1 2.1　圆的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

2.1　圆的标准方程 　 第一章　§2　圆与圆的方程 学习目标 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌 握圆的标准方程，培养逻辑推理的核心素养. 2.能根据所给条件求圆的标准方程，提升数学运算的核心 素养. 3.能够判断点与圆的位置关系并能解决相关问题，提升直观 想象、数学运算的核心素养. 任务一　圆的标准方程 1 任务二　点与圆的位置关系 2 任务三　与圆有关的最值问题 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　圆的标准方程 返回 问题导思 问题1.圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示：平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 确定圆的要素：圆心和半径.关系：圆心确定圆的位置，半径确定圆的 大小. 问题2.已知圆C的圆心为C(a，b)，半径为r，如何推导圆的方程？ 提示：如图所示，设P(x，y)为圆上任意一点，则｜PC｜＝r，根据两点间的距离公式，得＝r，将上式两边平方、整理，得方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 新知构建 1.圆的定义 圆是平面内到定点的距离__________的所有点的集合(或轨迹)，其中定点是______，______就是半径.用集合表示为{P｜｜PC｜＝r}. 2.圆的标准方程 (1)圆的标准方程：以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为______ ______________. (2)确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. 等于定长 圆心 定长 (x－a)2 ＋(y－b)2＝r2 3.圆x2＋y2＝r2(r＞0)的简单几何性质 (1)范围：≤___，≤___. (2)对称性：圆x2＋y2＝r2既是轴对称图形，过原点的任意一条直线都是它的对称轴，又是中心对称图形，其对称中心是坐标原点. r r 微提醒 微提醒(1)所谓圆的标准方程，是指方程的形式.圆的标准方程体现了圆的几何性质，突出了圆的几何要素：圆心和半径.即圆的标准方程的特征： (2)当圆心在原点即A(0，0)，半径r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆. (3)相同的圆，当建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. (4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上. 角度1　由圆的方程求圆心和半径 (多选题)下列说法错误的是 A.圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为5 B.圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为b C.圆(x－)2＋(y＋)2＝2的圆心为(，－)，半径为 D.圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2，2)，半径为 典例 1 √ √ √ 圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为，故A错误；圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为｜b｜，故B错误；C正确；圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(－2，－2)，半径为，故D错误.故选ABD. 角度2　求圆的标准方程 (一题多解，链教材P30例3)求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程. 解：法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 解得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 典例 2 法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)， kAB＝＝－1， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x. 则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由 即圆心为(1，1)， 圆的半径为＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 规律方法 确定圆的标准方程的方法 1.几何法：由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长，然后代入标准方程 即可. 2.待定系数法：设出圆的标准方程，通过三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程.这种方法体现了方程的思想，是最常用的方法，一般步骤是： (1)设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； (3)解——解方程组，求出a，b，r； (4)代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程. 对点练1.根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； 解：因为r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， 所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4). 解：设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 所以b＝0或b＝－8，所以圆心为(0，0)或(0，－8)， 又r＝5， 所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 返回 任务二　点与圆的位置关系 返回 问题导思 问题3.点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上的充要条件是什么？点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外的充要条件是什么？点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的充要条件是什么？ 提示：当点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径；当点在圆内时，点到圆心的距离小于半径. 新知构建 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝｜PC｜＝. 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆外 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 点在圆上 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 点在圆内 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 ＞ ＞ ＝ ＝ ＜ ＜ 已知A(－1，4)，B(5，－4).求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5，1)，D(6，－3)，E(－5，1)与圆的位置关系. 解：设圆心为O(x0，y0)，半径为r， 由题意得 所以圆心O(2，0). 又r＝＝5， 所以圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25. 典例 3 又｜OC｜2＝(5－2)2＋12＝10＜r2， 所以C在圆内. 又｜OD｜2＝(6－2)2＋(－3－0)2＝25＝r2， 所以D在圆上. 又｜OE｜2＝(－5－2)2＋(1－0)2＝50＞r2， 所以E在圆外. 规律方法 判断点与圆的位置关系的两种方法 几何法 主要利用点到圆心的距离与半径比较大小 代数法 把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断 √ 对点练2.(1)点M(a，a＋1)与圆C：(x－1)2＋y2＝1的位置关系是 A.M在C外 B.M在C上 C.M在C内 D.与a的取值有关 因为圆心C(1，0)，｜MC｜＝＝≥＞1，所以点M在圆外.故选A. (2)(双空题)已知点P(2，1)和圆C：＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝__________；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为_________ ________________. －2或－6 {a｜a＜ －6，或a＞－2} 由题意，得＋(y－1)2＝1，当点P在圆C上时，由＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或a＝－6.当点P在圆C外时，由＋(1－1)2＞1，解得a＜－6或a＞－2. 返回 任务三　与圆有关的最值问题 返回 已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值. 解：由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值. 因为原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1， 所以圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝. 因此x2＋y2的最大值和最小值分别为. 典例 4 规律方法 处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.与圆有关的最值问题，常见的有以下两种类型： 1.形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 2.形如形式的最值问题，可转化为动点到定直线的距离的最值问题. 对点练3.已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求的最值. 解：表示圆(x＋1)2＋y2＝上的点到直线x＋2y－6＝0的距离， 又圆心C(－1，0)到直线x＋2y－6＝0的距离d＝＝， 所以所求最大值为＋，最小值为－. 课堂小结 任务再现 1.圆的标准方程.2.点与圆的位置关系.3.与圆有关的最值问题 方法提炼 直接法、几何法、待定系数法 易错警示 几何法求圆的标准方程容易出现漏解情况 返回 随堂评价 返回 √ 1.以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为 A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16 以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16. √ 2.(多选题)下列各点中，不在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是 A.(0，2) B.(3，3) C.(－2，2) D.(4，1) √ √ 对于A，(0－1)2＋(2＋2)2＜25，点(0，2)在圆内；对于B，(3－1)2＋(3＋2)2＞25，点(3，3)在圆外；对于C，(－2－1)2＋(2＋2)2＝25，点(－2，2)在圆上；对于D，(4－1)2＋(1＋2)2＜25，点(4，1)在圆内.故选ACD. 3.若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m上，则实数m＝___. 4 因为点P(－1，)在圆x2＋y2＝m上，所以将点P坐标代入，得(－1)2＋()2＝m，即m＝4. 4.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为___________________. (x－1)2＋(y＋1)2＝5 因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在☉M上，所以点M到两点的距离相等且为半径R，所以＝＝R，a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，所以M(1，－1)，R＝，☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 返回 课时分层评价 返回 √ 1.圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是 A.x2＋y2＝25 B.x2＋y2＝5 C.(x－3)2＋(y－4)2＝25 D.(x＋3)2＋(y＋4)2＝25 因为r＝＝5，所以圆的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离等于 A. B. C. D. 由已知得，C(－4，3)，则圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离d＝＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.点(a，a)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为 A.(－∞，－) B. C. D.(－，＋∞) 由(a－1)2＋(a＋2)2＜2a2，得a＜－.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则｜PQ｜的最小值为 A.6 B.4 C.3 D.2 由题意，知｜PQ｜的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即｜PQ｜的最小值为6－2＝4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.(多选题)圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0对称的点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是 A.x2＋y2＝5 B.(x－1)2＋(y－3)2＝5 C.x2＋(y－2)2＝5 D.(x－1)2＋(y＋1)2＝5 √ 由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为(a，－a)，则(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0或a＝1，所以所求的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.方程｜y｜－1＝表示的曲线是 A.半圆 B.圆 C.两个圆 D.两个半圆 由题意知｜y｜－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心，1为半径，直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心，1为半径，直线y＝－1下方的半圆.所以方程｜y｜－1＝表示的曲线是两个半圆.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为______________. (x－2)2＋y2＝5 (x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在平面直角坐标系内，若曲线C：(x＋a)2＋(y－2a)2＝4上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为__________. (－∞，－2) 由题意知圆心为(－a，2a)，半径r＝2，故解得a＜－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是_______. [2，6] 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2，0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知条件可得｜AB｜＝2，所以△ABP面积的最大值为｜AB｜·dmax＝6，△ABP面积的最小值为｜AB｜·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2，6]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知M(2，0)，N(10，0)，P(11，3)，Q(6，1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由. 解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 所以 所以过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25. 将点Q的坐标(6，1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25， 所以点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上， 所以M，N，P，Q四点不共圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.已知两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点在圆x2＋y2＝4的内部，则实数k的取值范围是 A.－1＜k＜－ B.－＜k＜1 C.－＜k＜1 D.－2＜k＜2 圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，由则两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点为(k－1，3k－1)，依题意得(k－1)2＋(3k－1)2＜4，解得－＜k＜1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12.(多选题)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确 的是 A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3，0) C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知：圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)的圆心C(k，k)，半径r＝2.对于A，不论k如何变化，圆心C(k，k)始终在直线y＝x上，故A正确；对于B，令(3－k)2＋(0－k)2＝4，整理得2k2－6k＋5＝0，因为Δ＝(－6)2－4×2×5＝－4＜0，可知方程无解，所以所有圆Ck均不经过点(3，0)，故B正确；对于C，令(2－k)2＋(2－k)2＝4，整理得k2－4k＋2＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×2＝8＞0，可知方程有两个不同的解，所以经过点(2，2)的圆Ck有两个，故C错误；对于D，因为半径r＝2，所以所有圆的面积均为π×22＝4π，故D错误.故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知直线l1：mx－y＝0，l2：x＋my－m－2＝0.当m在实数范围内变化 时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是___________________. (x－1)2＋＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m＝0时，l1：y＝0，l2：x＝2，易知P(2，0).当m≠0时，l1过定点O(0，0)，斜率＝m，直线l2的方程可化为m(y－1)＋x－2＝0，因此l2过定点A(2，1)，斜率＝－，则·＝－1，所以直线l1与l2互相垂直，故PO⊥PA，连接OA(图略)，则直线l1与直线l2的交点P必在以线段AO为直径的圆上，且圆心为线段AO的中点C，半径r＝｜OA｜＝＝，所以所求圆的标准方程为(x－1)2＋＝.易知(2，0)在此圆上.综上所述，定圆的方程为(x－1)2＋( y－)2＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知△ABC中，点A(－1，5)，AC边上中线所在直线l1的方程为8x＋y－12＝0，AB边上的高线所在直线l2的方程为x－3y＋6＝0. (1)求点B和点C的坐标； 解：因为AB边上的高线所在直线l2的方程为x－3y＋6＝0，且直线l2的斜率为， 则kAB＝－3，故直线AB的方程为y－5＝－3(x＋1)，即3x＋y－2＝0. 联立直线AB和直线l1的方程可得即点B(2，－4)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点C(m，n)，则线段AC的中点为D(，)， 由题意可得解得m＝n＝3，即点C(3，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)以M(1，0)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程. 解：因为｜AM｜＝＝， ｜BM｜＝＝， ｜CM｜＝＝， 则｜CM｜＜｜BM｜＜｜AM｜， 故圆M的半径为｜BM｜＝，所以圆M的方程为(x－1)2＋y2＝17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(新情境)大约2 000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给出的圆的定义要早100年.已知O是坐标原点，｜OP｜＝4，若M(－，)，则线段PM长的最大值是____. 5 已知O是坐标原点，｜OP｜＝4，则点P在以原点为圆心，4为半径的圆上，｜OM｜＝＝1，则点M在圆内，当O，P，M三点共线，且P，M在O点两侧时，线段PM的长最大，此时｜PM｜＝｜OP｜＋｜OM｜＝4＋1＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知某400 m标准跑道的内圈如图所示，其中左右两边均是半径为36 m的半圆弧.(设400 m标准跑道最内圈周长为400 m) (1)求每条直道的长度； 解：依题意知，一个半圆弧的长为36π m， 所以每条直道的长度为(400－2×36π)÷2＝ (200－36π) m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)建立平面直角坐标系xOy，写出该跑道内圈上半部分对应的函数解析式. 解：如图所示，设两个半圆的圆心分别为A，B，AB的中点为O， 以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则A(18π－100，0)，B(100－18π，0)， 所以圆A的方程为(x－18π＋100)2＋y2＝1 296， 圆B的方程为(x＋18π－100)2＋y2＝1 296， 所以该跑道内圈上半部分对应的函数解析式为y ＝ 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 2.1　圆的标准方程 返回 $