材料一) (1)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分 别为F1，F2，左、右准线方程分别为l1： x＝－，l2：x＝.如图，由椭圆上的动点P向l1，l2分别作垂线，垂足分别为N1，N2.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率e＝＝(a2－b2＝c2，c＞0).请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式＝a＋ex0，＝a－ex0. 典例 5 解：证明：由e＝＝， 得＝e，＝e， 又＝x0－＝x0＋， ＝－x0， 所以＝e＝e＝a＋ex0， ＝e＝e＝a－ex0， 即＝a＋ex0，＝a－ex0. (2)借助(1)中焦半径公式解决问题：已知A，B为椭圆 ＋＝1上两个不同的点，F为右焦点，＋＝6， 若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，求. 解：由题意，在椭圆＋＝1中，a＝4，c＝2，e＝，F. 设A，B， 则由焦半径公式，得＋＝＋＝6，所以x1＋x2＝4， 所以线段AB的中点为E. 设T，如图所示， 由题意知，直线AB与坐标轴不平行，且直线AB的斜率kAB＝， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为－， 则线段AB的垂直平分线方程为y＝－＋. 代入T，得m－2＝ ＝＝ ＝－＝－， 解得m＝，所以＝2－＝. 课堂小结 任务再现 1.椭圆的简单几何性质.2.由椭圆的几何性质求标准方程.3.求椭圆离心率的值或取值范围.4.相关点法求轨迹方程 方法提炼 分类讨论法、待定系数法、直接法、相关点法、方程法或不等式法 易错警示 忽略椭圆离心率的取值范围以及长轴长与a的关系 返回 随堂评价 返回 √ 1.(多选题)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是 A.长轴长为 B.焦距为 C.焦点坐标为 D.离心率为 √ 由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，所以长轴长为2a＝1，焦距为2c＝，焦点坐标为，离心率为e＝＝.故选CD. √ 2.已知椭圆的离心率为，焦点是(－3，0)和(3，0)，则该椭圆的方程为 A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 由题意知c＝3，＝，则a＝6，所以b2＝a2－c2＝27，所以椭圆的方程为＋＝1.故选A. √ 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形.如图所示，因为在Rt△OBF2中，｜OF2｜＝c，｜BF2｜＝a，∠OF2B＝60°，所以cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝.故选B. 4.在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，＝.当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是　　　　　　. ＋＝1 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0).因为＝，即(x－x0，y)＝(0，y0)，所以因为点P在x2＋y2＝4上，所以＋＝4，所以x2＋＝4，所以点M的轨迹方程是＋＝1. 返回 课时分层评价 返回 √ 1.若椭圆的焦点在x轴上，长半轴长与短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为 A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 由题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，解得a＝6，b＝4.所以椭圆的方程为＋＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为 A. B.2 C. D.4 椭圆x2＋my2＝1的标准方程为x2＋＝1.因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以＝2，所以m＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.曲线＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的关系是 A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有相等的焦距，不同的焦点 C.有不等的焦距，不同的焦点 D.以上都不对 曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点和右焦点分别为A，F，点P为椭圆外一点，线段PA，PF恰好均被椭圆平分，且与椭圆分别交于M，N两点，当｜MA｜＝｜MF｜时，椭圆的离心率为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，设P(x0，y0)，A(－a，0)，F(c，0)，因为 ｜MA｜＝｜MF｜，所以xM＝.又因为M为PA的 中点，所以xM＝，则x0＝c，所以M， N.因为点M在椭圆上，代入椭圆方程得 ＝b2，因为MN∥x轴，所以b2＝，整理得3c2＋2ac－a2＝0，即3e2＋2e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.(多选题)为使椭圆＋＝1的离心率为，则正数m的值可以是 A.1 B. C. D. √ 当0＜m＜2时，焦点在x轴上，此时a2＝2，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝2－m，所以e2＝＝＝，解得m＝，符合题意；当m＞2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝m－2，所以e2＝＝＝，解得m＝，符合题意.故正数m的值可以是.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆长轴长为＝6(厘米)，短轴长为6厘米，所以椭圆离心率e＝＝，所以e∈.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5，4)， 则椭圆的方程为　　　　　　. ＋＝1 因为e＝＝，所以＝＝，所以5a2－5b2＝a2，即4a2＝5b2.设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞0)，因为椭圆过点P(－5，4)，所以＋＝1，解得a2＝45.所以椭圆方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C 的方程为　　　　　　. ＋＝1 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由e＝，知＝，故＝.因为△ABF2的周长为｜AB｜＋｜BF2｜＋｜AF2｜＝(｜AF1｜＋｜AF2｜)＋(｜BF1｜＋｜BF2｜)＝4a＝16，所以a＝4，所以b2＝8，所以椭圆C的方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且 ｜PF1｜＝5｜PF2｜，则此椭圆离心率的取值范围是　　　　. . 由题意可知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，｜PF1｜＝5｜PF2｜，则｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，因为｜PF1｜－｜PF2｜≤｜F1F2｜，所以≤2c，e≥.又e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点. (1)求椭圆的标准方程； 解：由题意，可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)， 若点F(2，0)为其右焦点， 则其左焦点为F'(－2，0)， 从而有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得 又a2＝b2＋c2，所以b2＝12， 故椭圆的标准方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程. 解：设点P的坐标为(x0，y0)，点Q的坐标为(x，y)， 因为Q为PF的中点， 所以 又P是＋＝1上的动点， 所以＋＝1， 即点Q的轨迹方程是＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，F是左焦点，则＋＋…＋＝ A.16 B.18 C.20 D.22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为把椭圆＋＝1的长轴AB分成10等份，过 每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于 点P1，P2，…，P9，设椭圆的右焦点为F'，且a2 ＝4，可得a＝2，由椭圆的定义及椭圆的对称性， 可得｜P1F｜＝｜P9F'｜，｜P2F｜＝｜P8F'｜，｜P3F｜＝｜P7F'｜，…，所以｜P1F｜＋｜P2F｜＋…＋｜P9F｜＝(｜P9F'｜＋｜P9F｜)＋(｜P8F'｜＋｜P8F｜)＋…＋(｜P5F'｜＋｜P5F｜)＝9a＝18.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12.(新角度)(多选题)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.据此得某椭圆面积为6π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可 以为 A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知又a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝2，c＝1，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是 　　　　　　. ＋＝1 设Q(x，y)，因为＝＋，所以＝－＝，因为P是椭圆＋＝1上的任意一点，所以＋＝1，所以＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，｜AF1｜＝3｜F1B｜. (1)若｜AB｜＝4，△ABF2的周长为16，求｜AF2｜； 解：由｜AF1｜＝3｜F1B｜，｜AB｜＝4， 得｜AF1｜＝3，｜F1B｜＝1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a＝16，｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝8. 故｜AF2｜＝8－3＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若cos ∠AF2B＝，求椭圆E的离心率. 解：设｜F1B｜＝k，则k＞0且｜AF1｜＝3k，｜AB｜＝4k. 由椭圆定义可得，｜AF2｜＝2a－3k，｜BF2｜＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得｜AB｜2＝＋－2｜AF2｜·｜BF2｜·cos ∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)， 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k. 于是有｜AF2｜＝3k＝｜AF1｜，｜BF2｜＝5k. 因此｜BF2｜2＝｜F2A｜2＋｜AB｜2，可得F1A⊥F2A， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c＝a， 所以椭圆E的离心率e＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(新情境)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展了油纸伞文化艺术节活动，在本次活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则e2＝ A. B.7－2 C.3－2 D.3－5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭 圆的短半轴长b＝2，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝ 45°，｜AC｜＝4，由正弦定理得＝⇒ ＝⇒＝⇒2a＝⇒a＝＋，所以e2＝＝＝1－＝1－＝3－5.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)如图，我区新城公园将在长34米，宽30米的矩 形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半 椭圆＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0)组成，其中a＞b ＞9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有 且只有一个公共点). (1)求“挞圆”的方程； 解：由题意知b＝15，a＋9＝34， 解得a＝25，b＝15. 所以“挞圆”方程为＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值. 解：设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为 矩形在第二象限内的顶点， 则＋＝1，＋＝1，可得x1＝－x0. 所以内接矩形的面积S＝2t(x0－x1)＝2t×x0＝15×34× 2··≤15×34＝510， 当且仅当＝时，S取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 1.2　椭圆的简单几何性质 返回 $